1) El documento describe el análisis de sistemas en el espacio de estados, representando sistemas mediante ecuaciones matriciales de estado y salida. 2) Explica conceptos como la matriz de transición de estado, controlabilidad, observabilidad y estabilidad. 3) Indica que la estabilidad en sistemas lineales depende de que los autovalores de la matriz de estado tengan parte real negativa.

1. Análisis de sistemas en el espacio de estados

2. Introducción Las técnicas clásicas de análisis de sistemas tienen problemas a la hora de abordar el estudio de sistemas complejos con múltiples entradas y salidas. Análisis en el espacio de estados: Descripción interna del sistema en base a ecuaciones diferenciales. Formulación matricial compacta.

3. Descripción de sistemas en el espacio de estados Un sistema de orden n con p entradas y q salidas se representa mediante 2 ecuaciones matriciales: Ecuación de estado: x' = Ax + Bu donde x es el vector de estado ( nx1 ), A es la matriz del sistema ( nxn ), u es el vector de entrada o de control ( px1 ), y B es una matriz ( nxp ) . Ecuación de salida: y = Cx + Du donde y es el vector de salida ( qx1 ), y C y D son matrices ( qxn y qxp ).

4. Las ecuaciones de estado contienen información suficiente para conocer la evolución temporal del sistema a partir de un estado inicial y una señal de entrada. La matriz de transición de estado es aquella que satisface la ecuación de estado homogénea x´(t)=Ax(t) : O también puede definirse como:

5. Obtención de la matriz de transición de estado Aplicando transformada de Laplace a la ecuación de estado homogénea:

6. Asumiendo una solución de tipo exponencial: donde

7. Ecuación de estado Para el caso no homogéneo se tiene:

8. Ecuaciones de estado y función de transferencia Aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado se tiene: Asumiendo condiciones iniciales nulas que es la función de transferencia matricial del sistema.

9. La dinámica del sistema viene dada por las raíces de la ecuación característica: que son los valores propios de la matriz A.

10. Ejemplo: Sea el sistema SE1 caracterizado por las ecuaciones de estado: La matriz de transición de estado puede obtenerse a partir de la serie exponencial ( exp(At)=I+At+(1/2)A^2 t^2+... ), que para t=1 proporciona los siguientes resultados:

11. Tomando como condiciones iniciales x(0)=[1;1] , la respuesta no forzada ( u(t)=0 ) para t=1seg. puede obtenerse a partir de la matriz de transición de estado como La respuesta temporal es la que se muestra en la figura. Los autovalores de la matriz A son

12. Controlabilidad y observabilidad Un sistema es controlable si dado un estado inicial x 0 y un tiempo inicial t 0 , para cualquier estado final x 1 existe una señal de control físicamente realizable que puede guiar al sistema desde el estado inicial al final en un tiempo finito. La controlabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones de estado analizando el rango de la matriz de controlabilidad rango[B|AB| ... |A n-1 B]= n

13. Se dice que un sistema es de estado completo observable si cada estado x(t 0 ) puede determinarse a partir de la observación de la salida en un intervalo de tiempo finito. La observabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones de estado analizando el rango de la matriz de observabilidad rango [C * |A * C * | ... |(A * ) n-1 C * ]= n

14. Estabilidad en el espacio de estados Estabilidad de Liapunov. Para un sistema x'=f(x,t) , un punto singular o estado de equilibrio x e  f(x e ,t) = 0  t es estable en el sentido de Liapunov si para toda región esférica S 1 en torno a x e es posible encontrar otra S 2 tal que cualquier trayectoria de estado que se inicie dentro de S 1 se mantiene dentro de S 2 cuando t tiende a infinito. Si además, la trayectoria tiende a x e cuando el tiempo crece, el estado es asintóticamente estable .

15. Ejemplo. Trayectorias en el espacio de estados para el sistema SE1, considerando la respuesta no forzada desde el estado inicial (1,1): origen asintóticamente estable.

16. Teorema de Liapunov. Sea x'=f(x,t) donde f(0,t)=0 para todo t . Si existe una función escalar V(x,t) con primeras derivadas parciales continuas que verifica: 1. V(x,t) es definida positiva. 2. V'(x,t) es definida negativa. entonces el estado de equilibrio en el origen es uniforme y asintóticamente estable. Si además, V(x,t)->  cuando  x  ->  , el origen es asintóticamente estable de forma completa.

17. Ejemplo. Definiendo para el sistema SE1 V(x)=x 1 2 +0.5x 2 2 , se tiene (para u(t)=0 ): 1. V(x) es definida positiva. 2. V'(x)=2x 1 x 1 ’+x 2 x 2 ’=2x 1 x 2 -2x 1 x 2 -3x 2 2 =-3x 2 2 es definida negativa. 3. Como V(x)->  cuando  x  ->  , entonces el estado de equilibrio en el origen es asintóticamente estable de forma completa.

18. Estabilidad en sistemas lineales invariantes en el tiempo. En sistemas del tipo x’=Ax ( A matriz de coeficientes constantes), el origen es asintóticamente estable si todos los autovalores de A tienen parte real negativa. Alternativamente, puede tomarse como función de Liapunov la forma cuadrática hermítica V(x)=x*Px , donde P es hermítica y definida positiva. V(x) definida positiva, V'(x)=x'*Px+x*Px'=x*(A*P+PA)x=-x*Qx. Tomando Q definida positiva, si se puede encontrar P definida positiva, el origen será asintóticamente estable.

19. Ejemplo. Para el sistema SE1, en el caso no forzado tenemos: Tomando Q=I , definida positiva. A partir de Q=-(A*P+PA) se obtiene P como: Como P es definida positiva, el origen del espacio de estados es asintóticamente estable para SE1.

20. Representaciones en el espacio de estados La representación de un sistema en el espacio de estados no es única. Pueden obtenerse diferentes expresiones aplicando transformaciones lineales al vector de estado. Forma canónica controlable. Forma canónica observable. Forma canónica de Jordan Los autovalores permanecen invariantes.

21. Sea el sistema dado por la función de transferencia Y(s)/U(s)=(b 0 s n +b 1 s n-1 +...+b n-1 s+b n )/(s n +a 1 s n-1 +...+a n-1 s+a n ) Forma canónica controlable:

22. Forma canónica observable:

23. Forma canónica de Jordan: