El documento presenta información sobre las esferas. Explica que una esfera es un sólido geométrico limitado por una superficie esférica y que su superficie es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de otro punto llamado centro. También describe varias figuras relacionadas con las esferas como zonas esféricas, casquetes esféricos y sectores esféricos, y presenta fórmulas para calcular sus áreas y volúmenes. Finalmente, explica las relaciones entre esferas, prismas

2. JOHANA ARMIJOS

3. JHONY HIDALGO

6. VOLUMEN DE REVOLUCION

7. Qué es una esfera.- Es un solido geométrico limitado por una superficie esférica Es el sólido que se engendra por el giro de un semicírculo en una vuelta completa (360º) alrededor del diámetro Qué es la superficie esférica Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de otro punto llamado centro.

8. Elementos Radio.- Es la distancia del centro a un punto cualquiera de la superficie esférica Cuerda: DE Diámetro: BOC Sección: Plano P Denominación: Por el centro y el radio

9. Determinación Cuatro puntos que no están en el mismo plano determinan una esfera y solo una Intersección Plano – Esfera Toda sección plana de una esfera es un círculo

10. Zona Esférica o Segmento Esférico de Dos Bases Es la parte de la superficie esférica limitada por dos planos paralelos secantes Elementos: Altura: La distancia entre los dos planos paralelos: h Bases: Las secciones paralelas A-B Y C-D D C h O A B

11. AREA LATERAL Si el número de lados de la línea poligonal regular se duplica indefinidamente Línea poligonal.- serie de segmentos concatenados que no se cortan, salvo que el origen del primero coincida con el extremo del último, en cuyo caso se dice que la poligonal es cerrada.

12. AREA TOTAL Es igual al área lateral más las áreas de las bases

13. Casquete Esférico o Segmento Esférico De una Base Es la parte de la superficie esférica limitada por un plano secante y otro tangente paralelos. Llamada también zona de una sola base, está limitada por un plano tangente a la esfera y el otro plano que atraviesa la esfera Elementos: Altura: La distancia entre los planos paralelos B

14. AREA LATERAL El área lateral de un casquete es igual al producto de la longitud del círculo máximo por su altura. Siendo el casquete esférico una zona:

15. AREA TOTAL AREA DE UNA ESFERA El área de una esfera es igual al producto del círculo máximo por su diámetro. La esfera es una Zona cuya altura es igual al diámetro

16. Huso Esférico Es la parte de la superficie esférica comprendida entre dos o mas semicírculos máximos Círculo Máximo.- Es toda la sección plana que contiene el centro de toda la esfera. Elementos.- Lados: Son los semicírculos máximos Ángulos del Huso: El ángulo formado por los dos semicírculos máximos

18. AREA HUSO ESFERICO Es igual al área de la esfera multiplicada por la relación entre el ángulo del huso y 360º

19. Sector Esférico Es la parte de la esfera formada por un sector circular que gira alrededor de un diámetro situado en su plano. Elementos: Altura: Proyección del arco AB en el diámetro: h

20. VOLUMEN SECTOR ESFERICO Se puede deducir que el volumen del sector esférico es proporcional a la longitud de la flecha. Si h = 2R, el volumen del sector esférico correspondiente al volumen de una esfera de radio R. Así que podemos plantear la regla de tres,

21. VOLUMEN DE UNA ESFERA El volumen de una esfera es igual al producto del área esférica por el tercio del radio El volumen de una esfera puede ser considerado como el sector esférico engendrado por la revolución de la mitad de una región circular alrededor del diámetro

22. Anillo Esférico Es la parte de una esfera formada por un segmento circular que gira alrededor de un diámetro situado en su plano exterior a dicho segmento Elementos: Altura: Proyección del arco AB en diámetro: h

23. VOLUMEN ANILLO ESFERICO El volumen del anillo esférico es igual a la sexta parte del volumen del cilindro cuya base tiene por radio la cuerda del segmento circular y por altura del anillo esférico

24. A D Segmento Esférico De Dos Bases o Zona Esférica Es la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos secantes Elementos: Base: Las secciones paralelas A-B y C-D Altura: La distancia entre las bases h B C

25. A D VOLUMEN ZONA ESFERICA h B C

26. Segmento Esférico De una Base o Casquete Esférico Es la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos el uno secante y el otro tangente Elementos: Base: Sección A-C Altura: h

27. VOLUMEN CASQUETE ESFERICO Si uno de los planos es tangente a la esfera, la sección se reduce a un punto B h A C O

28. RELACIONES DE UNA ESFERA

29. RELACION ESFERA - PRISMA

30. Esfera – Sólido El volumen de un solido geométrico, es igual al producto de la superficie total por un tercio del radio de la esfera inscrita A h r O B R

31. Esfera Inscrita en un Prisma Recto Es tangente a todas las caras del prisma. El radio del círculo inscrito en la base es igual al radio de la esfera La altura del prisma es igual al diámetro de la esfera

32. Esfera Circunscrita a un Prisma Los vértices del prisma están en la superficie de la esfera

33. RELACION ESFERA –CILINDRO CIRCULAR

34. Esfera Inscrita - Cilindro Circular Recto La esfera es tangente tanto a las bases del cilindro como a su superficie lateral Los centros de las bases son los puntos de tangencia de la esfera con el cilindro de revolución Los puntos de tangencia con la superficie lateral es un círculo máximo paralelo a las bases El radio del círculo inscrito en la base es igual al radio de la esfera La altura del prisma es igual al diámetro de la esfera

35. Esfera Circunscrita - Cilindro Circular Recto Las bases del cilindro de revolución son secciones planas paralelas iguales de la esfera

36. RELACION ESFERA - PIRAMIDE

37. Esfera Inscrita – Pirámide La esfera es tangente a todas las caras laterales como a la base El centro de la esfera inscrita equidista de todas las caras de la pirámide Una esfera siempre se puede inscribir en una pirámide regular Una esfera puede inscribirse en cualquier pirámide de base triangular

38. Esfera Circunscrita – Pirámide Todos los vértices de la pirámide se encuentran en la superficie de la esfera El centro de la esfera es el punto de intersección de todos los planos bisectrales de todos los ángulos diedros de la pirámide. Es el punto de intersección de todos los planos trazados por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendicularmente a dichas aristas Una esfera puede circunscribirse a una pirámide si es posible circunscribir a un círculo al polígono que sirve de base de la pirámide Una esfera puede circunscribirse a una pirámide triangular Una esfera puede circunscribirse a una pirámide regular

39. RELACION ESFERA – CONO CIRCULAR

40. Esfera Inscrita – Cono de Revolución El vértice del cono se halla en la superficie de la esfera La base del cono es una sección plana de la esfera El centro de la esfera esta en la altura del cono

41. Esfera Circunscrita – Cono de Revolución El vértice del cono se halla en la superficie de la esfera La base del cono es una sección plana de la esfera El centro de la esfera esta en la altura del cono

42. RELACION ESFERA – TRONCO DE PIRAMIDE

43. Esfera Inscrita – Tronco de Pirámide Es tangente a las bases y a todas las caras laterales El diámetro de la esfera es igual a la altura del tronco de pirámide

44. Esfera Circunscrita – Tronco de Pirámide Las bases del tronco de pirámide son polígonos inscritos en dos secciones planas de la esfera

45. RELACION ESFERA – CONO DE REVOLUCION

46. Esfera Inscrita - Tronco de Cono de Revolución La esfera es tangente a las bases y a la superficie lateral Los puntos de tangencia son los centros de las bases La tangencia con la superficie lateral es un círculo La altura es igual al diámetro de la esfera

47. Esfera Circunscrita – Tronco de Cono de Revolución Las bases del tronco de cono de revolución son dos secciones planos paralelos

48. FORMULARIO

50. EJERCICIOS

51. .

56. Parte FESFERA

62. Bibliografia Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. http://www.vitutor.com/geo/esp/v_e.html http://www.fisicanet.com.ar/matematica/geometria/tp09_esfera.php Geometria Plana y del Espacio G. CALVACHE T. ROSERO M. YACELGA

63. Por Su Atención