Este documento describe diferentes formas canónicas para representar sistemas en espacio de estados, incluyendo la forma canónica controlable, la forma de Jordan, y la forma canónica observable. Explica que la forma canónica controlable garantiza que el modelo resultante es controlable, la forma de Jordan se compone de bloques de Jordan en la diagonal para sistemas no diagonalizables, y la forma canónica observable asegura que los estados internos puedan inferirse a partir de las salidas externas.

1. Cualquier función transferencia que
es estrictamente propia puede ser
escrita como un espacio de estados
con la siguiente aproximación:
Dada una función transferencia,
expandirla para revelar todos los
coeficientes en el numerador y en el
denominador. Resultando en la
siguiente forma:
FORMA
CANÓNICA
CONTROLABLE
LOS COEFICIENTES PUEDEN SER AHORA INSERTADOS DIRECTAMENTE EN EL MODELO DE
ESPACIO DE ESTADOS MEDIANTE LA SIGUIENTE APROXIMACIÓN:
Esta realización del espacio de estado se
denomina forma canónica controlable
porque garantiza que el modelo resultante
es controlable (es decir, dado que el control
entra en una cadena de integradores, puede
modificar todos y cada uno de los estados).
Si un sistema no es controlable, entonces no
es posible expresarlo en esta forma
canónica.
Angel Garcia
C.I.20.501.660

2. Forma Canónica de
Jordan
La forma canónica de Jordan es la forma de la
matriz de un endomorfismo de un espacio
vectorial en cierta base asociada a la
descomposición en suma directa de
subespacios invariantes bajo dicho
endomorfismo. Dicha forma canónica
consistirá en que la matriz estará formada por
"bloques de Jordan" en la diagonal y bloques
de ceros fuera de ella.
Considérese la situación de una
matriz diagonalizable. Una matriz
cuadrada es diagonalizable si la
suma de las dimensiones de los
espacios propios (eigenspaces) es
el número de filas o columnas de
la matriz. Examinemos la matriz
siguiente:
Tenemos valores propios de A que son sólo λ = 5, 5, 5, 5. Ahora bien, la dimensión del núcleo
de 1 , por lo tanto A no es diagonalizable. Sin embargo, podemos construir la forma de
Jordan de esta matriz. Dado que la dimensión es 1, sabemos que la forma de Jordan está
compuesta de solo un bloque de Jordan, es decir, la forma de Jordan de A es:
Obsérvese que J puede escribirse donde N es una
matriz nilpotente. Puesto que ahora tenemos A
similar a dicha matriz simple, podremos realizar
cálculos que involucren a A usando la forma de
Jordan, lo que en muchos casos puede simplificar
el cálculo. Por ejemplo, calcular potencias de
matrices es significativamente más sencillo usando
la forma de Jordan.

3. Forma Canónica
Observable
La observabilidad es la medida de cuán correctamente los
estados internos de un sistema pueden ser inferidos
conociendo las salidas externas. La observadlidad y la
controlabilidad son matemáticamente duales.
Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en
el tiempo es observable si y solo si:
(el rango de una matriz es el número de filas
linealmente independientes.)

4. Forma Canónica
Diagonal
Cualquier sistema en espacio de estado con una matriz A
diagonalizable puede ser transformado a la forma canonica
diagonal
La forma canonica diagonal se caracteriza por una matriz A
diagonal, donde los elementos de la diagonal son los valores
propios asociados con los vectores propios