1. El documento describe el método de series de potencias para encontrar soluciones analíticas a ecuaciones diferenciales ordinarias alrededor de puntos ordinarios.
2. Un punto es ordinario si los coeficientes de la ecuación pueden representarse como series de potencias convergentes en dicho punto.
3. El teorema fundamental establece que si el punto es ordinario, existe una única solución analítica representable como serie de potencias convergente en un intervalo alrededor de ese punto.
El método de Taylor es un algoritmo antiguo para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias. Los métodos de Taylor logran mayores niveles de precisión que los métodos de Euler, pero a costa de mayor complejidad al requerir derivadas repetidas de la función.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
El documento describe el método de Runge-Kutta, un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales desarrollado por C. Runge y M. W. Kutta en 1900. Extiende la idea geométrica de usar varias derivadas intermedias en lugar de una sola para aproximar la función desconocida. Se usa para resolver modelos analíticamente complejos en ingeniería aplicando técnicas matemáticas básicas. Las características incluyen que sustituye el problema de valor inicial por la integral equivalente y forma parte de los métodos iter
Este documento resume los subtemas de la unidad 2 de cálculo vectorial sobre curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Explica conceptos como ecuaciones paramétricas de curvas planas, derivadas de curvas paramétricas, tangentes a curvas, área y longitud de arco bajo curvas, y graficación de curvas en coordenadas polares. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada subtema.
Este documento describe el método de bisección y el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una ecuación. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales hasta encontrar la raíz con la precisión deseada. El método de la regla falsa es similar pero divide el intervalo de forma desigual basándose en la función. El documento incluye ejemplos y algoritmos de ambos métodos.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y al método de Runge-Kutta para resolverlas numéricamente. Explica que las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar fenómenos físicos y que el método de Runge-Kutta es una mejora del método de Euler para aproximar soluciones. Luego, describe los pasos del método de Runge-Kutta de cuarto orden y provee ejemplos de su implementación en Matlab para resolver ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden.
Los métodos de intervalos se basan en el cambio de signo de una función cerca de una raíz, lo que requiere al menos dos valores que delimitan un intervalo que contenga la raíz. Estos métodos utilizan estos cambios de signo para ubicar la raíz al establecer un intervalo inicial.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
El método de Taylor es un algoritmo antiguo para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias. Los métodos de Taylor logran mayores niveles de precisión que los métodos de Euler, pero a costa de mayor complejidad al requerir derivadas repetidas de la función.
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Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Gauss-Seidel con relajación. Explica los pasos para implementar cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo se aplican. Concluye que el método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi y que el método de Gauss-Seidel con relajación puede acelerar aún más la convergencia.
El método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para localizar raíces de funciones. Calcula una aproximación mejorada de la raíz basada en el punto donde la tangente a la función cruza el eje X. Iterativamente, calcula un nuevo punto utilizando la fórmula xi+1 = xi - f(xi)/f'(xi) hasta alcanzar la precisión deseada. Proporciona resultados precisos pero puede converger lentamente para algunas funciones como cuando f'(x) es cero.
Este documento discute métodos para calcular derivadas de datos que no están espaciados de manera uniforme. Explica que los métodos tradicionales como diferencias finitas y extrapolación de Richardson requieren datos igualmente espaciados. Luego introduce un método que ajusta un polinomio de Lagrange de segundo grado a grupos de tres puntos adyacentes, permitiendo estimar derivadas incluso cuando los puntos no están igualmente espaciados. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo usar este método para calcular el flujo de calor en el suelo a partir de
Tema 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIORfederico paniagua
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Define ecuaciones diferenciales de orden n como aquellas que contienen un diferencial de orden n. Explica que los problemas de valor inicial involucran una ecuación diferencial y condiciones iniciales que ayudan a determinar una solución particular. También cubre teoremas sobre la existencia y unicidad de soluciones, ecuaciones diferenciales homogéneas y el principio de superposición.
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
Este documento resume tres métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente un intervalo en dos hasta aproximar una raíz. El método de la secante usa las secantes de puntos sucesivos para encontrar una nueva aproximación. El método de Newton-Raphson calcula la tangente en un punto para encontrar una mejor aproximación, requiriendo el cálculo de la derivada.
Este documento presenta la solución y rúbrica de un examen de cálculo diferencial que incluye cuatro proposiciones para ser calificadas como verdaderas o falsas y justificadas, y cuatro ejercicios para calcular límites. El documento explica la metodología para evaluar cada pregunta y asignar puntajes de acuerdo al nivel de desempeño de los estudiantes.
1) El documento presenta los objetivos y bibliografía para desarrollar el tema de la integral doble en el curso de Análisis Matemático II. 2) Se define la integral doble y se explican conceptos como partición de regiones y suma de Riemann. 3) Se describen propiedades de la integral doble y métodos para calcularla, incluyendo la reducción a integrales sucesivas para dominios rectangulares.
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta un resumen de los conceptos de interpolación y extrapolación. Explica que la interpolación consiste en estimar valores dentro del rango de datos conocidos, mientras que la extrapolación estima valores fuera de ese rango. Describe métodos como la interpolación lineal y cuadrática, e ilustra su aplicación con ejemplos numéricos. También cubre el uso de splines y la interpolación en Matlab.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
Este documento explica la ecuación de Cauchy-Euler, una ecuación diferencial lineal donde los coeficientes son constantes. Se presenta la historia de Cauchy y Euler, quienes desarrollaron métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Finalmente, se muestra un ejemplo resuelto paso a paso de una ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden.
El documento describe el método de Runge-Kutta, un conjunto de métodos iterativos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Fue desarrollado originalmente por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta alrededor de 1900. Existen variantes como la versión implícita o métodos de Runge-Kutta-Fehlberg que usan dos algoritmos de diferentes órdenes para mantener el error bajo control. Los métodos cumplen condiciones de orden y consistencia para garantizar la convergencia de las soluciones aproximadas a
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Explica que las edp son relaciones que involucran una función desconocida y sus derivadas parciales, y que modelan una amplia variedad de fenómenos físicos y matemáticos. Además, describe brevemente los capítulos que componen el libro, los cuales cubren temas como la clasificación de edp, los métodos de solución para edp lineales y no lineales, y las funciones de Green. El objetivo general es proveer una panor
Este documento introduce las series de Taylor y Maclaurin. Explica que las funciones que tienen representación en serie de potencias pueden aproximarse mediante polinomios de Taylor. Proporciona ejemplos como la serie de Maclaurin para ex y sen x, y cómo calcular los coeficientes y el error de las aproximaciones.
1) El método de Runge-Kutta se utiliza para calcular aproximaciones numéricas de la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. 2) El método implica calcular valores intermedios k1, k2, k3, k4 para aproximar el valor de la solución en el siguiente punto x+h. 3) Se proveen dos ejemplos numéricos que ilustran cómo aplicar el método de Runge-Kutta para calcular soluciones aproximadas en puntos específicos.
Este documento presenta un breve manual sobre el uso del software Mathematica. Explica las dos principales interfaces de usuario, la basada en cuadernos y la basada en texto, y cómo realizar cálculos numéricos básicos, generar cálculos, y utilizar las funciones y capacidades del sistema Mathematica. También cubre temas como cálculos algebraicos, matemáticas simbólicas, matemáticas numéricas, funciones y programas, listas, y gráficos. El manual proporciona una introducción general al uso interactivo de Mathematica para resolver
Mathematica es un programa de cómputo simbólico y numérico desarrollado originalmente por Stephen Wolfram y su compañía Wolfram Research. Permite realizar cálculos matemáticos, estadísticos, ingenieriles y científicos. Incluye funciones para álgebra, cálculo, estadística y gráficos interactivos. El programa consta de un núcleo de cómputo y una interfaz gráfica basada en cuadernos de trabajo.
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Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
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Trivia mathematica: Una experiencia de desarrollo con software libreRafael Morales Gamboa
Este documento describe el desarrollo de un juego de trivia matemática llamado Trivia Mathematica utilizando software libre. Se implementó usando estándares como QTI y MathML y herramientas como MathQurate, MathAssessEngine y el plugin WIRIS para Moodle. El juego se probó en una olimpiada matemática con 25 estudiantes y fue bien recibido. El autor concluye que el espíritu de colaboración y el uso de software libre hicieron posible el proyecto.
Wolfram|Alpha is a computational knowledge engine that generates outputs by performing computations using its internal knowledge base rather than searching the web and returning links. It contains over 10 trillion pieces of data across 50,000 algorithms and models and can understand queries in 1,000 domains. Unlike search engines like Google that return long lists of search results, Wolfram|Alpha provides structured responses derived from curated sources to answer queries directly.
Este documento trata sobre series de potencias. Explica que una serie de potencias converge o diverge dependiendo del valor de la variable dentro o fuera del radio de convergencia. También describe cómo derivar e integrar series de potencias para calcular la suma de series numéricas asociadas. El objetivo es determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias y usarlas para resolver problemas de sumación.
Este documento presenta un resumen rápido de un curso de introducción a Matlab. El curso consta de 7 temas principales: 1) introducción a Matlab, 2) estructuras básicas de datos, 3) programación en Matlab, 4) estructuras avanzadas de datos, 5) optimización de código, 6) representaciones gráficas, y 7) desarrollo de aplicaciones con Matlab. Cada tema se cubrirá a lo largo de varias sesiones entre noviembre y diciembre.
Resolucion de ecuaciones diferenciales por medio de seriesMateoLeonidez
Este documento introduce las series de potencias y su uso para representar funciones y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que una serie de potencias define una función en su intervalo de convergencia y cómo calcular dicho intervalo. También describe cómo derivar, integrar y sumar series de potencias término a término, y provee ejemplos de series de Taylor y Maclaurin comunes. Finalmente, explica cómo usar series de potencias para encontrar soluciones en puntos ordinarios de una ecuación diferencial ordinaria.
El documento describe cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias en MATLAB. Explica que MATLAB tiene comandos como ode45, ode23 y dsolve que permiten resolver ecuaciones diferenciales de forma directa sin programar el algoritmo numérico. También cubre cómo obtener soluciones generales y particulares, y da ejemplos de código MATLAB para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
Este documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas. Se ilustra el método con el problema de la conducción del calor en una varilla, resolviendo la ecuación de calor mediante separación de variables y encontrando las soluciones en forma de serie de Fourier.
Este documento contiene 10 capítulos que tratan sobre diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, ecuaciones con coeficientes analíticos, análisis local y global de existencia y unicidad de soluciones, dependencia continua y estabilidad, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. Cada capítulo presenta ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos cubiertos.
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes temas relacionados con ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de soluciones, y más. Cada capítulo presenta ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos cubiertos. El índice general al inicio provee una visión de alto nivel de los temas tratados en cada sección.
Este documento contiene 10 capítulos que tratan sobre diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, ecuaciones con coeficientes analíticos, análisis local y global de existencia y unicidad de soluciones, dependencia continua y estabilidad, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. Cada capítulo presenta ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos cubiertos.
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes temas relacionados con ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de soluciones, y más. Cada capítulo presenta ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos cubiertos. El índice general al inicio provee una lista detallada de los tópicos tratados en cada sección.
Este documento introduce la serie de Fourier como una herramienta para representar funciones periódicas como la suma de componentes sinusoidales. Explica conceptos clave como funciones periódicas, componente de corriente directa, componente fundamental y armónicos. Además, muestra cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier y realiza ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de datos iniciales y parámetros, y aplicaciones a problemas físicos. Cada capítulo contiene ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos presentados.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento contiene 10 capítulos sobre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. El capítulo 1 presenta métodos elementales como separación de variables y cambios de variables. Los capítulos 2-3 tratan de ecuaciones lineales y matrices. Los capítulos 4-6 cubren teorías específicas. Los capítulos 7-8 analizan la existencia y unicidad de soluciones. Los capítulos 9-10 abordan dependencia de parámetros y problemas de contorno.
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de datos iniciales y parámetros, y aplicaciones a problemas físicos. Cada capítulo contiene ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos presentados.
Ejercicios resueltos de ecuaciones diferencialesjavierfeza
Este documento contiene 10 capítulos que resuelven ejercicios de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando métodos elementales. El índice general enumera los temas cubiertos, incluyendo métodos de resolución, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de parámetros y problemas de contorno. El primer capítulo presenta ejemplos resueltos utilizando métodos como separación de variables.
Este documento presenta diferentes problemas para la ecuación del calor en una o dos variables. Describe cuatro problemas principales para una varilla infinita y varillas finitas con diferentes condiciones de contorno, como temperaturas o flujo de calor fijos en los extremos. Explica cómo resolver problemas homogéneos usando separación de variables y series de Fourier, y problemas no homogéneos mediante desarrollos en serie y ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas.
Este documento presenta una introducción a las series de Fourier. Explica que las funciones periódicas pueden expresarse como una suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias. Define conceptos como el período, la componente fundamental, las armónicas y la componente de corriente directa. También cubre temas como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno, y cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier a partir de la función original.
El documento presenta definiciones y métodos para resolver ecuaciones en diferencias lineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes. Explica que una ecuación en diferencias es una expresión que involucra valores de una sucesión en diferentes períodos de tiempo. Luego, detalla los pasos para encontrar la solución general y particular de ecuaciones lineales de primer orden, como determinar los parámetros basados en condiciones iniciales. Igualmente, explica cómo resolver ecuaciones lineales de segundo orden obteniendo la ecuación característica y sus raíces para hallar
Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Primero introduce algunas fórmulas generales para calcular áreas e integrales y establece que la integral puede considerarse como una función del límite superior. Luego, enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivada de la integral de una función es igual a la función. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo calcular una integral definida usando este teorema.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con ecuaciones diferenciales. En el primer problema, se determina el orden y tipo de varias ecuaciones diferenciales. En el segundo, se verifica que ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. El tercer problema determina valores de r para que funciones de la forma y=ert sean soluciones. El cuarto problema resuelve un caso similar. El quinto problema modela el movimiento de un péndulo usando la conservación de la energía. El sexto problema analiza la des
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
1. GUIA 8
Soluciones en series de potencias
El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una funci´on
x = x(t) como la ´unica soluci´on de un problema de valores iniciales. Un problema de valores
iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´on diferencial de orden n
dn
x
dtn
= f t, x,
dx
dt
, . . . ,
dn−1
x
dtn−1
junto con n condiciones de la forma
x(t0) = x0,
dx
dt
(t0) = x
(1)
0 , . . . ,
dn−1
x
dtn−1
(t0) = x
(n−1)
0 .
Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´on con diversos problemas
tanto de la matem´atica pura como de la matem´atica aplicada, surgen de forma natural en
este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y de Legendre
son soluciones de las respectivas ecuaciones:
ecuaci´on de Bessel: t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
+ t2
− p2
x = 0,
ecuaci´on de Hermite:
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λ x = 0,
ecuaci´on de Legendre: 1 − t2 d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λ x = 0.
Tambi´en las funciones del c´alculo elemental se pueden caracterizar en t´erminos de ecua-
ciones diferenciales. As´ı, la funci´on exponencial x = et
es la ´unica soluci´on del problema de
valor inicial
dx
dt
= x, x(0) = 1,
mientras que la funci´on x = sen t puede verse como la soluci´on del problema de valor inicial
d2
x
dt2
+ x = 0, x(0) = 0, x (0) = 1.
Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determina a la
funci´on x = cos t.
Varias de las funciones especiales, entre ellas las funciones de Bessel y los polinomios de
Hermite y Legendre mencionados antes, se obtienen como soluciones de ecuaciones lineales
homog´eneas de segundo orden
d2
x
dt2
+ a(t)
dx
dt
+ b(t) x = 0,
cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t, esto es, son cocientes de polinomios
en t. En general no existen m´etodos que permitan calcular las soluciones de estas ecuaciones
1
2. en t´erminos de funciones elementales. Si en un problema de inter´es pr´actico se requiere del
estudio de una de estas funciones soluci´on es necesario recurrir a otras t´ecnicas.
El m´etodo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Natura-
lis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´etodos m´as antiguos de la teor´ıa de las
ecuaciones diferenciales. Consiste en determinar los coeficientes c0, c1, c2 . . . de modo que la
funci´on
x(t) = c0 + c1 (t − t0) + c2 (t − t0)2
+ · · · =
∞
n=0
cn (t − t0)n
(1)
sea soluci´on de una ecuaci´on dada, en un intervalo alrededor del punto t = t0.
Ejemplo 1. Consideremos el problema de valor inicial
dx
dt
= x, x(0) = 1.
Si suponemos que la soluci´on buscada x = x(t) tiene una expansi´on en serie de potencias
alrededor del punto t0 = 0, entonces
x(t) = c0 + c1t + c2t2
+ . . . =
∞
n=0
cnt n
, (2)
para ciertos coeficientes c0, c1, c2, . . .. Derivando t´ermino a t´ermino se obtiene la expansi´on
para la derivada
dx
dt
= c1 + 2c2t + 3c3t2
+ . . . =
∞
n=1
n cn tn−1
.
Sustituyendo ahora en la ecuaci´on dx
dt
− x = 0 obtenemos
c1 + 2c2t + 3c3t2
+ · · · − c0 + c1t + c2t2
+ . . . = 0
Sumando t´erminos se concluye que
(c1 − c0) + (2c2 − c1) t + (3c3 − c2) t2
+ . . . =
∞
n=0
((n + 1) cn+1 − cn) tn
= 0.
Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de
cada t´ermino tn
en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto para todo n = 0, 1, 2, . . .
se sigue que
(n + 1) cn+1 − cn = 0,
de donde se tiene una relaci´on de recurrencia para los coeficientes cn:
cn+1 =
cn
n + 1
, n = 0, 1, 2, . . . .
En consecuancia cn = cn−1
n
= cn−2
n(n−1)
= · · · = c0
n!
. Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que
x(0) = c0 de donde la condici´on inicial x(0) = 1 implica c0 = 1, de forma que cn = 1
n!
para
n = 0, 1, 2, . . . y
x(t) = 1 + t +
t2
2
+
t3
6
+ . . . =
∞
n=0
tn
n!
,
que es el desarrollo en serie de Taylor de la funci´on exponencial.
2
3. 1. Soluciones cerca a un punto ordinario
En seguida estableceremos condiciones bajo las cuales una ecuaci´on lineal de segundo
orden posee soluciones que pueden escribirse como una serie de potencias y que en conse-
cuencia son susceptibles de ser determinadas mediante el m´etodo de las series que estamos
discutiendo. Consideremos la ecuaci´on en forma normal
d2
x
dt2
+ a(t)
dx
dt
+ b(t) x = 0. (3)
Definici´on 1. Se dice que t0 es un punto ordinario de la ecuaci´on (3) si los coeficientes a(t)
y b(t) son funciones anal´ıticas en t0. Es decir, si poseen representaci´on en serie de potencias
alrededor de t = t0:
a(t) =
∞
n=0
an(t − t0)n
, | t − t0 |< Ra, Ra > 0,
b(t) =
∞
n=0
bn(t − t0)n
, | t − t0 |< Rb, Rb > 0.
A un punto que no es ordinario se le llama punto singular
Ejemplo 2. En la ecuaci´on d2x
dt2 + x = 0, los coeficientes a(t) ≡ 0, b(t) ≡ 1, son funciones
anal´ıticas en todo punto t0. Sus expansiones en serie de potencias alrededor de t = t0 se
reducen al t´ermino constante. Para a(t) se tiene a0 = a1 = · · · = 0. Similarmente, para b(t)
se tiene b0 = 1 y b1 = b2 = · · · 0.
Ejemplo 3. Para las ecuaciones de Cauchy-Euler
d2
x
dt2
+
a
t
dx
dt
+
b
t2
x = 0,
(a y b constantes), el punto t0 = 0 es un punto singular si a = 0 o b = 0, pues ni a(t) = a
t
ni b(t) = b
t2 son funciones anal´ıticas en t0 = 0. Estas funciones ni siquiera est´an definidas
en t0 = 0 ni se pueden redefinir alrededor de t = 0 de manera que resulten anal´ıticas.
Posteriormente veremos que en general las ecuaciones de Cauchy-Euler no poseen soluciones
en series de potencias alrededor de t = 0 fuera de la soluci´on nula.
Ejemplo 4. Para la ecuaci´on de Hermite
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λx = 0,
λ un par´ametro real, todo punto t = t0 de la recta real es un punto ordinario. En efecto,
puede verse que
a(t) = −2t = −2t0 − 2(t − t0), y b(t) = λ,
de donde a0 = −2t0, a1 = −2 y an = 0 para n ≥ 2, en tanto que b0 = λ y bn = 0 para n ≥ 1.
3
4. Ejemplo 5. La ecuaci´on de Legendre escrita en forma normal es la ecuaci´on
d2
x
dt2
−
2t
1 − t2
dx
dt
+
λ
1 − t2
x = 0,
donde λ es un par´ametro real. De esa forma a(t) = − 2t
1−t2 y b(t) = λ
1−t2 . El punto t0 = 0 es
un punto ordinario. En efecto, teniendo en cuenta la serie geom´etrica
1
1 − s
=
∞
n=0
sn
,
que converge para −1 < s < 1, se tiene que
a(t) = −2t
1
1 − t2
= −2t
∞
n=0
t2n
= −
∞
n=0
2t2n+1
, −1 < t < 1,
b(t) =
λ
1 − t2
=
∞
n=0
λt2n
, −1 < t < 1.
Por el contrario, los puntos t = 1 y t = −1 son puntos singulares pues los coeficientes a(t) y
b(t) no admiten representaci´on en serie de potencias alrededor de t0 = 1 o de t0 = −1.
En el caso de la Ecuaci´on de Legendre, como ocurre en general, puede requerir cierto
trabajo obtener expl´ıcitamente las series de potencias que representan a(t) y b(t) alrededor
de un punto ordinario. Sin embargo, se puede demostrar que si P(t) y Q(t) son polinomios
sin ra´ıces comunes y Q(t0) = 0, entonces la funci´on racional
f(t) =
P(t)
Q(t)
puede escribirse como una serie de potencias alrededor del punto t0.
Ejemplo 6. La ecuaci´on de Bessel escrita en forma normal es
d2
x
dt2
+
1
t
dx
dt
+
t2
− p2
t2
x = 0, p un par´ametro real,
con a(t) = 1
t
y b(t) = t2−p2
t2 . Su ´unico punto singular es t0 = 0.
Teorema 1 (Soluciones anal´ıticas alrededor de un punto ordinario). Si t0 es un punto
ordinario de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea (3), entonces para cada par de n´umeros
x0 y v0 dados, la ´unica soluci´on x = x(t) de (3) que satisface las condiciones iniciales
x(t0) = x0 y x (t0) = v0. puede representarse en la forma de una serie de potencias
x(t) =
∞
n=0
cn (t − t0)n
,
convergente en un intervalo | t − t0 |< R, R > 0. El intervalo t0 − R < t < t0 + R de validez
de la expansi´on de x = x(t) es por lo menos igual al mayor de los intervalos alredededor de
t = t0 sobre el cual ambos coeficientes a(t) y b(t) tienen representaci´on en series de potencias
alredededor de t = t0.
4
5. Demostraci´on. La demostraci´on consiste en aplicar en general el m´etodo de las series utili-
zado en el ejemplo 1. Las relaciones algebraicas que conducen a las relaciones de recurrencia
son sencillas, aunque un poco largas. El ´unico punto delicado es la convergencia de la se-
rie obtenida. Los detalles pueden consultarse en Theory of Ordinary Differential Equations,
Coddingnton and Levinson, McGraw Hill, 1955.
La ecuaci´on de Hermite. En el caso de la ecuaci´on de Hermite
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ λ x = 0,
cada punto t0 es un punto ordinario. En particular las expansiones para a(t) y b(t) alrededor
de t0 = 0 est´an dadas por
a(t) = −2t, b(t) = λ,
y son v´alidas en el intervalo −∞ < t < ∞. De acuerdo al teorema 1, todas las soluciones de
la ecuaci´on de Hermite son anal´ıticas y su representaci´on en serie de potencias
x(t) = c0 + c1 t + c2 t2
+ · · · =
∞
n=0
cn tn
converge para todo t real. Los coeficientes c0, c1, c2, . . . se determinan sustituyendo las expan-
siones en series de potencias de las funciones x(t), x (t) y x (t) en la ecuaci´on de Hermite:
x (t) = c1 + 2c2 t + . . . =
∞
n=1
n cn tn−1
,
x (t) = 2c2 + 6c3 t + . . . =
∞
n=2
n (n − 1) cn tn−2
.
Substituyendo ahora en la ecuaci´on de Hermite se obtiene
x − 2t x + λ x =
∞
n=2
n (n − 1) cn tn−2
− 2t
∞
n=1
n cn tn−1
+ λ
∞
n=0
cn tn
=
∞
n=0
(n + 2) (n + 1) cn+2tn
−
∞
n=1
2n cntn
+
∞
n=0
λcntn
= 2c2 + λc0 +
∞
n=1
((n + 2) (n + 1) cn+2 − (2n − λ) cn) tn
= 0.
Para que esta serie se anule en un intervalo abierto sus coeficientes deben ser todos nulos,
as´ı que
c2 = −
λ
2
c0, y cn+2 =
(2n − λ)
(n + 2) (n + 1)
cn , n = 1, 2, . . . . (4)
5
6. La relaciones de de recurrencia anteriores determinan los coeficientes cn, n ≥ 2, en t´erminos
de c0 y c1 como sigue:
c2 = −
λ
2
c0,
c3 =
2 · 1 − λ
2 · 3
c1,
c4 =
2 · 2 − λ
3 · 4
c2 = −
λ (2 · 2 − λ)
2 · 3 · 4
c0,
c5 =
2 · 3 − λ
4 · 5
c3 =
(2 · 1 − λ) (2 · 3 − λ)
2 · 3 · 4 · 5
c1,
y en general se tiene
c2k = −
λ (2 · 2 − λ) · · · (2 (2k − 2) − λ)
(2k)!
c0 ≡ h2k c0, k = 1, 2, . . . (5)
c2k+1 =
(2 · 1 − λ) · · · (2 (2k − 1) − λ)
(2k + 1)!
c1 ≡ h2k+1 c1 k = 1, 2, . . . . (6)
Si adem´as hacemos h0 = 1 y h1 = 1 se puede escribir
x(t) =
∞
k=0
c2k t2k
+
∞
k=0
c2k+1 t2k+1
= c0
∞
k=0
h2k t2k
+ c1
∞
k=0
h2k+1 t2k+1
, (7)
con c0 y c1 constantes que dependen de las condiciones iniciales. Se tiene en efecto que
x(0) = c0 y x (0) = c1. En vista del teorema 1, estas series son convergentes en (−∞, ∞).
Podemos verificar directamente este hecho. En efecto, de acuerdo con las relaciones (5) y
(6), si escribimos
u(t) ≡
∞
k=0
h2k t2k
, v(t) ≡
∞
k=0
h2k+1 t2k+1
,
se observa que
h2k+2
h2k
=
(2 (2k) − λ) (2k)!
(2k + 2)!
=
(2 (2k) − λ)
(2k + 1) (2k + 2)
=
4 − λ
k
2 + 1
k
(2k + 2)
,
de donde l´ımk→∞
h2k+2
h2k
= 0. Teniendo en cuenta el criterio del cociente puede concluirse
que el radio de convergencia de la serie u(t) es ∞. De manera similar se demuestra que el
radio de convergencia de la serie v(t) es ∞. Se observa que cada una de las soluciones puede
expresarse como combinaci´on lineal de u(t) y v(t) :
x(t) = c0 u(t) + c1 v(t).
Es decir, las funciones u(t) y v(t) forman un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuaci´on de Hermite.
6
7. Un caso interesante de la ecuaci´on de Hermite se da cuando el par´ametro λ es un entero
positivo par, digamos λ = 2p. En ese caso la relaci´on de recurrencia (4) muestra que cp+2 =
cp+4 = · · · = 0. Si adem´as p es par y se toma c1 = 0 la soluci´on x = (t) dada en (7) se reduce
a un polinomio de grado p:
x(t) = c0
p/2
k=0
h2k t2k
= c0 h0 + h2 t2
+ · · · + hp tp
. (8)
An´alogamente, si p es impar y se toma c0 = 0 en (7) la soluci´on x = x(t) se reduce a un
polinomio de grado p.
x(t) = c1
(p−1)/2
k=0
h2k+1 t2k+1
= c1 h1 t + h3 t3
+ · · · + hp tp
. (9)
Si adem´as los respectivos coeficientes c0 y c1 se escojen de manera que el coeficiente del
t´ermino en tp
sea 2p
, las correspondientes soluciones polin´omicas reciben el nombre de Poli-
nomios de Hermite de grado p y se denotan por Hp(t). A continuaci´on se muestran algunos
de estos polinomios
H0(t) = 1, H1(t) = 2t,
H2(t) = −2 + 4t2
, H3(t) = −12t + 8t3
.
Ejercicios
1. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on
1 + t2
x − 4t x + 6x = 0
en la forma c0 x1(t) + c1 x2(t), donde x1 = x1(t) y x2 = x2(t) son series de potencias.
R. x(t) = c0 (1 − 3t2
) + c1 t − t3
3
2. Resuelva la ecuaci´on de Airy
d2
x
dt2
+ t x = 0
en t´erminos de series de potencias alrededor del punto t = 0. Determine directamente
el radio de convergencia de las series obtenidas. Halle adem´as la soluci´on que satisface
x(0) = 1 y x (0) = 1.
3. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on
1 + t2
x + 2t x − 2x = 0
en t´erminos de una serie de potencias alrededor de t = 0 ¿puede identificar esta serie
en t´erminos de funciones elementales?
R. x(t) = c0 1 + t2
−
1
3
t4
+
1
5
t6
−
1
7
t8
+ · · · + c1 t = c0 (1 + t arctan t) + c1 t.
7
8. 4. Para la ecuaci´on de Legendre
(1 − t2
)
d2
x
dt2
− 2t
dx
dt
+ α(α + 1)x = 0,
α un par´ametro real, a) halle dos soluciones linealmente independientes en forma de
serie de potencias alrededor de t = 0 y determine el radio de convergencia de estas
series. b) Muestre que si α = N es un n´umero entero existe una soluci´on polin´omica de
grado N. c) Tomando α = 3, determine la soluci´on que satisface x(0) = 0 y x (0) = 1.
2. El m´etodo de Frobenius
Cuando las ecuaciones del tipo (3) tienen singularidades las soluciones no son en general
anal´ıticas en esos puntos, tal como lo muestra el siguiente ejemplo
Ejemplo 7. La ecuaci´on diferencial
t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
−
1
4
x = 0 (10)
no posee soluciones no nulas de la forma x(t) = ∞
n=0 cntn
. Para verificar esto, supongamos
por contradicci´on que si existen soluciones de esta forma. Derivando t´ermino a t´ermino x(t)
se obtienen las expresiones x (t) = ∞
n=1 n cn tn−1
y x (t) = ∞
n=2 n (n − 1) cn tn−2
, que
reemplazadas en (10) dan
t2
x (t) + t x (t) −
1
4
x =
∞
n=2
n (n − 1) cn tn
+
∞
n=1
n cn tn
−
∞
n=0
1
4
cn tn
= −
1
4
c0 + 1 −
1
4
c1 t +
∞
n=2
n2
−
1
4
cn tn
= 0.
Para que esta serie se anule en un intervalo, sus coeficientes deben ser todos iguales a cero.
Esto implica cn = 0 para todo n = 0, 1, . . . . Por tanto, la ´unica soluci´on en serie de potencias
en este caso es la soluci´on nula.
El ejemplo anterior es un caso particular de la ecuaci´on de Cauchy-Euler:
t2 d2
x
dt2
+ a t
dx
dt
+ b x = 0. (11)
Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma x(t) = tr
. En efecto el exponente r se puede
hallar reemplazando x(t) = tr
en (11):
t2
x (t) + a t x (t) + b x = t2
r (r − 1) tr−2
+ a t r tr−1
+ b tr
= tr
r2
+ (a − 1) r + b
= 0.
8
9. Es decir, los valores de r est´an determinados por la ecuaci´on de ´ındices
r2
+ (a − 1) r + b = 0. (12)
Si esta ecuaci´on tiene ra´ıces que no sean n´umeros enteros positivos las correspondientes
soluciones x = tr
no son anal´ıticas en t = 0.
Por ejemplo, la ecuaci´on de ´ındices de (10) est´a dada por r2
− 1
4
= 0, de donde la soluci´on
general de esta ecuaci´on en el intervalo (0, ∞) puede escribirse como
x(t) = c1 t
1
2 + c2 t− 1
2
donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias.
Definici´on 2. Un punto sigular t0 de la ecuaci´on (3) se llama singular regular si (t−t0) a(t)
y (t−t0)2
b(t) son funciones anal´ıticas en t0, es decir, si estas funciones pueden representarse
mediante series de potencias en t − t0 :
(t − t0) a(t) =
∞
n=0
αn(t − t0)n
, | t − t0 |< Ra, Ra > 0,
(t − t0)2
b(t) =
∞
n=0
βn(t − t0)n
, | t − t0 |< Rb, Rb > 0.
Resulta claro que si t0 es un punto singular regular entonces la ecuaci´on
d2
x
dt2
+ a(t)
dx
dt
+ b(t) x = 0.
puede escribirse en la forma
(t − t0)2 d2
x
dt2
+ (t − t0) α(t)
dx
dt
+ β(t) x = 0, (13)
con
α(t) =
∞
n=0
αn(t − t0)n
y β(t) =
∞
n=0
βn(t − t0)n
. (14)
Los coeficientes α0, β0 y β1 no son simult´aneamente nulos pues en tal caso t0 ser´ıa un punto
regular.
Ejemplo 8. Para la ecuaci´on de Bessel t0 = 0 es un punto singular regular (ver ejemplo 6).
Lo mismo es cierto para las ecuaciones de Cauchy-Euler (ver ejemplo 3). En la ecuaci´on de
Legendre (ver ejemplo 5) t0 = 1 y t0 = −1 son puntos singulares regulares.
En 1873, F. G. Frobenius tuvo la idea de buscar soluciones en intervalos (t0, t0 + R),
(t0 − R, t0) a los lados de un punto singular regular t0.
9
10. Teorema 2 (Frobenius). Si las expansiones dadas (14) son ambas v´alidas en el intervalo
(t0 − R, t0 + R), entonces la ecuaci´on (13) tiene al menos una soluci´on de la forma
x(t) = |t − t0|r
∞
n=0
cn (t − t0)n
, con c0 = 0, (15)
v´alida en cada uno de los intervalos (t0, t0 + R) y (t0 − R, t0), en donde el exponente r es
una de las ra´ıces de la ecuaci´on de ´ındices
r2
+ (α0 − 1) r + β0 = 0. (16)
Demostraci´on. La demostraci´on consiste en suponer la existencia de una soluci´on x(t) de
la forma (15) y reemplazar las expresiones en series de potencias de x(t), x (t) y x (t) en
la ecuaci´on (13) para obtener la ecuaci´on de ´ındices y las relaciones que determinan a los
coeficientes cn de la serie de potencias que define a la soluci´on x(t). Finalmente se demuestra
que las serie de potencias ∞
n=0 cn tn
converge, pero eso requiere t´ecnicas avanzadas del
an´alisis matem´atico.
Ejemplo 9. La ecuaci´on
t2
x (t) − t x (t) + x = 0
es del tipo Cauchy-Euler. Se deja al lector la tarea de verificar que {t, ln t} es un conjunto
fundamental de soluciones en (0, ∞). Obs´ervese sin embargo que la soluci´on x(t) = ln t, t > 0
no puede expresarse en la forma (15) con t0 = 0, lo que no contradice el Teorema 2.
Ejemplo 10. Se puede verificar que t sen 1
t
, t cos 1
t
es un conjunto fundamental de solucio-
nes de
t4 d2
x
dt2
+ x = 0
en el intervalo (0, ∞). Ninguna de estas soluciones se puede expresar de la forma (15) con
t0 = 0. N´otese que t0 = 0 es un punto singular no regular de la ecuaci´on, por lo que no hay
contradicci´on con el teorema 2.
La ecuaci´on de Bessel. Ilustraremos la demostraci´on del teorema anterior en el caso de
la ecuaci´on de Bessel
t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
+ t2
− p2
x = 0, (17)
donde p es un par´ametro real no negativo. Supongamos que existe una soluci´on de la forma
x(t) = tr
∞
n=0
cn tn
=
∞
n=0
cn tn+r
, con c0 = 0,
definida en le intervalo (0, ∞). Derivando t´ermino a t´ermino se obtienen las expresiones
x (t) =
∞
n=0
(n + r) cn tn+r−1
y x (t) =
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn+r−2
.
10
11. Reemplazando en (17) tenemos
t2 d2
x
dt2
+ t
dx
dt
+ t2
− p2
x =
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn+r
+
∞
n=0
(n + r) cn tn+r
+ t2
− p2
∞
n=0
cn tn+r
= tr
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn
+
∞
n=0
(n + r) cn tn
−
∞
n=0
p2
cn tn
+
∞
n=0
cn tn+2
= 0.
Teniendo en cuenta que tr
> 0 en un intervalo del tipo (0, R) con R > 0, se deduce que
∞
n=0
(n + r) (n + r − 1) cn tn
+
∞
n=0
(n + r) cn tn
−
∞
n=0
p2
cn tn
+
∞
n=0
cn tn+2
= 0,
equivalentemente
∞
n=0
(n + r)2
− p2
cn tn
+
∞
n=0
cn tn+2
=
∞
n=0
(n + r)2
− p2
cn tn
+
∞
n=2
cn−2 tn
= r2
− p2
c0 + (1 + r)2
− p2
c1 t
+
∞
n=2
(n + r)2
− p2
cn − cn−2 tn
= 0.
Se tiene entonces
r2
− p2
c0 = 0, (18)
(1 + r)2
− p2
c1 = 0, (19)
(n + r)2
− p2
cn − cn−2 = 0, n = 2, 3, . . . . (20)
La condici´on c0 = 0 y (18) implican
r2
− p2
= 0.
Esta es precisamente la ecuaci´on de ´ındices, la cual tiene dos ra´ıces r = p y r = −p.
Investigaremos primero la mayor de las ra´ıces, r = p. Reemplazando r = p en (19) y (20)
obtenemos (1 + 2p) c1 = 0 y n (n + 2p) cn + cn−2 = 0, de donde se concluye que c1 = 0 y que
cn = −
cn−2
n (n + 2p)
, n = 2, 3, . . . . (21)
11
12. En consecuencia cn = 0 si n es impar mientras que si n es par cn se puede escribir en t´erminos
de c0:
c2 =
−1
2 · 2(1 + p)
c0
c4 =
−1
4(4 + 2p)
c2 =
(−1)2
(4 · 2) 22 (1 + p)(2 + p)
c0
y en general,
c2n =
(−1)n
n!(2n)2 (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)
c0,
para n = 1, 2, · · · . Sin embargo c0 puede escogerse arbitrariamente. De esta manera llegamos
a la soluci´on buscada
x(t) = tp
∞
n=0
(−1)n
c0
n! (2n)2 (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)
t2n
. (22)
Puede verificarse, por ejemplo empleando el criterio de la raz´on, que la serie en la expresi´on
anterior converge para todo t real (ver ejercicios).
En este punto de la discusi´on es conveniente introducir una funci´on que simplificar´a la
escritura de las soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La funci´on en cuesti´on es la funci´on
gamma de Euler. Esta funci´on se define para valores s > 0 mediante
Γ(s) ≡
∞
0
e−t
ts−1
dt,
y para valores no enteros s < 0 se define en forma recurrente mediante la f´ormula
Γ(s) =
Γ(s + 1)
s
.
La funci´on gamma generaliza la noci´on de factorial de un n´umero entero. En efecto, no es
dif´ıcil probar que esta funci´on satisface las identidades
Γ(p + 1) = p Γ(p) p real positivo (23)
Γ(m + 1) = m! m entero positivo (24)
Como consecuencia se tiene
(1 + p) (2 + p) · · · (n + p) =
Γ(1 + p)
Γ(1 + n + p)
.
La expresi´on (22) puede entonces reescribirse como
x(t) = c0 tp
∞
n=0
(−1)n
Γ(1 + p)
Γ(1 + n + p) n!
t
2
2k
= c0 Γ(1 + p)
∞
n=0
(−1)n
Γ(1 + n + p) n!
t
2
2n
tp
.
12
13. 0 5 10 15 20 25 30
x
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
J_0(x),J_1(x),J_2(x)
J_0
J_1
J_2
Figura 1: Funciones de Bessel de primer orden J0,J1,J2
Cuando se toma c0 = 1
2p Γ(p+1)
en la expresi´on anterior se tienen las llamadas funciones de
Bessel de primera especie de orden p, que se denotan Jp(t). Esto es
Jp(t) ≡
∞
n=0
(−1)n
n! Γ(p + n + 1)
t
2
2n+p
La figura 1 muestra los gr´aficos de J0, J1 y J2. Se observa que estas funciones oscilan de
modo que hacen recordar a las funciones trigonom´etricas sen t y cos t.
Investigaremos ahora si existen soluciones de la ecuaci´on de Bessel asociadas a la ra´ız
r = −p; esto es, si existen soluciones de la forma
x(t) = t−p
∞
n=0
cn tn
, con c0 = 0.
Reemplazando r = −p en (18), (19) y (20) se obtienen las condiciones
0 c0 = 0, (25)
(1 − 2p) c1 = 0, (26)
n (n − 2p) cn − cn−2 = 0, n = 2, 3, . . . . (27)
Consideremos primero el caso en el que 2p no es un entero. En estas circunstancias las
relaciones (25), (26) y (27) implican que c1 = c3 = · · · = 0 mientras que
c2n =
(−1)n
c0
n! · 22n (1 − p) (2 − p) · · · (n − p)
. (28)
13
14. 0 5 10 15 20 25 30
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
J_(-3/2)(x),J_(-1/2)(x)
J_(-3/2)
J_(-1/2)
Figura 2: Funciones de Bessel de orden negativo J−0,5,J−3,5
Si se toma c0 = 1
2p Γ(1−p)
se obtiene una segunda soluci´on
J−p(t) =
∞
n=0
(−1)n
n! Γ(n − p + 1)
t
2
2n−p
. (29)
Puesto que J−p(t) no est´a acotada cerca a t = 0 mientras que Jp(t) si lo est´a, se sigue que
J−p(t) y Jp(t) son linealmente independientes y por tanto forman un conjunto fundamental
de soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La figura 2 muestra los gr´aficos de algunas funciones
de Bessel con orden negativo.
¿Qu´e ocurre si 2p es un entero, digamos si 2p = N? N´otese que en este caso, en virtud de
(25), (26) y (27) y si N > 1 se tendr´ıa que cN−2 = 0. Ahora, si p no es un n´umero entero
(de manera que N es impar) se sigue que c1 = c3 = · · · = cN−2 = 0. N´otese sin embargo
que las relaciones (28) correspondiente al t´ermino c2n, k = 1, 2, . . . siguen siendo v´alidas.
De este modo la funci´on J−p definida en (29) sigue proporcionando una segunda soluci´on
para la ecuaci´on de Bessel y las funciones Jp(t) y J−p(t) forman un conjunto fundamental
de soluciones.
Finalmente, cuando p sea un entero de modo que N es un n´umero par, se sigue de
la relaci´on (27), que cN−2 = 0. Iterando hacia atr´as esta misma relaci´on se concluye que
cN−2 = cN−4 = · · · = c0 = 0 lo que significa que no existe una soluci´on de la forma
x(t) = t−p ∞
n=0 cn tn
, con c0 = 0, en el caso en el que p sea entero. As´ı, para tales valores
de p el m´etodo de Frobenius no proporciona un conjunto fundamenta de soluciones.
Una segunda soluci´on podr´ıa obtenerse a partir de Jp(t) empleando el m´etodo de reduc-
ci´on de orden. Alternativamente puede procederse como sigue. Si p no es entero se define la
14
15. funci´on
Yp(t) =
cos p π Jp(t) − J−p(t)
sen p π
Es claro que Yp(t) y Jp(t) forman un conjunto fundamental para la correspondiente ecuaci´on
de Bessel. Ahora si p = n es un n´umero entero se define
Yn (t) = l´ım
p→n
Yp(t).
Se demuestra en textos especializados (ver [1]) que Yn(t) es una soluci´on de la ecuaci´on de
Bessel y que cualquier soluci´on x = x(t) de la ecuaci´on de Bessel en (0, ∞) es de la forma
x(t) = c0 Jp(t) + c1 Yp(t), 0 < t < ∞,
donde c0 y c1 son constantes. Las funciones Yp se denominan funciones de Bessel de segunda
especie de orden p.
Las funciones Jp(t) y Yp(t) han sido extensamente estudiadas por la importancia que tie-
nen en varios modelos matem´aticos. Existen acerca de estas funciones verdaderos tratados
como el de G. Watson [3], res´umenes muy bien logrados como el de I. Stegun y M., Abra-
mowitz [2] y presentaciones elementales como las de Simmons [4]. Las funciones de Bessel se
encuentran integradas a programas como Mathematica R .
Ejercicios
1. Halle los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y determine si son
regulares. Suponga que α es constante
a) (1 − t2
) x − 2t x + α (α + 1) x = 0,
b) t2
x + (1 − t) x = 0,
c) t x + sen t x = 0,
d) t3
(t − 1) x − 2(t − 1) x + 3t x = 0,
e) t x + cos t x + t2
x = 0,
f ) t2
(t2
− 1) x − t (1 − t) x + 2x = 0,
2. Demuestre directamente la convergencia de las funciones de Bessel de primera especie.
3. Halle la soluci´on general de t2 d2x
dt2 + t dx
dt
+ 4x = 0, t > 0.
4. Dada la ecuaci´on t x + 2x − t x = 0, t > 0, encuentre todas las soluciones de la
forma x(t) = tr ∞
n=0 cn tn
con c0 = 0. Si es posible escr´ıbalas en t´erminos de funciones
elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?
5. Hallar todas las soluciones de t x + (1 − t) x + 2x = 0, t > 0, de la forma x(t) =
tr ∞
n=0 cn tn
. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?
6. Resolver 2t x + (1 + t) x − 2x = 0, t > 0.
7. Halle la soluci´on general en t´ermino de funciones de Bessel;
a) t2
x + t x + (36t4
− 1) x = 0, t > 0. Sug. s = 3t2
15
16. b) t2
x + x + x = 0, t > 0. Sug. s = 2
√
t
8. Muestre que x(t) =
√
t J1/2(t) es soluci´on de x + x = 0. Deduzca que para alguna
constante c se tiene J1/2(t) = c sen t√
t
.
9. Para la ecuaci´on t x + x + t x = 0, halle la soluci´on sobre 0 < t < ∞ que satisface
x(1) = 0, x (1) = 1. Muestre que no hay ninguna soluci´on que satisfaga x(0) = 0 y
x (0) = 1.
10. Muestre que la sustituci´on s = 1
t
transforma la ecuaci´on t4 d2x
dt2 + x = 0 en la ecuaci´on
s d2x
ds2 − 2dx
ds
+ s x = 0. Determine si el punto s = 0 es ordinario, singular regular o
singular no regular. Resuelva la ecuaci´on mediante los m´etodos tratados en esta gu´ıa.
Ver ejemplo 10.
Referencias
[1] Rabenstein, A.: Introduction to ordinary Differential Equations. Academic Press, New
York, 1966.
[2] Stegun, I., Abramowitz, M.: Pocketbook of Mathematical Functions (Abridged edition),
Verlag Harri Deutsch, 1984
[3] Watson, G. A: Treatise on the Theory of Bessel Functions. University Press, Cambridge,
1962.
[4] Simmons, G. F.: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´oricas, McGrawHill,
Mexico, 1993.
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