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   5Ejemplos de
   Distribución
                           ELIZABETH GRIJALVA
                           ROCHA
                           AQUÍ SE MUESTRAN 5 EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES




                    UTT

  [Escribir la dirección
        de la compañía]

 [Escribir el número de
               teléfono]

 [Escribir el número de
                   fax]

18 DE MARZO DEL 2012
Distribución de bernoulli.
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál
es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
                        P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =
0.111


° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
                        P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para
así poder darles un premio, pero la maestra los
seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
                        P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =
0.0625


° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero
16.
                        P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =
0.9375
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,
al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay
para que pueda salir premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
                         P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =
1/342 = 0.00292


° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero
342.
                         P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =
341/342 = 0.99707


4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga
cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:
el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso
(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen
en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles:
0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que
cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
 P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
 P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando

“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la

respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone

“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se

desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.

Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a partir

del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas

Binomial (n,p)

n: Número de pruebas          20

p: Probabilidad de éxito     0,7500

Punto K               14

Probabilidad Pr[X=k] 0,1686

Cola Izquierda Pr[X<=k]     0,3828

Cola Derecha Pr[X>k]       0,6172

Media            15,0000

Varianza            3,7500

La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.
Distribución poisson


    Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo
el 3% de los alumnos de contabilidad son
muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad
de que si tomamos 100 alumnos al azar 5
de ellos sean muy inteligentes
   n= 100
   P=0.03

         =100*0.03=3
   x=5
    Ejemplo2.- La producción de
televisores en Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma
un lote o muestra de 85 televisores,
obtener la probabilidad que existan 4
televisores con defectos.
   n=85
   P=0.02
   P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746


   X=4
=1.7
    Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos
15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar
3 de ellos hablan ruso
   n=20
    P=0.15 P (x=3)=(e^-
8)(3^3)/3!=0.2240418
   X=3

          =3
    Ejemplo4.- El 8% de los registros
contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra
de 40 registros ¿Calcular probabilidad de
que existan 5 registros con problemas?
   n=40
   P=0.08
P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

           =3.2
   X=5
Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el
20% de las personas tienen defecto de la
vista si tomamos una muestra de 50
personas al azar ¿Calcular Probabilidad
que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08

    =10
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL



1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar
de 14.0
                        µ = 80
                            σ = 14           z




a) Calcule la probabilidad de un valor
   localizado entre 75.0 y 90.0
   p (75 ≤ x ≤ 90)                                           75 80       90
                                    Probabilidad                 μ

                                    acumulada.
   z                            =     0.7611

   z                            = 0.3594


   p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
   p(x ≤ 75)
                                    Probabilidad
                                    acumulada.
   z                                  0.3594

           p(x ≤ 75) = 0.3594
                                                             75 80
                                                                 μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
   p (55 ≤ x ≤ 70)
                                    Probabilidad
                                    acumulada.
   z                                = 0.2389

   z                                = 0.0367


   p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022        55     70
                                                                μ
                                                                    80
2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

                  µ= $70,00
                     σ =$20,0      z



a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
   p(x ≥ 80,000)
                                         Probabilidad
             –                           acumulada.
   z                                     = 0.6915


   p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
                                                               70000 80000
                                                                 μ




b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
   p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
                                          Probabilidad
             –                            acumulada.
   z                                     = 0.6915

             –
   z                                      = 0.4013

                                                           65000 70000 80000
                                                                  μ
   p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902



c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
   p(x ≥ 65,000)
                                           Probabilidad
             –                             acumulada.
   z                                      = 0.4013


   p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
                                                          65000 70000
                                                                 μ
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de
24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de
Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que
la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York
tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación
estándar es de 7.5 minutos.


          µ = 38.3 min.

          σ = 7.5 min.    z



a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
   menos de 30 minutos?
   p( x ≤ 30)
                                      Probabilidad
         –                            acumulada.
   z                              = 0.1335


   p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%                         30        38.3
                                                                   μ

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
   p(30 ≤ x ≤ 35)
                                      Probabilidad
         –                            acumulada.
   z                              =     0.3300
         –
   z                              =     0.1335
                                                        30   35    38.3
                                                                   μ
   p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
   p(30 ≤ x ≤ 40)
                                      Probabilidad
         –                            acumulada.
   z                              =     0.5910

                                        0.1335
–
        z                                   =
                                                            30   38.3
                                                                  μ
     p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%
 4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond,
 Virginia,      tiene                                              una
 distribución              µ = 1,200                     normal, con
 una media de              σ = 225                       $1,200      y
 una     desviación                  Probabilidad        estándar de
                                      acumulada.
                                                  z
 $225.             Al                                       fabricante
                               5% = .0500
 le         gustaría                                        establecer
 niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de
 que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles
 de inventario?




1 - 0.0500 = 0.9500
  Valor z = 1.65

                                –                                 5% ó 0.0500
    z                 1.65




                                                                     X=
   x = 1,571.25                                                   1,571.25




                      µ = 20,082                        z
                      σ = 4,500
 5.-En 2004                  Probabilidad       Valor
                                                       y 2005, el
 costo                       acumulada.         de z   medio anual
 para asistir     95% = .9500 =                        a         una
                                                         universidad
 privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la
 distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de
 probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El
 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de
 ¿Qué cantidad?
–   95% ó 0.9500
z             1.64




x = 27,462.                               X=
                                        27,462
                                        75
Distribución de gamma.

El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad
de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta
la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a, p)

a : Escala          6,0000

p : Forma            2,0000

Punto X             1,0000

Cola Izquierda Pr [X<=k]     0,9826

Cola Derecha Pr [X>=k]       0,0174

Media               0,3333

Varianza             0,0556

Moda                0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo paciente es 0,98.
Ejercicio 2

Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una
distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.

2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor
que 0,1.

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala          0,8100

p : Forma            7,8100

Cola Izquierda Pr[X<=k]     0,9000

Cola Derecha Pr[X>=k]        0,1000

Punto X             14,2429

Media              9,6420

Varianza             11,9037

Moda                8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de una pieza es una g (0.5 , 2).
El precio de venta de la misma es de 5 mil euros y el de fabricación de mil
euros. ¿A cuanto debemos cobrar la hora de reparación para obtener un
beneficio medio de 3 mil euros?


Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio medio, E(B), sea 3.


El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo
igualamos a 3, de donde se deduce que K=1/4, es decir 250 euros, para
obtener un beneficio de 3 mil euros.
Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.
Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado
cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión
deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:




                     520        521        511          513         510   µ=500 h
                     513        522        500          521         495   n=25
                     496        488        500          502         512   Nc=90%
                     510        510        475          505         521   X=505.36
                     506        503        487          493         500   S=12.07




SOLUCIÓN.
           t= x -μ

           SI   n                 α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

                Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.




                                                  El profesor Pérez olvida poner su despertador
3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el
despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada
10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?

Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en
base a los siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación
traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan
en el enunciado.

                        P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que
calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la
formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:

                           P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,
sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir
como: P(T¯) =      +     =0.69




                                   La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica
tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra
de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es
del 99.02%



                                           Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de
                                           los siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.

Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:

                                      S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el
punto w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:

                                        w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,
llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la
llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van
desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente
consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

                                        w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero
buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828




                                                 Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)

El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.

                                   Por tanto: I9>7; 099 = 6=840
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  • 1. SSSSS 5Ejemplos de Distribución ELIZABETH GRIJALVA ROCHA AQUÍ SE MUESTRAN 5 EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES UTT [Escribir la dirección de la compañía] [Escribir el número de teléfono] [Escribir el número de fax] 18 DE MARZO DEL 2012
  • 2. Distribución de bernoulli. 1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9? ° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111 ° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888 2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero 16? ° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625 ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375
  • 3. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342? ° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292 ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707 4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz). Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos. ° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5 ° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
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  • 7. En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos. Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a partir del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14. Resultados con Epidat 3.1 Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas Binomial (n,p) n: Número de pruebas 20 p: Probabilidad de éxito 0,7500 Punto K 14 Probabilidad Pr[X=k] 0,1686 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828 Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172 Media 15,0000 Varianza 3,7500 La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.
  • 8. Distribución poisson Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=5 Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 X=4
  • 9. =1.7 Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso n=20 P=0.15 P (x=3)=(e^- 8)(3^3)/3!=0.2240418 X=3 =3 Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2 X=5
  • 10. Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08 =10
  • 11. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL 1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 z a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 Probabilidad μ acumulada. z = 0.7611 z = 0.3594 p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. z 0.3594 p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μ c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. z = 0.2389 z = 0.0367 p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55 70 μ 80
  • 12. 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 z a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μ b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 – z = 0.4013 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902 c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.4013 p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 65000 70000 μ
  • 13. 3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. z a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad – acumulada. z = 0.1335 p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μ b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad – acumulada. z = 0.3300 – z = 0.1335 30 35 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65% c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad – acumulada. z = 0.5910 0.1335
  • 14. z = 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75% 4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución µ = 1,200 normal, con una media de σ = 225 $1,200 y una desviación Probabilidad estándar de acumulada. z $225. Al fabricante 5% = .0500 le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario? 1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 – 5% ó 0.0500 z 1.65 X= x = 1,571.25 1,571.25 µ = 20,082 z σ = 4,500 5.-En 2004 Probabilidad Valor y 2005, el costo acumulada. de z medio anual para asistir 95% = .9500 = a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?
  • 15. 95% ó 0.9500 z 1.64 x = 27,462. X= 27,462 75
  • 16. Distribución de gamma. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente. Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2). Resultados con Epidat 3.1 Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a, p) a : Escala 6,0000 p : Forma 2,0000 Punto X 1,0000 Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826 Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174 Media 0,3333 Varianza 0,0556 Moda 0,1667 La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.
  • 17. Ejercicio 2 Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese: 1. El tiempo medio de supervivencia. 2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1. Resultados con Epidat 3.1 Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a,p) a : Escala 0,8100 p : Forma 7,8100 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000 Punto X 14,2429 Media 9,6420 Varianza 11,9037 Moda 8,4074 El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  • 18. Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de una pieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma es de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A cuanto debemos cobrar la hora de reparación para obtener un beneficio medio de 3 mil euros? Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio medio, E(B), sea 3. El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce que K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3 mil euros.
  • 19. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07 SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10% v = n-1 = 24 t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig. El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.
  • 20. (a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado. (b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase? Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos. (a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso: O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase. Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = . (b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯). En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir como: P(T¯) = + =0.69 La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
  • 21. P (μ<20.5) Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5 P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24) P (T<2.5) = 0.9902 P (μ<20.5)=0.9902 La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02% Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos: 1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad. 2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad. Solución. 1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95 Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará: - ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3. - ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95= - ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95. Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor: w0=95 = 2=3534 Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada). Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:
  • 22. S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25] Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75 Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75] Por tanto, buscando en la tabla con los datos: Grados de libertad: 3 Cola de probabilidad: 0.75 Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649 2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando: w0=95 = 1=6973 Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828 Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01 Solución. Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que: df_1 = 8 (1d Fila de la tabla) df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla) 0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla) El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840