1. Se resuelven tres ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados. La primera ecuación se resuelve encontrando la solución complementaria y particular, igualando coeficientes. La segunda y tercera ecuación se resuelven de forma similar pero más simplificada.

1. ECUACIONES DIFERENCIALESSalvador Solis Valdez

2. En esta presentación hare tres Ejemplos , Resolviendo por Coeficientes IndeterminadosLas ejemplos son:1.- y’’-3y’= 8e3x+4senx2.- y’’ + y = xcosx - cosx3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8

3. Bien resolvamos el primero:y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senxPara resolver encontremos yc para eso usamos la ecuación auxiliar.y’’ – 3y’ = 0m2 – 3m= 0m (m-3)=0 m1=0 y m2=3

4. Como el valor de las m son distintos y reales aplicamos el caso#1 en el que nos queda: yc= C1 + C2e3x Despues de Encontrar yc encontremos yp para esto hay que aplicar un operador anulador.

5. Para encontrar el operador anulador hay que observar los terminos de f(x).En la ecuación tenemos que y’’-3y’= 8e3x+4senxEl anulador de 8e3x es D-3El anulador de 4senx es D2 + 1

6. Entonces nos queda que(D-3)(D2 + 1)=0 D1= 3 D2=D3=i Aplicando los casos nos queda : yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senxAhora derivamos dos veces yp para sustitur en la ecuacion original.

7. yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senxy’p = 3C3xe3x + C3e3x - C4senx + C5cosxy’’p= 9C3xe3x+3C3e3x +3C3e3x –C4cosx-C5senxy’’p= 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senxAhora lo cambiamos en la ecuacion original.

8. y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx -3(3C3xe3x +C3e3x -C4senx+C5cosx)= 8e3x+ 4senx9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx- C5senx -9C3xe3x -3C3e3x +3C4senx-3C5cosx =8e3x+ 4senx 3C3e3x –C4cosx -C5senx +3C4senx-3C5cosx = 8e3x+ 4senx

9. Ahora igulamos coeficientes 3C3=8 C3=8/3 (-3) 3C4-C5=4 -C4-3C5=0 -9C4+3C5=-12 C4=-12/-10= 6/5 -C4-3C5=0 -6/5-3C5=0 -10C4 = -12 C5=2/5

10. Entonces yp=C3xe3x + C4 cosx + C5senxEs igual a yp=8/3xe3x +6/5cosx+2/5senxLa formula dice que la solucion general es y=yc+yp y=C1 + C2e3x+8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx

11. En los siguientes ejemplos los mostrare de forma mas simplificada:2.- y’’ + y = xcosx – cosx y’’+y=0 m2+1= 0 m1=m2=i yc=C1cosx +C2senx

12. Anuladoresxcosx-cosx es (D2 +1)2 (D2+1)=0 D1=D2=D3=D4= iyp=C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx+C6x2senxy’p=-C3xsenx+C3cosx+C4xcosx+C4senx-C5x2senx +2C5xcosx+C6x2cosx+2C6xsenxy’’p=-C3xcosx-C3senx-C3senx -C4xsenx + C4cosx + C4cosx-C5x2 cosx-2C5xsenx-2C5xsenx+2C5cosx+ -C6x2senx +2C6xcosx +2C6xcosx+2C6senx

13. y’’p=-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6cosx Sustituimos en Ec. Original-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6senx +C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx +C6x2senx= xcosx – cosx- 2C3senx +2C4cosx -4C5xsenx+2C5cosx +4C6xcosx +2C6senx = xcosx-cosx

14. Igualamos coeficientes-2C3+2C6=0 C3=1/42C4+2C5=-1 C4=-1/2-4C5=0 C5=04C6=1 C6=1/4y=C1cosx+C2senx+1/4xcosx-1/2xsenx+1/4x2senx

15. 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8y’’+4y=0m2+4= 0m1=m2=2iyc= C1cosx +C2senx(D2+1)(D2+1)D= 0D1=0 D2=D3=D4=D5=i

16. yp=C3+C4cosx+C5senx+C6xcosx+C7xsenxy’p=-C4senx+C5cosx-C6xsenx+C6cosx+C7xcosx+C7senx y’’p=-C4cosx-C5senx-C6xcosx-2C6senx-C7xsenx+2C7cosx3C4cosx+3C5senx+3C6xcosx-2C6senx+3C7xsenx+2C7cosx+4C3=4COSX+3senx-8Se igualan coeficientes4C3=-8 C3=-2

17. 3C4+2C7=4 C4=4/33C5-2C6=3 C5=13C6=0 C6=03C7=0 C7=0 y=C1cos2x+C2sen2x+4/3cosx+senx-2