álgebra avanzada

1. ELEL ÁLGEBRAÁLGEBRA
Jennifer Morales ClarkeJennifer Morales Clarke
2º Bach. A2º Bach. A

2. 1. ¿ Qué Es ?1. ¿ Qué Es ?
 Rama de las matemáticas enRama de las matemáticas en
la que se utilizan letras parala que se utilizan letras para
representar relacionesrepresentar relaciones
aritméticasaritméticas
 Sus operacionesSus operaciones
fundamentales son adición,fundamentales son adición,
sustracción, multiplicación,sustracción, multiplicación,
división y calculo de raíces.división y calculo de raíces.
 El Álgebra es el idioma deEl Álgebra es el idioma de
las matemáticas.las matemáticas.

3. 2. un poco dE histoRiA2. un poco dE histoRiA
ÁLGEBRAÁLGEBRA
EGIPTO
Y
BABILONIA
AL-JWARIZMI
(s. IX)
MATEMÁTICOS
ÁRABES
(Edad Media)
Resolvían
ecuaciones
lineales
Ecuaciones
cuadráticas
Ecuaciones
indeterminadas
Con varias incógnitas
ABU KAMIL
( finales s. IX)
Teoría
fundamental
de ecuaciones
Leyes
fundamentales
del álgebra
DESCARTES
Desarrollaron
el álgebra
fundamental
de los polinomios
MATEMÁTICOS
ITALIANOS
(s. XVI)
Resolvieron la
Ecuación de
Tercer y cuarto
grado
Descubrió la
Geometría
analítica

4. ALGunos mAtEmÁticosALGunos mAtEmÁticos
históRicoshistóRicos
Al-Jwarizmi
René Descartes François Viete
Giroldano Cardano
Robert Recorde

5. 3. símBoLos3. símBoLos
símBoLos
LEtRAs nÚmERos siGnos
Representan constantes
y variables
Son Constantes S. de agrupación
S. De operaciones
básicas
Paréntesis ( ) ,
corchetes [ ]
Llaves,
y rayas horizontales
Adición +
Sustración –
Multiplicación X
División :

6. 4. Otras definiciOnes4. Otras definiciOnes
 Ecuación:Ecuación: cualquier expresión que incluya lacualquier expresión que incluya la
relación de igualdad.relación de igualdad.
- identidad- identidad
- condicional- condicional
 Término:Término: expresión algebraica que solo
contiene productos de constantes y variables
2x, -a, 5zy...2x, -a, 5zy...
coeficiente

7.  Ecuación lineal:Ecuación lineal: en una variable, es una ecuaciónen una variable, es una ecuación
polinómica de primer grado.polinómica de primer grado.
aX + b = caX + b = c
 Ecuación cuadrática:Ecuación cuadrática: en una variable, es una ecuaciónen una variable, es una ecuación
de segundo grado.de segundo grado.
aXaX22 + bX + c = 0+ bX + c = 0
 Nº primo:Nº primo: un entero que solo se puede dividirun entero que solo se puede dividir
exactamente por mismo y por 1.exactamente por mismo y por 1.
 Factores primos de un nºFactores primos de un nº: son aquellos factores: son aquellos factores
en los que este se puede descomponer de maneraen los que este se puede descomponer de manera
que el nº se expresa como producto de números primosque el nº se expresa como producto de números primos

8. 5. OperaciOnes cOn5. OperaciOnes cOn
pOlinOmiOspOlinOmiOs
Cumplen las mismas propiedades que para laCumplen las mismas propiedades que para la
aritmética numérica aunque el álgebra incluyearitmética numérica aunque el álgebra incluye
números irracionales y números complejos.números irracionales y números complejos.
A este conjunto de números se le llamaA este conjunto de números se le llama
NÚMEROS REALES.NÚMEROS REALES.
Los números reales son uniformes para laLos números reales son uniformes para la
adición, sustracción, multiplicación y divisiónadición, sustracción, multiplicación y división

9. 5.15.1 prOpiedades de laprOpiedades de la
adiciónadición
1.1. La suma de dos números realesLa suma de dos números reales aa yy bb otro númerootro número
real que se escribereal que se escribe a + b.a + b.
2.2. Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma enPropiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en
que se agrupan los términos de la adición elque se agrupan los términos de la adición el
resultado es siempre el mismo.resultado es siempre el mismo.
(a + b) + c = a + (b + c)(a + b) + c = a + (b + c)
3.3. Dado un nº realDado un nº real aa existe otro nº real cero (0)existe otro nº real cero (0)
conocido como elemento neutro de la suma tal queconocido como elemento neutro de la suma tal que
a + 0 = 0 + a = aa + 0 = 0 + a = a
4.4. Dado un nº realDado un nº real a,a, existe otro nº real (existe otro nº real (-a-a) llamado) llamado
elemento simétrico deelemento simétrico de aa , tal que, tal que
a + (-a) = 0a + (-a) = 0

10. 5.2. prOpiedades de la5.2. prOpiedades de la
multiplicaciónmultiplicación
1.1. El producto de dos números realesEl producto de dos números reales aa y by b es otro nºes otro nº
real, que se escribereal, que se escribe a·ba·b oo abab..
2.2. Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la formaPropiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma
de agrupar los términos de la multiplicación, elde agrupar los términos de la multiplicación, el
producto es siempre el mismo:producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).(ab)c = a(bc).
3.3. Dado un nº realDado un nº real aa existe otro nº real uno (1) llamadoexiste otro nº real uno (1) llamado
elemento neutro de la multiplicación, tal queelemento neutro de la multiplicación, tal que
a(1)=1(a)=a.a(1)=1(a)=a.
4.4. Dado un nº realDado un nº real aa distinto de cero, existe otro nºdistinto de cero, existe otro nº
((a-a-11 o 1/ao 1/a ),), llamado elemento inverso para el quellamado elemento inverso para el que
a(a-a(a-11) = (a-) = (a-11 )a = 1)a = 1

11. 5.3 propiedad distributiva5.3 propiedad distributiva
Otra propiedad importante del conjunto de loa númerosOtra propiedad importante del conjunto de loa números
reales relaciona la adición y la multiplicación de lareales relaciona la adición y la multiplicación de la
forma siguiente:forma siguiente:
a(b+c) = ab + aca(b+c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca(b + c)a = ba + ca

12. 6. Multiplicación de6. Multiplicación de
polinoMiospolinoMios
 Multiplicar cada término del primer polinomio porMultiplicar cada término del primer polinomio por
cada término del segundo polinomiocada término del segundo polinomio
 Una vez hechas estas operaciones, todos los términosUna vez hechas estas operaciones, todos los términos
del mismo grado se han de agrupar para simplificar ladel mismo grado se han de agrupar para simplificar la
expresiónexpresión

13. 7. Factorización de7. Factorización de
polinoMiospolinoMios
 Dada una expresión algebraica complicada, resultaDada una expresión algebraica complicada, resulta
útil el descomponer en un producto de variosútil el descomponer en un producto de varios
términos más sencillos.términos más sencillos.
TRINOMIOSTRINOMIOS
xx22 + 2xy + y+ 2xy + y22 (x + y)(x + y)22
xx22 – 2xy + y– 2xy + y22 (x – y)(x – y)22
DIFERENCIA DE CUADRADOSDIFERENCIA DE CUADRADOS
xx22 – y– y22 (x + y) (x – y )(x + y) (x – y )
TRINOMIOS DE LA FORMATRINOMIOS DE LA FORMA
XX22 + (a + b)x + ab+ (a + b)x + ab (x + a) (x + b)(x + a) (x + b)

14. 8. MáxiMo coMún divisor y8. MáxiMo coMún divisor y
MíniMo coMún MúltiploMíniMo coMún Múltiplo
 M.C.D.:M.C.D.:
Dado un polinomio suele serDado un polinomio suele ser
importante determinar elimportante determinar el
mayor factor común a todosmayor factor común a todos
los términos del polinomio.los términos del polinomio.
9x9x33 + 18 x+ 18 x22 = 9x= 9x22 (x + 2)(x + 2)
9x2 es el m.c.d.9x2 es el m.c.d.
 M.C.M.:M.C.M.:
Encontrar el m.c.m. puede serEncontrar el m.c.m. puede ser
útil para poder hacer ciertasútil para poder hacer ciertas
operaciones con fraccionesoperaciones con fracciones
algebraicas.algebraicas.
Dadas varias expresiones, suDadas varias expresiones, su
m.c.m. es aquella expresiónm.c.m. es aquella expresión
con el menor grado y loscon el menor grado y los
menores coeficientes que semenores coeficientes que se
puede dividir exactamentepuede dividir exactamente
por cada una de ellaspor cada una de ellas

15. 9. resolución de ecuaciones9. resolución de ecuaciones
 Dada una ecuación , el álgebraDada una ecuación , el álgebra se ocupa dese ocupa de
encontrar soluciones siguiendo el conceptoencontrar soluciones siguiendo el concepto
general de identidad a = a.general de identidad a = a.
 Siempre que se apliquen las mismasSiempre que se apliquen las mismas
operaciones a ambos lados de la ecuación, laoperaciones a ambos lados de la ecuación, la
igualdad se mantiene inalterada.igualdad se mantiene inalterada.
 Se despeja la incógnita a un lado de laSe despeja la incógnita a un lado de la
igualdad y la solución será a otro lado.igualdad y la solución será a otro lado.

16. 9.2. Resolución de9.2. Resolución de
ecuaciones cuadRáticasecuaciones cuadRáticas
 Si la ecuación se pudeSi la ecuación se pude
factorizar, el resultadofactorizar, el resultado
es inmediato. Pores inmediato. Por
ejemplo:ejemplo:
xx22 - 3x – 10 = 0- 3x – 10 = 0
(x – 5) (x + 2) = 0(x – 5) (x + 2) = 0
x = 5 y x = -2x = 5 y x = -2
 En general, cualquierEn general, cualquier
ecuación cuadrática deecuación cuadrática de
la siguiente formala siguiente forma
axax22 + bx + c = 0+ bx + c = 0
se puede resolverse puede resolver
utilizando la siguienteutilizando la siguiente
fórmula:fórmula:
x = -b +/- b2 – 4acx = -b +/- b2 – 4ac
2a2a

17. 9.3. sistemas de ecuaciones9.3. sistemas de ecuaciones
Para resolver los sistemas de ecuaciones sePara resolver los sistemas de ecuaciones se
pueden usar diferentes técnicas:pueden usar diferentes técnicas:
 Despejando una de la variables en unaDespejando una de la variables en una
ecuación y sustituyendo el resultado en la otraecuación y sustituyendo el resultado en la otra
ecuación.ecuación.
 Realizar las operaciones necesarias a ambosRealizar las operaciones necesarias a ambos
lados de la ecuación hasta poder reducirlados de la ecuación hasta poder reducir
alguna de ellas.alguna de ellas.