Este documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales, que permiten modelar fenómenos naturales y de la sociedad. Explica cómo las ecuaciones diferenciales involucran derivadas de funciones y presenta ejemplos como el movimiento de un péndulo o la carga en un capacitor. Finalmente, cubre temas como la clasificación, orden, grado y métodos de solución de ecuaciones diferenciales.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
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Ecuaciones Diferenciales parte I_ EDO.pptx2015110566
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan por derivados. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida y=f(x) y su derivada, conocida como ecuación diferencial. Resolver tales ecuaciones a menudo proporciona información sobre cómo cambian las cantidades y con frecuencia proporciona información sobre cómo y por qué ocurren los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden tomar muchas formas diferentes, incluyendo solución directa, uso de gráficos o cálculos por computadora. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas, y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
Este documento presenta una guía para encontrar soluciones a problemas complejos. Explica qué es un problema público, cómo podríamos definir un problema público, cómo podríamos definir un problema público de forma innovadora, cómo podríamos resolver un problema público con herramientas de pensamiento sistémico, sistemas complejos y pensamiento sistémico: ¿con qué herramientas contamos?
Con esta píldora formativa podrás comprender cómo implementar herramientas como el Arco del proceso de resolución de problemas (Beth S. Noveck / The GovLab), GovLab's Public Problem Solving Canvas o la Guía Un conjunto de herramientas introductorias al pensamiento sistémico para funcionarios públicos del Government Office for Science del Gobierno de Reino Unido.
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En esta segunda entrega, el periódico Tierra se adentra en la operación «Inherent Resolve», una de las dos en las que participa el Ejército de Tierra en Irak. Personal de las Fuerzas Aeromóviles del Ejército de Tierra y del Mando de Operaciones Especiales forman parte de la coalición internacional para la lucha contra el Dáesh.
2. 2
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales permiten modelar muchos fenómenos de la
naturaleza (la física esta llena de ecuaciones diferenciales) y de la sociedad
(como la evolución de poblaciones).
3. OBJETIVO
• Reconocer el concepto de ecuación diferencial.
• Aprender a resolver ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos.
Este curso aporta al logro del siguiente Resultado de la Carrera:
“Aplican sus conocimientos de matemática, ciencia y tecnología para
solucionar problemas de ingeniería aplicada en sistemas electrónicos
industriales”.
4. Una Ecuación Diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una
función desconocida que depende de una o varias variables independientes.
Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales (ED´s)
Definición:
Ecuaciones Diferenciales (ED´s)
0232
2
=−+ y
dx
dy
dx
yd
xyyy 2=+′+′′
2
1
2 2
=
+
+′
x
yyx
yyxyx ′=−′′ 2
En todos los casos se supone
que y es una función de x
5. Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales (ED´s)
La carga q(t) en el capacitor del circuito queda modelado:
to
R
Ci(t)+
-
V(t)
0)( =−′−
C
q
RqtV
6. 6
Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales
El movimiento de un péndulo simple está gobernado por la ecuación
0=++ θθθ mgsenklml &&&
θ
m
Donde
2
2
,
dt
d
dt
d θ
θ
θ
θ == &&&
8. 8
Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales
La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia
entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta
)( TTK
dt
dT
a −=
Donde K es el coeficiente de transmisión de calor que depende del
material
y
dt
dy
.α=
Ley de Crecimiento Exponencial
El modelo indica que la variación de una población o cantidad con
respecto al tiempo es directamente proporcional a la población o cantidad
presente.
donde α es un parámetro que deben encontrarse con las condiciones
iniciales del problema.
9. 9
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO):
Si la función desconocida depende de solo una variable.
Ejemplo
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP):
Si la función desconocida depende de más de una variable.
Ejemplo
x
dx
dy
2= yxy += 2'
v
y
v
x
v
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por el tipo en:
2
2 uuuu yyxx −=+
10. 10
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.
ORDEN
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas
alta que aparece en la ecuación.
Determinar el orden de las ecuaciones diferenciales:
Ejemplo
87 5
3
−=
x
dx
dy
xsen
dx
yd
352
2
=
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
11. 11
Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:
Ejercicios
735 2
5
2
2
2
4
4
+=
+
−
x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
3
2
2
2
6
2
2
7
+=
+
dx
yd
x
dx
dy
x
dx
yd
12. 12
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su
derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial
es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos dio el orden de la
ecuación diferencial.
GRADO
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.
Ejemplo
El grado de la ecuación diferencial es:
87 5
3
−=
xxy
dx
dy
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
13. 13
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
Ejercicios
735 2
5
2
2
2
4
4
+=
+
−
x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
3
2
2
2
6
2
2
7
+=
+
dx
yd
x
dx
dy
x
dx
yd
14. 14
NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio,
el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar
dicho radical para después determinar el grado de la ecuación
diferencial.
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
17 2
+= x
dx
dy
3
2
2
dx
dy
x
dx
yd
=+
15. 15
Ejercicios de tarea
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y
dx
dy
x
dx
yd
533
3
+
=
=−
dx
dy
x
dx
yd
853
3
5
3
3
3
3
3
818
+=
+
dx
yd
x
dx
yd
dx
dy
5
3
3
2
2
3
dx
yd
x
dx
yd
=+
16. 16
Solución de una Ecuación Diferencial
Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, esto es,
la reduce a una identidad.
Una función f(x) es solución de una ecuación diferencial si al ser
sustituida en la ecuación la satisface.
Ejemplo: verificar que la función:
es solución de la siguiente ecuación diferencial: 023 =+′−′′ yyy
x
exf 2
)( =
Ejercicio: determinar si la siguiente función:
es solución de la ecuación diferencial:
t
tetf =)(
02 =+′−′′ yyy
17. 17
Ejercicio: determinar si la siguiente función es solución de la
ecuación diferencial:
2
x9y −=
y
x
y' −=
Solución de una Ecuación Diferencial
18. 18
Solución Particular de una Ecuación Diferencial
Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando
valores específicos a las constantes que intervienen en la solución
general.
Ejemplo
Verificar que y = C x3 es solución de la ecuación diferencial
03' =− yxy
Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:
81)3( =−y
19. 19
Ejercicios
Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial
dada:
yx
dx
dy
xCxxy +=
+= 22
;
025);5cos()5( 2
2
=++= y
dx
yd
xBxAseny
( ) 084; 2
3
2
=+
−
−= y
dx
dy
xy
dx
dy
CxCy
20. 20
Ejercicios
Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial
dada:
( )2412
''; yxxyyCxCy =++= −
( ) senxysenx
dx
dy
senyCye x
=+
=− cos;cos1cos
3
2
2
25
1606;38 x
dx
yd
Cxxy =−++=
21. 21
El método de solución depende del tipo de ecuación.
Solución por Integración Directa
)(xg
dx
dy
=
( )∫ +== CxGdxxgy )(
Donde G(x) es una anti derivada o integral definida de g(x)
Se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar
ambos lados se llega a la solución:
La ecuación diferencial:
x
e
dx
dy 2
1+=Ejercicio: Resolver la ecuación diferencial
Solución de Ecuaciones Diferenciales
22. 22
Integrales Inmediatas
( ) ( )∫ ∫= dxxfkdxxkf
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf
∫ −≠+
+
=
+
1
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
∫ += Cedxe xx
∫ +−= Cxsenxdx cos
∫ += Cxdx
x
ln
1
∫ += C
a
a
dxa
x
x
ln
∫ += Csenxxdxcos
24. 24
Integración por partes
Como norma general elegiremos como u la parte del integrando fácil de
derivar y como dv la parte fácil de integrar.
Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfxgxgxfdxxgxf ∫∫ −= ''
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se
muestra a continuación:
)(
)(
xgv
xfu
=
=
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
=
=
∫∫ −= vduuvudv
26. 26
Solución de Ecuaciones Diferenciales
Por Integración directa, con condiciones de valor inicial
Resolver la ecuación diferencial:
1)0( == −
yxe
dx
dy x
27. 27
Solución de Ecuaciones Diferenciales
Por Separación de Variables
)(
)(
yf
xg
dx
dy
=
dxxgdyyf )()( =
∫∫ = dxxgdyyf )()(
Se dice que la ecuación diferencial de la forma:
Es separable o de variables separables, que se puede escribir de la forma:
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
Ejercicio: Resolver la ecuación diferencial ysenxy =′
010)1( 2
=−+ dxdyx
yyx 4=′
