Ejemplos de ecuaciones cuadraticas

1. SEGUNDO GRADO: 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝑐 = 0
FORMA GENERAL
ECUACIONES NO LINEALES
CON UNA INCÓGNITA

2. Métodos
a. Factorización
b. Fórmula General o de Vieta

3. Factorización
● FACTOR COMÚN
● DIFERENCIA Y SUMA DE CUADRADOS
● TRINOMIO CUADRADO PERFECTO O COMPLETADO
● TRINOMIO 𝐴𝑥𝑚
+ 𝐵𝑥𝑛
+ 𝑐 = 0
● TRINOMIO 𝑥𝑚
+ 𝐵𝑥𝑛
+ 𝑐 = 0
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑥𝑚 = 𝑥𝑛

4. PROCEDIMIENTO:
1. Llevar ecuación a la forma general
2. Factorizar
3. Utilizar propiedad del elemento neutro aditivo en
la multiplicación, para formar dos ecuaciones
más simples.
4. Despejar la ecuación: la incógnita en cada
ecuación formada.
5. Los valores obtenidos de esta forma
corresponden al conjunto solución.

5. EJEMPLOS:
3𝑥2 = −7𝑥
3𝑥2
+ 7𝑥 = 0
𝑥(3𝑥 + 7) = 0
𝑥 = 0 3𝑥 + 7 = 0
v
3𝑥 = 0 − 7
3𝑥 = −7
𝑥 =
−7
3
𝑥 = 0,
−7
3
FACTOR
COMÚN
3(0)2 = −7(0)
3
49
9
=
49
3
147
9
=
49
3
49
3
=
49
3
3(−
7
3
)2 = −7(−
7
3
)
3(0) = 0
0 = 0
COMPROBACIONES

6. EJEMPLOS:
𝑥2
− 4 = 0
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0
= 0 = 0
v
𝑥 =
𝑥 = ,
DIFERENCIA DE
CUADRADOS
OTRA FORMA:
𝐷(100
− 𝐸)
𝑥 =
𝑥2 − 4 = 0
𝑥2
= 4 /
𝑥2 = 4
𝑥 = ±2

7. EJEMPLOS:
𝑥2 + 3𝑥 = 88
(𝑥 + 11)(𝑥 − 8) = 0
= 0 = 0
v
𝑥 =
𝑥 = ,
TRINOMIO 𝒙𝒎
+ 𝑩𝒙𝒏
+ 𝒄 = 𝟎
𝑥 =
𝑥2 + 3𝑥 − 88 = 0

8. EJEMPLOS:
9𝑥2 − 24𝑥 + 16 = 0
()() = 0
= 0 = 0
v
𝑥 =
TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO
𝑥 =
(3𝑥 − 4)2= 0
9𝑥2 = 3𝑥 16 =4
2 3𝑥 4 = 24𝑥
= 0 = 0
v
𝑥 =
9
2
− 24 + 16 =
9 − + 16 =
− + 16 =
Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación.

9. FÓRMULA GENERAL DE VIETA
SI a no es igual a cero las raíces de la ecuación 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 están dados por:
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
El número 𝑏2
− 4𝑎𝑐 bajo la radical en la fórmula de Vieta se denomina “discriminante” de la
ecuación cuadrática, determina la naturaleza de las raíces de la ecuación.
a. Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0 La ecuación tiene 2 raíces reales diferentes
b. Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0 La ecuación tiene 1 raíz de múltiplo de 2
c. Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0 La ecuación no tiene raíces reales
Esta fórmula se puede aplicar a cualquier ecuación, completa o incompleta. Las literales se
identifican así:
a= término de segundo grado (el coeficiente numérico)
b= término de primer grado (el coeficiente numérico)
c= término independiente

10. Ejemplos:
−11𝑥2 + 14𝑥 + 25 = 0 ECUACIÓN COMPLETA
a= -11 b=+14 c=+25
9𝑥2
− 4 = 0 ECUACIÓN INCOMPLETA
a= 9 b= 0 c =4 OBSERVACIÓN
CUANDO NO HAYA UN ELEMENTO EN LA
ECUACIÓN EL COEFICIENTE QUE SE
TRABAJA ES IGUAL A 0.

11. RESOLVEMOS
−11𝑥2
+ 14𝑥 + 25 = 0 a= -11 b=+14 c=+25
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =
−(14) ± (14)2−4(−11)(25)
2(−11)
𝑥1,2 =
−14 ± 196 − (−1100)
−22
𝑥1,2 =
−14 ± 196 + 1100
−22
𝑥1,2 =
−14 ± 1296
−22
= 𝑥1,2 =
−14 ± 36
−22
𝑥1 =
−14 + 36
−22
=
+22
−22
= −1
𝑥2 =
−14 − 36
−22
=
−50
−22
=
25
11
𝑥 = −1,
25
11

12. EJEMPLOS
−𝑥2
− 2𝑥 = 0 a= -1 b= -2 c= 0
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =
−(−2) ± (−2)2−4(−1)(0)
2(−1)
𝑥1,2 =
2 ± 4 − (0)
−2
𝑥1,2 =
2 ± 4
−2
𝑥1,2 =
2 ± 2
−2
𝑥1 =
2 + 2
−2
=
+4
−2
= −2
𝑥2 =
2 − 2
−2
=
0
−2
= 0
𝑥 = −2,0

13. RESOLVEMOS
9𝑥2
− 4 = 0 a= 9 b=0 c=-4
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =
−(0) ± (0)2−4(9)(−4)
2(9)
𝑥1,2 =
0 ± 0 − (−144)
18
𝑥1,2 =
0 ± 144
18
𝑥1,2 =
0 ± 12
18
𝑥1 =
0 + 12
18
=
+12
18
=
2
3
𝑥2 =
0 − 12
18
=
−12
18
= −
2
3
𝑥 = −
2
3
,
2
3

14. EJEMPLOS
7𝑥2
+ 4𝑥 − 1 = 0 a= b= c=
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =
−() ± ()2−4()()
2()
𝑥1,2 =
± −()
𝑥1,2 =
±
−
𝑥1,2 =
±
𝑥1 = = =
𝑥2 = = =
𝑥 = ,

15. EJEMPLOS
𝑐2
= −15𝑐 − 56 = a= b= c=
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =
−() ± ()2−4()()
2()
𝑥1,2 =
± −()
𝑥1,2 =
±
−
𝑥1,2 =
±
𝑥1 = = =
𝑥2 = = =
𝑥 = ,
𝑐2 + 15𝑐 + 56 = 0
𝑐2 = −15𝑐 − 56
()2
= −15() − 56
𝑐2
= −15𝑐 − 56
()2
= −15() − 56

16. EJEMPLOS
6𝑎5 + 10𝑎4 = 3𝑎3 + 5𝑎2
𝑥 = 0,
2
2
, −
2
2
, −
5
3
(6𝑎5
+10𝑎4
) − (3𝑎3
+5𝑎2
) = 0
2𝑎4(3𝑎 + 5) −𝑎2 (3𝑎 + 5) = 0
(2𝑎4 − 𝑎2)(3𝑎 + 5) = 0
𝑎2(2𝑎2 − 1)(3𝑎 + 5) = 0
𝑎2 = 0 (3𝑎 + 5) = 0
(2𝑎2 − 1) = 0
v v
𝑎2 = 0 (3𝑎 + 5) = 0
2𝑎2
= 1
v v
𝒂 = 𝟎 3𝑎 = −5
𝑎2 =
1
2
/
v v
𝑎2 = ±
1
2
𝒂 = −
𝟓
𝟑
v
𝑎 = ±
2
2
1
2
∗
2
2
=
2
2
𝑎 = ±
1
2

17. EJEMPLOS
2𝑥3
− 7𝑥2
− 50𝑥 + 175 = 0
𝑥 = −5,
7
2
, 5
𝑥2 2𝑥 − 7 − 25 (2𝑥 − 7) = 0
(𝑥2 − 25)(2𝑥 − 7) = 0
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5)(2𝑥 − 7) = 0
𝑥 + 5 = 0 (2𝑥 − 7) = 0
(𝑥 − 5) = 0
v v
2𝑥 − 7 = 0
𝑥 = +5
v v
2𝑥 = 7
v
𝒂 =
𝟕
𝟐
(2𝑥3
−7𝑥2
) − (50𝑥 − 175) = 0
𝑥 = −5

18. ECUACIONES LITERALES
1. El espacio poroso de un suelo puede ser calculado a partir de su densidad
aparente y su densidad real, por lo que diremos:
Fórmula = Ecuación literal
𝐸 = 100 −
100𝑑
𝐷
En el cual:
E= espacio poroso del suelo (%)
D= densidad real en gr/cc
d= densidad aparente gr/cc
A. ¿Cuál es el % de E de un suelo cuya densidad aparente (d) es igual a 1.59 gr/cc y densidad
real (D) es igual 2.65 gr/cc.
𝐸 = 100 −
100
1.59𝑔𝑟
𝑐𝑐
2.65
𝑔𝑟
𝑐𝑐
= 100 −
159
𝑔𝑟
𝑐𝑐
2.65
𝑔𝑟
𝑐𝑐
= 100 − 60 = 40%
𝑬 = 𝟒𝟎%
𝐸 = 100 −
100𝑑
𝐷
=

19. ECUACIONES LITERALES
B. Resolver la ecuación para d y D:
Fórmula = Ecuación literal
𝐸 = 100 −
100𝑑
𝐷
/𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜
−𝐸 = −100 +
100𝑑
𝐷
100 − 𝐸 =
100𝑑
𝐷
𝐷(100 − 𝐸) = 100𝑑
𝑫(𝟏𝟎𝟎 − 𝑬)
𝟏𝟎𝟎
= 𝒅
𝑫(𝟏𝟎𝟎 − 𝑬)
𝟏𝟎𝟎
= 𝒅
𝐷(100 − 𝐸) = 𝟏𝟎𝟎 𝒅
𝐷 =
100𝑑
(100 − 𝐸)

20. ECUACIONES LITERALES
c. Comprobar las dos fórmulas anteriores con los datos conocidos:
Fórmula = Ecuación literal
𝑫(𝟏𝟎𝟎 − 𝑬)
𝟏𝟎𝟎
= 𝒅
𝐷 =
100𝑑
(100 − 𝐸)
𝟐. 𝟔𝟓𝒈𝒓/𝒄𝒄(𝟏𝟎𝟎 − 𝟒𝟎)
𝟏𝟎𝟎
= 𝒅
𝐷 =
100(
1.59𝑔𝑟
𝑐𝑐
)
(100 − 40)
𝟐. 𝟔𝟓𝒈𝒓/𝒄𝒄(𝟔𝟎)
𝟏𝟎𝟎
= 𝒅
𝟏𝟓𝟗𝒈𝒓/𝒄𝒄
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏. 𝟓𝟗
𝒈𝒓
𝒄𝒄
= 𝒅
𝐷 =
159 𝑔𝑟/𝑐𝑐
(60)
= 2.65
gr
cc
= D

21. 2. En el manejo de plantaciones forestales comerciales, existe una práctica llamada raleo
(R), donde la decisión en cuanto al número de árboles a eliminar, se toma en base al índice
de espaciamiento relativo del bosque, el cual se calcula mediante las siguientes fórmulas:
𝐴 =
11549
𝑁
𝑆% =
𝐴
𝐻
∗ 100
En las cuales:
A=Espaciamiento entre árboles (m)
N=Número de árboles/hectárea (densidad)
S%= Índice de espacio relativo (%)
H=Altura dominante promedio/ha (m)
a) Determinar el índice de espaciamiento relativo (S%)
de un bosque, en el cual existen 817 árboles por
hectárea (N) y su altura dominante promedio es de 22.5
m (H)
𝐴 =
11549
817
= 3.76𝑚 (𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙)
𝑆% =
3.76𝑚
22.5𝑚
∗ 100 = 16.71%
(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜
𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙)

22. b. Resolver las ecuaciones anteriores
para A y N, luego calcule el número de
árboles a extraer del bosque, si de
acuerdo a la tabla de índices de
espaciamiento, el ideal debe ser 23%
(S%)
𝐴 =
11549
𝑁
𝑆% =
𝐴
𝐻
∗ 100
𝐻𝑆% = 𝐴 ∗ 100
𝐻𝑆%
100
= 𝐴
𝐴 =
11549
𝑁
/()2
(𝐴)2
=
11549
𝑁
2
𝐴2
=
11549
𝑁
𝑁𝐴2
= 11549
𝑁 =
11549
𝐴2
Espaciamiento
ideal
22.5𝑚 ∗ 23%
100%
= 𝐴
517.5𝑚
100
= 5.18𝑚 𝐴
Espaciamiento
ideal
Numero ideal
de arboles
𝑁 =
11549
(5.18𝑚)2
=
11549
26.83𝑚2
= 430.45 ≅ 431 á𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠
Si existen 817 árboles/ha y la densidad
ideal 431 árboles por hectárea,
debemos ralear:
817 − 431 = 386 á𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠
Debemos extraer del bosque 386
árboles para tener un índice de
espaciamiento ideal de 23%

23. APLICACIÓNDE ECUACIONES
APLICACIÓNDE ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
EJEMPLOS:
1. La leche que vende cierta finca a una empresa de lácteos debe contener 4.2% de grasa. En dicha
finca se obtiene leche de ganado Holstein que posee en promedio 3.2% de grasa y leche de ganado
Jersey que contiene 5.8% de grasa. ¿Cuántos litros de cada tipo son necesarios para suplir un
pedido de la empresa que en total requiere 182 litros de leche?
DATOS:
Requerimiento total: 182 litros de leche con 4.2% de grasa.
Leche Holstein 3.2% de grasa Leche Jersey 5.8% de grasa

24. PREGUNTA:
¿Cuántos litros de cada tipo para la mezcla
correcta?
182 l
4.2%
H= 182-L
3.2%
J= L
5.8%
PLANTEAMIENTO:
X = litros de leche = Holstein (H) + Jersey (J)= 182 L
l= litros de leche Jersey 5.8% =
182-l= litros de leche Holstein 3.2% =
Construcción de la ecuación:
Holstein (H) + Jersey (J)= 182
3.2(182-L) + 5.8(L)=182(4.2)
582.4 - 3.2L + 5.8L=764.4
-3.2L +5.8L=764.4-582.4
2.6L=182
L=182/2.6
L=70 litros de leche Jersey
182-L= LITROS DE LECHE
HOLSTEIN
182-70=112 litros de leche Holstein
RESPUESTA:
Para mezcla de 182 litros de leche
con 4.2% de grasa necesito 70
litros de leche Jersey y 112 litros
de leche Holstein

25. APLICACIÓNDE ECUACIONES
APLICACIÓNDE ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
EJEMPLOS:
2. Un agricultor necesita un insecticida que contenga 10% de ingrediente activo. Cuenta con dos
productos a base del mismo insecticida: uno que contiene 6% y el otro el 15% del mismo ingrediente
activo. ¿Cuántos litros del que contiene 15% deben mezclarse con 10 litros del que contiene el 6%
para lograr la concentración deseada?
DATOS:
Requerimiento total: litros de insecticida que contengan 10% de ingrediente activo (IA)
10 litros Insecticida con 6% de IA Insecticida con 15% de IA

26. PREGUNTA:
¿Cuántos litros del insecticida de 15% IA. Debe mezclarse con los 10 litros del insecticida que tiene 6% IA?
x
10%IA
10L
6%
X-10L
15%
PLANTEAMIENTO:
X = litros de insecticida al 10% IA
10l= insecticida al 6% =
(X-10L) = litros de insecticida 15% IA=
Construcción de la ecuación:
(10)X=6(10)+15(x-10)
10x=60+15x-150
10x-15x = 60-150
-5x = -90
X=-90/-5
X=18 litros de insecticida al
10% de IA
(X-10) = litros de inseticida 15% IA=
18 -10 = 8 litros de insecticida con
15% IA.
RESPUESTA:
Para obtener un insectida al 10%
de IA, debo agregar 8 litros de
insecticida al 15% IA, y 10 litros de
insecticida al 6% IA.

27. 3. Un depósito se llena en 7 horas cuando se utiliza un grifo A y en 3 horas cuando se utiliza un grifo B,
¿Cuánto tiempo se necesitará para llenar el mismo depósito abriendo los dos grifos a la vez?
Datos:
t = tiempo es la incógnita
1 1
𝑡
3
𝑡
7 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 =
𝑡
7
+
𝑡
3
= 1 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒
- +
7 −−−−− − 1
𝑡 −−−−− − ?
+
=
𝑡 ∗ 1
7
=
𝑡
7
- +
3 −−−−− − 1
𝑡 −−−−− − ?
+
=
𝑡 ∗ 1
3
=
𝑡
3
𝑡
7
+
𝑡
3
= 1
Ecuación:
𝑡
7
+
𝑡
3
−
1
1
= 0
3𝑡 + 7𝑡 − 21
21
= 0
10𝑡 − 21
21
= 0
10𝑡
21
−
21
21
= 0
10𝑡
21
= 0 +
21
21
10𝑡
21
= 1
10𝑡 = (21)1 𝑡 =
21
10
𝑡 = 2.1 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
R//. Tiempo en que
tardarán los dos
grifos en llenar el
tanque serán 2.1
horas o
2 horas y 6 minutos
7
HORAS
3
HORAS

28. 4. Un radiador con 12 litros de capacidad contiene una solución
anticongelante al 52% en agua destilada ¿Cuánto se debe extraer para
sustituirlo por anticongelante puro con el objeto de obtener una solución al
80%?
52%
100%
12
litros
12 litros al 80%
necesita
Datos:
L = cantidad de litros de anticongelante puro que se
debe agregar para conseguir 12 litros al 80%
(12-x) = litros a extraer al 52% de concentración
x=Cantidad de litros de anticongelante puro a aplicar
(al 100%)
Ecuación:
𝒙 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟐 − 𝒙 𝟓𝟐 = 𝟏𝟐 𝟖𝟎
𝟏𝟎𝟎𝒙 + 𝟔𝟐𝟒 − 𝟓𝟐𝒙 = 𝟗𝟔𝟎
𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟓𝟐𝒙 = 𝟗𝟔𝟎 − 𝟔𝟐𝟒
𝟒𝟖𝒙 = 𝟑𝟑𝟔
𝒙 =
𝟑𝟑𝟔
𝟒𝟖
𝒙 = 𝟕
R// Se deben extraer 7 litros de anticongelante al 52% para sustituirlo
CON anticongelante puro y conseguir 12 litros al 80%