El documento explica conceptos sobre límites al infinito y derivadas. Introduce el concepto de límite para referirse al valor al que se acerca una función cuando su variable tiende al infinito, aunque no se puede alcanzarlo realmente. Explica cómo calcular límites al infinito comparando el grado de la función. También define la derivada y su relación con la noción de límite, y describe propiedades, gráficas y aplicaciones de la derivada.

1. LIMITES AL INFINITO
DERIVADAS
JAIRO ANDRES BOADA AYALA
INGENIERIA DE SISTEMAS
TUTORA : MARIA EUGENIA MONTERO
CALCULO II

2. LÍMITES EN EL INFINITO
El infinito es una idea muy especial.
sabemos que no podemos alcanzarlo,
pero podemos calcular el valor de
función es que tienen al infinito dentro.

3. UNO ENTRE INFINITO
Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ?
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0
pero eso es un poco problemático,
porque si dividimos 1 en infinitas partes y
resulta que cada una es 0, ¿qué ha
pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido.

4. ¡PERO PODEMOS ACERCARNOS A ÉL!
 Así que en lugar de intentar calcular con infinito
(porque no sacaremos ninguna respuesta
razonable), vamos a probar con valores de x más y
más grandes:
X 1/x
1 1
2 0,5
4 0,25
10 0,1
100 0,01
1000 0,001 Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

5. AHORA TENEMOS UNA SITUACIÓN
INTERESANTE
 No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
 Pero vemos que 1/x va hacia 0
 Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así
que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse
exactamente a esto
 El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:
En otras palabras:
Cuando x va a infinito, 1/x va a 0
Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

6. LÍMITES AL IR A INFINITO
 ¿Cuál es el límite de esta función?
y = 2x
 Está claro que cuando x se hace más grande, le pasa lo mismo a 2x
X y=2x
1 2
2 4
4 8
10 20
100 200
Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos
así:
 Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito,
pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere
decir en realidad que la función no tiene límite).

7. INFINITO Y GRADO
 Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.
 De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de
calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
 Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia
infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc. Una función
como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.
 Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito
 Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito",
así que hay que fijarse en los signos. De hecho, si miramos
el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la
función) podemos saber qué va a pasar. Si el grado es:
 mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito)
 menor que 0, el límite es 0
 Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que
trabajar más para calcular el límite

8. FUNCIONES RACIONALES
 Una función racional es el cociente de dos
polinomios:
 Por ejemplo
 Siguiendo con nuestra idea del grado de una
función, los pasos para calcular limites son….

9. COMPARAR EL GRADO DE P(X) CON EL GRADO DE
Q(X)
 Si el grado de P es menor que el grado de Q
El límite es 0.

10. SI EL GRADO DE P Y DE Q SON IGUALES
 Divide los coeficientes de los términos del grado
más grande, así:

11. SI EL GRADO DE P ES MAYOR QUE EL GRADO DE Q
 El límite es infinito positivo o quizás infinito
negativo ¡Tienes que mirar los signos!

15. DERIVADAS
 El concepto de derivada fue desarrollado por
Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar
la teoría, pero parece ser que Newton tenía
papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz.
Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra,
esto produjo grandes disputas entre los científicos
proclives a uno y otro país.
 Newton llegó al concepto de derivada estudiando
las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de
un móvil.

16.  La derivada, por lo tanto, representa cómo se
modifica una función a medida que su entrada
también registra alteraciones. En los casos de las
funciones de valores reales de una única variable,
la derivada representa, en un cierto punto,
el valor de la pendiente de la recta tangente al
gráfico de la función en dicho punto.

17. CONCEPTO
 El concepto de derivada de una función
matemática se halla íntimamente relacionado con
la noción de límite. Así, la derivada se entiende
como la variación que experimenta la función de
forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos
de su dominio suficientemente próximos entre sí.
La idea de instantaneidad que transmite la derivada
posee múltiples aplicaciones en la descripción de
los fenómenos científicos, tanto naturales como
sociales.

18. PROPIEDADES DE LA DERIVADA

19. GRAFICA DE UNA DERIVADA

20. APLICACIÓN DE LA DERIVADA
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero
invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad
generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que
disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es
positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
 Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
 Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,
 Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha
dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:

21. CONTINUACION DEL EJERCICIO……
 se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y
sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200
(por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
 Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0,
200), y f es creciente en ese intervalo y es
decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo
nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice
también que en punto 200 hay un máximo local
 b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos
invertir 200 euros.
 c) La máxima rentabilidad es R(200)= -
0,002.(200)2+0,8.200-5=75 euros

22. GRAFICA DEL EJERCICIO APLICATIVO