El efecto Stark ocurre cuando un átomo se coloca en un campo eléctrico constante. Las líneas espectrales del átomo se dividen en múltiples componentes. La teoría cuántica explica este efecto usando la teoría de perturbaciones, donde el campo eléctrico perturba los estados atómicos. Para estados no degenerados, solo hay un efecto Stark cuadrático, mientras que para estados degenerados también hay un efecto Stark lineal. El estado base del átomo de hidrógeno solo muestra un efecto Stark cu
Este documento trata sobre la elasticidad en mecánica clásica. Explica que la elasticidad es la propiedad de los objetos de cambiar de forma bajo una fuerza y recuperar su forma original cuando la fuerza cesa. Presenta la Ley de Hooke, la cual establece que la deformación es directamente proporcional a la fuerza aplicada. También cubre conceptos como límites de elasticidad, elasticidad lineal, tensor tensión y tensor deformación.
Geografia informe de las capas de la tierraAra Bogart
El documento describe las diferentes capas de la Tierra. Se divide en tres esferas principales: la geosfera, la hidrosfera y la atmósfera. La geosfera incluye la corteza terrestre, el manto (superior e inferior), la zona de transición del manto, el núcleo interno y el núcleo externo. La hidrosfera contiene el agua en sus diferentes estados. La atmósfera se divide en varias capas como la troposfera, la estratosfera y la termosfera.
La atmósfera terrestre se formó hace unos 4600 millones de años y está compuesta principalmente por nitrógeno (78%), oxígeno (21%) y argón (1%). Está dividida en cinco capas principales: la troposfera, la estratosfera, la mesosfera, la termosfera y la exosfera. La atmósfera mantiene una temperatura adecuada en la Tierra, difunde la luz y el sonido, y transporta las precipitaciones.
Este documento describe el método de transformación fasorial para resolver ecuaciones diferenciales que describen sistemas con entradas senoidales. Se explica cómo transformar la ecuación diferencial original a una ecuación algebraica con números complejos, resolver esta ecuación para obtener el fasor de la corriente, y luego usar este fasor para determinar la corriente en el dominio del tiempo. También se describe cómo aplicar este método para sistemas con múltiples entradas senoidales de diferentes frecuencias usando superposición.
1) El documento presenta las ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes y describe cómo se pueden obtener las expresiones de los potenciales escalar y vectorial a partir de estas ecuaciones.
2) Explica cómo resolver la ecuación de onda escalar no homogénea para obtener la expresión del potencial escalar retardado para una distribución de carga volumétrica variable en el tiempo.
3) Introduce la noción de trabajar con fasores cuando las fuentes tienen una variación armónica en el tiempo y obtiene las expresiones de los pot
El documento presenta la solución a dos ejercicios de cálculo en coordenadas paramétricas y polares. El primer ejercicio prueba que la longitud de arco de una curva dada por ecuaciones paramétricas es igual a f(t2)-f(t1)+f''(t2)-f''(t1). El segundo ejercicio calcula el área de una superficie de revolución generada al rotar una curva polar r=4cosq alrededor del eje polar.
Este documento describe los circuitos eléctricos de segundo orden. Explica que estos circuitos contienen dos elementos de almacenamiento de energía diferentes como una bobina y un capacitor. Se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden para describir estos circuitos. Luego analiza la respuesta natural, forzada y completa de estos circuitos de segundo orden dependiendo de si están sobre amortiguados, subamortiguados o críticamente amortiguados.
Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...roscoro
1) El documento describe cómo usar la transformada de Laplace para resolver circuitos eléctricos en serie descritos por ecuaciones diferenciales. 2) Explica los teoremas de traslación de Laplace y cómo aplicarlos. 3) Presenta ejemplos resueltos de problemas de circuitos eléctricos usando la transformada de Laplace.
Este documento trata sobre la elasticidad en mecánica clásica. Explica que la elasticidad es la propiedad de los objetos de cambiar de forma bajo una fuerza y recuperar su forma original cuando la fuerza cesa. Presenta la Ley de Hooke, la cual establece que la deformación es directamente proporcional a la fuerza aplicada. También cubre conceptos como límites de elasticidad, elasticidad lineal, tensor tensión y tensor deformación.
Geografia informe de las capas de la tierraAra Bogart
El documento describe las diferentes capas de la Tierra. Se divide en tres esferas principales: la geosfera, la hidrosfera y la atmósfera. La geosfera incluye la corteza terrestre, el manto (superior e inferior), la zona de transición del manto, el núcleo interno y el núcleo externo. La hidrosfera contiene el agua en sus diferentes estados. La atmósfera se divide en varias capas como la troposfera, la estratosfera y la termosfera.
La atmósfera terrestre se formó hace unos 4600 millones de años y está compuesta principalmente por nitrógeno (78%), oxígeno (21%) y argón (1%). Está dividida en cinco capas principales: la troposfera, la estratosfera, la mesosfera, la termosfera y la exosfera. La atmósfera mantiene una temperatura adecuada en la Tierra, difunde la luz y el sonido, y transporta las precipitaciones.
Este documento describe el método de transformación fasorial para resolver ecuaciones diferenciales que describen sistemas con entradas senoidales. Se explica cómo transformar la ecuación diferencial original a una ecuación algebraica con números complejos, resolver esta ecuación para obtener el fasor de la corriente, y luego usar este fasor para determinar la corriente en el dominio del tiempo. También se describe cómo aplicar este método para sistemas con múltiples entradas senoidales de diferentes frecuencias usando superposición.
1) El documento presenta las ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes y describe cómo se pueden obtener las expresiones de los potenciales escalar y vectorial a partir de estas ecuaciones.
2) Explica cómo resolver la ecuación de onda escalar no homogénea para obtener la expresión del potencial escalar retardado para una distribución de carga volumétrica variable en el tiempo.
3) Introduce la noción de trabajar con fasores cuando las fuentes tienen una variación armónica en el tiempo y obtiene las expresiones de los pot
El documento presenta la solución a dos ejercicios de cálculo en coordenadas paramétricas y polares. El primer ejercicio prueba que la longitud de arco de una curva dada por ecuaciones paramétricas es igual a f(t2)-f(t1)+f''(t2)-f''(t1). El segundo ejercicio calcula el área de una superficie de revolución generada al rotar una curva polar r=4cosq alrededor del eje polar.
Este documento describe los circuitos eléctricos de segundo orden. Explica que estos circuitos contienen dos elementos de almacenamiento de energía diferentes como una bobina y un capacitor. Se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden para describir estos circuitos. Luego analiza la respuesta natural, forzada y completa de estos circuitos de segundo orden dependiendo de si están sobre amortiguados, subamortiguados o críticamente amortiguados.
Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...roscoro
1) El documento describe cómo usar la transformada de Laplace para resolver circuitos eléctricos en serie descritos por ecuaciones diferenciales. 2) Explica los teoremas de traslación de Laplace y cómo aplicarlos. 3) Presenta ejemplos resueltos de problemas de circuitos eléctricos usando la transformada de Laplace.
Al examen sustitutorio solucionario (1)henrry_T_17
1. El documento presenta la solución a un examen sustitutorio de álgebra lineal que incluye tres problemas.
2. El primer problema prueba que un mapeo f entre espacios vectoriales es lineal si cumple que f((1-t)u + tv) = (1-t)f(u) + tf(v).
3. El segundo problema encuentra la matriz de Gram asociada a una nueva base en el espacio-tiempo de la relatividad especial y muestra que un operador l es una isometría.
4. El tercer problema determina
Este documento introduce los circuitos de segundo orden y su análisis. Explica que estos circuitos se describen por una ecuación diferencial de segundo orden y analiza su respuesta natural, forzada y completa. Define los conceptos de frecuencia resonante, coeficiente de amortiguamiento y raíces de la ecuación característica, los cuales determinan si la respuesta es sobre amortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada.
Este documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas. Se ilustra el método con el problema de la conducción del calor en una varilla, resolviendo la ecuación de calor mediante separación de variables y encontrando las soluciones en forma de serie de Fourier.
Este documento describe el uso de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Explica conceptos como diferencias finitas, discretización del dominio espacial bidimensional y tipos de ecuaciones diferenciales parciales. Luego, se enfoca en resolver la ecuación de ondas usando el método de diferencias finitas, desarrollando fórmulas para aproximar derivadas primeras y segundas y obtener soluciones numéricas en una malla discreta.
1) El documento describe las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia y las relaciones constitutivas que vinculan los campos eléctricos y magnéticos con la permitividad y permeabilidad. 2) Explica cómo introducir los potenciales escalar y vectorial para obtener ecuaciones desacopladas y la condición de Lorentz. 3) Presenta la expresión para el potencial vector en la zona lejana producido por una distribución de corriente arbitraria.
Este documento resume conceptos clave de la mecánica cuántica. Explica que la mecánica cuántica es indeterminista a diferencia de la mecánica clásica que es determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. También introduce los principios de incertidumbre de Heisenberg y explica que la función de onda describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herramienta fundamental
Este documento describe las cavidades resonantes electromagnéticas y los modos TE y TM. Explica que las cavidades resonantes se utilizan a altas frecuencias en lugar de circuitos RLC debido a la radiación no deseada. Luego analiza las cavidades rectangulares, resolviendo las ecuaciones de Maxwell para obtener las frecuencias y campos electromagnéticos de resonancia para los modos TE y TM. Finalmente, define el factor de calidad Q de una cavidad resonante.
1) El documento trata sobre series de Fourier, las cuales permiten expresar funciones periódicas como suma de componentes sinusoidales. 2) Las funciones seno y coseno que componen la serie de Fourier son ortogonales, lo que significa que son independientes entre sí. 3) La serie de Fourier descompone una función periódica en su componente de corriente directa y armónicas de diferentes frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.
Este documento presenta la resolución de un problema de una viga empotrada en un extremo y sometida a carga axial mediante el método de los elementos finitos. Se discretiza la viga usando dos elementos lineales y un elemento cuadrático, y se obtienen las matrices de rigidez y vectores de fuerzas para cada caso. Finalmente, se calculan los desplazamientos en los nodos para comparar los resultados de las diferentes discretizaciones.
Este documento presenta la resolución de un problema de una viga empotrada en un extremo y sometida a carga axial mediante el método de los elementos finitos. Se discretiza la viga usando dos elementos lineales y un elemento cuadrático, y se obtienen las matrices de rigidez y vectores de fuerzas para cada caso. Finalmente, se calculan los desplazamientos en los nodos para comparar los resultados de las diferentes discretizaciones.
El resumen trata sobre tres problemas resueltos de métodos generales para resolver problemas electrostáticos. El primer problema involucra calcular el potencial eléctrico dado una densidad de carga volumétrica utilizando la ecuación de Poisson y la ley de Gauss. El segundo problema calcula la densidad de carga superficial de la Tierra y la densidad de carga volumétrica de la atmósfera. El tercer problema halla el potencial eléctrico y campo eléctrico dados una densidad de carga volumétrica en coordenadas cil
Este documento presenta una serie de problemas de regulación automática resueltos. Consta de cuatro capítulos que tratan herramientas matemáticas para modelado de sistemas, análisis de sistemas en lazo abierto y cerrado, problemas de diseño de reguladores, y análisis de sistemas y diseño de reguladores usando el método de espacio de estados. El apéndice incluye un índice de materias.
Este documento presenta los modelos atómicos desde el modelo atomista hasta el modelo cuántico relativista. Explica los cuatro números cuánticos (n, l, ml, ms) que describen los estados electrónicos y las funciones de onda asociadas. También introduce conceptos como las capas, subcapas y orbitales electrónicos, y las reglas de llenado como la de Pauli y Hund.
1) El documento presenta tres ejemplos de cálculo de series de Fourier para diferentes señales periódicas.
2) Los ejemplos resuelven paso a paso el cálculo de los coeficientes an y bn mediante integración por partes.
3) Finalmente, se obtiene la expresión de la serie de Fourier que representa cada señal en términos de los coeficientes calculados.
Ecuaciones diferenciales en Derivadas parcialesEdwin SB
1. El documento introduce las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y estudia casos particulares como la ecuación de calor, ecuación de onda y ecuación de Laplace. 2. Explica cómo resolver EDPs mediante la separación de variables y el análisis de posibles valores de una constante. 3. Resuelve un ejemplo de la ecuación de calor aplicando separación de variables y las condiciones de frontera y de valor inicial para obtener una serie de soluciones.
Al examen sustitutorio solucionario (1)henrry_T_17
1. El documento presenta la solución a un examen sustitutorio de álgebra lineal que incluye tres problemas.
2. El primer problema prueba que un mapeo f entre espacios vectoriales es lineal si cumple que f((1-t)u + tv) = (1-t)f(u) + tf(v).
3. El segundo problema encuentra la matriz de Gram asociada a una nueva base en el espacio-tiempo de la relatividad especial y muestra que un operador l es una isometría.
4. El tercer problema determina
Este documento introduce los circuitos de segundo orden y su análisis. Explica que estos circuitos se describen por una ecuación diferencial de segundo orden y analiza su respuesta natural, forzada y completa. Define los conceptos de frecuencia resonante, coeficiente de amortiguamiento y raíces de la ecuación característica, los cuales determinan si la respuesta es sobre amortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada.
Este documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas. Se ilustra el método con el problema de la conducción del calor en una varilla, resolviendo la ecuación de calor mediante separación de variables y encontrando las soluciones en forma de serie de Fourier.
Este documento describe el uso de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Explica conceptos como diferencias finitas, discretización del dominio espacial bidimensional y tipos de ecuaciones diferenciales parciales. Luego, se enfoca en resolver la ecuación de ondas usando el método de diferencias finitas, desarrollando fórmulas para aproximar derivadas primeras y segundas y obtener soluciones numéricas en una malla discreta.
1) El documento describe las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia y las relaciones constitutivas que vinculan los campos eléctricos y magnéticos con la permitividad y permeabilidad. 2) Explica cómo introducir los potenciales escalar y vectorial para obtener ecuaciones desacopladas y la condición de Lorentz. 3) Presenta la expresión para el potencial vector en la zona lejana producido por una distribución de corriente arbitraria.
Este documento resume conceptos clave de la mecánica cuántica. Explica que la mecánica cuántica es indeterminista a diferencia de la mecánica clásica que es determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. También introduce los principios de incertidumbre de Heisenberg y explica que la función de onda describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herramienta fundamental
Este documento describe las cavidades resonantes electromagnéticas y los modos TE y TM. Explica que las cavidades resonantes se utilizan a altas frecuencias en lugar de circuitos RLC debido a la radiación no deseada. Luego analiza las cavidades rectangulares, resolviendo las ecuaciones de Maxwell para obtener las frecuencias y campos electromagnéticos de resonancia para los modos TE y TM. Finalmente, define el factor de calidad Q de una cavidad resonante.
1) El documento trata sobre series de Fourier, las cuales permiten expresar funciones periódicas como suma de componentes sinusoidales. 2) Las funciones seno y coseno que componen la serie de Fourier son ortogonales, lo que significa que son independientes entre sí. 3) La serie de Fourier descompone una función periódica en su componente de corriente directa y armónicas de diferentes frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.
Este documento presenta la resolución de un problema de una viga empotrada en un extremo y sometida a carga axial mediante el método de los elementos finitos. Se discretiza la viga usando dos elementos lineales y un elemento cuadrático, y se obtienen las matrices de rigidez y vectores de fuerzas para cada caso. Finalmente, se calculan los desplazamientos en los nodos para comparar los resultados de las diferentes discretizaciones.
Este documento presenta la resolución de un problema de una viga empotrada en un extremo y sometida a carga axial mediante el método de los elementos finitos. Se discretiza la viga usando dos elementos lineales y un elemento cuadrático, y se obtienen las matrices de rigidez y vectores de fuerzas para cada caso. Finalmente, se calculan los desplazamientos en los nodos para comparar los resultados de las diferentes discretizaciones.
El resumen trata sobre tres problemas resueltos de métodos generales para resolver problemas electrostáticos. El primer problema involucra calcular el potencial eléctrico dado una densidad de carga volumétrica utilizando la ecuación de Poisson y la ley de Gauss. El segundo problema calcula la densidad de carga superficial de la Tierra y la densidad de carga volumétrica de la atmósfera. El tercer problema halla el potencial eléctrico y campo eléctrico dados una densidad de carga volumétrica en coordenadas cil
Este documento presenta una serie de problemas de regulación automática resueltos. Consta de cuatro capítulos que tratan herramientas matemáticas para modelado de sistemas, análisis de sistemas en lazo abierto y cerrado, problemas de diseño de reguladores, y análisis de sistemas y diseño de reguladores usando el método de espacio de estados. El apéndice incluye un índice de materias.
Este documento presenta los modelos atómicos desde el modelo atomista hasta el modelo cuántico relativista. Explica los cuatro números cuánticos (n, l, ml, ms) que describen los estados electrónicos y las funciones de onda asociadas. También introduce conceptos como las capas, subcapas y orbitales electrónicos, y las reglas de llenado como la de Pauli y Hund.
1) El documento presenta tres ejemplos de cálculo de series de Fourier para diferentes señales periódicas.
2) Los ejemplos resuelven paso a paso el cálculo de los coeficientes an y bn mediante integración por partes.
3) Finalmente, se obtiene la expresión de la serie de Fourier que representa cada señal en términos de los coeficientes calculados.
Ecuaciones diferenciales en Derivadas parcialesEdwin SB
1. El documento introduce las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y estudia casos particulares como la ecuación de calor, ecuación de onda y ecuación de Laplace. 2. Explica cómo resolver EDPs mediante la separación de variables y el análisis de posibles valores de una constante. 3. Resuelve un ejemplo de la ecuación de calor aplicando separación de variables y las condiciones de frontera y de valor inicial para obtener una serie de soluciones.
El documento publicado por el Dr. Gabriel Toro aborda los priones y las enfermedades relacionadas con estos agentes infecciosos. Los priones son proteínas mal plegadas que pueden inducir el plegamiento incorrecto de otras proteínas normales en el cerebro, llevando a enfermedades neurodegenerativas mortales. El Dr. Toro examina tanto la estructura y función de los priones como su capacidad para propagarse y causar enfermedades devastadoras como la enfermedad de Creutzfeldt-Jakob, la encefalopatía espongiforme bovina (conocida como "enfermedad de las vacas locas"), y el síndrome de Gerstmann-Sträussler-Scheinker. En el documento, se exploran los mecanismos moleculares detrás de la replicación de los priones, así como las implicaciones para la salud pública y la investigación en tratamientos potenciales. Además, el Dr. Toro analiza los desafíos y avances en el diagnóstico y manejo de estas enfermedades priónicas, destacando la necesidad de una mayor comprensión y desarrollo de terapias eficaces.
Esta presentación nos informa sobre los pólipos nasales, estos son crecimientos benignos en el revestimiento de los senos paranasales o fosas nasales, causados por inflamación crónica debido a alergias, infecciones o asma.
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Es en el Paleozoico cuando comienza a aparecer la vida más antigua. En Venezuela, el Paleozoico puede considerarse concentrado en tres regiones positivas distintas:
Región Norte del Escudo Guayanés.
Cordillera de los Andes venezolanos.
Sierra de Perijá.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
CLASE FRUTOS clase frutos clase frutos ABRIL 2021.pptx
Efecto stark
1. Efecto Stark
El efecto Stark se produce cuando un átomo es colocado en un campo eléctrico constante
y uniforme. Se observa que las líneas espectrales se dividen en varias componentes. El
fenómeno fue descubierto por Stark en 1913 y aunque la teoría de Bohr permitió explicar
algunos aspectos, fue sólo con la Mecánica Cuántica que se logró la comprensión y explicación
cabal del fenómeno.
Para resolver el problema, Schrödinger utilizó la teoría de perturbaciones, esto es, el
campo eléctrico es un potencial que "perturba" al átomo, siempre y cuando no sea demasiado
intenso ( 104 5
Volts/cm) (el potencial coulombiano es aproximadamente 109
Volts/cm).
El potencial perturbativo lo escribimos entonces como sigue:
^H0
= eE r
o bien, tomando la dirección z en la dirección del campo:
^H0
= e0Ez
donde E es la intensidad del campo.
La aproximación hasta segundo orden para la energía será:
En = E0
n + e0Eznn + e2
0E2
0
X
l
jzlnj2
E0
n E0
l
Si n se re…ere a un nivel no degenerado, la función de onda no perturbada n posee
paridad bien de…nida, por lo que la integral
znn =
Z
nz nd3
x
es cero pues el integrando es impar.
Por lo tanto, los estados atómicos (o moleculares) no degenerados, incluyendo el estado
base, no poseen efecto Stark lineal, sino sólo efecto cuadrático (proporcional a E2
).
Este es el caso del átomo hidrogenoide, esto es, su estado base es no degenerado y no
posee efecto Stark lineal, sino cuadrático. Sin embargo, los niveles excitados (n 2) sí son
degenerados y exhiben por tanto efecto Stark lineal.
Veamos el efecto cuadrático en el estado base. La corrección a la energía es:
E00
1 = e2
E2
0
X
l
jzl1j2
E0
1 E0
l
Veamos la integral que aparece en la suma:
jzl1j2
= jh 100j z j l1mij2
1
2. donde la función l1m resulta de la aplicación de las reglas de selección para la parte angular
( l = 1 y m = 0; 1). Tenemos entonces:
jzl1j2
=
Z
R10Y10r cos Rl1Y1mr2
sin drd d
2
=
Z 1
0
R10r3
Rl1dr
Z
Y10 cos Y1m sin d d
2
=
1
3
Z 1
0
R10r3
Rl1dr
2
=
a2
0
3
28
l7
(l 1)2l 5
(l + 1)2l+5
a2
0
3
F (l)
de modo que
E00
1 = e2
E2 a2
0
3
0
X
l
F (l)
E0
1 E0
l
pero
E0
l =
Z2
me4
2h2
l2
de modo que
E0
1 E0
l =
Z2
me4
2h2
1
l2
1
Por lo tanto
E00
1 =
e2
E2
a2
02h2
3Z2me4
0
X
l
F (l)
1 1
l2
=
2a3
0
3Z2
E2
1X
l=2
l2
F (l)
l2 1
La suma puede expresarse en forma cerrada aunque no es simple hacerlo. El proced-
imiento puede consultarse en el libro de Luis de la Peña (pag. 429):
E00
1 =
1
4
a3
0E2
4 + 5Z2
Efecto Stark lineal en el átomo hidrogenoide
Recordemos que el potencial perturbativo lo hemos expresado como
^H0
= e0Ez
El efecto lineal se presenta, como ya hemos comentado, para los estados excitados del átomo
hidrogenoide, los cuales son degenerados. Así, es necesario utilizar la teoría de perturbaciones
2
3. para estados degenerados. Vamos a hacerlo para el primer estado excitado (n = 2) para el
cual la energía no perturbada es
E0
2 =
RhZ2
4
con R =
me4
0
2h3 (constante de Rydberg)
El nivel con n = 2 es 4-degenerado y sus funciones asociadas son las siguientes:
0
1 = 200 = R20 (r) Y00 ( ; ) =
1
p
4
R20 (r)
0
2 = 210 = R21 (r) Y10 ( ; ) =
r
3
4
R21 (r) cos
0
3 = 211 = R21 (r) Y11 ( ; ) =
r
3
4
R21 (r)
sin
p
2
ei
0
4 = 21 1 = R21 (r) Y1 1 ( ; ) =
r
3
4
R21 (r)
sin
p
2
e i
Si reemplazamos y por sus correspondientes coordenadas cartesianas las funciones
son las siguientes: (esto lo hacemos para mostrar de manera más clara la paridad de las
funciones)
0
1 = f1 (r)
0
2 = f2 (r) z
0
3 = f2 (r)
x + iy
p
2
0
4 = f2 (r)
x iy
p
2
donde
f1 (r) =
1
p
4
R20 (r)
f2 (r) =
r
3
4
R21 (r)
r
Para obtener los coe…cientes de las combinaciones lineales de las funciones anteriores
(0)
2 =
4X
i=1
ci
0
i
deberemos resolver el sistema de ecuaciones siguiente:
c1 (H0
11 E0
2) + c2H0
12 + c3H0
13 + c4H0
14 = 0
c1H0
21 + c2 (H0
22 E0
2) + c3H0
23 + c4H0
24 = 0
c1H0
31 + c2H0
32 + c3 (H0
33 E0
2) + c4H0
34 = 0
c1H0
41 + c2H0
42 + c3H0
43 + c4 (H0
44 E0
2) = 0
3
4. donde
H0
ij =
Z
0
i
^H0 0
j d3
x
= e0E
Z
0
i z 0
j d3
x
Al integrar sobre todo el volumen puede verse inmediatamente que casi todas integrales
se anula debido a que su integrando es impar en alguna de sus coordenadas. Las únicas
integrales diferentes de cero son H0
12 y H0
21. Calcularemos ahora estas integrales, que por
cierto, resultan ser iguales:
H0
12 = H0
21 = e0E
Z
f1 (r) f2 (r) z2
d3
x
o bien
H0
12 = H0
21 =
p
3e0E
4
Z
R20R21r cos2
d3
x
Sustituimos las expresiones para R20 y R21:
R20 =
1
p
2
Z
a0
3=2
1
Zr
2ao
e Zr=2a0
R21 =
1
2
p
6
Z
a0
5=2
re Zr=2a0
y por tanto tenemos:
H0
12 = H0
21 =
e0E
16
Z
a0
4 Z 1
0
r4
1
Zr
2ao
e Zr=a0
dr
Z
cos2
sin d d
=
e0E
24
Z
a0
4 Z 1
0
2r4 Zr5
ao
e Zr=a0
dr
y considerando que Z 1
0
xs
e x
dx = (s + 1) = s!
entonces
H0
12 = H0
21 = 3e0a0E
Utilizando estos resultados para los elementos de matriz debemos resolver el siguiente
determinante:
E0
2 3e0a0E 0 0
3e0a0E E0
2 0 0
0 0 E0
2 0
0 0 0 E0
2
= 0
Esto nos lleva a la siguiente ecuación:
(E0
2)
2
h
(E0
2)
2
(3e0a0E)2
i
= 0
4
5. cuyas raíces resultan ser
E
0(1)
2 = 3e0a0E
E
0(2)
2 = 3e0a0E
E
0(3)
2 = E
0(4)
2 = 0
Usamos estas raíces en el sistema de ecuaciones para obtener los coe…cientes:
c
(1)
1 = c
(1)
2 =
1
p
2
; c
(1)
4 = c
(1)
4 = 0
c
(2)
1 = c
(2)
2 =
1
p
2
; c
(2)
3 = c
(2)
4 = 0
c
(3)
1 = c
(3)
2 = 0; c
(3)
3 ; c
(3)
4 6= 0
c
(4)
1 = c
(4)
2 = 0; c
(4)
3 ; c
(4)
4 6= 0
Así, podemos ver que el nivel n = 2 del átomo hidrogenoide se desdobla en tres niveles,
cuyas energías son:
E2 = E0
2 +
8
<
:
3e0a0E
0
3e0a0E
Como puede verse, la degeneración se redujo, pero no se removió por completo. Las funciones
asociadas a estos valores de energía son:
(1)
=
1
p
2
( 200 + 210) ; E2 = E0
2 3e0a0E
(2)
=
1
p
2
( 200 210) ; E2 = E0
2 + 3e0a0E
y para la energía E2 = E0
2 no podemos establecer en forma explícita los coe…cientes c3 y c4.
Es decir, este estado es 2-degenerado.
Este procedimiento puede extenderse para estudiar los distintos estados excitados, aunque
el proceso puede ser muy laborioso.
Existe un método más sencillo para resolver este problema, el cual se basa en el uso de
coordenadas parabólicas en lugar de coordenadas esféricas. La aplicación del método de
perturbaciones en ese problema conduce a la siguiente fórmula general para el efecto Stark
lineal:
E0
n =
3
2
nke0a0E
en donde k (llamado número cuántico eléctrico) puede tomar los valores (n 1), (n 2),
, 1, 0, 1, , n 1.
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