La distribución multinomial generaliza la distribución binomial para permitir más de dos resultados posibles. Describe ensayos independientes donde cada uno puede resultar en uno de k resultados mutuamente excluyentes con probabilidades p1,...,pk. La probabilidad de obtener x1 resultados del tipo 1, x2 del tipo 2, etc. en n ensayos se expresa como una función de n, x1,...,xk y p1,...,pk. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cómo calcular estas probabilidades.

1. DISTRIBUCIÓN
MULTINOMIAL

2. • La distribución multinomial es una
generalización de la distribución binomial, en
la cual sólo hay dos posibles resultados: éxito
y fracaso.
• En la D.M. el número de resultados es 𝑘 > 2

3. • Hay ensayos o pruebas independientes.
• Cada ensayo resulta en alguno de
los 𝑘posibles resultados mutuamente
excluyentes.
• En cada ensayo, estos 𝑘 resultados ocurren
con probabilidades 𝑝1, … , 𝑝 𝑘.
𝑖=0
𝑘
𝑝𝑖 = 1
𝑛

4. • Sea 𝑥𝑖 que representa el número de
ocurrencias del resultado 𝑖.
Entonces
𝑃 𝑋1 = 𝑥1, … , 𝑋 𝑘 = 𝑥 𝑘 =
𝑛!
𝑥1! … 𝑥 𝑘!
𝑝1
𝑥1 … 𝑝 𝑘
𝑥 𝑘
y
𝑖=0
𝑘
𝑥𝑖 = 𝑛

5. Ejemplo 1
• La distribución de tipos de sangre (sistema ABO) en
cierto país es :
En una muestra aleatoria de 10 personas, ¿cuál es la
probabilidad de que 6 tengan sangre tipo O, 2 tipo A, 1
tipo B, y uno tipo AB?
Tipo de
sangre
O A B AB
Probabilidad 0.44 0.42 0.10 0.04

6. Solución:
Usando la fórmula anterior
𝑃 𝑋1 = 𝑥1, … , 𝑋 𝑘 = 𝑥 𝑘 =
𝑛!
𝑥1! … 𝑥 𝑘!
𝑝1
𝑥1 … 𝑝 𝑘
𝑥 𝑘
Tenemos que
𝑃 𝑋1 = 6, 𝑋2 = 2, 𝑋3 = 1, 𝑋4 = 1 =
=
10!
6! 2! 1! 1!
0.44 6 0.42 2 0.10 0.04 =
= 0.0129
Por lo tanto la probabilidad es
1.29%

7. Ejemplo 2
Una urna contiene 8 bolas rojas, 3 amarillas y 9 blancas. Se
extraen 6 aleatoriamente (regresando cada una después de
sacarla). ¿Cuál es la probabilidad de que 2 sean rojas, 1
amarilla y 3 blancas?

8. Solución:
𝑃 𝑋1 = 2, 𝑋2 = 1, 𝑋3 = 3 =
=
6!
2! 1! 3!
8
20
2
3
20
9
20
3
=
= 0.13122
Por lo tanto la probabilidad es
13.12%

9. Referencia:
Walpole, M. (1997). Probabilidad y Estadística
(Cuarta edición ed.). México, México:
McGraw-Hill.

10. GRACIAS