El documento presenta información sobre las esferas. Explica que una esfera es un sólido geométrico limitado por una superficie esférica y que su superficie es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de otro punto llamado centro. También describe varias figuras relacionadas con las esferas como zonas esféricas, casquetes esféricos y sectores esféricos, y presenta fórmulas para calcular sus áreas y volúmenes. Finalmente, explica las relaciones entre esferas, prismas

1. GEOMETRIA ESPACIAL TEMA DE EXPOSICION: “ESFERAS” INTEGRANTES:ANGELICA ALDAS

2. JOHANA ARMIJOS

3. JHONY HIDALGO

4. LIZBETH RIVADENEIRASuperficies de Revolución o Cuerpo de RevoluciónEs el cuerpo geométrico que se engendra al hacer girar una figura plana alrededor de una recta llamada eje. Por ejemplo, la esfera y el cono son cuerpos de revolución: la esfera se obtiene al hacer girar un círculo alrededor de uno de sus diámetros y el cono al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.Son superficies generadas por una línea, denominada generatriz o meridiano que gira alrededor de un eje de revolución. Cada punto de la curva genera en su giro circunferencias directrices o paralelos. Las generatrices son todas iguales, y las directrices son circunferencias con distinto radio

6. VOLUMEN DE REVOLUCION

7. Qué es una esfera.- Es un solido geométrico limitado por una superficie esféricaEs el sólido que se engendra por el giro de un semicírculo en una vuelta completa (360º) alrededor del diámetro Qué es la superficie esféricaEs el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de otro punto llamado centro.

8. Elementos Radio.- Es la distancia del centro a un punto cualquiera de la superficie esféricaCuerda: DEDiámetro: BOCSección: Plano PDenominación: Por el centro y el radio

9. DeterminaciónCuatro puntos que no están en el mismo plano determinan una esfera y solo unaIntersección Plano – EsferaToda sección plana de una esfera es un círculo

10. Zona Esférica o Segmento Esférico de Dos BasesEs la parte de la superficie esférica limitada por dos planos paralelos secantesElementos:Altura: La distancia entre los dos planos paralelos: hBases: Las secciones paralelas A-B Y C-DDChOAB

11. AREA LATERALSi el número de lados de la línea poligonal regular se duplica indefinidamenteLínea poligonal.- serie de segmentos concatenados que no se cortan, salvo que el origen del primero coincida con el extremo del último, en cuyo caso se dice que la poligonal es cerrada.

12. AREA TOTALEs igual al área lateral más las áreas de las bases

13. Casquete Esférico o Segmento Esférico De una BaseEs la parte de la superficie esférica limitada por un plano secante y otro tangente paralelos.Llamada también zona de una sola base, está limitada por un plano tangente a la esfera y el otro plano que atraviesa la esfera Elementos: Altura: La distancia entre los planos paralelosB

14. AREA LATERALEl área lateral de un casquete es igual al producto de la longitud del círculo máximo por su altura.Siendo el casquete esférico una zona:

15. AREA TOTAL AREA DE UNA ESFERAEl área de una esfera es igual al producto del círculo máximo por su diámetro.La esfera es una Zona cuya altura es igual al diámetro

16. Huso EsféricoEs la parte de la superficie esférica comprendida entre dos o mas semicírculos máximosCírculo Máximo.- Es toda la sección plana que contiene el centro de toda la esfera.Elementos.-Lados: Son los semicírculos máximosÁngulos del Huso: El ángulo formado por los dos semicírculos máximos

18. AREA HUSO ESFERICOEs igual al área de la esfera multiplicada por la relación entre el ángulo del huso y 360º

19. Sector EsféricoEs la parte de la esfera formada por un sector circular que gira alrededor de un diámetro situado en su plano.Elementos:Altura: Proyección del arco AB en el diámetro: h

20. VOLUMEN SECTOR ESFERICOSe puede deducir que el volumen del sector esférico es proporcional a la longitud de la flecha. Si h = 2R, el volumen del sector esférico correspondiente al volumen de una esfera de radio R. Así que podemos plantear la regla de tres,

21. VOLUMEN DE UNA ESFERAEl volumen de una esfera es igual al producto del área esférica por el tercio del radioEl volumen de una esfera puede ser considerado como el sector esférico engendrado por la revolución de la mitad de una región circular alrededor del diámetro

22. Anillo EsféricoEs la parte de una esfera formada por un segmento circular que gira alrededor de un diámetro situado en su plano exterior a dicho segmentoElementos:Altura: Proyección del arco AB en diámetro: h

23. VOLUMEN ANILLO ESFERICOEl volumen del anillo esférico es igual a la sexta parte del volumen del cilindro cuya base tiene por radio la cuerda del segmento circular y por altura del anillo esférico

24. ADSegmento Esférico De Dos Bases o Zona EsféricaEs la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos secantesElementos:Base: Las secciones paralelas A-B y C-DAltura: La distancia entre las baseshBC

25. ADVOLUMEN ZONA ESFERICAhBC

26. Segmento Esférico De una Base o Casquete EsféricoEs la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos el uno secante y el otro tangenteElementos:Base: Sección A-CAltura: h

27. VOLUMEN CASQUETE ESFERICOSi uno de los planos es tangente a la esfera, la sección se reduce a un puntoBhACO

28. RELACIONES DE UNA ESFERA

29. RELACIONESFERA - PRISMA

30. Esfera – SólidoEl volumen de un solido geométrico, es igual al producto de la superficie total por un tercio del radio de la esfera inscritaAhrOBR

31. Esfera Inscrita en un Prisma Recto Es tangente a todas las caras del prisma.El radio del círculo inscrito en la base es igual al radio de la esferaLa altura del prisma es igual al diámetro de la esfera

32. Esfera Circunscrita a un PrismaLos vértices del prisma están en la superficie de la esfera

33. RELACION ESFERA –CILINDRO CIRCULAR

34. Esfera Inscrita - Cilindro Circular RectoLa esfera es tangente tanto a las bases del cilindro como a su superficie lateralLos centros de las bases son los puntos de tangencia de la esfera con el cilindro de revoluciónLos puntos de tangencia con la superficie lateral es un círculo máximo paralelo a las basesEl radio del círculo inscrito en la base es igual al radio de la esferaLa altura del prisma es igual al diámetro de la esfera

35. Esfera Circunscrita - Cilindro Circular RectoLas bases del cilindro de revolución son secciones planas paralelas iguales de la esfera

36. RELACION ESFERA - PIRAMIDE

37. Esfera Inscrita – PirámideLa esfera es tangente a todas las caras laterales como a la baseEl centro de la esfera inscrita equidista de todas las caras de la pirámideUna esfera siempre se puede inscribir en una pirámide regularUna esfera puede inscribirse en cualquier pirámide de base triangular

38. Esfera Circunscrita – PirámideTodos los vértices de la pirámide se encuentran en la superficie de la esferaEl centro de la esfera es el punto de intersección de todos los planos bisectrales de todos los ángulos diedros de la pirámide. Es el punto de intersección de todos los planos trazados por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendicularmente a dichas aristasUna esfera puede circunscribirse a una pirámide si es posible circunscribir a un círculo al polígono que sirve de base de la pirámideUna esfera puede circunscribirse a una pirámide triangularUna esfera puede circunscribirse a una pirámide regular

39. RELACION ESFERA – CONO CIRCULAR

40. Esfera Inscrita – Cono de RevoluciónEl vértice del cono se halla en la superficie de la esferaLa base del cono es una sección plana de la esferaEl centro de la esfera esta en la altura del cono

41. Esfera Circunscrita – Cono de RevoluciónEl vértice del cono se halla en la superficie de la esferaLa base del cono es una sección plana de la esferaEl centro de la esfera esta en la altura del cono

42. RELACION ESFERA – TRONCO DE PIRAMIDE

43. Esfera Inscrita – Tronco de PirámideEs tangente a las bases y a todas las caras lateralesEl diámetro de la esfera es igual a la altura del tronco de pirámide

44. Esfera Circunscrita – Tronco de PirámideLas bases del tronco de pirámide son polígonos inscritos en dos secciones planas de la esfera

45. RELACION ESFERA – CONO DE REVOLUCION

46. Esfera Inscrita - Tronco de Cono de RevoluciónLa esfera es tangente a las bases y a la superficie lateralLos puntos de tangencia son los centros de las basesLa tangencia con la superficie lateral es un círculoLa altura es igual al diámetro de la esfera

47. Esfera Circunscrita – Tronco de Cono de RevoluciónLas bases del tronco de cono de revolución son dos secciones planos paralelos

48. FORMULARIO

50. EJERCICIOS

51. .

56. Parte FESFERA