El documento presenta un análisis sobre la derivada parcial de funciones de múltiples variables y cómo se aplican las derivadas de primer y segundo orden para identificar puntos críticos. También se explica el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos y mínimos bajo restricciones, ilustrado con un ejemplo específico. Se concluye con la identificación de máximos y mínimos absolutos de una función, utilizando condiciones específicas y evaluaciones en puntos críticos.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Extensión - Porlamar
Realizado Por:
Milt Robert C.I: 21.323.613
Sección : “SAIA”
Porlamar, Enero de 2017

2. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS VARIABLES
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada
respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes,
Las derivadas parciales de primer y segundo orden son implementadas
para hallar el punto crítico de funciones vectoriales y geométricas
Ejercicio:
Determinar los extremos de la función:

3. Una vez obtenidas las derivadas parciales de primer orden,
procedemos a hallar las derivadas parciales de segundo orden:

7. METODO LAGRANGE
El método de los Multiplicadores de LaGrange, es un
procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de
funciones de múltiples variables sujetas a restricciones
Este método reduce el problema restringido con “n” variables
a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al
número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser
resueltas más fácilmente.
Ejemplo:
Halla los extremos de la función bajo la restricción x + y = 1

8. Solución:

10. MATRIZ JACOBIANA
La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida
como:
Es
:

11. Solución Utilizaremos las condiciones KKT para caracterizar los
máximos y los mínimos. Aquí g = g(x, y) = x 2+y 2−1 ≤ 0.
En la figura 1 aparecen los preparativos para la solución del problema,
así como sus puntos críticos. El orden de las variables en la matriz es x
− y − t.
la figura 2 aparecen las coordenadas de los puntos críticos y las
evaluaciones de g y de f en cada uno de los puntos críticos. Lo que se
resume en la siguiente tabla:
Encuentre los máximos y mínimos absolutos de la función:

12. Observe que:
• Los tres puntos cumplen la restricción g(x, y) ≤ 0.
• Para minimización, solo el primer punto al tener t = 0 cumple t ≥ 0. Por
tanto, P(0, −1/2) debe ser el mínimo.
• Para maximización, los puntos dos y tres al tener t = −1/2 y t = −3/2 son
los candidatos a máximos de
la función. Deberá escogerse aquél que tiene un mayor valor de f.
Por lo tanto, f(x = 0, y = −1/2) = −5/4 es el mínimo de la función y f(x = 0, y =
1) = 1 es el valor máximo.