Este documento presenta ejercicios resueltos sobre métodos numéricos para la integración. Se comparan los métodos del trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 para integrar funciones. También se aplican métodos compuestos como el trapecio y Simpson para integrales dobles e integrales triples, resolviéndolas numéricamente. Finalmente, se utilizan fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre para aproximar integrales.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en ingeniería civil Joe Arroyo Suárez
Las ecuaciones diferenciales se utilizan ampliamente en ingeniería civil, como en el estudio de la flexión de vigas. La ecuación de Euler-Bernoulli relaciona el momento de flexión de una viga con su radio de curvatura. Para pequeñas flexiones, el desplazamiento de la punta de una viga en voladizo es proporcional a la fuerza aplicada; pero para flexiones más grandes, se requiere resolver ecuaciones diferenciales para determinar la forma exacta de la viga deformada.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. En el primer ejercicio, se aplican los métodos de punto fijo y Newton-Raphson para encontrar raíces de dos ecuaciones. En el segundo ejercicio, se usan los métodos de bisección, Newton-Raphson y gráficas para aproximar raíces. Los siguientes ejercicios involucran aplicar métodos como secante, falsa posición y punto fijo para resolver ecuaciones.
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales homogéneas. Explica que una ecuación es homogénea si los términos M y N tienen el mismo grado. Detalla dos métodos para determinar el grado: inspección y suma de exponentes. Finalmente, resume los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea mediante el cambio de variables y el método de variables separadas.
El documento presenta varios ejercicios resueltos utilizando el método de Newton-Raphson para estimar raíces de ecuaciones. Se muestran 6 ejercicios donde se aplica el método para encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, empezando con valores iniciales dados y calculando iteraciones sucesivas hasta aproximar las raíces. El último ejercicio aplica el método para mejorar una estimación inicial de la coordenada de un planeta.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Explica dos métodos para resolver estas ecuaciones: sustituyendo y=xv o x=yu y resolviendo la ecuación diferencial resultante, que es separable. También presenta ejemplos resueltos y ejercicios propuestos relacionados con ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en ingeniería civil Joe Arroyo Suárez
Las ecuaciones diferenciales se utilizan ampliamente en ingeniería civil, como en el estudio de la flexión de vigas. La ecuación de Euler-Bernoulli relaciona el momento de flexión de una viga con su radio de curvatura. Para pequeñas flexiones, el desplazamiento de la punta de una viga en voladizo es proporcional a la fuerza aplicada; pero para flexiones más grandes, se requiere resolver ecuaciones diferenciales para determinar la forma exacta de la viga deformada.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. En el primer ejercicio, se aplican los métodos de punto fijo y Newton-Raphson para encontrar raíces de dos ecuaciones. En el segundo ejercicio, se usan los métodos de bisección, Newton-Raphson y gráficas para aproximar raíces. Los siguientes ejercicios involucran aplicar métodos como secante, falsa posición y punto fijo para resolver ecuaciones.
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales homogéneas. Explica que una ecuación es homogénea si los términos M y N tienen el mismo grado. Detalla dos métodos para determinar el grado: inspección y suma de exponentes. Finalmente, resume los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea mediante el cambio de variables y el método de variables separadas.
El documento presenta varios ejercicios resueltos utilizando el método de Newton-Raphson para estimar raíces de ecuaciones. Se muestran 6 ejercicios donde se aplica el método para encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, empezando con valores iniciales dados y calculando iteraciones sucesivas hasta aproximar las raíces. El último ejercicio aplica el método para mejorar una estimación inicial de la coordenada de un planeta.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Explica dos métodos para resolver estas ecuaciones: sustituyendo y=xv o x=yu y resolviendo la ecuación diferencial resultante, que es separable. También presenta ejemplos resueltos y ejercicios propuestos relacionados con ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.
Este documento explica conceptos clave relacionados con ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo dependencia e independencia lineal de funciones y soluciones, y cómo usar el wronskiano para determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Aplicación de ecuaciones diferenciales en la ingenieríaErick Najera
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales en ingeniería civil, incluyendo la deflexión de vigas, la forma de un cable colgante, y la conducción de calor. Resuelve ecuaciones diferenciales que describen estos sistemas físicos y explica cómo modelar matemáticamente problemas de deflexión, resonancia mecánica y transmisión de calor.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MNTensor
Este documento describe el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una función. El método aprovecha la idea de unir los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) con una línea recta cuya intersección con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El algoritmo repite este proceso de sustituir el intervalo por la nueva estimación hasta alcanzar un error menor al establecido. El documento también muestra ejemplos de implementar este método en Excel y Visual Basic.
El documento describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Doolittle. El método de Doolittle descompone la matriz del sistema en matrices triangulares inferior y superior. El documento también explica cómo implementar el método de Doolittle en software como Matlab para resolver sistemas numéricamente.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Primero, la ecuación debe ponerse en forma ordinaria con un número real n distinto de cero. Luego, se sacan los valores p, q y w y se expresa en términos de la diferencial. Finalmente, se determina el factor integrante y se evalúa la ecuación aplicando la fórmula adecuada para resolverla.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
El documento presenta la solución a varios problemas de física relacionados con el movimiento de partículas. En el problema 11.1, se determina la posición, velocidad y aceleración de una partícula cuando t = 4s. En el problema 11.7, se calcula el tiempo, posición y velocidad cuando la aceleración es 0. Finalmente, en el problema 11.17 se determina el valor de k y la velocidad cuando la posición es 120 mm.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método del punto fijo, método de Newton, método de Newton modificado y método de cuasi-Newton. También cubre temas de interpolación y aproximación polinomial como interpolación polinomial, diferencias divididas, interpolación de Newton, polinomio de Hermite, spline cúbico y mínimos cuadrados. Finalmente, aborda derivación e integración numérica mediante reglas de derivación numérica y reglas de integración de Newton-C
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
1) El documento explica los métodos para identificar y resolver ecuaciones diferenciales exactas. 2) Se define una ecuación diferencial exacta como aquella que puede expresarse como la diferencial exacta de alguna función f(x,y). 3) Se presentan teoremas que establecen las condiciones para que una ecuación sea exacta y métodos para determinar su solución general f(x,y)=C.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
Este documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas y ecuaciones de coeficientes lineales. Define variables separables y muestra cómo integrarlas para obtener la solución general. Explica que las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en variables separables mediante sustituciones adecuadas. Resuelve varios ejercicios como ejemplos de aplicación de estos métodos.
Soluciones de sistema de ecuaciones en MatlabHugo Piure
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de la matriz inversa, división izquierda de matriz, y los comandos solve y linsolve de MATLAB. Se explican conceptos como sistemas compatibles, determinados e indeterminados. También contiene un ejemplo resuelto de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la matriz inversa y división izquierda.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
El documento describe diferentes métodos de integración numérica como la regla del trapecio y la regla de Simpson. La regla del trapecio aproxima la función entre dos puntos por una línea recta, mientras que la regla de Simpson usa una parábola. Ambos métodos dividen el intervalo en subintervalos para mejorar la precisión al disminuir el error.
Este documento presenta un estudio sobre el método numérico de la regla de Simpson. Brevemente describe que el objetivo es investigar este método para integrar funciones definidas tabular o gráficamente y aplicarlo a problemas comunes en ingeniería. Explica que la regla de Simpson usa polinomios de grado superior para aproximar la función, resultando en una integración más precisa que otros métodos. Luego desarrolla las reglas de Simpson 1/3 y 3/8, incluyendo sus fórmulas y errores asociados. Finalmente presenta ej
Este documento explica conceptos clave relacionados con ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo dependencia e independencia lineal de funciones y soluciones, y cómo usar el wronskiano para determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de problemas resueltos de ecuaciones diferenciales correspondientes al segundo parcial. Incluye la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares utilizando el método de Frobenius, la transformada de Laplace, la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de segundo orden, series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. También contiene anexos con problemas propuestos y tablas de transformadas.
Aplicación de ecuaciones diferenciales en la ingenieríaErick Najera
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales en ingeniería civil, incluyendo la deflexión de vigas, la forma de un cable colgante, y la conducción de calor. Resuelve ecuaciones diferenciales que describen estos sistemas físicos y explica cómo modelar matemáticamente problemas de deflexión, resonancia mecánica y transmisión de calor.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MNTensor
Este documento describe el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una función. El método aprovecha la idea de unir los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) con una línea recta cuya intersección con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El algoritmo repite este proceso de sustituir el intervalo por la nueva estimación hasta alcanzar un error menor al establecido. El documento también muestra ejemplos de implementar este método en Excel y Visual Basic.
El documento describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Doolittle. El método de Doolittle descompone la matriz del sistema en matrices triangulares inferior y superior. El documento también explica cómo implementar el método de Doolittle en software como Matlab para resolver sistemas numéricamente.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Primero, la ecuación debe ponerse en forma ordinaria con un número real n distinto de cero. Luego, se sacan los valores p, q y w y se expresa en términos de la diferencial. Finalmente, se determina el factor integrante y se evalúa la ecuación aplicando la fórmula adecuada para resolverla.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
Este documento presenta el concepto de interpolación polinómica. Explica cómo construir un polinomio de interpolación que pasa exactamente por una serie de puntos de datos dados, y cómo evaluar dicho polinomio en otros puntos. También introduce el polinomio de interpolación de Lagrange como una forma eficiente de calcular el polinomio de interpolación sin usar la matriz de Vandermonde.
El documento presenta la solución a varios problemas de física relacionados con el movimiento de partículas. En el problema 11.1, se determina la posición, velocidad y aceleración de una partícula cuando t = 4s. En el problema 11.7, se calcula el tiempo, posición y velocidad cuando la aceleración es 0. Finalmente, en el problema 11.17 se determina el valor de k y la velocidad cuando la posición es 120 mm.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, incluyendo el método del punto fijo, método de Newton, método de Newton modificado y método de cuasi-Newton. También cubre temas de interpolación y aproximación polinomial como interpolación polinomial, diferencias divididas, interpolación de Newton, polinomio de Hermite, spline cúbico y mínimos cuadrados. Finalmente, aborda derivación e integración numérica mediante reglas de derivación numérica y reglas de integración de Newton-C
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
1) El documento explica los métodos para identificar y resolver ecuaciones diferenciales exactas. 2) Se define una ecuación diferencial exacta como aquella que puede expresarse como la diferencial exacta de alguna función f(x,y). 3) Se presentan teoremas que establecen las condiciones para que una ecuación sea exacta y métodos para determinar su solución general f(x,y)=C.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
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Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
Este documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas y ecuaciones de coeficientes lineales. Define variables separables y muestra cómo integrarlas para obtener la solución general. Explica que las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en variables separables mediante sustituciones adecuadas. Resuelve varios ejercicios como ejemplos de aplicación de estos métodos.
Soluciones de sistema de ecuaciones en MatlabHugo Piure
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El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
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Este documento describe la regla de Simpson 3/8, un método numérico para aproximar el área bajo una curva. Explica que usa un polinomio cúbico para conectar 4 puntos e integrar la función entre esos puntos. Proporciona la fórmula de Simpson 3/8 y un ejemplo completo de cómo calcular la integral de 1/x entre 2 y 7 usando este método.
Este documento presenta un proyecto de investigación sobre el cálculo de la velocidad de un caudal de agua mediante métodos numéricos. El objetivo principal es determinar la velocidad de un caudal de agua usando la regla de Simpson, un método de integración numérica. El documento explica la teoría detrás de la regla de Simpson y cómo aplicarla para aproximar el área bajo una curva representativa de un caudal. También incluye la metodología y el índice del proyecto.
Este documento describe diferentes métodos numéricos para calcular integrales, incluyendo la regla de Simpson y la regla del trapecio. Explica cómo la regla de Simpson usa polinomios de orden superior para aproximar una función, resultando en una estimación más precisa que la regla del trapecio. También proporciona ejemplos numéricos para demostrar la aplicación de estos métodos.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. En el primer ejercicio, se resuelve una ecuación utilizando el método de punto fijo y se encuentra que la raíz es 3.38760. En el segundo ejercicio, se aproxima una raíz entre 0.1 y 0.5 usando el método de bisección y otra entre -1 y 1 usando Newton-Raphson.
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Este documento proporciona instrucciones para dibujar poligonales y perfiles longitudinales en AutoCAD utilizando diferentes métodos como coordenadas absolutas, rumbos y distancias, y ángulos internos y distancias de los lados. También explica cómo utilizar comandos como PLINE, LINE, LIST y MEASURE para dibujar detalles como cercos. El objetivo es enseñar las herramientas básicas de AutoCAD para aplicaciones topográficas.
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Este documento describe diferentes métodos numéricos para aproximar el cálculo de integrales definidas. Explica las fórmulas de Newton-Cotes como la regla del trapecio y de Simpson, y el algoritmo de Romberg como una técnica de extrapolación recursiva para obtener aproximaciones más precisas de una integral. También incluye ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos métodos numéricos.
Presentacion del proyecto de algebra lineal, segundo ciclo de ingenieria en s...Zaqueo Gomez Gomez
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Este documento describe varios métodos numéricos para calcular integrales definidas y derivadas de funciones. Presenta el Método de los Trapecios, Método de Simpson, Método de Simpson 3/8 y Fórmulas de Newton-Cotes para aproximar integrales. También explica cómo usar diferencias finitas para aproximar derivadas evaluando una función en puntos discretos.
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ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
1. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 1
MAT 1105 F
Integración numérica
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Obtenga:
a) Integrando por el método del trapecio.
Se utilizan las siguientes formulas:
Donde:
Luego,
Reemplazando en la formula:
b) Integrando por el método de Simpson 1/3.
Se utilizan las siguientes formulas:
4
2
-1
1 2 3-1
Área del
trapecio
Ecuación
lineal
1
2. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 2
Donde:
Se debe notar que para el método de
Simpson 1/3 simple el valor de n es igual a 2.
Luego,
Reemplazando en la formula:
c) Integrando por el método de Simpson 3/8.
Se utilizan las siguientes formulas:
Donde:
Se debe notar que para el método de Simpson 3/8 simple el valor de n es igual a 3.
4
2
-1
1 2 3-1
Área
1.5
Ecuación
cuadrática
3. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 3
Luego,
Lo que se puede resumir en la siguiente tabla:
0 1 0.5
1 0.333333 1.100092
2 0.666667 2.020793
3 2 3.313708
Reemplazando en la formula:
Comparando con el valor obtenido analíticamente: , se puede determinar la
exactitud de cada respuesta obtenida:
Método Resultado Error
Trapecio 1.906854 0.26
Simpson 1/3 1.646970 7.54·10-5
Simpson 3/8 1.647045 4.00·10-7
Como se puede ver los métodos de Simpson son más exactos que el método del trapecio.
4
2
-1
1 2 3-1
Área
4/3 5/3
Ecuación
cúbica
4. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 4
2. Integre la siguiente función entre los límites a=-1 y b=1, utilizando 6 intervalos.
a) Integrando por el método del trapecio compuesto.
Para reducir el error del resultado, se puede dividir el área de la integral en pequeños intervalos.
Para luego aplicar las formulas conocidas en cada intervalo. Primero se puede obtener el ancho de
intervalo (h):
El valor de “n” es el número de intervalos, o sea Es importante notar que para el método del
trapecio “n” puede tener cualquier valor.
0 -1 -1
1 -2/3 -0.666667
2 -1/3 -0.333333
3 0 0
4 1/3 0.333333
5 2/3 0.666667
6 1 1
La integral dividida en los intervalos sería:
Aplicando la formula del método del trapecio se aplica en cada intervalo:
Factorizando:
2
5. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 5
Que se puede sintetizar en la siguiente formula:
Graficando la función y los intervalos:
Para hallar los valores de , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la siguiente
tabla:
0 -1 0.241971
1 -0.666667 0.319448
2 -0.333333 0.377383
3 0 0.398942
4 0.333333 0.377383
5 0.666667 0.319448
6 1 0.241971
Reemplazando en la formula:
b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto.
Se divide la integral en cada par de intervalos y luego se sumarán, de la siguiente forma:
2/3 1 1.5-1.5 -1
- 0.1
0.2
0.4
-1/3 1/3-2/3 0
6. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 6
Graficando la función y los intervalos:
Aplicando la formula del método de Simpson 1/3 se aplica en cada intervalo:
Factorizando y sintetizando la ecuación, se tiene la siguiente formula:
Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:
Primero, se calculará el tamaño del intervalo:
Para hallar los valores de , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la tabla:
0 -1 0.241971
1 -0.666667 0.319448
2 -0.333333 0.377383
3 0 0.398942
4 0.333333 0.377383
5 0.666667 0.319448
6 1 0.241971
2/3 1 1.5-1.5 -1
- 0.1
0.2
0.4
-1/3 1/3-2/3 0
7. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 7
Reemplazando en la formula:
c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto.
Se utilizan las siguientes formulas:
Con Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”,
solo puede ser un múltiplo de 3, o sea, 3, 6, 9, etc.
Graficando el método se puede ver esto. Graficando la función y los intervalos:
2/3 1 1.5-1.5 -1
- 0.1
0.2
0.4
-1/3 1/3-2/3 0
8. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 8
Primero, se calculará el tamaño del intervalo:
Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:
Para hallar los valores de , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la
siguiente tabla:
0 -1 0.241971
1 -0.666667 0.319448
2 -0.333333 0.377383
3 0 0.398942
4 0.333333 0.377383
5 0.666667 0.319448
6 1 0.241971
Reemplazando en la formula:
]
9. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 9
3. Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados:
Puntos 0 1 2 3 4 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1 7 4 3 5 2
a) Integrando por el método del trapecio.
En primer lugar se debe verificar que el intervalo entre los puntos sea constante, o sea, que el
valor de , sea constante.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Luego aplicando la fórmula, si sabemos que :
Primero, se tiene el tamaño del intervalo:
Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:
Reemplazando en la formula:
b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto.
En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), no es múltiplo de 2, por lo que no se podría
aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los intervalos.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
Simpson 1/3 Simpson 1/3
Tra_
pecio
3
10. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 10
Luego la formula sería:
Reemplazando la tabla de datos:
Puntos 0 1 2 3 4 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1 7 4 3 5 2
c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto.
En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), tampoco es múltiplo de 3, por lo que no se
podría aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los
intervalos.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Luego la formula sería:
Reemplazando la tabla de datos:
Puntos 0 1 2 3 4 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1 7 4 3 5 2
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
h
(0.1)
Simpson 3/8 Simpson 1/3
11. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 11
4. Evalúe la siguiente integral, utilizando las fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre.
Con dos, tres y cuatro puntos.
Al aplicar el método de cuadratura de Gauss, se realiza un cambio de variable y de límites de
integración. Con la siguiente fórmula:
Luego cambiando la variable y el diferencial:
También se deben cambiar los límites de integración
Para que la integral quede:
Que se puede resolver numéricamente con la formula:
Donde los coeficientes ya están determinados para cualquier función , y se muestran en la
siguiente tabla:
Puntos
2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.577350269
3
w2 = 0.888888888
w1 = w3 = 0.555555555
-z1 = z3 = 0. 774593669
z2 = 0.0
4
12. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 12
4
w1 = w4 = 0.347854845
w2 = w3 = 0.652451155
-z1 = z4 = 0.861136312
-z2 = z3 = 0.339981044
5
w1 = w5 = 0.236926885
w2 = w4 = 0.478628671
w3 = 0.568888888
-z1 = z5 = 0.906179846
-z2 = z4 = 0.538469310
z3 = 0.0
6
w1 = w6 = 0.171324492
w2 = w5 = 0.360761573
w3 = w4 = 0.467913935
-z1 = z6 = 0.932469514
-z2 = z5 = 0.661209386
-z3 = z4 = 0.238619186
a) Para dos puntos.
Luego cambiando la variable y el diferencial:
Aplicando en la formula:
Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para dos puntos:
Puntos
2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.577350269
Evaluando los coeficientes :
13. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 13
Reemplazando en la formula:
b) Para tres puntos.
Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para tres puntos:
Puntos
3
w2 = 0.888888888
w1 = w3 = 0.555555555
-z1 = z3 = 0. 774593669
z2 = 0.0
Evaluando los coeficientes :
Reemplazando en la formula:
14. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 14
c) Para cuatro puntos.
Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para cuatro puntos:
Puntos
4
w1 = w4 = 0.347854845
w2 = w3 = 0.652451155
-z1 = z4 = 0.861136312
-z2 = z3 = 0.339981044
Evaluando los coeficientes :
Reemplazando en la formula:
15. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 15
5. Evalúe la siguiente integral doble, con 4 intervalos:
a) Analíticamente
b) Resolviendo por el método de trapecio compuesto
Primero se aplica la formula del trapecio compuesto en la integral interna para , con la variable
como constante:
Donde:
Los puntos se muestran en la siguiente tabla:
0
1
2
3
4
Desarrollando la sumatoria.
5
16. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 16
Luego se evalúan los puntos en la función :
Reemplazando en la formula:
Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la
formula de trapecio compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:
Donde:
Los puntos se muestran en la siguiente tabla:
0 -2 -90
1 -1 2
2 0 22
3 1 18
4 2 38
17. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 17
Reemplazando en la formula:
Respuesta
La integral doble resuelta numéricamente es:
c) Resolviendo por el método de Simpson 1/3 compuesto
Primero se aplica la formula de Simpson 1/3 compuesto en la integral interna para , con la
variable como constante:
Donde:
Desarrollando la sumatoria.
Luego se evalúan los puntos en la función :
18. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 18
Reemplazando en la formula:
Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la
formula de Simpson 1/3 compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:
Donde:
Los puntos se muestran en la siguiente tabla:
0 -2 -90.666667
1 -1 1.333333
2 0 21.333333
3 1 17.333333
4 2 37.333333
Reemplazando en la formula:
Respuesta
La integral doble es igual a:
Comparando con el resultado analítico, se tiene una respuesta completamente exacta.
19. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 19
6. Evalúe la integral triple:
a) Analíticamente
Analíticamente la integral triple es igual a:
b) Resolviendo por integración numérica
Primera integral
Resolviendo la primera integral por el método del trapecio, con . Sabiendo que las variables
“y” y “z” se consideran constantes en esta primera integral en función de “x”.
Luego la tabla de los valores y evaluados en la función .
.
0
1
2
3
4
6
20. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 20
5
6
7
8
Reemplazando en la formula:
De esta forma se tiene una integral doble. Que se definirá como .
Segunda integral
Resolviendo la segunda integral por el método de Simpson 3/8, con . Sabiendo que la
variable “z” se considera constante en esta segunda integral en función de “y”.
Se puede evitar el uso de sumatorias dividiendo la integral y sumando los resultados:
El intervalo para esta variable es:
Luego la tabla de los valores y evaluados en la función .
21. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 21
.
0
1
2
3
4
5
6
Reemplazando en las formulas
Sumando las dos partes:
De esta forma se tiene una integral simple. Que se definirá como .
Tercera integral
Resolviendo la tercera integral por el método de Simpson 1/3, con .
22. EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 22
Luego la tabla de los valores y evaluados en la función .
0 -4 699
1 -3 555
2 -2 411
3 -1 267
4 0 123
5 1 -21
6 2 -165
7 3 -309
8 4 -453
Reemplazando en la formula:
Respuesta
La integral triple resuelta por integración numérica es:
c) Determinar el error relativo entre los dos resultados previos
Respuesta
Viendo el resultado del error relativo se concluye que el resultado es satisfactorio.