Este documento presenta una introducción a la fórmula de Taylor y las series de Taylor y McLaurin. Explica que las funciones reales continuas y derivables pueden aproximarse mediante polinomios y que la serie de Taylor expresa una función como suma de términos polinómicos. Luego describe cómo construir las aproximaciones de Taylor de diferentes órdenes y cómo el error de la aproximación disminuye a medida que se incluyen más términos. Finalmente, presenta ejemplos del cálculo de series de Taylor y McLaurin para diferentes funciones

1. Módulo 1: Series y
Sucesiones
Unidad 1
Lectura 1
Materia: Cálculo Avanzado
Profesor: Carlos Leonardo Di Prinzio

2. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 2
“La Matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas
de razonamientos, todos sencillos y fáciles.”
René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.
1 FÓRMULA DE TAYLOR (FT)
Introducción
En esta lectura podremos ver como las funciones reales continuas y
derivables pueden ser aproximadas y sus valores numéricos encontrados
mediante una función polinómica denominada función de Taylor.
La función real p(x) cuyo dominio son los números reales, dada por:
p(x)=a0+a1x+a2x2
+..........+anxn
,
en la que los coeficientes ak son coeficientes constantes, se llama polinomio
de grado n.
En particular si la función p(x)=ax+b es un polinomio de primer grado e
p(x)=ax2
+bx+c es un polinomio de segundo grado.
Las funciones polinómicas pueden considerarse las funciones reales más
sencillas de todas. Para calcular su valor para un valor dado, necesitamos
emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación.
Los polinomios son funciones continuas y derivables en todos los valores x
reales de su dominio. Además la derivada de un polinomio de grado n es
también un polinomio de grado inferior (n-1) y las derivadas de orden (n+1)
y superiores son nulas.
Existen en las Matemáticas funciones más complejas como tan(x), sen(x),
ex
a las cuales aplicamos diariamente pero no sabemos cómo se calculan.
Los métodos desarrollados por el análisis matemático pueden ser útiles en
estos casos y uno de ellos es el desarrollo de funciones mediante la fórmula
de Taylor.

3. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 3
1.1 Polinomio de Taylor
Sea f(x) una función cualquiera definida en un intervalo que contiene al
punto a y derivable en ese intervalo.
El polinomio de primer grado:
p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a)
Posee el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también tiene la misma
derivada que f(x) en el mismo punto.
Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.
Es posible elegir un polinomio de segundo grado:
p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f '' (a) (x-a)2
tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también
iguales para su primera y segunda derivadas.
Es de esperar que si construimos un polinomio que en x=a posea las
mismas n-ésimas derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se
aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a “a”.
De esta manera obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la
fórmula de Taylor:
f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ''(a) (x-a)2
+ .....+ (1/n!) f (n)
(a) (x-a) n
La función f(x) entonces es representada por un polinomio de grado n en (x-
a)
Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se
conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.
Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de
esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una
pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que el termino (x-a)n
.
Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x
próximo a “a”, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a “a”) más
rápidamente que (x-a)n
.
Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad
aproximada anterior es una verdadera igualdad.

4. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 4
1.2 Residuos. Estimación
Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al
segundo miembro un término más, llamado resto o residuo:
f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2
+ ..... +(1/n!) f (n)
(a)(x-a)n
+(1/(n+1)!)
f (n+1)
(c)(c-a)n+1
El residuo de la serie de Taylor se calcula en un punto c convenientemente
elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.
Para ver la demostración de esta fórmula consultar algunos de los libros de
textos referenciados en este módulo.
La serie de Taylor de una función nos brinda una forma simple de encontrar
el valor de esa función en un dado punto y de sus derivadas. La precisión de
ese valor dependerá de cuantos términos en esa serie se tengan en cuenta.
Algunas consideraciones:
El primer término de la serie es f(x)=f(a) y se le conoce como aproximación
de orden cero (ver figura 1).
Si la función no cambia es decir es constante f(x)=c da una estimación casi
perfecta ≈ cte.
Si la función cambia se requiere términos adicionales.
La aproximación de 1er orden se tiene sumando otro término al anterior.
f(x)  f(a) + f’(a)/1! (x-a)1
y el término de 1er orden, es para tener una tendencia lineal(ver figura 1).
Ahora si se le agrega un término de segundo orden para obtener una
curvatura y tener una mejor aproximación
21
)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()( ax
af
ax
af
afxf 
De igual manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la
expansión completa de la serie de Taylor (ver figura 1).

5. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 5
Figura 1: Distintas aproximaciones a la función f(x) en el punto x=a.
Entonces la Serie de Taylor queda de la siguiente manera:
Rnax
n
af
ax
af
ax
af
ax
af
afxf
n
n


)(
!
)(
..)(
!3
)('''
)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()( 321
Se incluye el término residual para considerar todos los términos desde n+1
hasta el infinito.
 
 
  1
1
!1





n
n
ax
n
f
Rn

Donde n = indica que el residuo es de la aproximación a enésimo orden.
 = cualquier valor entre x y a, este valor da una estimación exacta del error,
puede ser un valor promedio entre ellos o inclusive podemos usar el
teorema del valor medio.
Se puede simplificar convenientemente la serie de Taylor definiendo un
paso h= x - a
 
 
1
)1(
321
!1
!
)(
..
!3
)('''
!2
)("
!1
)('
)()(





n
n
n
n
h
n
f
Rn
Rnh
n
af
h
af
h
af
h
af
afxf

X
f(x)=f(a)
f(x)  f(a) + f’(a)/1! (x - a)1
f(x)
x
orden cero
1er. orden
2do orden
f(x)  f(a) + f’(a)/1! (x - a)1
+ f’’(a)/2! (x - a)2
a

6. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 6
Ejemplos de residuos para la expansión en
serie de Taylor de una función
n=0
f(x)f(a)
....
!
)(
..
!3
)('''
!2
)("
!1
)(' 321
0
n
n
h
n
af
h
af
h
af
h
af
R 
Simplificando el residuo: Rof'(a)h
n=1 2
1
"( )
2!
f
R h

 ,
=( x+a)/2
f'()=(f(x)-f(a))/( x-a)
f(x)
a  x
Ro
Pendiente=m= f'()
h
0R
m
h

x
f(x)
xi
f(xi)
xi+1
Ro
Predicción exacta
Predicción de orden cero
h
x

7. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 7
Ejemplos de serie de Taylor y los errores de
truncamiento:
f(x)=xm
Para m=1, 2, 3 y 4 sobre rango de x=1 a 2. Usar la serie de Taylor a 1er
orden para aproximar la función para varios valores del exponente m y
tamaño de paso h.
Primer orden:
f(xi+1)=f(xi)+m 1m
ix 
h
El residuo es:
...
!
)(
..
!3
)('''
!2
)(" 32
1  n
n
h
n
af
h
af
h
af
R
Supongamos ahora que m=1, x=2 y a=1 con h=1
f(2)=1+(1)=2 y R1=0
Supongamos ahora que m=2, f(2)=22
=4 y a=1 con h=1 (el valor real)
a 1er orden:
f(2)=1+2(1)=3 y R1=2/3(1)2
+0+0+...=1
Supongamos ahora que m=3, f(2)=23
=8 y a=1 con h=1 (el valor real)
a 1er orden:
f(2)=1+3(1)2
(1)=4 y R1=6/2(1)2
+6/6(1)3
0+0+...=4
Supongamos ahora que m=4, f(2)=24
=16 y a=1 con h=1 (el valor real)
a 1er orden:
f(2)=1+4(1)3
(1)=5 y R1=12/2(1)2
+24/6(1)3
+24/24(1)4
+0+0+...=11
R1 se incrementa a medida que la función se hace no lineal.

8. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 8
Cambio en el valor de h:
Comparación del valor exacto de f(x)=x4
con la aproximación de la Serie de
Taylor a 1er orden. Ambos, la función y la aproximación son evaluados en
x+h, donde x=1
h Verdadero Aprox. a 1er orden R1
1 16 5 11
0.5 5.0625 3 2.0625
0.25 2.441406 2 0.441406
0.125 1.601807 1.5 0.101807
0.0625 1.274429 1.25 0.024429
0.03125 1.130982 1.125 0.005982
0.015625 1.063980 1.0625 0.001480
Podemos decir que el error por aproximación de la Serie de Taylor a 1er
orden disminuye conforme a se acerca a 1 y h disminuye intuitivamente.
Serie de McLaurin
Sea la fórmula de McLaurin:
(x)R+x
n!
(0)f
+...+
2!
x(0)f
+(0)xf+f(0)=f(x) 1+n
n
(n)2


Siendo x
1)!+(n
(z)f
=(x)R
1+n
1)+(n
1+n con 0 < z < x.
Es decir (x)R 1+n+xn
n!
(0)f (n)n
0
=f(x)  .
Llamaremos serie de McLaurin asociada a una función f(x) a la expresión

9. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 9
0
(n)
n 2
(n)
n
f (0)
n!
x = f(0)+ f (0)x+
f (0)
2!
x +....+
f (0)
n!
x +...

 

Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la
fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:
1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y
2)
lím
n
R (x)= 0n+1
 .
Ejemplo: Sea f(x) = ex
x
2 3 n z n+1
e = 1+ x+
x
2!
+
x
3!
+...+
x
n!
+
e x
(n+1)!
Veremos si
lím
n
R (x)= 0n+1
 .
lím
n
e x
(n+1)!
= e lím
n
x
(n+1)!
= e .0 = 0
z n+1
z
n+1
z
  qué
lím
n
x
(n+1)!
= 0
n+1
 .
Ejercicios:
1) Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx; f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV
(x)= senx ; fIV
(0)=0
fV
(x)= cosx ; fV
(0) =1 y generalizando

10. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 10







 
imparn
parn
x
xsen
xf n
n
n
cos)1(
)1(
)(
2
1
2
)(
pero en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente
1)!+(n
x][senx
=R
1+n1)+(n
z
1+n
con lo que
lím
n
R = lím
n
[senx ] x
(n+1)!
= 0n+1
z
(n+1) n+1
 
y finalmente
senx = x -
x
3!
+
x
5!
-
x
7!
+
x
9!
+...+(-1 )
x
(2n+1)!
3 5 7 9
n+1
2n+1
Estudiemos el intervalo de convergencia






 2n+n4
n
lím
1)!+(2n
1
1)!-(2n
1
n
lím
a
a
n
límR 2
1+n
n
y por lo tanto I = R
1.3 FT en las funciones trigonométricas
Aproximación de la función y = sen (x)
Rx
n
xxxx
xxsen
n
n




..
)!12(
)1(...
!7!5!3
)(
12753
Véase en párrafos anteriores la obtención del desarrollo.

11. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 11
Actividades
1.- Observa que la función y=sen(x) es una función impar sen(-x)=-sen(x).
El polinomio de Taylor correspondiente sólo tiene potencias impares de x.
2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al
valor real al aumentar el grado del polinomio.
Aproximación de la función y = cos (x)
En general podemos tener una aproximación polinomial de la función
coseno, con sus derivadas en cero dada por
Orden n fn
(x) fn
(x=0)
0 cos(x) 1
1 -sen(x) 0
2 -cos(x) -1
3 sen(x) 0
4 cos(x) 1
5 -sen(x) 0
6 -cos(x) -1
7 sen(x) 0
8 cos(x) 1
9 -sen(x) 0
10 -cos(x) -1
La aproximación polinomial final queda:
Actividades
1.- Observa que la función y=cos(x) es una función par cos(-x)=cos(x). El
polinomio de Taylor correspondiente sólo tiene potencias pares de x.
2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al
valor real al aumentar el grado del polinomio.

12. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 12
1.4 FT en la función exponencial
Aproximación de la función y = ex
f(x) = ex
esta función puede derivarse infinitamente ( derivadas de cualquier
orden)
Desarrollemos Taylor para a = 0 (a en este caso vale cero)
Orden n fn
(x) fn
(x=0)
0 ex
1
1 ex
1
2 ex
1
… … ...
… … …
n ex
1
Remplazando en la fórmula general tengo:
Rx
n
xxx
xe
n
x
 ..
)!(
...
!3!2
1
32
Calculemos ex
para x = 1 hasta n = 6 (grado 6º) así tenemos:
Para hallar el error utilizaremos el resto, Rn =
Tengamos en cuenta que e0
= 1 y e1
= 2,71828, así que ex
< 3 (es el límite,
por lo que suplantaremos ez
por 3) así que:
Rn =
Como tenemos 6 términos para hallar el resto utilizaremos el séptimo, n = 7
de esa manera:

13. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 13
(El error en menor a 0,001)
Actividades
1.- Observe que para x=1 obtenemos el valor del número e.
2.- De valores a x y observe cómo el polinomio de Taylor se aproxima al
valor real al aumentar el grado del polinomio.
1.5 FT en la función logarítmica
Aproximación de la función y = ln (1+x)
Para calcular la función f(x)=ln(x) se debe desarrollar en una serie de
potencias (respecto al binomio (x-a) donde a=1); con ayuda de la fórmula
de Taylor.
 
 
)(
!1
!
)(
..
!3
)('''
!2
)("
!1
)('
)()(
1
)1(
321
axh
h
n
f
Rn
Rnh
n
af
h
af
h
af
h
af
afxf
n
n
n
n







Desarrollando las primeras n derivadas de la función ln(x) y evaluándolas en
1 (a=1)...

14. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 14
Substituyéndolas en la serie de Taylor
Simplificando...
*
Esta última expresión es sólo valida para 0<x<2
Para lograr realizar el cálculo de los Logaritmos Naturales de números
mayores o iguales a 2 se deben deducir una nueva serie de potencias para la
cual dichos valores puedan ser calculados.
La serie de ln(x) se puede desarrollar de la siguiente
forma...
Para (1-x)...

15. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 15
La substracción término a término de dos series convergentes da como
resultado otra serie convergente y como las dos anteriores lo son; se resta la
segunda a la primera serie y resulta...
Si se
substituye...
La serie resultante podrá calcular los Logaritmos Naturales de cualquier
número mayor o igual a 2; conociendo el Logaritmo Natural del número que
es una unidad menor, por ello esta serie puede ser codificada en un
programa recursivo cuyo caso base será ln(2) ya que el número anterior
ln(1)=0
Para realizar el cálculo del Logaritmo Decimal de cualquier número,
conociendo previamente su Logaritmo Natural, simplemente se aplica la
regla de los Logaritmos para el cambio de base...
Ejercicios:
1.- De valores a x (entre -1 y 1) y observe cómo el polinomio de Taylor se
aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.
2.- La expansión en de McLaurin para cos x es
2 4 6 8
cos 1 ...
2 4! 6! 8!
x x x x
x       Iniciando con el primer término cosx=1,
agréguense los términos uno a uno para estimar cos(π/4). Después de que
agregue cada uno de los términos, calcule los errores porcentuales relativos
exactos y aproximados. Use el Excel o calculadora para determinar el valor
exacto. Agregue términos hasta que el valor absoluto del error aproximado
falle bajo cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.

16. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 16
1.6 FT en la función tangente
Aproximación de la función y = tg(x)
La función tangente tiene un desarrollo de Taylor bastante complejo, por la
forma de sus derivadas:
Donde los números B2n son los números de Bernulli.
1.7 El Teorema de Unicidad
Existencia y unicidad del polinomio de Taylor
Sea f: D: R → R una función n veces derivable en un punto x perteneciente
a D. Existe un único polinomio Pn(x) de grado menor o igual que n que
verifica:
Pn(x0) = f(x0),
Pn’(x0) = f’(x0),

17. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 17
Pn”(x0) = f”(x0),
Pn
n
(x0) = fn
(x0),
Dicho polinomio es:
(m)R+xx
n!
)(xf
+...+
2!
xx)(xf
+)x(xf+)f(x=Pn(x) 1+n
n
(n)2
)0(
0)0(0
00 


con el convenio 0!=1
El polinomio anterior se denomina polinomio de Taylor de orden n de la
función f(x) en x0, y se denota Pn(f, x0)(x) o, si no hay lugar a confusión,
simplemente Pn(x).
Si x0 = 0 se suele denominar polinomio de McLaurin.
Demostración.
Partimos de que todo polinomio de grado menor o igual que n se puede
escribir de modo único en la forma:
Pn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ · · · + an(x − x0)n
ya que el conjunto {1, (x − x0), (x − x0)2
, · · · , (x − x0)n
} es una base del
espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n.
Para probar que existe un polinomio y sólo uno que verifique las
condiciones pedidas, veremos que se pueden determinar unívocamente los
coeficientes de Pn(x) a partir de dichas condiciones.
Como Pn(x0) = a0, si queremos que Pn(x0) = f(x0), debe ser a0 = f(x0).
Si calculamos la derivada de Pn, tenemos:
Pn’(x) = a1 + 2a2(x − x0)2
+ · · · + nan(x − x0)n-1
y la condición P’n(x0) = f’(x0) se satisface si y sólo si a1 = f’(x0).
Si calculamos la derivada segunda de Pn e imponemos la condición P’’n(x0)
= f’’(x0) se obtiene que a2 =f’’(x0)/2!

18. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 18
Si se aplica sucesivamente se pueden obtener todos los términos.
1.8 Ejercicios
1) Determinar el desarrollo en serie de las siguientes funciones:
a) z
exf 
)(
b) z
ezg 3
)( 
c)
2
)( z
ezh 
d) zsenzm 5)( 
2) Si 262
6)sin(6)( zzzzg  y si z=0 es un cero de g(z) y ver de
que orden es el mismo. Usar Serie de Taylor del seno.
3) Obtener la serie de Taylor de
2
9
1
)(
z
zg


Respuestas:
1)
a) 


 

0 !
)1(
)(
n
nn
z
n
z
ezf
b) 



0
3
!
3
)(
n
nn
z
n
z
ezg
c) 



0
2
!
)(
2
n
n
z
n
z
ezh

19. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 19
d) 






0
1212
)!12(
5)1(
5)(
n
nnn
n
z
zsenzm
2)
6
)( zzg 
3)
 




























 0n
2n2
n242
2
3
z
9
1
2
3
z
...
3
z
3
z
1
9
1
1z9
1

20. Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 20
Bibliografía Lectura 1
1. Brinton, George – De Oteiza, Elena - Hass, Joel - Ibarra
Mercado, Victor - Giordano, Frank - Palmas, Thomas - Palmas
Velasco, Oscar - Velasco, Alfredo, - Weir, Maurice. Cálculo:
Varias variables. Edition: 11. Publicado por Pearson Educación,
2006.
2. Lang Serge. Cálculo I - S/D - Fondo educativo interamericano S.A.
- México (D.F.) - 1976
3. Lang Serge. Cálculo II - S/D - Fondo educativo interamericano S.A.
- México (D.F.) - 1976
Sitios de internet
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ (mayo 2011)
http://www.matematicas.net/ (mayo 2011)