Este documento describe el concepto de fasores y su aplicación en circuitos eléctricos de corriente alterna. Introduce los fasores como una representación compleja de funciones sinusoidales que permite caracterizarlas por su amplitud y ángulo de fase. Explica cómo los fasores se pueden utilizar para representar y analizar elementos de circuito como resistencias, inductancias y capacitancias, así como circuitos RLC serie.

1. CORRIENTE ALTERNA
1
Mag
netis
mo
Electricidad
y
Antonio J. Barbero
Departamento de Física Aplicada
Universidad de Castilla-La Mancha

2. VALOR EFICAZ DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA
2
VALOR EFICAZ FUNCIÓN SENOIDAL
v(t) =Vm cos(wt ±j )
T
1 ( ) 2
= ò[ ]
eficaz f t dt
T
f
0
f (t)
t
v(t)
t
T
V =V = V
m
2
eficaz
También denominado valor RMS
Vm
Mag
netis
mo
Electricidad
y

3. Fórmula de Euler e± ja = cosa ± j ×sena
3
FASORES
Una función sinusoidal del tiempo de una frecuencia determinada se caracteriza
únicamente con dos parámetros, su amplitud y su ángulo de fase.
La representación compleja de dicha función (de una frecuencia determinada) se
caracteriza también con esos dos mismos parámetros.
Re{ Vm × e
j(wt+j ) }
La función Vm × cos(wt +j ) se puede representar como
El fasor es una representación compleja abreviada en la que, una vez
establecida la frecuencia, se omite ésta representando la función sinusoidal por
el VALOR EFICAZ de la misma y su ÁNGULO DE FASE:
FORMA POLAR V/j FORMA COMPLEJA V × e jj
VALOR EFICAZ
Mag
netis
mo
Electricidad
y

4. Los fasores pueden interpretarse como vectores rotatorios que giran con frecuencia
angular w en sentido contrario a las agujas del reloj.
4
FASORES (II)
Re
Im
V1
V2
wta
Re
Im V1
V2
wtb
La relación de fases entre ellos permanece invariable
Mag
netis
mo
Electricidad
y

5. Vm =10 j = -p / 2
× j = 10 × - p / 2 = -
5
Mag
netis
mo
Electricidad
y
FASORES (EJEMPLO)
0 2 4 6 8
Fasores representados en t = 0
10
5
0
-5
-10
p p p p
/ 0º
0
10
ö 2
çè
10
2
÷ø
V × cos(wt +j ) V × e jj = × e j = æ m Vm =10 j = 0
10
V e j e j j
2
2
Re
Im
10
ö çè
10
ö çè
÷ø
2 / -
90º
÷ø
æ
2 / 0º
æ

6. SON VÁLIDAS LAS MISMAS OPERACIONES DEFINIDAS EN EL
p -j
6
OPERACIONES CON FASORES
ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Re
Im
Z = Z × e jj
j × Z =
= Z × e j(j +p / 2)
j
Multiplicar Z por j equivale
a ADELANTAR p/2 su fase
Dividir Z entre j equivale a
RETRASAR p/2 su fase
Re
Im
Z1
Z2
Z
1
Z
2
j2
2 2
Multiplicación: multiplicar
módulos, sumar fases
División: dividir módulos,
restar fases
Mag
netis
mo
Electricidad
y

7. v(t) = coswt
( ) w senwt w cos wt p
dt
7
Mag
netis
mo
Electricidad
y
OPERACIONES CON FASORES
Derivación de funciones sinusoidales
0 2 4 6 8 10 12 14
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
ö çè
÷ø
= - = æ +
2
dv t
v(t)
wt
Re
Im
jwV
V
Derivar v(t)
equivale a
MULTIPLICAR
por w el fasor V y
ADELANTAR p/2
(Representación gráfica suponiendo por su fase
simplicidad w =1. Unidades arbitrarias)

8. v(t) = coswt
( ) 1 sen 1 cos w p
v t dt t t
8
OPERACIONES CON FASORES
Integración de funciones sinusoidales
ö çè
÷ø
ò = w
= æ - w
w
2
v(t)
wt
V/jw
Integrar v(t) equivale
a DIVIDIR por w el
fasor V y ATRASAR
p/2 su fase
0 2 4 6 8 10 12 14
(Representación gráfica suponiendo por
simplicidad w =1. Unidades arbitrarias)
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
Re
Im
V
Mag
netis
mo
Electricidad
y

9. V Vm
9
FUENTES DE VOLTAJE SINUSOIDALES
v(t) =Vm cos(wt ±j )
v(t)
ADELANTA
ATRASA
Representación compleja
(función del tiempo)
j > 0
j = 0
j < 0
V Vm e± j
± = ×
/ 2
j
j
v0 (t)
t
( ) = Re{ × j(wt±j ) }
v t Vm e
= æ
ö çè
÷ø
Representación fasorial
(función de frecuencia dada) ± j
±
j
/
/ 2
Mag
netis
mo
Electricidad
y

10. 10
FUENTES DE VOLTAJE SINUSOIDALES (II)
Si la frecuencia es conocida...
Re
Im
j
V = Vm × e+ jj
2
las representaciones...
...contienen la misma información que
v0 (t)
t
v(t)
t
j
Vm
Vm
j
Re
Im
j
V = Vm × e- jj
2
Mag
netis
mo
Electricidad
y

11. LKV: - v(t) + vR (t) = 0 v (t) R i(t) R = ×
i(t) = Vm cosw
11
ELEMENTOS DE CIRCUITO: RESISTENCIA
v(t) =Vm cos(wt)
+
i(t) +
vR (t)
Vm coswt = R×i(t)
t
R
La intensidad ESTÁ EN
FASE con el voltaje
Mag
netis
mo
Electricidad
y

12. ELEMENTOS DE CIRCUITO: RESISTENCIA (II)
I = VR = / 0º
12
FASORES
V = æVm
ö çè
V/ 0º =VR Ohm c.a. VR = I × R
I
/ 0º VR V
V
R
R
I V
ö çè
Re
Im
I
V/ 0º
/ 0º
÷ø
= æ
R
/ 0º
/ 0º 2 ÷ø
Mag
netis
mo
Electricidad
y

13. ELEMENTOS DE CIRCUITO: INDUCTANCIA
v t L di t L
LKV: ( ) = ( )
dt
V t L di t m
cosw = ( )
di(t) = Vm cosw ×
i(t) Vm cosw
i t Vm t V
m
= = t -
13
v(t) =Vm cos(wt)
+
i(t) +
L vL (t)
dt
- v(t) + vL (t) = 0
t dt
L
= ò t × dt
L
( ) sen cos(w p / 2)
w
w
w
L
L
La intensidad ATRASA
p/2 respecto al voltaje
v(t)
0 1 2 3 4
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
i(t)
Mag
netis
mo
Electricidad
y

14. ELEMENTOS DE CIRCUITO: INDUCTANCIA (II)
V
V = æVm
ö çè
I V
= = = = æ
V
ö çè
/ 0º / 0º
w w p w -p
14
L
Re
Im
FASORES
V/ 0º
L
Ohm c.a. V = I × ZL
ZL = jLw = Lw/+90º
I
Impedancia compleja:
Reactancia (inductiva): XL = Lw
VL
V
÷ø
/ / 2 / / 2
L
V
jL
Z
L
V =VL
V
I
/ 0º
/ 0º 2 ÷ø
Mag
netis
mo
Electricidad
y

15. v t q t C
( ) = ( ) LKV:
C
C dv t
i(t) = dq(t) = × C ( )
dt
dt
i t C V d = × m w
i(t) = Cw ×Vm cos(wt +p / 2)
15
Mag
netis
mo
Electricidad
y
ELEMENTOS DE CIRCUITO: CAPACITOR
v(t) =Vm cos(wt)
+
i(t)
+
C vC (t)
( ) dt (cos t)
- v(t) + vC (t) = 0
i(t) = -Cw ×Vm senwt = Cw ×Vm cos(wt +p / 2)
La intensidad ADELANTA
p/2 respecto al voltaje
0 1 2 3 4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
v(t)
i(t)

16. ELEMENTOS DE CIRCUITO: CAPACITOR (II)
V = æVm
ö çè
V
/ 0º / 0º
1 1 p
ö çè
16
Mag
netis
mo
Electricidad
y
Re
Im
FASORES
V/ 0º
/ 90º
I V
1 1
-
ö çè
÷ø
= - = æ
Cw Cw
C
ZC j
Impedancia compleja:
Reactancia (capacitiva):
Cw
XC
= 1
I
Ohm c.a. V = I × ZC
( ) / / 2
p
/ / 2
w
w w
V C
C
V
C
j
Z
C
= ×
÷ø
æ
=
-
= =
-
V =VC
V
I
V VC
/ 0º
/ 0º 2 ÷ø

17. = - × = - 1
17
Mag
netis
mo
Electricidad
y
ELEMENTOS DE CIRCUITO (RESUMEN)
Condensador (capacidad C).
Su impedancia compleja es
Cw
ZC j XC j
Donde XC es la reactancia
capacitiva, se expresa en W
Bobina ideal (inductancia L).
Su impedancia compleja es
ZL = j × XL = jLw
Donde XL es la reactancia
inductiva, se expresa en W
Fuente de tensión alterna ideal.
Representada por el fasor
V = Vm × e jj
2
Relación entre frecuencia f
y pulsación: w = 2pf
Resistencia óhmica
Número real
(R, medida en W)

18. L di + × + = m w
L d i + + = - mw w
Solución de la forma:
V
I V
m m
m R X X
18
Mag
netis
mo
Electricidad
y
CIRCUITO RCL SERIE
v t L di t L
( ) = ( )
v(t) =Vm cos(wt)
dt
+
+
i(t) +
vR (t) = R×i(t)
v t q t C
( ) = ( )
C
+
LKV: - v(t) + vL (t) + vR (t) + vC (t) = 0
V cos( t)
R i q
C
dt
1 sen( )
2
2
i V t
R di
dt C
dt
i(t) = Im cos(wt -j )
X X
R
ö çè
R
C
L
= L - C
w
-
= w
j
1
tg
2 2 ( )2
2 1 L C
C
R L
+ -
=
÷ø
+ æ -
=
w
w

19. 2
= -I w wt -j
dt
19
CIRCUITO RCL SERIE (II)
di
i(t) = Im cos(wt -j ) = -I w sen(wt -j )
dt
d i
m cos( ) 2
2
m
DEMOSTRACIÓN FORMA DE LA SOLUCIÓN
- L × Imw 2 cos(wt -j ) - R× Imw sen(wt -j )+ 1 × I cos(wt -j)
C m t = -Vmw senw
- L × Imw 2[coswt × cosj + senwt ×senj ] - R× Imw[senwt × cosj - coswt ×senj ]
+ 1 × I [coswt × cosj + senwt ×senj ]
C m t = -Vmw senw
Mag
netis
mo
Electricidad
y

20. + é- × - × + V t = - mw senw
X X
é -
= w
ù
R L R
20
DEMOSTRACIÓN (CONT.)
L Imw 2 cosj R Imw senj 1 m cosj cosw
úûù
I t
C
é- × + × +
êë
L Imw 2 senj R Imw cosj 1 m senj ù
senw
I t
C
úû
êë
Igualando coeficientes (término coseno)
- × mw 2 cosj + × mw senj + 1 Im cosj = 0
C
L I R I
0 sen cos 1 2 = + úû
- é w - ù
j Rw j
êë
C
L
w j cos 1 sen úû
j
ù
w
= é -
êë
C
X
R
R
C
L
= L - C =
úû
êë
w
j
1
tg
XL = Lw
Cw
XC
= 1
X = XL - XC
CIRCUITO RCL SERIE (III)
Mag
netis
mo
Electricidad
y

21. w 1 sen cos [ ] Im X senj + Rcosj =Vm
2
2
X
X
j j sen2 j = cos j = ( 1- sen
2j )
21
CIRCUITO RCL SERIE (IV)
DEMOSTRACIÓN (CONT 2)
Igualando coeficientes (término seno)
- L × I 2 sen - R× I cos + 1 sen = -
mw j mw j Im j Vmw
C
æ- 2 + 1 sen cos
úûI é L ö - ÷ø
çè
ù
= - m w j Rw j Vmw
C
êë
é ö ÷ø
çè
+ æ - j j
L I = úû
m R Vm
C
ù
êë
w
I Vm
m +
X senj Rcosj
=
2
= = X
tg sen
tgj = X 2
R
2
2
2
cos
R
j
2
2
2
R
R
Mag
netis
mo
Electricidad
y

22. 2
R
X
j = 2 2
R
+
j = 2 2 cos
= R2 X 2
22
CIRCUITO RCL SERIE (V)
DEMOSTRACIÓN (CONT 3)
2
X
2 2
2 2
X R
2 2
2
1
sen
R X
X R
+
=
+
2
2 2
cos2 1
R X
R X
+
=
+
j = -
X
+
2 2 sen
I Vm
m +
X senj Rcosj
=
R X
R X
j =
R R
X X
2 2 R2 X 2
R X
Vm
+
+
+
Vm
+
=
I V
m m
m R X X
2 2 2 ( )2
L C
V
R X
+ -
=
+
=
j = tg - 1 æ XL -
XC
ö çè
Impedancia Z = Z × e j j Z = R 2 + ( X L - X ) 2 ÷ø
R
C Mag
netis
mo
Electricidad
y

23. 23
CIRCUITO RCL SERIE (VI)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
t
Vm
Im
v(t) =Vm cos(wt)
i(t) = Im cos(wt -j ) (j > 0)
j > 0 Circuito inductivo XL > XC La corriente atrasa respecto al voltaje
j < 0 Circuito capacitivo XL < XC La corriente adelanta respecto al voltaje
Mag
netis
mo
Electricidad
y

24. V = Vm × e j
2
IMPEDANCIA
Re
Z = Z × e jj
0
tgj = XL - XC
24
Im
2 ( )2
Z = R + XL - XC
CIRCUITO RCL SERIE (FASORES)
ZL
ZC
R
Z
j
R
j / Z = Z
I
VL
VC
VR
V
+
w
R
ZL = jLw
w jp / 2
ZL = L × e
Z j C = -
Cw
p
C
w
Z e
j
C
- / 2
=
Ley de Ohm c.a.
V = I × Z
Mag
netis
mo
Electricidad
y

25. V = Vm × e j
2
25
Mag
netis
mo
Electricidad
y
CIRCUITO RCL SERIE (CONEXIÓN A TIERRA)
ZL = jLw
w jp / 2
ZL = L × e
VR V
Z j C = -
Cw
p
C
w
Z e
j
C
- / 2
=
R
I
+
0
V ZL
L =
V
Z
V ZC
C =
V
Z
V R R =
V
Z
DIVISOR DE
TENSIÓN
VL
VC
w
V =VL +VR +VC (Fasores)
V ¹ VL + VR + VC (Módulos)

26. V ZL
L =
V
Z
V R R =
V
Z
V ZC
C =
26
DIVISOR DE TENSIÓN
V
VL
VR
VC
I
V =VL +VR +VC = I × Z
ZL
R
ZC
Z
I = V
Z
VL = I × ZL
VR = I × R
VC = I × ZC V
Z
Re
Im
V
VC
VL
I
VR
Mag
netis
mo
Electricidad
y

27. I V
m m
m R X X
ö
+ æ -
2 1 L C
Pulsación de resonancia L = LC
w0 = ... también Ieficaz es máxima
27
Mag
netis
mo
Electricidad
y
X X
w
0
1
tg w
Si Im adopta el máximo valor cuando
1
LC
RESONANCIA CIRCUITO SERIE
R
R
C
L
= L - C
-
= 0
j
2 2 ( )2
0
0
V
C
R L
+ -
=
÷ ÷ø
ç çè
=
w
w
A la frecuencia a la que XL = XC
Im adopta el máximo
valor posible
j = 0
0
0
1
w
w
C
1
w0 =

28. 28
Mag
netis
mo
Electricidad
y
RESONANCIA CIRCUITO SERIE (CONT)
2
V
I eficaz
eficaz
2 1
ö çè
÷ø
+ æ -
=
w
w
C
R L
EJEMPLO:
Circuito RCL serie con L = 1 H,
C = 100 mF y Veficaz = 5 mV.
100 rad/s
1 1
0 4 =
= = LC -
×
1 10
w
90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Ieficaz (mA)
w0 (rad/s)
R = 2W
R = 5W
R =10W
A medida que disminuye el valor de la
resistencia el pico de resonancia se hace más
agudo
Factor de calidad
Q 0 w0L
R
w =
D
w
=
Dw

29. tgj = XL - XC 1
= 50 -100 = -
rad 45º
4
29
Mag
netis
mo
Electricidad
y
CIRCUITO RCL SERIE (EJEMPLO 1)
Determinar la corriente que circula por
el circuito siguiente y su desfase con el
voltaje. Representar gráficamente
voltaje e intensidad frente al tiempo.
2 ( )2
Z = R + XL - XC
= 502 + (100 - 50)2 = 2×502 = 50 2 W
R
50
j = -p = -
Impedancia:
Z = 50 2/-45º W
Z = 50 2 × e- jp / 4 W
L = 500 mH
V = 5 2 ×cos(wt) (V)
w =100 rad/s
R = 50 W
C =100 mF

30. CIRCUITO RCL SERIE (EJEMPLO 1 CONTINUACIÓN)
I V e
= ×
= = × -
5 0.1
/ 4
V = I × Z A
w = 2pf = 2p
= 2 = 2p =
w
30
2
50 2
/ 4
0
p
p
j
j
j
e
e
Z
×
Desfase entre corriente y voltaje: la corriente ADELANTA 45º al voltaje
Representación gráfica: representamos las partes reales.
v(t) =Vm × cos(wt) = 5 2 × cos(100t)
Valores eficaces de tensión e
intensidad multiplicados por 2
i(t) = Im × cos(wt + 45º ) = 0.1× cos(100t + 45º )
Ver gráficas
T
0.0628 s
100
T p
Mag
netis
mo
Electricidad
y

31. CIRCUITO RCL SERIE (EJEMPLO 1 GRÁFICAS)
v0(t) (V) p/4 102´i(t) (A)
31
Mag
netis
mo
Electricidad
y
0 2 4 6 8 10 12 14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
102´ t (s)
Re
Im
DIAGRAMA
DE FASORES
V
I
45º

32. VL De la resolución de EJEMPLO 1:
V Zi
i =
32
Mag
netis
mo
Electricidad
y
CIRCUITO RCL SERIE (EJEMPLO 2)
Determinar las diferencias de potencial en cada una de las impedancias del
circuito del ejemplo anterior. Hágase una representación fasorial.
Impedancia:
Z = 50 2/-45º W
Z = 50 2 × e- jp / 4 W
VR
L = 500 mH
V = 5 2 ×cos(wt) (V)
VC
ZL = j50 W = 50/+90º W
ZC = - j100 W =100/-90º W
Aplicamos a cada
impedancia la fórmula
del divisor de tensión:
V
Z
w =100 rad/s
R = 50 W
C =100 mF

33. CIRCUITO LCR SERIE (EJEMPLO 2 CONTINUACIÓN)
5
= ÷øö çè
= + 2.5 2 V
10
= ÷ø
= æ
= - 5 2 V
33
= ÷ø
Re
/ 90º 5
50
V / 0º 5
= æ
Z
100
V = ZC
/ 90º 5
C / 0º
Im
V ZL
V
Z
50
Inductancia: L = / 0º
/ 45º
50 2
-
2
/ 135º
/ 135º
+
+
= æ
5
Resistencia: 2.5 2 V
2
/ 45º
/ 45º
+
+
ö çè
V R R = / 0º
/ 45º
50 2
-
=
Condensador: V
Z
/ 45º
50 2
-
2
/ 45º
/ 45º
-
+
ö çè
V
VR
VC
VL
Mag
netis
mo
Electricidad
y

34. 1 = 1 + 1 +
1
Z Z Z Z
34
CIRCUITOS EN PARALELO
Z1 Z2 Z3
Impedancia equivalente
1 2 3
Z
La diferencia de potencial es la misma a través de cualquiera de las ramas.
Por cada una de ellas circula una intensidad diferente.
Mag
netis
mo
Electricidad
y

35. 35
I0 IC
IL IR
I0
I Z
Z
L
L =
I0
I Z
Z
C
C =
I Z R =
I0
R
DIVISOR DE CORRIENTE
Z j C = -
ZL = jLw Cw
V w /0º
V/ 0º = IL × ZL = IC × ZC = IR × R = I0 × Z
Las tres impedancias forman un divisor de corriente
Mag
netis
mo
Electricidad
y

36. = 1 Unidades SI:
Y = 1 = G + jB
= + Y = Y1 +Y2
36
DIVISOR DE CORRIENTE (II)
Y = I
ADMITANCIA: Razón de la corriente fasorial al voltaje fasorial V
La admitancia es
Conductancia
inversa de la impedancia Z
Susceptancia
R + jX
Siemen
(S=W-1)
ADMITANCIA EQUIVALENTE EN PARALELO
Y1 Y2
Z1 Z2
1 1 1
Z Z Z
1 2
V/ 0º
I1 = Y1 ×V/ 0º
I2 = Y2 ×V/ 0º
I1 I2
Mag
netis
mo
Electricidad
y

37. I = Z R
37
Mag
netis
mo
Electricidad
y
CIRCUITO PARALELO (EJEMPLO 3)
IR
IC
IL
R
L I
L
Z
I = Z
C I
C
Z
Z j C = -
ZL = jLw Cw
2.19 50 Hz /0º
Una fuente de tensión que
suministra 2.19 V eficaces a
50 Hz alimenta un circuito
formado por una resistencia
de 310 W en serie con un
paralelo formado por una
bobina de 500 mH y un
condensador de 10 mF.
Determinar la corriente que
circula por cada elemento del
circuito y la diferencia de
potencial en cada impedancia.
Hágase una representación
fasorial.
Z = Z ×
Z
Impedancia
L C
del paralelo P Z L +
Z
C
j j
157 318
= × -
157 318( )
j -
j
157 j W
318(- j) W
= 310 j = 310/+90º W
V

38. tgq = 310 =
I V R = 5 × 10 - / 45º A =
5/ 45º mA
38
Mag
netis
mo
Electricidad
y
CIRCUITO PARALELO (EJEMPLO 3 CONTINUACIÓN)
Circuito equivalente:
2.19/0º
50 Hz
310 W
310/+90º W
Impedancia total en circuito Z = 438/+45º W
/ 0º
45º
2.19
438/
+
= =
Z
3
- -
IR
Z = 3102 + 3102 = 438 W
Re
Im
310 W
310/+90º W
1
310
V q = 45º

39. CIRCUITO PARALELO (EJEMPLO 3 CONTINUACIÓN 2)
Para el cálculo de la corriente en cada una de las impedancias en paralelo aplicamos
las fórmulas del divisor de corriente.
= + 9.87 mA = /-45º
= + 4.87 mA = /+135º
39
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
I = Z
L I
I = Z
C I
II C L
157 j W 318(- j) W
310/+90º W
R
L
Z
R
C
Z
/ 45º
/ 90º 5
/ 90º
310
157
-
+
/ 45º
/ 90º 5
/ 90º
310
318
-
-
Re
Im
135º
-45º
IC
IL
IR
Mag
netis
mo
Electricidad
y

40. / 0º 2.19
= =1.55/-45º V
310
V ZP
LC = / 0º
= / + 90º 2.19
= 1.55 /+45º
V VLC
V
40
Mag
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mo
Electricidad
y
CIRCUITO PARALELO (EJEMPLO 3 CONTINUACIÓN 3)
Cálculo de la d.d.p. en cada una de las impedancias: divisor de tensión.
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VLC
Z = 438/+45º W
VR
V R R =
V
Z
V
/ 0º
310
/ 45º
438
+
V
Z
/ 45º
438
+
Re
Im
VR

41. = 1V I j + wt -j m m
Ppromedio = VmIm =Veficaz Ieficaz
cosj cosj
41
POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA
p(t) = v(t) ×i(t)
v(t) =Vm coswt
i(t) = Im cos(wt -j )
p(t) =VmIm coswt × cos(wt -j ) [cos cos(2 )]
2
Potencia promedio: El valor promedio de cos(2wt -j ) es nulo.
Factor de potencia
1
2
cosj = R V I Z eficaz = eficaz ×
Z
Mag
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mo
Electricidad
y

42. TRIÁNGULO DE POTENCIAS
42
POTENCIA COMPLEJA
cosj = R
Z
I/-j
V/ 0º
S =V × I * ( )*
=V/ 0º × I/-j
Z/j
=V/ 0º × I/j
Re{S} = P =Veficaz × Ieficaz × cosj
S =Veficaz × Ieficaz (cosj + j senj )
Potencia activa (W)
Potencia aparente (V·A)
S =Veficaz × Ieficaz = Ie2ficaz × Z
Potencia reactiva (VAR)
Im{S} = Q =Veficaz × Ieficaz ×senj
Im{S}
S
j
Re{S}
Mag
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Electricidad
y

43. V R R = =1.55/-45º V
V ZP
LC = =1.55/+45º V
I = V = 5 × 10 -
R / 45º A
= × -
= × -
43
POTENCIA EN ALTERNA (EJEMPLO 4)
Determínese la potencia compleja, la potencia aparente, y los términos de potencia
activa y reactiva en cada una de las impedancias del ejemplo 3.
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VR
VLC
V
Resultados ejemplo 3
V
Z
V
Z
Z
3
-
R
I = Z
L I
L
Z
R
I = Z
C I
C
Z
3
-
9.87 10 / 45º A
3
+
4.87 10 / 135º A
Mag
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mo
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y

44. POTENCIA EN ALTERNA (EJEMPLO 4 CONTINUACIÓN)
= - × ×
7.75 10 / 0º
44
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VR
VLC
V
*R
-
3
SR =VR × I / 45º
1.55/ 45º 5 10 +
= × -3 SR
Resistencia: potencia compleja
Potencia aparente:
módulo de la potencia compleja
= 7.75×10-3 V×A
SR
Potencia activa:
parte real de la potencia compleja
= 7.75×10-3 × cos0º
PR 7.75 10 w = × -3
Potencia reactiva:
parte imaginaria de la potencia compleja
= 7.75×10-3 ×sen 0º
QR = 0
Mag
netis
mo
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y

45. POTENCIA EN ALTERNA (EJEMPLO 4 CONTINUACIÓN 2)
= + × ×
15.30 10 / 90º
= × - SL
45
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VR
VLC
V
*L
-
3
SL =VL × I / 45º
1.55/ 45º 9.87 10 +
3
+
Inductancia: potencia compleja
Potencia aparente:
módulo de la potencia compleja
=15.30×10-3 V×A
SL
Potencia activa:
parte real de la potencia compleja
=15.30×10-3 × cos90º
PL = 0
Potencia reactiva:
parte imaginaria de la potencia compleja
=15.30 ×10-3 ×sen90º
QL 15.30 10 VAR = × -3
Mag
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y

46. = + × ×
7.55 10 / 90º
= × - SC
46
Mag
netis
mo
Electricidad
y
POTENCIA EN ALTERNA (EJEMPLO 4 CONTINUACIÓN 3)
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VR
VLC
V
*C
-
3
SC =VC × I 1.55/ 45º 4.87 10 / -
135º
3
-
Condensador: potencia compleja
Potencia aparente:
módulo de la potencia compleja
= 7.55×10-3 V×A
SC
Potencia activa:
parte real de la potencia compleja
= 7.55×10-3 × cos(- 90º)
PC = 0
Potencia reactiva:
parte imaginaria de la potencia compleja
= 7.55×10-3 ×sen(- 90º)
QC 7.55 10 VAR = - × -3

47. POTENCIA EN ALTERNA (EJEMPLO 4 CONTINUACIÓN 4)
= + × ×
7.75 10 / 90º
= × - SLC
47
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VR
VLC
V
*R
-
3
SLC =VLC × I 1.55/ 45º 5 10 / +
45º
3
+
Impedancia paralelo LC: potencia compleja
Potencia aparente:
módulo de la potencia compleja
= 7.75×10-3 V×A
SLC
Potencia activa:
parte real de la potencia compleja
= 7.75×10-3 × cos(+ 90º)
PLC = 0
Potencia reactiva:
parte imaginaria de la potencia compleja
= 7.75×10-3 ×sen(+ 90º)
QLC 7,75 10 VAR = × -3
Mag
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y

48. POTENCIA EN ALTERNA (EJEMPLO 4 CONTINUACIÓN 5)
= × × -
10.95 10 / 45º
= × - SZ
48
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VR
VLC
V
*R
3
SZ =VZ × I / 45º
2.19/ 0º 5 10 +
3
+
Impedancia Z del circuito: potencia compleja
Potencia aparente:
módulo de la potencia compleja
=10.95×10-3 V×A
SZ
Potencia activa:
parte real de la potencia compleja
=10.95×10-3 × cos(+ 45º)
PZ 7.75 10 w = × -3
Potencia reactiva:
parte imaginaria de la potencia compleja
=10.95×10-3 ×sen(+ 45º)
QZ 7,75 10 VAR = × -3
Z = 438/+45º W
Mag
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mo
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y

49. POTENCIA EN ALTERNA (EJEMPLO 4 CONTINUACIÓN 6)
49
Triángulo de potencias (impedancia Z)
PZ
QZ
SZ
IR
2.19/0º
50 Hz
310 W
II C L
157 j W
318(- j) W
310/+90º W
VR
VLC
V
Z
mw
SZ = PZ + jQZ = 7.75 + j ×7.75
mVAR
45º
Mag
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mo
Electricidad
y

50. V 1
=
50
TRANSFORMADORES
Un transformador es un conjunto de bobinados que comparten el mismo flujo
magnético.
El paso de AC por uno de ellos produce en cambio de flujo magnético, el cual a su vez
origina un cambio de voltaje en el resto.
V1 V2
N1 N2
Para mantener el campo magnético
confinado en los bobinados, éstos se
arrollan sobre un núcleo ferromagnético
V = -N dF 1 1
dt
V = -N dF 2 2
dt
N
1
2
2
N
V
1
N
Usando una relación apropiada puede elevarse o disminuirse el voltaje
2
N
Mag
netis
mo
Electricidad
y

51. 51
TRANSFORMADORES (II)
V1 V2
I1
I1
I2
I2
POTENCIA = I ×V × cosj
I1 ×V1 = I2 ×V2
A diferencias de potencial bajas corresponden altas intensidades, y viceversa
Para el transporte de corriente conviene que la intensidad sea lo más baja posible
(disminución de pérdidas por efecto Joule)
Mag
netis
mo
Electricidad
y

52. 52
BIBLIOGRAFÍA
Joseph A. Edminister. Circuitos eléctricos. Teoría y 391 problemas resueltos
(2ª edición). Serie Schaum. Editorial McGraw-Hill.
William H. Hayt, Jr y Jack E. Kemmerly. Análisis de circuitos en ingeniería.
Editorial McGraw-Hill.
http://www.wfu.edu/~ucerkb/Phy114/Lecture_11_AC_Circuits.ppt
Mag
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y