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1.3.- V A L O R A B S O L U T O
OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de Valor Absoluto
y sepa emplearlo en la resolución de desigualdades.
1.3.1.- Definición de Valor Absoluto.
El valor absoluto de un número cualquiera A se define como la distancia del numero en
cuestión a un origen previamente establecido y se representa como | A |. En este sentido, se
dice que la magnitud de un número, siendo una distancia NO tiene signo, es decir, NO tiene
dirección. Es lo que se llama un escalar. Dado que un número cualquiera puede ser
representado sobre la recta numérica, su valor absoluto nos indica la posición relativa del
número con respecto a un origen arbitrario situado en el cero. Para calcular la magnitud de
un número cualquiera se emplea la siguiente definición matemática:
| A | = A SI A ≥ 0
| A | = -A SI A < 0
Por ejemplo:
Si A = 8, entonces | 8 | = 8
Y si A = -8, entonces | -8 | = - (-8) = 8
1.3.2.- Propiedades del Valor Absoluto.
El Valor Absoluto tiene una serie de propiedades asociadas con la suma, la multiplicación y
sus operaciones inversas. Esta serie de propiedades son muy útiles al momento de trabajar
con desigualdades. Entre otras tenemos las siguientes:
1.- | a b | = | a | | b |
2.- | a / b | = |a| / | b |
3.- | a + b | ≤ | a | + | b | → desigualdad del triangulo
4.- | a – b | ≥ | a | - | b |
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2. C A L C U L O C A P I T U L O N O. 1
1.3.3.- Desigualdades que implican Valor Absoluto.
Por otro lado, en ocasiones es necesario indicar algún número comprendido dentro de un
intervalo dado mediante la notación de valor absoluto. Para estos casos tenemos las
siguientes propiedades.
1.- La notación | A | ≤ a significa que A cumple con: -a ≤ A ≤ a
2.- La notación | A | ≥ a significa que A cumple con: A ≤ -a ó A ≥ a
3.- La notación | A | < a significa que A cumple con: -a < A < a
4.- La notación | A | > a significa que A cumple con: -a > A ó A > a
Ejemplo.-
Indique utilizando la notación de valor absoluto el intervalo que satisface que:
| x | ≥ 20
Note que se trata del caso No. 2. Entonces y de acuerdo con lo indicado, el intervalo que
satisface es aquel que contienen los números que satisfacen que:
x ≤ - 20 ó que x ≥ 20
La notación mediante operaciones de conjunto queda dada por:
( -∞, -20 ) ∪ ( 20, ∞ )
Representación Gráfica de la Solución.
Cualquier x por este lado Cualquier “x” por este
cumple que x≥ 20 lado cumple que x≥ 20
5 0 15
-20 20
1.3.4.- Valor Absoluto Compuesto.- En cualquier caso, la definición que hemos dado para
determinar el intervalo solución de un valor absoluto es aplicable independientemente de
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3. C A L C U L O C A P I T U L O N O. 1
que este contenido dentro de las barras. Lo que halla dentro de las barras recibirá el
tratamiento indicado, por ejemplo, sea el problema:
Determine el intervalo de valores que acepta “ x ” tal que satisfaga que:
|2x - 1| > 4
Para encontrar los valores pedidos, quitamos las barras usando la regla contenida en el
renglón No. 3 quedando la desigualdad dada por:
-4 > (2x – 1) > 4
Enseguida agrupamos las constantes de un solo lado, pasando a la izquierda y a la derecha
el “ -1 “ según las reglas del álgebra, es decir, pasa como “ 1 “
-4 + 1 > 2x > 4 + 1
Después hacemos las operaciones indicadas y luego despejamos el coeficiente de la “ x “,
que en este caso es el “ 2 “, observando otra vez las reglas del álgebra, es decir, pasa a la
izquierda y a la derecha dividiendo al número correspondiente.
-3/2 > x > 5/2
Y este es el intervalo solución: Todas las “x” menores de –3/2 o mayores que 5/2 satisfacen
el valor absoluto del ejercicio.
La representación gráfica de tal intervalo es la que se muestra enseguida.
-4 -3/2 0 5/2 4
En notación de conjuntos la solución queda dada de la siguiente manera:
( -∞, - 3/2 ) ∪ ( 5/2, ∞ )
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4. C A L C U L O C A P I T U L O N O. 1
1.3.5.- Ejercicios.-
1.- Determine los intervalos solución de los siguientes Valores Absolutos y exprese la
solución mediante:
a).- Un intervalo,
b).- Notación de conjuntos y
c).- De la representación gráfica.
a).- 2x -1| > 0
b).- |3x + 4| < 8
c).- |7x - 4| > 2
d).- |10x + 2| < 6
e).- 24x + 6< 8
2.- Investigue una demostración de las 4 (cuatro) propiedades de las desigualdades del
Valor Absoluto:
1.- | a b | = | a | | b |
2.- | a / b | = |a| / | b |
3.- | a + b | ≤ | a | + | b |
4.- | a – b | ≥ | a | - | b |
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5. C A L C U L O C A P I T U L O N O. 1
T R A B A J O
(Continuación)
III.- Suponga que en el proceso de inflado del globo, su volumen tuvo un comportamiento
semejante al de la siguiente gráfica.
1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5
1−
v t( )
41− t
G R A F I C A N O. 1
Analice la información proporcionada por la Gráfica anterior, con tanto detalle como
considere necesario, y a partir de dicho análisis realice las siguientes actividades.
III.1.- Describa verbalmente lo que sucede con el volumen globo durante el proceso.
1.- ¿Cómo fue la entrada de gas que le proporcionó el depósito?.
• Constante?
• Variable?
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6. C A L C U L O C A P I T U L O N O. 1
• Lineal?
• Continua?
• Discontinua?
Justifique su respuesta.
2.- ¿Cómo fue la variación del volumen del globo?.
• Constante?
• Variable?
• Lineal?
• Continua?
• Discontinua?
Justifique su respuesta.
3.- El radio del globo tendrá un comportamiento semejante?.
Justifique su respuesta.
4.- El color del globo como parámetro de descripción del proceso tendrá un
comportamiento semejante?. Justifique su respuesta.
5.- La opacidad del hule del globo como parámetro de descripción del proceso
tendrá un comportamiento semejante. Justifique su respuesta.
III.2.- Ahora describa nuevamente lo que sucede con el globo utilizando los elementos
distinguidos en los tres puntos anteriores.
III.3.- Con la información proporcionada por la gráfica podemos determinar la variación del
volumen del globo con respecto a su radio?.
• Si su respuesta es si: ¡Hágalo!.
• Si es no justifique su respuesta.
III.4.- Con la información proporcionada por la gráfica podemos determinar la variación del
área del globo con respecto a su radio?.
• Si su respuesta es si: ¡hágalo!.
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7. C A L C U L O C A P I T U L O N O. 1
• Si es no justifique su respuesta.
III.5.- Con la información proporcionada por la gráfica podemos determinar la variación del
volumen del globo con respecto a su área?.
• Si su respuesta es si: ¡Hágalo!.
• Si es no justifique su respuesta.
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