Este documento presenta la forma canónica de Jordan. Explica la definición, cómo hallarla y cómo construirla. Define los bloques y suprabloques de Jordan y cómo se usan para escribir una matriz en forma canónica de Jordan. Luego, muestra ejemplos del proceso de construcción.

1. 1
Profesor:
________
Asignatura:
__________
Alumnos:
_______________
LIMA – PERÚ.
2018
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Trabajo de investigación:
Formas canónica de Jordan

2. 2
DEDICATORIA:
Dedicamos este trabajo de
investigación a nuestros padres por su
apoyo y comprensión durante todo este periodo
para poder realizar este trabajo de investigación.

3. 3
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a Dios por darnos la fortaleza para seguir adelante y el tiempo para poder
realizar esta ardua labor.
A nuestros padres por su apoyo incondicional y compresión hacia nosotros respecto a este
trabajo tan importante.
A nuestro profesor, Jenniel Ruiz, por incentivarnos a realizar este arduo trabajo de
investigación y entender las bases de la forma cuadrática.

4. 4
INDICE
1. Introducción………………………...………...………………………………………………5
2. Formas cuadráticas ……………………….…………………………..……..……………….7
2.1.Definición de la forma canónica de Jordan ……………...………..…………………8
2.2.Hallar la forma canónica de Jordan ………………………...……..………………..10
2.3.Construcción de la forma canónica de Jordan ……………….……..………....…….13
3. Videos ………………………...………...……………………...…………………......…….19
4. Referencias bibliográficas ………………………...………........…………………..……….22

5. 5
INTRODUCCIÓN

6. 6
INTRODUCCIÓN
El tipo de formas tiene una gran importancia para el análisis matemático, estadísticas, etc.
Es considerado el punto de partida para el estudio de problemas de optimización.
Nuestros objetivos de la forma canónica de Jordan son definir, aprender y calcular matrices
de Jordan, formas canónicas de Jordan, construcción de la forma canónica de Jordan. Comprender
la función de las formas canónicas de Jordan y su aplicación. Y por ultimo, ejemplificar mediante
ejercicios, demostraciones y resolución de problemas las aplicaciones de los cálculos previamente
mencionados.
Por ello, este presente trabajo presentará la definición de la forma canónica de Jordan, con su
respectiva clasificación y su construcción.

7. 7
FORMAS CANÓNICAS DE
JORDAN

8. 8
CAPÍTULO I:
DEFINICIÓN DE LA
FORMA CANÓNICA DE
JORDAN

9. 9
1.1. Definición:
Si V es un k-espacio vectorial de n dimensiones y f es un endomorfismo de V, bajo ciertas
condiciones, existe una base de V en la cual la matriz de f es una forma particular que nos permite
clasificar los endorfismos . Estos, en particular, resuelve el problema de decidir si dos matrices
complejas son semejantes o no, o sea si dos matrices tienen la misma transformación lineal en
distintas bases.
La forma canónica es la forma de la matriz de un endorfismo (explicada anteriormente) de un
espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios
invariantes bajo dicho endorfismo. La forma canónica consiste en que la matriz este formado por
“bloques de Jordán” en la diagonal y boques de ceros fuera de ella.

10. 10
CAPÍTULO II:
HALLAR LA FORMA
CANÓNICA DE JORDAN

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2.1.Bloque de Jordan
De tamaño n x n y valor propio λ, son matrices de la forma:
M=
(
𝜆 1 0 0 0
0
⋮
0
0
𝜆 1 0 0
⋮ ⋱ ⋱ 0
0 … ⋱ 1
0 ⋯ 0 𝜆)
Esto es una matriz tridiagonal, con diagonal principal de valor λ, diagonal superior de valor 1,
y diagonal inferior de ceros
2.2. Suprabloque de Jordan
De tamaño k x k y valor propio λ, son matrices cuya diagonal son Bloques de Jordan de
igual valor propio
Ejemplo:
M=
(
[
3 1
0 3
] 6
5
[
3 1 0
0
0
3
0
1
3
] 3
5 [3])
2.3. Forma canónica de Jordan
Una matriz esta escrita en forma canónica de Jordan si es diagonal por bloques, formada
por suprabloques de Jordán
Ejemplo:
A continuación se presenta una matriz, escrita en la forma canónica de Jordán, está formada
por:

12. 12
a) Un suprabloque de tamaño 2 y valor propio 5, formado también por dos bloques de tamaño
1.
b) Un suprabloque de tamaño 3 y valor propio 8, formado un bloque de tamaño 1 y otro de
tamaño 2.
c) Un suprabloque de tamaño 1 y valor propio 7.
M=
(
[
[5] 0
0 [5]
] 5
5 [
8 2
2 [
8 1
0 8
]
]
6
3
2 [7])
Observación:
Las matrices diagonales son un caso espacial de la forma canónica de Jordan.

13. 13
CAPÍTULO III:
CONSTRUCCIÓN DE LA
FORMA CANÓNICA DE
JORDAN

14. 14
3.1. Definición:
Dada una matriz que es diagonalizable, en su descomposición M= EP𝐸−1
, colocamos sus
valores propios en la diagonal de la matriz P, y en la matriz E se colocan como columnas los
vectores propios correspondientes a cada valor propio.
Por el contrario, para una matriz que no es necesariamente diagonalizable, podemos encontrar
su descomposición en la forma canónica de una matriz similar. La construcción de dicha matriz es
la siguiente:
1) En la matriz F, se colocan los n valores propios en la diagonal. De este modo, si el
polinomio de la matriz es
−( 𝜆 − 𝜆1) 𝑚1 (𝜆 − 𝜆2) 𝑚2 … (𝜆 − 𝜆 𝑘) 𝑚 𝑘
Entonces se deben volcar 𝑚1veces el valor 𝜆1 , 𝑚2 veces el valor 𝜆2 , y asi
sucesivamente. Los 𝑚 𝑖 valores propios 𝜆 𝑖 , forman un suprabloque de Jordan.
2) Si para cada valor 𝜆 𝑖, existen ἱ cadenas, entonces el suprabloque de Jordan de valor 𝜆 𝑖
estará compuesto por ἱ bloques, y las dimensiones de cada bloque corresponderá al largo
de cada cadena que le corresponde.
3) Para terminar, en la matriz E , se colocaran los vectores propio, y si hay cadenas, se colocan
los elementos de la cadena de la forma como fueron obtenidas
Ejemplo:
Dada la siguiente matriz:
M=
(
3 0 0
0 3 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1)

15. 15
Solución:
Para comenzar, los valores propios iguales (que se encuentran en la diagonal) forman los
suprabloques. De la siguiente manera:
M=
(
[
3 0
0 3
]
4
8 9
[
0
0
0 0
0 1
0 0 0
] 6
4 3 [1])
Luego, se debe reconocer los bloques que forman los suprabloques
a) En el suprabloque de valor propio 3, como no hay unos, entonces dicho suprabloque
está formado por dos bloques de Jordán de tamaño 1.
b) En el suprabloque de valor propio 0, vemos que hay un 1, también, dicho suprabloque
está formado por 2 bloques, uno de tamaño 1, y otro de tamaño 2.
c) En el suprabloque, el de valor 1, está formado por un bloque de tamaño 1.
M=
(
[
[3] 0
0 [3]
]
6
6 6
[
0 6
6 [
0 1
0 0
]
] 6
6 6 [1]
)
De este modo, nos damos cuenta además la forma de cómo se obtuvieron los vectores
propios:
a) Para el valor propio de 3 , que tiene multiplicidad 2, se obtuvieron 2 vectores propios
b) Para el calor propio 0, de multiplicidad 3, solo se obtuvieron 2 valores propios, el
tercero faltante es un vector propio generalizado, en consecuencia aparece el bloque de
Jordán de tamaño 2
c) Para el valor propio de 1, tiene su vector propio respectivo.

16. 16
Ejemplo:
Sea M una matriz de 4x4 con un vector propio λ de multiplicidad 4.Describa las posibles
formas de Jordan dependiendo de las multiplicidades geométricas.
Solución:
[
4
0
0
4
0 0
0 0
0
0
0
0
4
0
0
4
] Mult. Geométrica =4, la matriz es diagonalizable
[
4 0
0 [
4
0
1 0
4 1
0 0 4
]
] Mult. Geométrica =2 {
𝑢
𝑣 → 𝑣1 → 𝑣2
[
[
4 1
0 4
] 0
0 [
4 1
0 4
]
] Mult. Geométrica =2 {
𝑢 → 𝑢1
𝑣 → 𝑣1
[
4
0
0
1 0 0
4 1 0
0 4 1
0 0 0 4
] Mult. Geométrica =1 { 𝑢 → 𝑢1 → 𝑢2 → 𝑢3
En los 4 casos presentados, en la matriz B de la descomposición M= B J 𝐵−1
. Los vectores
obtenidos deben ser colocados en la columna de B en el orden que indica el esquema, de esta forma
para cada caso, las matrices B respectivas son:
[ 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥], [𝑢, 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, ], [ 𝑢, 𝑢1, 𝑣, 𝑣1 ], [ 𝑢, 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3]
Problema:
Llevar la siguiente matriz a la forma canónica de Jordan
(
−2,5
0,5
0 0,5
−2 −0,5
−0,5 0 −1,5
)

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Solución:
Su polinomio característico es (𝜆 + 2)3
, de modo que, λ= -2 es el único valor propio, de
multiplicidad 3. Calculemos sus vectores propios.
(A -2I)𝑤 =
0
→ (
−0,5 0 0,5
0,5
−0,5
0
0
−0,5
0,5
) (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
0
0
0
)
En el sistema 𝑣1 = 𝑣3 y 𝑣2 cualquiera. Por ello en este ejemplo podemos escoger los 2
vectores propios: 𝑢 = [1,0,1] y 𝑣 = [0,1,0] . Luego determinaremos el autovector generalizado
restante. Este autovector no necesariamente es proyección de alguno de estos vectores 𝑢 o 𝑣 , tan
solo que por lo general será de laguna combinación lineal de los mismos:
(A – 2I)𝑤 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣  (
−0,5
0,5
0 0,5
0 −0,5
−0,5 0 0,5
) (
𝑤1
𝑤2
𝑤3
) = (
𝛼
𝛽
𝛼
)
Y este grupo de ecuaciones tendrán una solución posible, siempre que 𝛼 = −𝛽 . De este
modo el autovector sobre el cual el autovector generalizado se proyecta es [1,−1,1] : El
autovector 𝑤 generalizado deberá cumplir que:
(A – 2I)𝑤 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣  (
−0,5
0,5
0 0,5
0 −0,5
−0,5 0 0,5
) (
𝑤1
𝑤2
𝑤3
) = (
1
−1
1
)
Luego −
𝑤1
2
+
𝑤3
2
= 1 , con 𝑤2 libre
De este modo los vectores solución a este sistema son de la forma
[
𝑤1
0
2 + 𝑤1
] + [
0
1
0
]
Debido al que el vector [0,1,0] ya lo teníamos considerado, escogiendo 𝑤1 = 1 ,
obtenemos el vector [1,0,3]
Por lo cual, la forma canónica de Jordan de la matriz M es

18. 18
A = (
1 1 1
0
1
−1
1
0
3
) (
−2
0
0 0
−2 1
0 0 −2
) (
1 1 1
0
1
−1
1
0
3
)
−1
Observación:
Los vectores propios que uno escoge son una base posible del espacio propio. Cualquier
combinación lineal de estos vectores además resultan ser una base del espacio. En otras palabras,
si 𝑣1 y 𝑣2 son los vectores propios relacionados a λ, por ello [𝑣1, 𝑣2] y forman una base del
espacio propio, como también [ 𝑣1 − 𝑣2, 𝑣1 + 𝑣2 ], ya que 𝑣1 + 𝑣2 y 𝑣1 − 𝑣2 son vectores
propios (por lo general cualquier combinación lineal 𝛼𝑣1 + 𝛽𝑣2 es vector propio, de manera que
es sencillo de verificar).

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VIDEOS

20. 20
1. Video: Forma Canónica de Jordan URL.
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=J2K3rmGEfNc
Comentario sobre el video:
En este video nos da una definición y la identificación del procedimiento para lograr la forma
canónica de Jordan mediante ejemplos.
2. Video: 4.1 Formas de Jordan.
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Jpjt5J8i9Tc&t=427s
Comentario sobre el video:
Vemos como se representa el sistema lineal en la forma de Jordan a través de ejemplos.
3. Video: Reducción a la forma canónica de Jordan.
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Ett4sMYLrcM&t=54s
Comentario sobre el video:
El siguiente video nos explica cómo se puede reducir una forma canónica mediante pasos para
llegar a encontrar los valores y vectores propios.
4. Video: Ejemplo de transformar una matriz a su forma canónica de Jordan.
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=KuwJkWFzBxQ&t=48s
Comentario sobre el video:
Se puede aprender a como reducir o expresar una matriz a su forma canónica de Jordan
sabiendo que las matrices que se puede lograr tal resultado tienen que ser matrices no
diagonizables.
5. Video: Forma canónica de Jordan: orden 3 y dos valores propios.

21. 21
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=R15Zt-VRJKc&feature=youtu.be
Comentario sobre el video:
Cómo determinar la forma de Jordan y su matriz de paso asociada, de una matriz de orden
3 con dos valores propios distintos.

22. 22
REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

23. 23
Linkografía:
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=J2K3rmGEfNc
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Jpjt5J8i9Tc&t=427s
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Ett4sMYLrcM&t=54s
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=KuwJkWFzBxQ&t=48s
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=R15Zt-VRJKc&feature=youtu.be
Recuperado de
http://www.dim.uchile.cl/~fbravo/guias/EDO/Tutorial_formas_de_jordan_(3.1).pdf
Recuperado de https://w3.ual.es/~lsempere/Jordan.pdf
Recuperado de http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo7.pdf
Recuperado de http://euclides.us.es/da/apuntes/ali/Alicap4.pdf