3.1 Áreas Calculo Integral

1. Unidad III. Aplicacionesde la Integral
Ensayo: 3.1 Áreas
Docente:
Lic.
. Matemáticas: Daniel Cardona
Alumna: Número de Control:
Alexa Evelyn González Rosales 21030144
Grado y Grupo:
2 “B”
Guadalupe Victoria, Dgo.18 de mayo del 2022

2. Índice
ÁREAS.............................................................................................................................. 3
Integral Definida .............................................................................................................. 4
Área bajo la gráfica de una función.............................................................................. 4
Área entre las gráficas de funciones ............................................................................ 7
Fuentes de Consulta.....................................................................................................11

3. ÁREAS
Desde chicos tenemos una pequeña noción de lo que son las áreas, ya que nos
enseñan a sacar áreas de figuras geométricas desde la primaria, pero ¿Qué es
el área? ¿Para qué sirve? Bueno, el área se puede definir como una medida del
tamaño de una superficie, y ésta se expresa en unidades de medida denominadas
“superficiales”; prácticamente el área de una figura es la cantidad de superficie
que ocupa. Para superficies planes, también denominadas bidimensionales, ya
que sólo cuenta con dos dimensiones; anchura y longitud (rectángulos,
cuadrados, triángulos, etc.) el concepto suele ser más intuitivo. Y es que, para
cualquier superficie plana de lados rectos, puede triangularse y se puede calcular
su área con la suma de las áreas de los triángulos, dando como resultado el área
total.
Hoy en día para la mayoría de las figuras geométricas (figuras que delimitan
superficies planas a través de un conjunto de líneas) suelen contar con alguna
fórmula para conocer su área.
Como lo son:
Cuadrado 𝐴 = 𝐿 𝑥 𝐿
Rectángulo 𝐴 = 𝑏 𝑥 𝑎
Hexágono 𝑃 𝑥 𝑎
2
a= Apotema
Pentágono 𝑃 𝑥 𝑎
2
a= Apotema
Triángulo
𝐴 =
𝑏 𝑥 𝑎
2
Rombo 𝐴 = 𝐷 𝑥 𝑑
Círculo 𝐴 = 𝜋 𝑥 𝑟2
Sin embargo, es diferente para calcular el área de superficies curvas, ya que en
este caso se requiere introducir métodos de geometría diferencial. La realización

4. del área bajo la curva es lo que da hincapié para desarrollar
el concepto de integral. El área bajo la curva es formada por
la función f(x) y el eje “x” se logra obtener de manera
aproximada dibujando rectángulos de anchura finita,
mientras que su altura (f) es igual al valor de la función en el
centro del intervalo.
Integral Definida
¿Sabes que es la Integral Definida?
La integral Definida suele ser mayormente utilizado para poder determinar un
valor de las áreas delimitadas por una gráfica dentro de un intervalo y el eje
horizontal.
Se dice que dada una función f(x) de una variable y un intervalo (a, b) de la
recta, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f/x), el eje
abscisa y las líneas verticales x=a y x=b.
Área bajo la gráfica de una función
Es increíble el poder y la capacidad que tiene el hombre para adentrase a nuevos
conocimientos matemáticos y todo partiendo de la interrogante “¿Cómo se hace?”
“¿Cómo logro calcular esto? No fue hasta el siglo XVII que se descubrió un
método general para calcular áreas de formas curvas: La Integración.
Leibniz, logró desarrollar un simbolismo, el cual consistía de una S alargada, esto
mejormente conocido como “Proceso de Integración”.
Su fórmula es:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Donde:

5.  b= Límite de Integración Superior
 a= Límite de Integración Inferior
 f (x)= Integrado
 dx= Variable de integración
Es así como nace el famoso Teorema fundamental del cálculo.
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración
son operaciones totalmente inversas. Al integrar una función continua y luego
derivarla se recupera la función original.
El área bajo la gráfica de una función puede formularse al representar un
rectángulo pequeño de altura y anchura finitas lo cual equivale al valor de la
función en el medio del intervalo al que corresponde. Pero, ¿Y ahora qué sigue?
Una vez que se tenga definida el área a calcular se comienza a resolver mediante
el uso de integrales definidas, y los valores dados en la integral pueden ser los
que le den forma a la curva de la gráfica y posteriormente se procede a calcular
el área que se encuentra bajo la curva.
Un poco complicado ¿No? Las palabras suelen confundir y más cuando se trata
de matemáticas, así que porque mejor no lo explicamos mediante un ejemplo:
Datos:
Se desea obtener un área limitada por
 Recta: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = (−2𝑥 + 3)
Datos:
 Desde: 𝑥 = −2
 Hasta: 𝑥 = 1
Una vez conociendo los datos, iremos a GeoGebra para así
graficar y saber cuál será el área que se va calcular.
Como podemos ver en la imagen, los puntos que se interceptan
(de -2, hasta 1) forman el área que se va calcular bajo la curva
(en este caso la recta roja hacia abajo).

6. La fórmula que se utilizará para la resolución de este problema es:
𝐴 = ∫ (−2𝑥 + 3) 𝑑𝑥
1
−2
0
𝐴 = − 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑑
1
−2
1
−2
𝑥
Se sacan de la
integral porque son
constantes.
𝐴 = [
−2 𝑥2
2
1
3
−2
+ [3𝑥
1
2
−2
Aquí se integraron ambos
términos. Lo que haremos
a continuación será
sustituir las “x” por él
término superior e inferior
𝐴 = [ −𝑥2 + 3𝑥 ]
1
2
−2
𝐴 = [−(1)2 + 3(1) ] − [−(−2)2 + 3(−2)]
Cuando se sustituyen, se
resta el límite inferir del
superior
𝐴 = [−1 + 3 ] − [−4 − 6]
𝐴 = [2] − [−10]
𝐴 = 2 + 10 = 12𝑢2
Se afecta por el
signo

7. Área entre las gráficas de funciones
Debemos recordar que ya hemos definido la integral definida como una suma y
además hemos visto cómo se encuentra el área de una región comprendida entre
una curva y en eje, ahora lo que veremos es cómo se hace este mismo cálculo
para encontrar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es
decir, entre las gráficas de dos funciones.
Calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya hemos visto con
anterioridad en donde la región a trabajar, se divide en rectángulos, y se
determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base
y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se
define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.
Se puede decir que el área comprendida entre dos funciones es igual al área de
la función que está ubicada por encima menos el área de la función que está
ubicada por debajo.
¿Queda claro cuál es la diferencia entre una y otra? Para reforzar lo antes
plasmado, comparemos estas dos imágenes para que los conceptos sean más
sencillos de comprender.
Área bajo la curva Área entre funciones
Aquí se explica que
mediante intervalos se
trazan líneas que explican
de donde inicia y termina
para calcular el área.
Aquí se explica que, al momento de
trazar la recta pasa por medio de la
parábola, pasando así por dos
funciones, sombreando sólo el área
verde ya que es el área bajo la curva
que se desea calcular, si lo observamos
vemos que las líneas se interceptan de
(0,1) y continua en (1,3)

8. La fórmula para sacar el área entre funciones es:
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Donde:
 f (x)= Función
 g (x)= Función
 b= Límite de Integración Superior
 a= Límite de Integración Inferior
 dx= Variable de integración
Ahora, para que se entienda mejor veamos un ejemplo:
Datos:
Se desea obtener el área de la región
limitada por las gráficas de
 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥
 𝑦 = −𝑥 + 4
Datos:
 En: [−4,2]
El siguiente paso será graficar en GeoGebra, para ver el
área a calcular y cuales puntos se interceptan.
Podemos ver que las líneas se interceptan en (-4,1) y (1,2)

9. Y la pregunta que todos se hacen ¿Esto para qué sirve? El calculo para muchos
resulta complicado y más cuando son temas con los que hemos estado tan poco
familiarizado, personalmente antes de enfocar esta materia no tenía idea de lo
que era más allá de sacar áreas a figuras geométricas, ni por la cabeza me
pasaba el hecho de conocer “áreas bajo la curva” ni “áreas sobre dos funciones”,
es un tema que por el hecho de no tener ni una mínima idea de él cuando
adentramos nos resulta un poco complicado y viene esa cuestión de ¿Y para qué
nos sirve? Bueno la verdad es que no iremos por el mundo integrando funciones,
pero el hecho de que no sea así no significa que no tengan una utilidad, digo por
algo existen y nos imparten dichos conocimientos.
𝐴 = ∫ −𝑥 + 4 − (𝑥2
+ 2𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2
+ 2𝑥 − (−𝑥 + 4) 𝑑𝑥
2
1
1
−4
𝐴 = ∫ (−𝑥2
− 2𝑥 − 𝑥 + 4) 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥2
+ 2𝑥 + 𝑥 − 4) 𝑑𝑥
2
1
1
−4
Aquí se
agrupan los
términos.
𝐴 = ∫ [
−𝑥3
3
−
3𝑥2
2
+ 4𝑥
1
3
−4
+ ∫ [
𝑥3
3
+
3𝑥2
2
− 4𝑥
2
2
1
2
1
1
−4
Se
agruparon
-2x y -x
𝐴 = −
1
3
−
1
2
+ 4 − (
64
3
− 24 − 16) +
8
3
+ 6 − 8 − (
1
3
+
3
2
− 4)
𝐴 = −
1
3
−
1
2
+ 4 +
56
3
+
8
3
+ 6 − 8 +
13
6
=
74
3
𝑢2
Lo que pasó aquí fue que se sustituyeron las x por los valores tanto del límite
superior como del inferior.
Luego se restó el límite inferior del superior en ambas funciones

10. De experiencia personal, al asimilar el caso de aplicación que el profesor nos
proporcionó, me di cuenta que este tipo de áreas se aplican bastante para
conceptos físicos, ya que tiene relación con la velocidad, la aceleración, la
distancia y eso a su vez hace relación con todo lo que nos rodea. Es por ello que
claramente tiene un impacto bastante importante para seguir avanzado en la
adquisición de nuevos conocimientos matemáticos, físicos y así muchos más.

11. Fuentes de Consulta
¿Qué son las figuras planas? (s. f.). Twinkl. Recuperado 18 de mayo de 2022, de
https://www.twinkl.com.mx/teaching-wiki/figuras-
planas#:~:text=Las%20figuras%20planas%2C%20también%20llamadas,geométr
ico%20(de%20tres%20dimensiones)
Área bajo la gráfica de una función. (s. f.). Cecyt3. Recuperado 18 de mayo de 2022, de
https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/iu3argr.html#:%7
E:text=El%20%C3%A1rea%20bajo%20la%20gr%C3%A1fica,definidas%20entr
e%20los%20puntos%20dados.&text=El%20resultado%20es%20positivo%20en,p
or%20debajo%20del%20eje%20x
L., & L. (2019, 28 junio). Área bajo la gráfica de una función (Cálculo integral).
Ingeniería Electrónica. Recuperado 18 de mayo de 2022, de
https://ingenieriaelectronica.org/area-bajo-la-grafica-de-una-funcion-calculo-
integral/
O. (2022, mayo 19). AREAS. BlogsPot. Recuperado 18 de mayo de 2022, de
http://reyesporfirio.blogspot.com/2011/06/31-areas.html
Castañeda, J. (2020, 21 diciembre). Teorema fundamental del cálculo. Superprof.
Recuperado 18 de mayo de 2022, de
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/teorema
-fundamental-del-calculo-y-de-la-
media.html#:%7E:text=El%20teorema%20fundamental%20del%20c%C3%A1lc
ulo%20nos%20indica%20que%20la%20derivaci%C3%B3n,se%20recupera%20l
a%20funci%C3%B3n%20original