Probabilidad y estadística descriptiva

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Portafolio final de curso de “Probabilidad y Estadística
Descriptiva”
INTEGRANTES:
 JORGE ADRIAN VALADEZ CHAN
 LILIA ANEL ROMERO FAJARDO
 SUEMY MARGELY MOO MUTUL
 ASHLY SHADIANY GÓNGORA SUÁREZ
 BLANCA BEATRIZ PARRA CAMPOS
 GUADALUPE MANUEL POOL CEN
 RICARDO EMMANUEL HUCHIM CANUL
 MAGDIEL NATANAEL EK CANUL
DOCENTE: DR. ARTURO ALVARADO SEGURA
SEMESTRE Y GRUPO:
3° “B”
Oxkutzcab Yucatán, diciembre de 2017
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DEL SUR DEL
ESTADO DE YUCATÁN

Presentación
La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio de los eventos que ocurren
de forma aleatoria (al azar), sin embargo, el cálculo de la Probabilidad es una teoría
matemática, y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido
concreto a la noción de probabilidad. La Probabilidad propone modelos para los fenómenos
aleatorios, es decir, los que no se pueden predecir con certeza absoluta, y estudia sus
consecuencias lógicas, mientras que la Estadística es la parte aplicada de la probabilidad
que ofrece métodos y técnicas que permiten evaluar el patrón de comportamiento de los
datos a partir de los modelos.
En este portafolio se presentan los temas revisados en el curso de Probabilidad y
Estadística descriptiva, es decir, se encontrarán las actividades de aprendizaje abordadas
que contienen inmersos los ejercicios de cada unidad las cuales estarán divididos en tres
parciales, cada uno con sus respectivos temas. En el parcial uno, se encontrarán temas de
las medidas de tendencia central, medidas de dispersión, conjuntos, regla de conteo,
combinaciones y permutaciones. En el segundo parcial, se abordan los tipos de
distribuciones de variables aleatorias y discretas, haciendo énfasis en la distribución
binomial y la hipergeométrica, así como la distribución normal estándar (siendo la más
importante). Por último, en el tercer parcial se presentan los tipos de muestreo, la
distribución muestral de la media con varianza conocida y desconocida, la distribución
muestral de la proporción, el teorema del límite central, los tipos de estimaciones, puntual y
por intervalo. Cada tema se presentará en ejercicios numéricos con el fin de acercar la
Probabilidad y la Estadística a la realidad.

Actividad de aprendizaje 1
I. Investigar lo siguiente:
Variables cuantitativas
Las variables cuantitativas son aquellas que adoptan valores numéricos, es decir,
cifras.
• Variable cuantitativa continua: Estas pueden adoptar cualquier valor en el marco
de un intervalo determinado, y siempre entre dos valores observables va existir un
tercer valor intermedio que también podría tomar la variable continua, es decir, que
esta variable toma valores en todo en intervalo. Un atributo esencial de este tipo de
variable es que, a diferencia de la discreta, nunca puede ser medida con exactitud.
Ejemplos:
1. La estatura de una persona.
2. El ancho de una pelota de futbol.
3. El peso de una persona.
• Variable cuantitativa discreta: Esta adquiere valores que están separados entre sí
en la escala, de tal forma, que no existen otros valores entre los valores específicos
que la variable adquiere, es decir, que no acepta cualquier valor, sino que
únicamente aquellos que pertenecen al conjunto. Estas variables se dan de modo
coherente separaciones entre valores observables sucesivos.
Ejemplos:
1. El número de hijos de una familia.
2. La cantidad de dedos de tus manos.
3. El número de árboles que hay en un parque.

Variables cualitativas.
Las variables cualitativas son aquellas que permiten la expresión de una
característica, una categoría, un atributo o una cualidad.
• Variable cualitativa nominal: Esta presenta modalidades no numéricas que no
admiten un criterio de orden, es decir, que no adopte la jerarquía que permita la
ordenación del atributo.
Ejemplos:
1. Lugar de nacimiento de una persona.
2. Estado civil de una persona.
3. Nacionalidad de una persona.
• Variable cualitativa ordinal: Esta presenta modalidades no numéricas, en los que
existe un orden, es decir, adquieren valores que se pueden ordenar de acuerdo a una
escala.
Ejemplos:
1. Grado de pobreza (No pobre, pobre, muy pobre).
2. Grado de escolaridad.
3. Grado de satisfacción.

Sumatorias, tablas de frecuencias y cálculo de medidas de tendencia central y de
dispersión.
Resuelva los ejercicios de forma individual. Escriba los procedimientos.
1. Resuelva las sumatorias que se piden, usando los siguientes datos del procedimiento
de calificación en el primer año de carrera de las primeras 10 personas en llegar al
salón: 80, 56, 98, 100, 87, 72, 93, 93, 90, 76.
ii) ∑ 𝑥𝑖
6
𝑖=1 = 80 + 56 + 98 + 100 + 87 + 72 = 497
iii) ∑ 3𝑥𝑖
7
𝑖=3 = 3(98) + 3(100) + 3(87) + 3(72) + 3(93) = 294 + 300 + 261 +
216 + 279 = 1350
iv) ∑ (𝑥𝑖
4
𝑖=1 − 2) = (80 − 2) + (56 − 2) + (98 − 2) + (100 − 2) = 78 + 54 +
96 + 98 = 326
v) ∑ 𝑥𝑖
27
𝑖=1 = (80)2
+ (56)2
+ (98)2
+ (100)2
+ (87)2
+ (72)2
+ (93)2
=
6400 + 3136 + 9604 + 10000 + 7569 + 5184 + 8649 = 50,542
vi) ∑ 5𝑥 𝑖9
𝑖=5 = 87 + 72 + 93 + 93 + 90 = 435
2. En la siguiente tabla, se tiene las calificaciones obtenidas por 50 estudiantes del
tecnológico en un examen escrito de probabilidad y estadística.
Tabla 1. Calificaciones obtenidas por 50estudiantes en un examen escrito de
probabilidad y estadística.
71 52 58 60 66 67 91 70 75 83
88 89 82 93 72 71 61 74 76 61
57 64 62 74 64 77 87 62 85 80
68 76 80 82 31 85 62 97 72 69
57 87 73 72 79 84 81 79 81 73

Con base en los datos de la tabla anterior, se construya la tabla de distribución de
frecuencias utilizando el formato siguiente.
Tabla 2. Distribución de frecuencias por intervalos de clase de las calificaciones.
Intervalo
de clase
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada.
(30,40) 35 1 0.02 1 0.02
(40,50) 45 0 0 1 0.02
(50,60) 55 4 0.08 5 0.1
(60,70) 65 12 0.24 17 0.34
(70,80) 75 16 0.32 33 0.66
(80,90) 85 14 0.28 47 0.96
(90,100) 95 3 0.06 50 0
Total 455
∑ 𝒇𝒌
𝟕
𝒌=𝟏
= 𝟓𝟎
∑ 𝒑𝒌 = 𝟏
𝟕
𝒌=𝟏
50 1
3. Uno de los mayores indicadores de contaminación del aire en las grandes ciudades y
en los cinturones industriales es la concentración de ozono en la atmosfera. Las 78
observaciones de la tabla 3 fueron recolectadas por las autoridades de los Ángeles,
sobre la concentración de ozono en esa la localidad durante los veranos de 1996 y
1997. Cada observación es un promedio de lecturas tomadas cada cuarto día. Con esta
información, construya una tabla de distribución de frecuencias.
Tabla 3. Medidas de concentración de ozono en la atmosfera de la localidad de los
Ángeles durante los veranos de 1966 y 1967.

3.5 1.4 6.6 6.0 4.2 4.4 5.3 5.6
6.8 2.5 5.4 4.4 5.4 4.7 3.5 4.0
2.4 3.0 5.6 4.7 6.5 3.0 4.1 3.4
6.8 1.7 5.3 4.7 7.4 6.0 6.7 11.7
5.5 1.1 5.1 5.6 5.5 1.4 3.0 6.6
6.2 7.5 6.2 6.0 5.8 2.8 6.1 4.1
5.7 5.8 3.1 5.8 1.6 2.5 8.1 6.6
9.4 3.4 5.8 7.6 1.4 3.7 2.0 3.7
6.8 3.1 4.7 3.8 5.9 3.3 6.2 7.6
6.6 4.4 5.7 4.5 3.7 9.4
Comentario: Observemos que las lecturas mínima y máxima son de 1.1 y 11.7,
respectivamente; por lo que se sugiere los siguientes intervalos de clase.
Tabla 4. Distribución de frecuencia de los datos en la tabla 3.
Intervalo
de clase
Conteo Marca
de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
absoluta
acumulada
Frecuencia
relativa
acumulada
[1.0,2.0) llllll 1.5 6 0.072 6 0.077
[2.0,3.0) lllll 2.5 5 0.064 11 0.141
[3.0,4.0) llllllllllllll 3.5 14 0.179 25 0.321
[4.0,5.0) llllllllllll 4.5 12 0.154 37 0.474
[5.0,6.0) lllllllllllllllll 5.5 17 0.1 54 0.692
[6.0,7.0) llllllllllllllll 6.5 16 0.218 70 0.897
[7.0,8.0) llll 7.5 4 0.205 74 0.949
[8.0,9.0) l 8.5 1 0.051 75 0.962
[9.0,10.0) ll 9.5 2 0.013 77 0.987
[10.0,11.0) 0 10.5 0 0.026 77 0.987
[11.0,12.0) l 11.5 1 0 74 1
Total 78 78 1

Comentario: en una distribución de frecuencias, las frecuencias relativas siempre deben
sumar 1 y las frecuencias absolutas, dan como suma el número total de datos.
4. Con la distribución de frecuencias de la tabla 4, calcule la media aritmética y la
varianza, la siguiente tabla, le puede auxiliar en el proceso de cálculo.
Tabla 5. Organización de datos para el cálculo de la media y aritmética y la varianza.
Intervalo
de clase
Mk Fk (𝒎 𝒌 −×) 𝟐
(𝒎 𝒌 − 𝒙) 𝟐
𝒇𝒌 𝒎 𝒌 𝒇 𝒌
𝟐
[1.0,2.0) 1.5 9 12.341 74.046 13.5
[2.0,3.0) 2.5 12.5 6.315 31.575 31.25
[3.0,4.0) 3.5 49 2.289 32.046 171.5
[4.0,5.0) 4.5 54 0.263 3.156 243
[5.0,6.0) 5.5 93.5 0.237 4.029 514.25
[6.0,7.0) 6.5 104 2.211 35.376 676
[7.0,8.0) 7.5 30 6.185 24.74 225
[8.0,9.0) 8.5 8.5 12.159 12.159 72.25
[9.0,10.0) 9.5 19 20.133 40.266 180.5
[10.0,11.0) 10.5 0 30.107 0 0
[11.0,12.0) 11.5 11.5 42.081 42.081 132.25
Total 391 134.321 299.474 2259.5

Formulas de la media aritmética y de la varianza para datos agrupados.
×=
∑ 𝒎 𝒌 𝒇 𝒌
𝒓
𝒌=𝟏
𝒏
Como ocurre con la varianza para los datos no-agrupados, podemos obtener la fórmula
operación (o calculo) para s cuadrada, se obtiene expandiendo (mk-×̅)2 en la expresión
anterior y reduciendo términos semejantes. La fórmula se operación de la varianza en datos
agrupados está dada por:
𝑠2
=
∑ 𝑚 𝑘
2𝑟
𝑘=1
𝑛
− 𝑥−2
Si la distribución de las frecuencias tiene r intervalos de clase con puntos
medios m1.m2….m, y correspondientes frecuencias f1, f2…, f, entonces la
media está dada por:
Formula de la varianza para tablas de frecuencia (datos agrupados)
𝑠2
=
∑ (𝑚 𝑘−𝑥)2 𝑓 𝑘
𝑟
𝑘=1
𝑛

1. Ahora calcule la media aritmética y la varianza para los datos de la tabla 3
(datos sin agrupar).
Media aritmética
∑ 𝑖
𝑥
= 3.5. +6.8 + 2.4 + 6.8 + 5.5 + 6.2 + 5.7 + 9.4 + 6.8 + 6.6 + 1.41 + 2.5 + 3.0
+ 1.7 + 1.1 + 7.5 + 5.8 + 3.4 + 3.1 + 4.4 + 6.6 + 5.41 + 5.6 + 5.3
+ 5.1 + 6.2 + 3.1 + 5.8 + 4.7 + 5.7 + 6.0 + 4.4 + 4.7 + 4.7 + 5.6
+ 6.0 + 5.8 + 7.6 + 3.8 + 4.5 + 4.2 + 5.4 + 6.5 + 7.4 + 5.5 + 5.8
+ 1.6 + 1.4 + 5.9 + 3.7 + 4.4 + 4.7 + 3.0 + 6.0 + 1.4 + 2.8 + 2.5
+ 3.7 + 3.3 + 9.4 + 5.3 + 3.5 + 4.1 + 6.7 + 3.9 + 6.1 + 8.1 + 2.0
+ 6.2 + 5.6 + 4.0 + 3.4 + 11.7 + 6.6 + 4.1 + 6.6 + 3.7 + 7.6 = 388
×̅=
388
78
×̅= 4.974
Varianza
𝑠2
=
∑ 𝑥2
𝑖 −
(∑ 𝑥𝑖)2
𝑛
𝑛 − 1

∑ 𝑖
𝑥2
= (3.5)2
+ (6.8)2
+ (2.4)2
+ (6.8)2
+ (5.5)2
+ (6.2)2
+ (5.7)2
+ (9.4)2
+ (6.8)2
+ (6.6)2
+ (1.4)2
+ (2.5)2
+ (3.0)2
+ (1.7)2
+ (1.1)2
+ (7.5)2
+ (5.8)2
+ (3.4)2
+ (3.1)2
+ (4.4)2
+ (6.6)2
+ (5.4)2
+ (5.6)2
+ (5.3)2
+ (5.1)2
+ (6.2)2
+ (3.1)2
+ (5.8)2
+ (4.7)2
+ (5.7)2
+ (6.0)2
+ (4.4)2
+ (4.7)2
+ (4.7)2
+ (5.6)2
+ (6.0)2
+ (5.5)2
+ (5.8)2
+ (5.8)2
+ (7.6)2
+ (1.6)2
+ (1.4)2
+ (3.8)2
+ (5.9)2
+ (3.7)2
+ (4.2)2
+ (5.4)2
+ (4.4)2
+ (4.7)2
+ (6.5)2
+ (4.7)2
+ (3.0)2
(7.4)2
+ (6.0)2
+ (1.4)2
+ (2.8)2
+ (2.5)2
+ (3.7)2
+ (3.3)2
+ (9.4)2
+ (5.3)2
+ (3.5)2
+ (4.1)2
+ (6.7)2
+ (3.9)2
+ (6.1)2
+ (8.1)2
+ (2.0)2
+ (6.2)2
+ (5.6)2
+ (4.0)2
+ (3.4)2
+ (11.7)2
+ (6.6)2
+ (4.1)2
+ (6.6)2
+ (3.7)2
+ (7.6)2
= 2,238.86
𝑠2
=
2238 −
388
78
78 − 1
𝑠2
=
2238.86 − 1010
77
𝑠2
= 4.010
6. Redacte una reflexión sobre la varianza de los resultados de la media aritmética y la
varianza cundo se calculan sobre los datos sin agrupar y sobre la tabla de frecuencias
(datos agrupados).
R= Al realizar el cálculo de la media aritmética y la varianza de un mismo ejercicio en
cuanto a datos agrupados y no agrupados se puede notar que al calcularlos como DA la
media nos da un número mayor que en los DNA, pero con la varianza sucede lo contrario
es mayor los DNA que los DA aunque la diferencia es de algunos decimales, se puede
concluir con que es más fácil hallar los DA debido a que de esa forma se realizan menos
operaciones porque para ellos se emplea la frecuencia a diferencia de los DNA.

8. Con base en los datos de la tabla 4 de esta tarea
(tabla de frecuencias de medidas de
concentración de ozono), construya las siguientes
gráficas.
a) Un histograma.
b) Un polígono de frecuencias.
9. Describa brevemente lo que indica la siguiente grafica de precipitación pluvial
(mm) y de temperatura de cierto lugar, utilizando el recuadro disponible.
Durante todo un año se observó la
precipitación y la temperatura de un lugar. Por lo que
se determinó que la precipitación de enero a julio
incremento, pero después descendió, en cambio la
temperatura durante enero y febrero incremento pero
para marzo descendió, sin embargo en los siguientes
7 meses transcurridos volvió a incrementar hasta
septiembre pero a partir de ahí volvió a descender
durante el resto del año; por lo tanto se determinó
que la mitad del año tuvo una precipitación alta y la
otra una precipitación baja, y la temperatura en
constante movimiento aunque pudimos la
temperatura alta en ese año ya que tuvo mayor,
aunque en el intermedio de dicho año.

10. A continuación, se tiene dos graficas con registros a finales de enero de 2014
(durante 24 horas), de la temperatura y la humedad relativa en la estación
meteorológica de Tantakin, describa el patrón observado en las 24 horas de registro,
en cada uno de las variables, compare los patrones de ambas variables y redacte su
conclusión.
GED-0921 probabilidad y estadística descriptiva
Decente: Dr. Arturo A. Alvarado Segura
En Tankin se observó la humedad y temperatura durante 24 horas, donde
se pudo determinar que la humedad al principio se comportó de manera
uniforme (100%) mientras que la temperatura descendió, sin embargo, la
humedad empezó a reducir en el intermedio del día cuando la temperatura se
hacía cada vez mayor y en las últimas horas se pudo notar que la temperatura
reducía y por ende la humedad incrementaba de nuevo.

Actividad 1 parte 2
Métodos gráficos.
Graficas de puntos.
Es una gráfica utilizada para ilustrar un número reducido de datos, la cual permite
identificar con facilidad la localización de los datos de dispersión o variabilidad de los
datos, es decir muestra cada uno de los elementos de un conjunto de datos numéricos por
encima de una recta numérica (eje horizontal), la facilito la ubicación de los espacios vacíos
y los agrupamientos en un conjunto de datos, así como la manera en que los datos se
distribuyen.
Ejemplo: los datos de longitud en milímetros de un conjunto de cables que serán utilizados
en un estudio de resistencia a la tensión.

Grafica de tallo y hoja.
Es una herramienta que permite obtener una representación visual informativa de un
conjunto de datos (distribución de frecuencias de la variable), para su elaboración es
necesario separar para cada uno de los datos el ultimo dígitos de la derecha (hoja) del
bloque de cifras y restantes (tallo).
Ejemplo: la cantidad de ejemplares (libros) en los diferentes anaqueles de una biblioteca.
Grafica de pastel.
Es un circulo dividido en partes, donde el area de cada parte es proporcional al
numero de datos de cada categoria, se una para representar variables caulitativas o
categoricas, de preferencia nominales.

Ejemplo: datos del deporte preferido en un grupo de 30 alumnos.
Deporte No. De alumnos fr % Grados
Baloncesto 12 0.4 40 144
Natacion 3 0.1 10 36
Futbol 9 0.3 30 108
Sin deporte 6 0.2 20 72
Total 30 1 100 360
Histograma.
Es una representación gráfica de una variable en forma de barras, cada barra representa
un subconjunto de datos y muestra la acumulación o tendencia, la variable dispersión y la
forma de distribución, se utiliza para variables continuas o discretas, con un gran número de
datos y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos
que tiene por base a amplitud del intervalo, y por la altura, la frecuencia absoluta de cada
intervalo (las barras van una seguida de la otra)
Ejemplo: el peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla.
Clase Frecuencia
absoluta
[50,60) 8
[60,70) 10
[70,80) 16
[80,90) 14
[90,100) 10
[100,110) 5
[110,120) 2
Total 65

Grafica de barras.
Es una presentación visual de los datos utilizando rectángulos horizontales o
verticales, cuyas longitudes son proporcionales a las cantidades que representan, deben
utilizarse para datos cualitativos y/o categóricos pueden utilizarse para describir variables
cuantitativas discretas que toman pocos valores, la gráfica de barras muestra la
comparación entre las diferencias categóricas.
Ejemplo: se muestran los resultados de la votación 2009, para elegir el ayuntamiento del
estado de puebla.
Partido No. de
votos
PRI 86698
PAN 60574
PT 9704
PRD 8298
PVEM 5025
Polígono de frecuencias.
Es un gráfico que se utiliza para variables cuantitativas discretas, se representa
mediante puntos que señalan la frecuencia absoluta de cada valor y líneas que unen los
puntos consecutivos, este tipo de grafica se relaciona con el histograma ya que ambos
miden las frecuencias; en el histograma se toma la marca de clase (el valor medio de cada
barra en su parte ancha) en coordenadas junto con puntos de mayor altura de cada barra y
uniendo posteriormente dichos puntos, para formas el polígono de frecuencias.

Ejemplo: se registra el peso de 58 personas adultas, según autoridades del IMSS.
Ojiva
Es una gráfica que muestra los valores de los datos en el eje horizontal y las
frecuencias acumuladas, las frecuencias relativas acumuladas o las frecuencias porcentuales
acumuladas en el eje vertical. La ojiva se constituye al graficar cada uno de los puntos
correspondientes a la frecuencia acumulada de las clases, esta nos permite ver cuantas
observaciones se halla por arriba o por debajo de ciertos valores.
Ejemplo: calificación máxima de los alumnos
acumulados de matemáticas 2 en una escuela.
Intervalo Intervalos (limites
reales)
Fk fa
1 [32.5-42.5) 8 8
2 [42.5-52.5) 5 13
3 [52.5-62.5) 7 20
4 [62.5-72.5) 13 33
5 [72.5-82.5) 7 40
6 [82.5-92.5) 6 46
7 [92.5-102.5) 4 50
Clase Frecuencia
absoluta
[50,60) 8
[60,70) 10
[70,80) 16
[80,90) 14
[90,100) 10
Total 58

Diagrama de dispersión (X-Y)
Es un gráfico que permite identificar la posible relación entre dos variables.
Representa la relación entre dichas variables permitiendo identificar más fácil los datos.
Dados dos variables X e Y, se dice que existe una correlación entre ambas si cada vez que
aumente el valor de X aumenta proporcionalmente el valor de Y (correlación positiva) o si
cada vez que aumenta el valor X disminuye en igual proporcional valor de Y (correlación
negativa). En un gráfico de correlación representamos cada por X, Y como punto donde se
cortan las coordenadas de X e Y.
Nota: dependiendo del comportamiento de los datos en el grafico se determina el tipo de
correlación.
Ejemplo: cantidad de dinero que gano Alex cada semana (12 semanas) trabajando en el
taller mecánico de su padre.
Pago Semana
$105 1
$110 2
$120 3
$135 4
$140 5
$140 6
$135 7
$140 8
$150 9
$160 10
$165 11
$185 12
Explicación= Predominó la positiva.

Ejercicios extra:
Ejemplos media
1. En un partido de baloncesto, se tiene la siguiente anotación en los jugadores de un
equipo:
Calcular la media de anotación del equipo.
Aplicando la fórmula
2. Un grupo de 6 amigas tienen distintas edades. Son las siguientes: 2 de ellas tienen 28
años y otras 2 tienen 32 años, el resto tienen 29 y 30 años respectivamente. Calcula la
media aritmética del grupo.
Para hallar el promedio de las edades del grupo, añadimos los años de cada una y dividimos
por el número de amigas:
28+28+32+32+29+30=179
179/ 6 personas= 29,8 es la media aritmética de edades del grupo.

Ejemplo varianza
1. Hallar la varianza de la siguiente serie de números:
2, 3, 6, 8, 11.
2. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su
consulta en el momento de andar por primera vez. Calcular la varianza.

2.1 Liste los elementos de cada uno de los siguientes espacios muéstrales
A) El conjunto de números enteros entre 1 y 50 que son divisibles entre 8
{8, 16, 24, 32, 40,48}
B) El conjunto S= {x|x2 +4x-5=0}
X2
+4x-5=0
X 5 = 5x (x+5) (x-1) S= {-5, 1}
X -1 = -x
C) El conjunto de resultados cuando se lanza monedas al aire hasta que aparezca una o
tres caras:
4x
S= {(T), (HT), (HHT), (HHH)}
(HHH)
(HHT)
T= CRUZ
H= CARA
M= MONEDA
M
H
H
H
T
T
T

D) El conjunto S= (x|x es un continente)
S= (América, Asia, áfrica, Europa, Oceanía, Antártida)
E) El conjunto S= {x| 2x- 4 > 0 y x <1}
2x – 4≥0 = {(-∞, 1) U [ 2, ∞)}
2x≥4
X≥4/2
x≥2
2.2 Utilice el método de la regla para describir el espacio maestral S, que consiste en
todos los puntos del primer cuadrante de un círculo de radio 3 con centro en el origen:
S= {x| x es cualquiera de los puntos coordenados dentro de la circunferencia X2
+ y2
=9
cundo su dominio es [0, 3] y su rango [0, 3]].
X2
+ y2
=9
2.3 ¿Cuál de los siguientes eventos son iguales?
a) A= {1, 3}
b) B= {x | x es un numero de un dado}
c) C= {x |x2
-4x +3=0}
d) D = {x | es un numero de caras cuando se lanza seis monedas al aire}
c) x2
– 4x +3 =0 A = C
X -3= -3x (x- 3) (x-1)
X -1 = -x x= 3 x=1

2.4 Un experimento implica lanzar un par de dados uno verde y uno rojo y se
registran los números que salen. Si X es igual al resultado en el dado verde y Y es el
resultado en el dado rojo, describa el espacio muestral S.
a) Mediante la lista de los elementos (x, y)
b) Usando el método de regla.
Verde: x1, x2, x3, x4, x5, x6
Rojo: y1, y2, y3, y4, y5, y6
S= {(x1, y2), (x1, y2), (x1, y3), (x1, y4), (x1, y5), (x1, y6), (x2, y1), (x2, y2),
(X2, y3), (x2, y4), (x2, y5), (x2, y6), (x3, y1), (x3, y2), (x3, y3), (X3, y4),
(x3, y5), (x3, y6), (x, 4 y1), (x4, y2), (x4, y3), (x4, y4), (X4, y5), (x4, y6),
(x5, y1), (x5, y2), (x5, y3), (x5, y4), (x5, y5), (X5, y6), (x6, y1), (x6, y2),
(x6, y3), (x6, y4), (x6, y5), (x6, y6)}
S= {x | x conjunto de combinaciones (y) posibles resultados, de tal modo que X es un
número de un dado verde y Y número de dado rojo}
2.14 Si S= {x| x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A= {0, 2, 4, 6, 8}, B= {1, 3, 5, 7, 9}, C= {2, 3,
4, 5} y D= {1, 6, 7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los
siguientes eventos
a) AUB= {0, 2, 3, 4, 5, 6,8]
b) A∩B= {ᴓ}
c) C’= {0, 1, 6, 7, 8,9}
d) (C’∩D) U B= {1, 3, 5, 6, 7,9}
e) (S∩C)’= {0, 1, 6, 7, 8,9}
f) A∩C∩D’= {2,4}

2.15 Considere el espacio muestral de S= {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio,
oxigeno, zinc} y los eventos
A= {cobre, sodio, zinc}
B= {sodio, nitrógeno y potasio}
C= {oxigeno}
Liste los elementos de los conjuntos que correspondan a los siguientes eventos.
a) A’={ nitrógeno, potasio, uranio, oxigeno}
b) AUB= {cobre, sodio, zinc, oxigeno}
c) (A∩B’)UC’={cobre, sodio ,nitrógeno, potasio, uranio, zinc}
d) B’∩C’= {cobre, uranio, zinc}
e) A∩ B ∩ C= {ᴓ}
f) (A’UB’) ∩(A’∩C)= {oxigeno}
2.21 A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos a sitios de
interés cada uno de los tres días. ¿De cuantas maneras se puede acomodar unas
personas para ir a uno de los recorridos planeados por la convención?
n1n2= 6X3= 18 maneras
2.22 En un estudio médico los pacientes se clasifican en 8 formas de acuerdo con su
tipo sanguíneo: AB+, AB-, A+, A-, B+, B-, O-, O+; y también de acuerdo con su presión
sanguínea: baja, normal y alta. Encuentre el número de formas en los que los se puede
clasificar a un paciente.
n1n2= 8 (3) = 24 formas
2.23 Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer unas letras al
azar del alfabeto inglés, ¿cuántos puntos habrá en el espacio muestras?
n1n2 = 6 X 26 =156 puntos

2.24 Los estudiantes de una universidad privada de humanidades se clasifican como
estudiantes de primer año, segundo año, de penúltimo año o de último año, y también
de acuerdo con su género (hombre, mujer), encuentre el número total de
clasificaciones posibles para los estudiantes de esa misma universidad.
n1n2 = 4X2= 8 clasificaciones
2.27 Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un futuro comprador de una
casa la elección de 4 diseños, 3 diferentes sistemas de calefacción, un garaje o
cobertizo, y un patio o un porche cubierto. ¿De cuántos planes diferentes dispone el
comprador?
n1n2n3n4= 4X3X2X2= 48 planes
2.28 Un medicamento contra el asma se puede adquirir de 5 diferentes laboratorios en
forma de líquido, comprimidos o capsula, todos en concentración normal o alta. ¿De
cuántas formas diferentes un doctor puede recetar la medicina a un paciente que sufre
asma?
n1n2n3= 5X3X2= 30 formas
2.29 En un estudio económico de combustibles, cada uno de los 3 autos de carreras se
prueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que se localizan en
diferentes regiones del país. Si se utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas se
realizan una vez bajo cada uno de los distintos grupos de condiciones. ¿Cuántas
pruebas se necesitan?
n1n2n3n4= 3X5X7X2= 210 pruebas

2.30 ¿De cuántas formas distintas se puede responder una prueba de falso-verdadero
que consta de 9 preguntas?
n1= 2 n1n2n3n4n5n6n7m8m9=
n2= 2 2X2X2X2X2X2X2X2X2= 512 formas
n3= 2
n4= 2
n5= 2 (2)9
n6= 2
n7= 2
n8= 2
n9= 2
2.31 Si una prueba de opción múltiple consiste en 5 preguntas, cada una con 4
respuestas posibles de las cueles solo una es correcta.
a) ¿De cuántas formas diferentes un estudiante puede elegir una respuesta de
cada pregunta?
n1n2n3n4n5= 4x4x4x4x4= 1024 formas
b) ¿De cuántas maneras un estudiante puede elegir unas respuestas a cada
pregunta y tener incorrectas todas las respuestas?
n1n2n3n4n5= 3x3x3x3x3= 243 maneras

2.32
a) ¿De cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de las palabras
columna?
7P7 =
7!
(7−7)!
=
7!
0!
=
7x6x5x4x3x2
0!
= 5040 permutaciones
b) ¿Cuántas de estas permutaciones comienzan con la letra m?
6P6 =
6!
(6−6)!
=
6!
0!
=
6x5x4x3x2
0!
= 720 permutaciones
Ejercicios extra:
Regla de conteo
1) Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir
los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento),
mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede
ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de
una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
Justificación:
Se tomó solo 6 letras al momento De la permutar
debido a que la letra “m” no se contempla porque desde ser la
inicial entonces permanece de base en el primer lugar y solo
las demás letras de permutan.

N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
Permutaciones
1) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la
portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
2) Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de
igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
Conjuntos
1) Resuelve y responde las siguientes preguntas.
Sea S = = {a, b,c,d y T f } { ,b,d,g} .
Entonces: S∩ T = { b,d }

Usando los conjuntos dados, contesta sí o no a las siguientes preguntas:
A = {1, 4, 2,6,8,10} B = {1, 4,6,10}
C ={6, 4,1,10 } D ={ 6, 4,1}
U ={1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10}
¿Es A= D? NO
¿Es D ⊆A? SI
¿Es B = C? SI
¿Es B ⊆A? SI
¿Es A⊆ B? NO
¿ Es A≠ B? SI
¿ Es B ⊄ D? NO
¿ Es ∅ ⊆ D? SI
¿ Es∅ = B? NO
¿ Es ∅ ⊆ B? SI
¿ Es B ⊆U? SI
¿ Es A = U? NO

2.51 Encuentre los errores en cada una de las siguientes aseveraciones:
a) La probabilidad de que un vendedor de automóviles venda 0, 1, 2 o 3, unidades en un
día dado de febrero, son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente.
R= No puede ser la probabilidad debido a que la suma de estas excede 1 por lo que no
estaría cumpliendo el axioma P(Ω)=1.
b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la probabilidad de que no llueva es
0.52.
R= La suma de las probabilidades no llega a 1, es decir, es menor que 1, por lo tanto, no
cumple con el axioma P(Ω)=1.
c) La probabilidad de que una impresora cometa 0, 1, 2, 3 o 4, o más errores al imprimir
un documento son 0.19, 0.34, -0.25, 0.43 y 0.29, respectivamente.
R= La probabilidad es errónea debido a que posee una de estas en negativo lo que estaría
violando el axioma: “La probabilidad del evento A= 0< P(A) <1”.
d) Al sacar una carta de una baraja en un solo intento la probabilidad de seleccionar
corazones es de 1/4, la probabilidad deseleccionar una carta negra es 1/2, y la
probabilidad deseleccionar una carta negra de corazones es 1/8.
R= La probabilidad de que salga una carta negra de corazones es cero, debido a que en el
juego de cartas no existe de ese tipo. Las de corazones son rojas, y las negras pueden ser de
trébol o picas.

2.53 Una caja contiene 500 sobres, de los cuales, 75 contienen $100 en efectivo, 150
contienen $25 y 275 $10. Se puede comprar un sobre en $25. ¿Cuál es el espacio
muestral para las diferentes cantidades de dinero? Asigne probabilidades a los puntos
muestrales y después encuentre la probabilidad de que el primer sobre que se compre
contenga menos de $100.
R= S= {$10, $25, $100}
P (100) = 75/500= 15/100
P (25) = 150/500= 30/100= 3/10
P (10) = 275/500= 55/100= 11/20
P (25) + P (10) = 3/10 + 11/20= 17/20
2.54 Suponga que en un grupo de último año de facultad de 500 estudiantes se
encuentra que 210 fuman, 258 consumen bebidas alcohólicas, 216 comen entre
comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcohólicas, 83 comen entre comidas y
consumen bebidas alcohólicas, 97 fuman y comen entre comidas, y 52 tienen esos tres
hábitos nocivos para la salud. Si se selecciona al azar un miembro de este grupo,
encuentre la probabilidad de que el estudiante:
a) Fume, pero no consuma bebidas alcohólicas.
R= P (A)- P (AnB)= 210/500 – 122/500= 22/125= 0.88
b) Coma entre comidas y consuma bebidas alcohólicas, pero no fume.
R= 31/500= 0.062

c) Ni fume ni coma entre comidas.
R= P (AuC)c
= 105/500 + 66/500= 171/500= 0.342
2.55 La probabilidad de que una industria estadounidense se ubique en Shanghai,
China, es 0.7, la probabilidad de que se ubique en Beijing, China, es de 0.4 y la
probabilidad de que se ubique en Shanghai o Beijing o en ambas es 0.8. ¿Cuál es la
probabilidad de que la industria se ubique:
P (A) = 0.7 P(B) = 0.4 P(AuB) = 0.8
a) En ambas ciudades?
R= P (AnB) = P(A) + P(B) – P(AuB)
P (AnB) = 0.7 + 0.4 – 0.8 = 0.3
b) En ninguna de esas ciudades?
R= P (AuB)c
= P(S) – P(AuB)
P (AuB)c
= 1 – 0.8= 0.2
2.56 De experiencias pasadas un agente bursátil considera que con las condiciones
económicas actuales un cliente invertirá en bonos libres de impuestos con una
probabilidad de 0.6, que invertirá en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3
y que invertirá en ambos con una probabilidad de 0.15. Ahora, encuentre la
probabilidad de que un cliente invierta:
P (A) = 0.6 P(B) = 0.3 P(AnB) = 0.15
a) En bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas.
R= P (AuB) = P(A) + P(B) – P(AnB)
P (AuB) = 0.6 + 0.3 – 0.15 = 0.75

b) En ninguno de esos instrumentos.
R= P (AuB)c
= P(S) – P(AuB)
P (AuB)c
= 1 – 0.75= 0.25
2.58 Un fabricante de automóviles está preocupado por el posible retiro de su sedán de
cuatro puertas con mayor venta. Si hubiera un retiro, existe una probabilidad de 0.25
de que haya un defecto en el sistema de frenos, de 0.18 en la transmisión de 0.17 en el
sistema de combustible y de 0.40 en alguna otra área.
P (A) = 0.25 P(B) = 0.18 P(C) = 0.17 P(D) = 0.40
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el defecto esté en los frenos o en el sistema de
combustible, si la probabilidad de defectos simultáneos en ambos sistemas es 0.15?
R= P (AuC) = P(A) + P(C) – P(AnC)
P (AuC) = 0.25 + 0.17 – 0.15 = 0.27
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defecto en los frenos o en el sistema de
combustible?
R= P (AuC)c
= P(S) – P(AuC) = 1 – 0.27= 0.73
2.60 Se lanza un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener:
a) Un total de 8.
R= P (A) = 5/36= 0.138
b) A lo más un total de 5.
R= P (B) = 10/36= 5/18= 0.277

2.62 Si sacan (toman) 3 libros al azar de un librero que contiene 5 novelas, 3 libros de
poemas y 1 diccionario, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Se seleccione el diccionario?
R= P (A) = 28/84= 1/3= 0.33
b) Se seleccionen 2 novelas y 1 libro de poemas?
n1 x n2= 10 x 3= 30
R= P (B) = 30/84= 5/14= 0.357
2.63 En una mano de póquer que consiste en 5 cartas, encuentre la probabilidad de
tener:
a) 3 ases.
n1 x n2= 4 x 1,128= 4,512
R= P (A) = 4,512 / 2,598,960= 0.0017
Espacio muestral
Espacio muestral

b) 4 cartas de corazones y 1 trébol.
n1 x n2= 715 x 13= 9,295
R= P (B) = 9,295 / 2,598,960= 0.0035
2.65 En una clase de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron
matemáticas, 69 historia, y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar
uno de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de que:
a) El estudiante haya cursado matemáticas o historia.
R= P (AuB) = P(A) + P(B) – P(AnB)
P (AuB) = 54/100 + 69/100 – 35/100
P (AuB) = 0.54 + 0.69 – 0.35 = 0.88
b) El estudiante no haya llevado ninguna de estas materias.
R= P (S) – P(AuB) = 1 – 0.88= 0.12
c) El estudiante haya cursado historia, pero no matemáticas.
R= P (C) = 34/100 = 17/50= 0.34

2.66 La empresa Dom´s Pizza utiliza pruebas de sabor y el análisis estadístico de los
datos antes de comercializar cualquier producto nuevo. Considere un estudio que
incluye tres tipos de pastas (delgada, delgada con ajo y orégano, y delgada con trozos
de queso). Dom´s también estudia 3 salsas (estándar, una nueva salsa con mas ajo y
una nueva salsa con albahaca fresca).
a) ¿Cuántas combinaciones de pasta y salsa se incluyen?
R= n1 x n2= 3 x 3= 9 combinaciones.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un juez tenga una pasta delgada
sencilla con salsa estándar en su primera prueba de sabor?
R= P (A)= 1/9= 0.111
2.70 En las fábricas a los trabajadores constantemente se les motiva para que
practiquen la tolerancia cero para prevenir los accidentes en el lugar de trabajo. Los
accidentes pueden vivir porque el ambiente o las condiciones laborales son inseguras
en sí mismos. Por otro lado, los accidentes pueden ocurrir por negligencia o
simplemente por fallas humanas. Además, los horarios de trabajo de 7:00 am a 3:00
pm (turno matutino), de 3:00 pm a 11:00 pm (turno nocturno) pueden ser un factor.
El año pasado ocurrieron 300 accidentes. Los porcentajes de los accidentes por la
combinación de condiciones son como sigue:
Turno Condiciones inseguras Fallas humanas
Matutino 5% 32%
Vespertino 6% 25%
Nocturno 2% 30%

Si elige aleatoriamente un reporte de accidente de entre los 300 reportes;
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido en el turno nocturno?
R= P (A)= 32/100= 0.32
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a una falla
humana?
R= P (B)= 32 + 25 + 30= 87/100= 0.87
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido debido a las
condiciones inseguras?
R= P (C)= 5 + 6 + 2= 13/100= 0.13
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente haya ocurrido durante los turnos
vespertino o nocturno?
R= P (AuB) = P (A) + P (B) = 31/100 + 32/100 = O.31 + 0.32= 0.63
Ejercicios extra:
1. Después de tener entrevistas en dos compañías donde quiere trabajar, un ingeniero
evalúa la probabilidad que tiene de obtener un empleo en la compañía A como 0.8 y la
probabilidad de tenerla en la compañía B como 0.6. Si, por otro lado, considera que la
probabilidad de que reciba ofertas de ambas compañías es de 0.5, ¿Cuál es la
probabilidad de que obtenga al menos una oferta de esas dos compañías?
A = compañía 1
B = compañía 2
P (A) = 0.8 P (B) = 0.6 P (A ∩ B) = 0.5
R= P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)
P (A U B) = 0.8 + 0.6 – 0.5= 0.9

2. La siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricación de
semiconductores. Supóngase que se elige al azar una oblea.
Sea A el evento en el que la oblea tiene altos niveles de contaminación.
Sea B el evento en el que la oblea está en el centro del instrumento.
a) ¿Cómo interpretas (A U B) Y (A ∩ B)?
R= (A U B) = {112 + 68 + 246} = 426
(A ∩ B) = {246}
b) Calcula la probabilidad de cada evento.
P (A) = 112 + 246 / 940 = 358 / 940 = 0.38
P (B) = 68 + 246 / 940 = 314 / 940 = 0.334
P (A U B) = 426 /940 = 0.4531
P (A ∩ B) = 246 / 940 = 0.2617

3. Un niño le pide a su mamá que le lleve cinco cartuchos de Game-BoyTM de su
colección de 10 juegos de arcada y 5 de deportes. ¿Cuántas maneras hay en que su
mamá le llevará 3 juegos de arcada y 2 de deportes, respectivamente?
n1 x n2= 120 x 10= 1200
R= 1200 formas.
4. En un año se otorgarán tres premios (a la investigación, la enseñanza y el servicio)
en un grupo de 25 estudiantes de posgrado del departamento de estadística. Si cada
estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿Cuántas selecciones posibles
habría?
R= 13,800 selecciones.

Participación 1
𝐴𝑛𝐵 = {𝑥𝑙𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑥 ∈ 𝐵} Son los elementos que pertenecen A y a B al
mismo tiempo.
𝐴𝑛𝐵 = {4,7}
𝐴 𝑐
= {5, 6, 11, 12, 13}
𝐵 ∪ 𝐶 = {4,5,6,7,8,9,10,11,12}
𝐴 ∩ 𝐶 = {7,8,9}

Ejercicios de conjuntos:
1. (𝐴 ∪ 𝐵) 𝐶
= {𝐷, 𝑂, 𝑃, 𝑍, 𝑌}
2. (𝐴 ∩ 𝐵) 𝐶
= {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐽, 𝐿, 𝐷, 𝑂, 𝑃, 𝑍, 𝐸, 𝑌}
3. 𝐴 𝐶
= {𝐽, 𝐿, 𝐷, 𝑂, 𝑃, 𝑍, 𝑌}
4. 𝐵 𝐶
= {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐸, 𝐷, 𝑂, 𝑃, 𝑍, 𝑌}
LEYES DE MORGAN
(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑐
= 𝐴 𝐶
∩ 𝐵 𝐶
El complemento de la unión es igual a la intersección
de los complementos.
(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑐
= 𝐴 𝐶
∪ 𝐵 𝐶
El complemento de la intersección es igual a la unión
de los complementos.
i) 𝐴 𝐶
∪ 𝐵 𝐶
= {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐸, 𝐷, 𝑂, 𝑃, 𝑍, 𝑌, 𝐽, 𝐿}
ii) 𝐴 𝐶
∩ 𝐵 𝐶
= {𝐷, 𝑂, 𝑃, 𝑍, 𝑌}

Participación 2
1. Encuentre los errores en casa una de las siguientes aseveraciones:
a) Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda 0, 1, 2 o 3 unidades en
un día dado de febrero son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente.
R= No pueden ser esas las probabilidades, debido a que se excede de 1 (100%), es decir,
que al sumarlas da 1.01 (101%).
b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la probabilidad de que no llueva es
0.52.
R= No pueden ser esas las probabilidades, debido a que juntas, es decir, al sumarlas debe
dar 1 (100%), y en este caso únicamente llega a 0.92 (92%) su sumatoria.
2. Si S= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A= {0, 2, 4, 6, 8}, B= {1, 3, 5, 7, 9}, C= {2, 3, 4, 5}, y
D= {1, 6,7}, liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes
eventos:
a) A u C= {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
b) A n B= Ǿ
3. Suponga que en un grupo de último año de facultad de 500 estudiantes se encuentra
que 210 fuman, 258 consumen bebidas alcohólicas, 216 comen entre comidas, 122
fuman y consumen bebidas alcohólicas, 83 comen entre comidas y consumen bebidas
alcohólicas, 97 fuman y comen entre comidas, y 52 tienen esos tres hábitos nocivos
para la salud. Si se selecciona al azar un miembro de este grupo, encuentre la
probabilidad de que el estudiante no fume ni coma entre comidas.
R= P (AuC)c
= 105/500 + 66/500= 171/500= 0.342

EJERCICIOS: REGLA DE BAYES
1. En cierta planta de ensamble, tres máquinas, B1, B2 y B3, montan 30, 45 y 25% de los
productos respectivamente. Por la experiencia pasada se sabe que 2, 3 y 2% de los productos
ensamblados por cada máquina, respectivamente, tienen defectos.
Ahora suponga selecciona de forma aleatoria un producto terminado, ¿cuál es la probabilidad
de que esté defectuoso?
Considere los siguientes eventos
A: El producto está defectuoso
B1: El producto está ensamblado con la máquina B1
P (A)= P(B1)P(A|B1) + P(B2) P(A|B2 ) + P(B3)P(A|B3)
P(B1)P(A|B1)= (0.3)(0.02)=0.006
P(B2) P(A|B2 )= (0.45)(0.03)=0.0135
P(B3)P(A|B3)= (0.25) (0.02)= 0.005
P(A)= 0.006 + 0.0135 + 0.005 = 0.0245
2. Una empresa de manufactura emplea tres planes analíticos para el diseño y desarrollo de
un producto específico. Por razones de costos, los tres se utilizan en momentos diferentes.
De hecho, los planes 1, 2, y 3 se utilizan, respectivamente, para 30, 20, y 50% de los
productos. La “tasa de defectuosos” es diferente para los tres productos, es decir;
P (D|P1)= 0.01, P (D|P2)= 0.03, P (D|P3)= 0.02

donde P (D|Pj) es la probabilidad de un producto defectuoso, dado el plan j. Si se observa un
producto al azar y se encuentra que está defectuoso, ¿cuál fue el plan que se usó con mayor
probabilidad y fue el responsable?
𝑃(𝑃1|𝐷) =
𝑃(𝑃1) + 𝑃(𝐷|𝑃1)
𝑃(𝑃1) + P (D|𝑃1) + 𝑃(𝑃2)P (D|𝑃2) + 𝑃(𝑃3)P (D|𝑃3)
(0.30)(0.01)
(0.3)(0.01) + (0.20)(0.03) + (0.50)(0.02)
0.003
0.019
= 0.158
𝑃(𝑃2|𝐷) =
(0.03)(0.20)
0.019
= 0.316
𝑃(𝑃3|𝐷) =
(0.02)(0.50)
0.019
= 0.526
EJEMPLOS ADICIONALES
1. Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los
autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea
3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1%
respectivamente, para cada línea.
A1= sevicio lineas 1
B1=sufre una avería

B2=no sufre una avería
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
P(B1) = p(A1). (p(B/A1) + p(A2). (p(B/A2) + p(A3). (p(B/A3)
P(B1) = (0.45)0.02+(0.25).0.03+(0.3).0.01= 0.0195
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
P(B2) = p(A1). p(B2/A1) + p(A2). p(B2/A2) + p(A3). p(B3/A3)
P(B2) = (0.45).0.98+(0.25).0.97+(0.3).0.99= 0.9805
P(B2)= 1- P(B1)= 1- 0.195= 0.9805
2. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a
cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos
tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de
una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer
aparato.
Suceso P: seleccionar el primer aparato
Suceso S: seleccionar el segundo aparato
Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con error
Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea
del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de
Bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos
produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
P(P/E) =
P(P)P(
E
P
)
P(P)P(
E
P
)+P(S)P(
E
S
)+P(T)P(P(
E
T
)
P(P/E) =
P(0.25)P(0.01)
P(0.25)P(0.01)+P(0.35)P(0.02)+P(0.4)P(P(0.03)
=0.0025/0.0215=
0.116=0.12 Ó 12%

EJERCICIO: MODELO DE URNA
HIPERGEOMÉTRICA: BINOMIAL:
Muestreo sin remplazo: Muestreo con remplazo:
1er intento: 1er intento:
P (extraer una pelota roja) = 4/7 P (extraer una pelota roja): 4/7
2do intento: 2do intento
P (extraer una pelota roja dado que P (extraer una pelota roja): 4/7
A salido una roja) = 3/6= ½ 3er intento:
P (extraer una pelota roja dado que P (extraer una pelota roja): 4/7
A salido una negra) = 4/6 = 2/3
Probabilidad de extraer una roja es constante.
El muestreo SIN remplazo es cuando no se regresa el objeto escogido, entonces disminuye la
cantidad de objetos.
El muestreo CON remplazo es cuando después de haber sacado el objeto se devuelve, entonces los
datos son constantes

EJERCICIOS: DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
1. El dueño de una casa planta 6 bulbos seleccionados al azar de una caja que contienen
5 bulbos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 bulbos de
narciso y 4 de tulipán?
N=9, n=6, K=4, X=2
P(X=X)=
(k
x)(N−k
n−x)
(N
n)
= P(X=2)=
(4
2)(9−4
6−2)
(9
6
)
=
30
84
= 0.357142857
2. De un lote de 10 misiles de corea del norte, se selecciona 4 al azar y se disparan. Si
un lote contiene 3 misiles defectuosos que no pueden dispararse. ¿Cuál es la
probabilidad de que?:
a) Los 4 puedan dispararse
N=10, n=4, K=7, X=4
P(X=X)=
(k
x)(N−k
n−x)
(N
n)
= P(X=4)=
(7
4)(10−7
4−4 )
(10
4
)
=
35
210
= 1/6= 0.167
b) A lo sumo fallen 2
P(X=0)=
(3
0)(10−3
4−0 )
(10
4
)
=
35
210
=1/6; P(X=1)=
(3
1
)(10−3
4−1
)
(10
4
)
=
105
210
=1/2; P(X=2)=
(3
2
)(10−3
4−2
)
(10
4
)
=
63
210
=3/10
P (1/6 +1/2+3/10) = 29/30= 0.966666666
3. Una empresa esta interesa en evaluar su procedimiento de inspecciona actual para
embarques de 50 artículos idénticos. El ejercicio consiste en tomar una muestra de 5
artículos y aceptar el embarque si no se encuentra más de 2 defectuosos. ¿Qué
proporción de embarques de 20% de artículos defectuosos se aceptarán?
N=50, n=5, K=10, X=0, 1, 2
P(X=0)=
(10
0 )(50−10
5−0
)
(50
5
)
=
658008
2118760
= 0.310562782; P(X=1)=
(10
1
)(50−10
5−1
)
(50
5
)
=
913900
2118760
=
0.431337197; P(X=2)=
(10
2
)(50−10
5−2
)
(50
5
)
=
444600
2118760
= 0.209839717

P (0.310562782+0.431337197+0.209839717) = 0.951739696
4. Una empresa de manufactura utiliza un esquema de aceptación para los artículos de
una línea de producción antes de que se embarquen. En plan tiene dos etapas, se
preparan cajas con 25 artículos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en
busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, se registra toda la caja para
verificar el 100% de ellos. Sino se encuentra artículos defectuosos la caja se embarca.
N=25, n=3, K=3, X=0, 1
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos?
P(X=0)=
(3
0)(25−3
3−0
)
(25
3
)
=
1540
2300
= 0.669565217
b) ¿Cuál es la probabilidad de que regrese para su revisión una caja que contengan
solo un articulo defectuoso?
P(X=1)=
(3
1
)(25−3
3−1
)
(25
3
)
=
693
2300
= 0.301304347
5. Una urna contiene 3 bolas verdes, 2 azules y 4 rojas. Calcule la probabilidad de que,
en una muestra aleatoria de 5 bolas, se seleccione las 2 bolas azules y al menos una
roja.
N=9, n=5, K=1, X= 2 (1,2), (2,1), (3,0)
P(X=2,1,2)=
(2
2)(4
1)(3
2
)
(9
5
)
= 2/21
P(X=2, 2,1)=
(2
2)(4
2)(3
1
)
(9
5
)
= 1/7
P(X=2, 3,0)=
(2
2)(4
3)(3
0)
(9
5
)
= 2/63
P (2/21+1/7+2/63) = 17/63= 0.2698

EJERCICIOS ADICIONALES
1. Un cargamento de 20 grabadoras contiene 5 defectuosos. Si 10 de ellas para revisión ¿Cuál
es la probabilidad de que 2 estén defectuosos?
N=20, n=10, K=5, X= 2
P(X=2)=
(5
2
)(20−5
10−2
)
(20
10)
=
64350
184756
= 0.348297213
2. De acuerdo al ejemplo anterior con una muestra de 100 grabadoras de los cuales 25 están
defectuosos.
N=100, n=25, K=5, X= 2
P(X=2)=
(25
2
)(100−5
25−2
)
(100
25
)
= 0.292

EJERCICIOS: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1. En cierto distrito de la ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se establece
como la razón del 75% de todos los robos. Encuentra la probabilidad de que entre los
siguientes 5 casos de robo que se reporten en este distrito,
A) exactamente 2 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.
B) al menos 3 resulten de la necesidad para comprar drogas.
𝑃(𝑋 = 𝐾) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝 𝑘
𝑞 𝑛−𝑘
A) 𝑃(𝑥 = 𝑘) = (
5
2
) (0.75)2 (0.25)5−2
= 0.0879
2. De acuerdo con Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990), aproximadamente
el 30% de todas las fallas de operación en las tuberías de plantas químicas son ocasionadas
por errores del operador.
A) ¿Cuál es la probabilidad que las siguientes 20 fallas en las tuberías al menos 10 se deban
a un error del operador?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 de 20 fallas se deban al error del operador?
C) suponga, para una planta especifica que de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas,
exactamente 5 sean errores de operación ¿considera que la cifra de 30% anterior se aplique a
esta planta?
Considerando a b(x; 20, 0.3)
A)𝑃(𝑥 ≥ 10) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 9) = 1 − 0.9520 = 0.0480
B)𝑃(𝑥 ≤ 4) = 0.2375
C) P(x=5) = 0.1789

3. De acuerdo con una investigación de la administrativa Mannagement Society la mitad de
las compañías estadounidenses dan a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15
años de servicio en la compañía. Encuestados al azar, el numero que da a sus empleados 4
semanas de vacaciones después de 15 años de servicio.
A) entre 2 y 5
B) menor que 3
A) P(8≤ 5)(
5
4
)(
1
2
)4
(
1
2
) + (
5
3
) (
1
2
)3
(
1
2
)2
+ (
5
2
) (
1
2
)2
(
1
2
)3
= 0.9843
P(X=1) = (
5
1
) (
1
2
) 1
(
1
2
) 4
= 0.0937
0.9843 – 0.0937= 0.89061
B) P(x≤ 3) = (
4
2
) (
1
2
)2
(
1
2
)3
+ (
5
1
) (
1
2
)1
(
1
2
)4
= 0.46875
4. Un prominente medico afirma que 70 pacientes de las personas con cáncer pulmonar son
fumadores empedernidos. Si su aceleración es correcta
A) encuentre la probabilidad de que 10 de tales pacientes con ingreso reciente en un hospital
menos de la mitad sean fumadores empedernidos
B) encuentre la probabilidad de que 20 de tales pacientes que recientemente hayan ingresado
al hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos.
A) Por n=10, P(X<5) = P (X≤ 4) = 0.0474
B) Por n=20, P(X<10)= P(X≤ 9) = 0.0171

5. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la universidad de
Massachusetts, aproximadamente 60% de los consumidores de Valium en el estado de
Massachusetts tomaron Valium por primera vez a causa de problemas psicológicos.
Encuentra la probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados de este
estado,
A) exactamente 3 comenzaron a tomar Valium por problemas psicológicos.
B) al menos 5 comenzaron a consumir Valium por problemas que no fueron psicológicos.
A) P(X=3) = b(3: 8, 0.6) = P(X≤ 3) − 𝑃(𝑋 ≤ 2)
0.1737 − 0.0498 = 0.1239
B) P(X≥ 5) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 4)
1− 0.4059 = 0.5941
EJEMPLOS ADICIONALES
1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los
lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
A) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
B (4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
B) ¿Y cómo máximo 2?

2. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es
la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que
acierte por lo menos en una ocasión?
B (10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

EJERCICIOS: DISTRIBUCIÓN NORMAL
EJEMPLO 6.2
Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que yace
a) a la derecha de z= 1.84 y
b) encuentre z=-1.97 y z= 0.86
Solución:
a) El área en la figura a) a la derecha de z=1.84 es igual a uno menos el área en la tabla a la
izquierda de z= 1.84; a saber, 1-0.9671= 0.0329.
b) El área en la figura b) entre z=-1.97 y z=0.86 es igual al área a la izquierda de z= 0.86
menos el área a la izquierda de z= -1.97. De la tabla encontramos que el área que se desea es
0.8051-0.0244=0.7807.
EJEMPLO 6.3
Dada una distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que
a) P(Z>k)= 0.3015 y

b) P(k <Z < -0.18)= 0.4197
Solución:
a) En la figura a) vemos que el valor k que deja un área de 0.3015 a la derecha debe dejar
entonces un área de 0.6985 a la izquierda. De la tabla se sigue que k= 0.52.
b) De la tabla notamos que el área total a la izquierda de -0.18 es igual a 0.4286. En la
figura b) vemos que el área entre k y -0.18 es 0.4197, de manera que el área a la izquierda de
k debe ser 0.4286-0.4197= 0.0089. Por lo tanto, de la tabla, tenemos k= -2.37.
EJEMPLO 6.4
Dada una variable aleatoria X que tiene una distribución normal con µ=50 y σ=10, encuentre
la probabilidad de que X tome un valor entre 45 y 62.

Solución:
Los valores z que corresponden a x1= 45 y x2= 62 son
𝑍1 =
45 − 50
10
= −0.5 𝑦 𝑍2 =
62 − 50
10
= 1.2
Por lo tanto,
P (45 < X < 62)= P (-0.5 <Z< 1.2)
La P (-0.5 < Z < 1.2) se muestra por el área de la región sombreada de la figura. Esta área se
puede encontrar al resta el área a la izquierda de la ordenada = -0.5 de toda el área a la
izquierda de z=1.2. Usando la tabla, tenemos
P (45 <x<62)= P (-0.5 <z< 1.2) = P (z < 1.2) – P (z<-0.5)= 0.8849 – 0.085= 0.5764
EJEMPLO 6.5
Dado que x tiene una distribución normal con µ=300 y σ=50, encuentre la probabilidad de
que x tome un valor mayor que 362.
Solución:
La distribución de probabilidad normal que muestra el área que desea se representa en la
figura. Para encontrar la P (x>362), necesitamos evaluar el área bajo la curva normal a la
derecha de x= 362. Esto se puede realizar al transformar x= 362 al valor z correspondiente,
al obtener el área a la izquierda de z de la tabla y después restar esta área de 1.

𝑧 =
362 − 300
50
= 1.24
De aquí
P (x > 362)= P (z>1.24) =1-0-8925= 0.1075.
EJEMPLO 6.6
Dada una distribución normal con µ=40 y σ=6, encuentre el valor x que tiene
a) 45% del área a la izquierda y
b) 14% del área a la derecha

Solución:
a) En la figura a) se sombrea un área de 0.4 a la izquierda del valor x que se desea.
Requerimos un valor z que deje un área de 0.45 a la izquierda. De la tabla encontramos P (Z
< -0.13)= 0.45, por lo que el valor de Z que desea es -0.13. De aquí
x= 6(-0.13) + 40= 39.22
b) En la figura b) sombreamos un área igual a 0.14 a la derecha del valor x que se desea. Esta
vez requerimos un valor z que deje 0.14 del área a la derecha y, por ello, un área de 0.86 a la
izquierda. De nuevo, de la tabla, encontramos P (Z < 1.08) = 0.86, por lo que el valor Z que
se desea es 1.08 y
x= 6 (1.08) + 40= 46.48
EJEMPLO 6.7
Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio, 3.0 años, con una desviación
estándar de 0.5 años. Suponiendo que las duraciones de la batería de distribuyen
normalmente, encuentre la probabilidad de que una batería dada dure menos de 2.3 años.
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑍 =
2.3 − 3
0.5
= −1.4

𝑃 (𝑥 < 2.3) = 𝑃 (𝑍 < −1.4) = 0.0808
EJEMPLO 6.8
Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración, antes de
quemarse (fundirse) que se distribuye normalmente con una media igual a 800 horas y una
desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una bombilla se queme 77
y 84 horas.
Solución:
La distribución de vida de las bombillas se ilustra en la figura 6.15. Los valores z que
corresponden a x1 = 778 y x2 = 834 son
𝑧1 =
778 − 800
40
= −0.55 𝑦 𝑧2 =
834 − 800
40
= 0.85
Por lo tanto,
P (778<X<834)= P(−0.55<Z<0.85)= P (Z < 0.85) −P (Z <− 0.55) = 0.8023 −0.2912 =
0.5111.
EJEMPLO 6.9
En un proceso industrial el diámetro de un cojinete de bolas es una medida importante. El
comprador establece que las especificaciones en el diámetro sean 3.0 ± 0.01 cm. Esto implica
que no se aceptara ninguna parte que no cumpla estas especificaciones. Se sabe que en el
proceso el diámetro de un cojinete tiene una distribución normal con media μ = 3.0 y una

desviación estándar σ = 0.005. En promedio, ¿cuántos de los cojinetes fabricados se
descartaran?
La distribución de los diámetros se ilustra en la figura. Los valores que corresponden a los
limites especificados son x1 = 2.99 y x2 = 3.01. Los valores z correspondientes son
𝑧1 =
2.99 − 3.0
0.005
= 𝑦 𝑧2 =
3.01 − 3.0
0.005
= +2.0
Por lo tanto
P (2.99 < X < 3.01) = P (−2.0 < Z < 2.0).
A partir de la tabla, P (Z < –2.0) = 0.0228. Debido a la simetría de la distribución normal,
encontramos que P (Z <−2.0) +P (Z > 2.0) = 2(0.0228) = 0.0456.
Como resultado se anticipa que, en promedio, se descartaran 4.56% de los cojinetes
fabricados.
EJEMPLO 6.10
Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes en los que cierta dimensión no
esté dentro de la especificación 1.50 ± d. Se sabe que esta medida se distribuye normalmente

con una media de 1.50 y una desviación estándar de 0.2. Determine el valor d tal que las
especificaciones “cubran” 95% de las mediciones.
Solución:
P (−1.96 < Z < 1.96) = 0.95.
Por lo tanto,
1.96 =
(1.50 +𝑑) −1.50
0.2
,
de la que obtenemos
d = (0.2)(1.96)= 0.392.

EJEMPLO 6.11
Cierta máquina fabrica resistencias eléctricas que tienen una resistencia media de 40 ohms y
una desviación estándar de 2 ohms. Si se supone que la resistencia sigue una distribución
normal y que se puede medir con cualquier grado de precisión, ¿qué porcentaje de
resistencias tendrán una resistencia que exceda 43 ohms?
Se obtiene un porcentaje multiplicando la frecuencia relativa por 100%. Como la frecuencia
relativa para un intervalo es igual a la probabilidad de caer en el intervalo, debemos calcular
el área a la derecha de x = 43 en la figura. Esto se puede hacer transformando x = 43 al valor
z correspondiente, con lo cual se obtiene el área a la izquierda de z de la tabla, y después se
resta esta área de 1. Encontramos que
𝑧 =
43 − 40
2
= 1.5
Por lo tanto,
P (X > 43) = P (Z > 1.5) = 1−P (Z < 1.5) = 1−0.9332 = 0.0668.
Así, 6.68% de las resistencias tendrán una resistencia que exceda 43 ohms.

EJERCICIOS ADICIONALES
1. La calificación promedio para un examen es 74 y la desviación estándar es 7. Si 12% del
grupo obtiene A y las calificaciones siguen una curva que tiene una distribución normal,
¿cuál es la A más baja posible y la B más alta posible?
En este ejemplo comenzamos con un área de probabilidad conocida, calculamos el valor z y
después determinamos x con la fórmula x = σz + μ. Un área de 0.12, que corresponden a la
fracción de estudiantes que reciben A, está sombreada en la figura 6.20. Necesitamos un valor
z que deje 0.12 del área a la derecha y, por lo tanto, un área de 0.88 a la izquierda. A partir
de la tabla A.3, P (Z < 1.18) tiene el valor más cercano a 0.88, de manera que el valor z que
se desea es 1.18. En consecuencia,
x = (7)(1.18) + 74 = 82.26.
2. El departamento de personal de una empresa requiere que los solicitantes a un puesto en
cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se
distribuyen normalmente con media  485 y desviación estándar  30 ¿Qué porcentaje
de los solicitantes pasará la prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:




X
Z = 5.0
30
485500


Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas = (0.5). Z0.5 = 0.69146 = 69.146%. donde
la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 es P (X <= 500). Dado que el
porcentaje pedido es )500( XP la solución es 1-0.69146 =0.3085, por tanto sólo 30.85%
de los participantes pasarán la prueba.
Otra forma es tomando la Z como negativa con P (Z <= -0.5) = 0.3085.
485
Z.05
30.85%

MÉTODOS DE MUESTREO
Muestreo irrestricto aleatorio:
Se caracteriza porque cada individuo de la población tiene la misma probabilidad de ser
elegido, en la muestra. En la práctica se desarrolla numerando a los individuos de la población
y extrayendo una serie de números aleatorios que determinaran los individuos seleccionados.
Se requiere saber la calidad de unos zapatos de un lote de 1000 pares. “La calidad se refiere
a cuanto a su fuerza de pegado”.
Muestreo aleatorio estratificado:
Es un tipo de muestreo que contempla una fuente de variabilidad, es decir, segmento la
población por regiones o características para su muestreo, con el fin de disminuir el error al
extrapolar la conclusión del estudio. Es posible estudiar cada estrato como una subpoblación
y llegar a sus propias conclusiones.
Supongamos que el suelo de un cementerio está dividido en 4 zonas diferentes y se quiere
saber la concentración de minerales y cal dentro de esos 4 sectores.
Población
Población
Estrato 3
Estrato 2
Estrato 1

Muestreo por conglomerados:
Es un tipo de muestreo que divide la población por conglomerados, es decir, un subconjunto
de la población que, en términos generales, posee una variabilidad parecido al global, pero
en pequeños grupos que compartan características.
Se requiere saber el nivel de estrés de los alumnos del Tec. (ITSSY)
Muestreo sistemático:
Se aplica cuando la población es bastante irregular respecto al carácter que estamos
estudiando y deseamos que, en la muestra, con dicho número “k” obtenido será el intervalo
entre cada elemento muestreado.
Se requiere saber el nivel de satisfacción de 100 clientes de un restaurant a lo largo de un día.
A
B

TLC (Teorema del Límite Central)
El teorema del límite central (TLC) nos garantiza un patrón de comportamiento normal
estándar de la media de una muestra de tamaño n tomada de una misma población siempre
y cuando cumpla con una condición. El TLC dice que si se cumple la condición de que
n(número de elementos) es suficientemente grande entonces su distribución será una
normal estándar con media 𝜇 y varianza
𝜎
√ 𝑛
expresada por la siguiente fórmula.
𝑋̅ ∼ 𝑁(𝜇,
𝜎
√ 𝑛
) 𝑛(𝑧; 0,1)
Cosas a considerar del Teorema de Límite Central.
1. Sin importar la distribución de la población el TLC garantiza que las medias muestrales
tiene una distribución normal.
2. La media de la distribución muestral de las medias coincide con la media poblacional.
3. La varianza de la distribución de las medias muetrales está relacionada con la varianza
poblacional por medio de la expresión
𝜎2
𝑛
. También nos dice que mientras más grande sea el
valor de n la varianza muestral más se acercará al valor de la varianza poblacional,
sucediendo lo contrario si n disminuye.
Generalmente para los estadísticos el tamaño de n suficientemente grande es 𝑛 ≥ 30.
Ejemplo:
Si se lanza un dado la distribución de puntajes promedios provenientes del experimento de
lanzamiento se observa un comportamiento normal en cuanto aumenta el número de dados
lanzados.

Distribución de probabilidad para x, el número que aparece con un solo tiro del dado.
Cuando n=1.
Distribución muestral para la media de cada resultado que aparecen en al tirar dos dados.
Cuando n=2.
Distribución muestral para las medias de cada combinación de posibles resultados al tirar
tres dados. Cuando n=3.

La distribución muestral para las medias de cada combinación de posibles resultados al tirar
4 dados. Cuando n=4.
Al generar las distribuciones muestrales de 𝑋̅ cuando n = 3 y n = 4. Para n = 3, la distribución
muestral con toda claridad muestra la forma de montículo de la distribución normal de
probabilidad, todavía centrada en 𝜇 = 3.5 y para n=4 esto se observa de mejor manera como
tiene a una normal estándar. Observe también que la dispersión de la distribución es
lentamente decreciente cuando aumenta el tamaño muestral n. Este fenómeno es el resultado
de un importante teorema estadístico llamado teorema del límite central (TLC).

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL MEDIA
1. Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas que tienen una duración que se
distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y una desviación
estándar de 40 horas. Calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 bombillas
tenga vida promedio de menos de 775 horas.
µ=800; σ= 40; x¯ =775 n=16
𝜎 𝑥=
𝜎
√ 𝑛
𝜎 𝑥=
40
√16
=10
𝑍=
x¯ −µ
𝜎 𝑥
=
775−800
10
=−2.5
P(X≤775) = P(Z≤-2.5) = 0.0062

2. El viaje en un autobús especial para ir del ITSSY a la UTR toma en promedio 28 minutos,
con una desviación estándar de 5 minutos. En cierta semana un autobús hizo el viaje 50 veces.
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio del viaje sea mayor a 30 minutos?
Suponga que el tiempo promedio se redondea al entero más cercano.
µ=28; σ= 5; x¯ =30; n=40
𝑍=
x¯ −µ
𝜎
√ 𝑛
=
30−28
5
√40
=
2
0.7905
=2.53
P(X≥30) = P(Z≥2.53) = 0.9943
1-0.9943= 0.0057

3. Se fabrica cierto tipo de hilo con una resistencia a la tracción media de 78.3 kilos y una
desviación estándar de 5.6 kilos. ¿Cómo cambia la varianza de la media muestral cuando el
tamaño de la muestra aumenta de 64 a 196?
𝜎 𝑥=
𝜎
√ 𝑛
varianza σ2
𝜎 𝑥=
5.6
√64
=0.7
σ2
= (0.7)2
= 0.49
𝜎 𝑥=
5.6
196
=0.4
σ2
= (0.4)2
= 0.16
Solución: La varianza cambia de forma indirecta, es decir, cuando el tamaño de la muestra
aumenta n~∞ la varianza disminuye o se estabiliza. Ocurre lo contrario cuando disminuye,
la varianza aumenta o se estabiliza. Lo anterior tiene mucho que ver con el teorema de limite
central, es decir, el tamaño de la muestra afecta a la varianza.

4. Si cierta maquina fabrica resistencias eléctricas que tienen una resistencia media de 40
ohms y una desviación estándar de 20 ohms, ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra
aleatoria de 36 de estas resistencias tenga una resistencia combinada de más de 1458 ohms?
µ=40x36=1440; σ=2x36=72; x¯ =1448
𝑍=
x¯ −µ
𝜎
√ 𝑛
=
1458−1440
72
√36
=
18
12
=1.5
P(X>1458) = P(Z>1.5) = 0.9332
=1-0.9332=0.0668

5. La vida media de una máquina para elaborar pan es de 7 años, con una desviación estándar
de 1 año. Suponga que la vida de estas máquinas sigue aproximadamente una distribución
normal y calcule la probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas
máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años.
µ=7; σ=1; x¯ =6.4, 7.2; n=9
𝑍=
x¯ −µ
𝜎
√ 𝑛
=
6.4−7
1
√9
=
0.6
0.33
=−1.81 ; 7.2−7
1
√9
=
0.2
0.33
=0.60
P(-1.81<X<0.60) = P(Z<0.60)-P(Z<-1.81)
= 0.7257-0.0359
=0.6898

6. En el ejercicio anterior, ¿Cuál es el valor de x a la derecha del cual caería 15% de las
medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño 9?
µ=7; σ=1; x¯ =?; n=9
1-0.15= 0.85
Z=0.85=1.04
𝑍=
x¯ −µ
𝜎
√ 𝑛
=
x¯ −7
1
√9
=
X=1.04(
1
3
)+ 7 = 7.35

7. Un ingeniero químico afirma que el rendimiento de la población de un cierto proceso de
lotes es 500 gramos por mililitro de materia prima. Para verificar dicha afirmación muestrea
25 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre -t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su
afirmación. ¿Qué conclusión debería sacar de una muestra que tienen una media x= 518
gramos por mililitro y una desviación estándar muestral s= 40 gramos? Suponga que la
distribución de rendimientos es aproximadamente normal.
T~tn-1 = 24
-t0.05, 24=-1.711
-t0.05, 24=-1.711
𝑡 =
518−500
40
√25
⁄
=
18
8
= 2.25
Para la muestra obtenida el valor de t calculada es 2.25, este valor está arriba de 1.711, si
µ=500 entonces la probabilidad de obtener un valor t, con 24 grados de libertad, igual o
mayor 2.25 es aproximadamente menor que 0.05.

Actividad de complemento.
1. En el último año, el peso de los recién nacidos tuvo una media de 3000 gr. y desviación
estándar de 140 gr. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién
nacidos sea inferior a 3030 gr.?
µ=300; σ=140gr; n=100; x¯ 1=159; x¯ 2=165cm
𝜎 𝑥=
𝜎
√ 𝑛
=
140
√100
=
140
10
=14
𝑍=
x¯ −µ
𝜎
√ 𝑛
=
3030−3000
14
=2.14
P(x¯ ≤3030)=P(x¯ ≤2.14)

2.- Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue una
distribución normal de media 162 cm y desviación estándar de 12 cm. Se toma una muestra
al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media.
¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm?
µ=162cm; σ=12cm; n=100; x¯ 1=159; x¯ 2=165cm
𝜎 𝑥=
𝜎
√ 𝑛
=
12
√100
=
12
10
=1.2
𝑍1= 159−162
1.2
=−2.5 𝑍2= 165−162
1.2
=2.5
P(159x¯ ≤165)=P(-2.5x¯ ≤2.5)
= P(x¯ ≤2.5)- P(x¯ ≤-2.5)
=0.9938-0.0062
=0.9876

3. En una casa de retiro la edad de las personas tiene una media de 76 años y una desviación
estándar de I0 años. Se toma una muestra de 30 ancianos, ¿cuál es la probabilidad de que la
media sea inferior a 74 años?
µ=76 años; σ=10 años; n=30; x¯ =74años
𝜎 𝑥=
𝜎
√ 𝑛
=
10
√30
=1.82
𝑍=
x¯ −µ
𝜎
√ 𝑛
=
74−76
1.82
=−1.09
= P(x¯ ≤74)= P(x¯ ≤-1.09)=0.1379

4. Se sabe que los sueldos de los trabajadores de una empresa están normalmente con una
media de $800. Se toma una muestra aleatoria de 25 trabajadores y con una desviación
estándar de $200. Encuentra la probabilidad de que la media muestral exceda los $866.
µ=800; σ=200; n=25; x¯ =886
𝜎 𝑥=
𝜎
√ 𝑛
=
200
√25
=
200
5
=50
𝑍=
x¯ −µ
𝜎
√ 𝑛
=
886−800
50
=1.72
= P(x¯ ≤886)= 1-P(≤886)
=1-P(≤1.72)= =1-0.9573
=0.0421

INTERVALOS DE CONFIANZA
Intervalos de confianza para la media con varianza conocida.
1. El contenido de las bolsas de leche tiene una distribución aproximadamente normal
con varianza de 0.1 litros. Se toma una muestra aleatoria de bolsas llenas, se mide el
contenido y se obtiene 0.975,0.950,0.931,1.103,1.038,0.920,0.935,0.907,0.809. con una
varianza de construir un IC del 95% para la media µ.
n=9; x¯ =0.952; σ2
=0.1; NC=95% α=5% ; Zα/2 =±1.96
µ=
∑ 𝑋
𝑛
=
0.975+0.950+0.931+1.103+1.038+0.920+0.935+0.907+0.809
9
=
8.568
9
= 0.952
x¯ - Zα/2
𝜎
√ 𝑛
< µ < x¯ + Zα/2
𝜎
√ 𝑛
0.952- 1.96
0.1
√9
< µ <0.952+ 1.96
0.1
√9
0.745 < µ < 1.159

2. Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de una facultad para estimar la
calificación media de los expedientes de los alumnos de la facultad. Se sube por otros cursos
que la desviación típica de las puntuaciones en dicha facultad es de 2.01 puntos. La media de
la muestra fue de 4.9.
Construir un intervalo de confianza al 90%
n=25; x¯ =4.9; σ=2.01 NC=90% α=10%; Zα/2 = Z0.05=±1.64
x¯ - Zα/2
𝜎
√ 𝑛
< µ < x¯ + Zα/2
𝜎
√ 𝑛
4.9- 1.64
2.01
√25
< µ <4.9+ 1.64
2.01
√25
4.24 < µ < 5.56

Intervalo de confianza para la varianza
3. Se sometió a un grupo de individuos a una dieta especial y al final se les midió el
nivel de colesterol en el plasma, los resultados fueron los siguientes: 6.0, 6.4, 1.0, 5.8, 6.0,
5.8, 5.9, 6.7, 6.1, 6.5, 6.3, 5.9 [mmol/litros]. Suponiendo que la población de colesterol tiene
una distribución normal, construya el intervalo de confianza para la varianza poblacional del
nivel de colesterol con una desviación muestra de 0,392. Nivel de confianza de 96%
n=12 S=0.392 NC=95% α=0.5%
(𝑛−1)𝑆2
𝜒2 𝑥
2⁄ ,𝑛−1
≤ 𝜎2
≤
(𝑛−1)𝑆2
𝜒21−𝛼
2⁄ ,𝑛−1
χ2
α/2,n-1=- χ2
0.025,11=21.920
=
(12−1)(0.392)2
21.92
≤ 𝜎2
≤
(12−1)(0.392)2
3.816
χ2
1-α/2,n-1=- χ2
0.975,11=3.816
0.0771≤ σ 2
≤0.4429

4. Estimar la varianza de una población normal, con una muestra de 22 elementos que
alcanzo una varianza muestra de 16. Calcular un intervalo de confianza para σ2
del 95%
n=22 S=16 NC=95% α=0.5%
(𝑛−1)𝑆2
𝜒2 𝑥
2⁄ ,𝑛−1
≤ 𝜎2
≤
(𝑛−1)𝑆2
𝜒21−𝛼
2⁄ ,𝑛−1
χ2
α/2,n-1=- χ2
0.025,21=35.479
=
(22−1)16
35.479
≤ 𝜎2
≤
(22−1)16
10.283
χ2
1-α/2,n-1=- χ2
0.975,21=10.283
9.4703≤ σ 2
≤32.6759

Intervalo de confianza para la diferencia de medidas
5. Se aplica una prueba estandarizada a 50 niñas y 75 niños. Las niñas una calificación
promedio de 76 puntos y los niños de 82 puntos. Encuentre un intervalo de 95% para la
diferencia de medias suponiendo que la desviación estándar de las poblaciones para las niñas
es de 6 y para la población de niños es de 8.
n1=50 niñas;
n2=75 niños;
x1=76;
x2=82;
NC=95%;
α=5%;
Zα/2=Z0.025±1.96
σ1=6 σ1
2
=36
σ2=8 σ2
2
=6

z) =( x1- x2)- Z= α/2√
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
= (76-82)-1.96√
62
50
+
82
75
= -6 -1.96(1.5733) = -6-2.4584
= -8.4584
z) =( x1- x2)- Z= α/2√
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
= -6+1.96√
62
50
+
82
75
= -6 +2.4584 = -3.5415
-8.458≤µ1-µ2≤-3.5415

6. Se lleva a cabo un experimento donde se comparan dos tipos de motores A Y B, se
mide el rendimiento de combustible en millas por galón. Se realiza 50 experimentos con el
motor tipo A y 75 con el motor tipo B, la gasolina que se utiliza y las demás combinaciones
se mantienen constantes. el rendimiento promedio para el motor B es de 42 millas por galón.
Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre µB-µA, donde µA y µB son el
prendimiento de combustible medio poblacional para los motores. A y B, respectivamente.
Supongo que las desviaciones estándar poblaciones son 6 y 8 para los motores, A Y B
respectivamente.
Solución.
La estimación puntual de µB-µA es x¯ B - x¯ A= 45- 3. Usando x=0.04, encontramos
Z0.02=2.05. de aquí con la sustitución en la formula anterior, el intervalo de confianza de 96%
es:
6-2.05√
64
75
+
36
50
< µB-µA < 6+2.05√
64
75
+
36
50
o simplemente R= 3.43 ≤ µB-µA ≤ 8.57

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