Articulo que menciona algunas de las características en cuanto al punto de vista epistemologico de la función cuadrática, para el entendimiento de esta función.
Este documento contiene tres niveles de problemas matemáticos semanales para estudiantes. El primer problema pregunta cuántos cuadrados hay en una cuadrícula de 1x1. El segundo problema involucra armar bolsitas con diferentes cantidades de caramelos de cereza y limón. El tercer problema pide colocar números del 1 al 9 en círculos para que al multiplicar los números de cada línea dé el resultado escrito al final. El documento también incluye sugerencias para los directores sobre cómo alentar a los estudiantes a resolver los problemas.
Este documento contiene 30 preguntas sobre fracciones organizadas en 5 partes de diferentes niveles de dificultad. La primera parte contiene preguntas básicas sobre reconocimiento y nombramiento de fracciones. La segunda parte se enfoca en el numerador y denominador. La tercera parte pide comparar fracciones usando símbolos. La cuarta parte involucra fracciones homogéneas en una recta numérica. La quinta parte final pide identificar y representar fracciones equivalentes.
El documento describe los grupos de simetrías de figuras geométricas como triángulos y cuadrados. Explica que un triángulo equilátero tiene 6 simetrías compuestas de 3 rotaciones y 3 reflexiones. También analiza el grupo de simetrías de un cuadrado y generaliza los conceptos a polígonos regulares de n lados.
El documento explica el decrecimiento exponencial de poblaciones biológicas como bacterias. Indica que las bacterias crecen exponencialmente al principio pero luego disminuyen drásticamente debido a la falta de recursos. El decrecimiento puede ser exponencial usando una potencia fraccionaria como factor. Se proveen ejemplos para calcular el número de bacterias en diferentes días usando tablas y gráficos.
Coordinado por Andrea Novembre
Equipo de Matemática del Plan Escuelas de Innovación de la Dirección de Comunicación y Contenidos del Programa Conectar Igualdad de ANSES.
Este documento presenta una revisión histórica de los problemas de fundamentación en las matemáticas desde la antigua Grecia hasta el siglo XIX. Aborda temas como la fundamentación de los números naturales y reales, las paradojas surgidas en los siglos XIX y XX, y las distintas escuelas matemáticas como el logicismo e intuicionismo que buscaron resolver estos problemas. Finalmente, explica cómo en el siglo XIX se dio inicio a una etapa de rigorización donde los conceptos matemáticos adquirieron definiciones y un
Este documento contiene tres niveles de problemas matemáticos semanales para estudiantes. El primer problema pregunta cuántos cuadrados hay en una cuadrícula de 1x1. El segundo problema involucra armar bolsitas con diferentes cantidades de caramelos de cereza y limón. El tercer problema pide colocar números del 1 al 9 en círculos para que al multiplicar los números de cada línea dé el resultado escrito al final. El documento también incluye sugerencias para los directores sobre cómo alentar a los estudiantes a resolver los problemas.
Este documento contiene 30 preguntas sobre fracciones organizadas en 5 partes de diferentes niveles de dificultad. La primera parte contiene preguntas básicas sobre reconocimiento y nombramiento de fracciones. La segunda parte se enfoca en el numerador y denominador. La tercera parte pide comparar fracciones usando símbolos. La cuarta parte involucra fracciones homogéneas en una recta numérica. La quinta parte final pide identificar y representar fracciones equivalentes.
El documento describe los grupos de simetrías de figuras geométricas como triángulos y cuadrados. Explica que un triángulo equilátero tiene 6 simetrías compuestas de 3 rotaciones y 3 reflexiones. También analiza el grupo de simetrías de un cuadrado y generaliza los conceptos a polígonos regulares de n lados.
El documento explica el decrecimiento exponencial de poblaciones biológicas como bacterias. Indica que las bacterias crecen exponencialmente al principio pero luego disminuyen drásticamente debido a la falta de recursos. El decrecimiento puede ser exponencial usando una potencia fraccionaria como factor. Se proveen ejemplos para calcular el número de bacterias en diferentes días usando tablas y gráficos.
Coordinado por Andrea Novembre
Equipo de Matemática del Plan Escuelas de Innovación de la Dirección de Comunicación y Contenidos del Programa Conectar Igualdad de ANSES.
Este documento presenta una revisión histórica de los problemas de fundamentación en las matemáticas desde la antigua Grecia hasta el siglo XIX. Aborda temas como la fundamentación de los números naturales y reales, las paradojas surgidas en los siglos XIX y XX, y las distintas escuelas matemáticas como el logicismo e intuicionismo que buscaron resolver estos problemas. Finalmente, explica cómo en el siglo XIX se dio inicio a una etapa de rigorización donde los conceptos matemáticos adquirieron definiciones y un
Ejercicios representacion geometrica de expresiones algebraicasEl profe Noé
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra y geometría que incluyen dibujar figuras geométricas y calcular su perímetro, área y volumen. También incluye representar algebraicamente expresiones como 2x*(2x+1), (x+3)*3x, y (3x+2)*2. El documento fue tomado de una tesis de maestría en matemática educativa.
Conceptos, Las fases del aprendizaje para concretar el enfoque didáctico: Inicio, elaboración, desarrollo y cierre. Estrategias Didácticas. Trabajo de prevención en primaria. Aproximaciones didácticas. Conclusiones.
El documento presenta 5 problemas de sistemas de ecuaciones 2x2. El primer problema involucra precios de latas de gaseosa y botellas de agua compradas por Britney. El segundo involucra números cuyo triple más cuádruple y cuádruple más uno son 10 y 9 respectivamente. El tercero involucra conejos y gallinas con 61 cabezas y 196 patas. El cuarto involucra números cuya suma es 1 y diferencia es 6. El quinto involucra hombres y mujeres en un jurado.
El documento presenta una serie de actividades sobre razones trigonométricas para que los estudiantes desarrollen habilidades matemáticas y puedan aplicar los conceptos en situaciones de la vida real. Las actividades se trabajarán de forma individual para asegurar el aprendizaje de cada estudiante. Se introducirán conceptos como seno, coseno y tangente y se usarán para resolver problemas con triángulos rectángulos.
Álgebra Lineal y sus Aplicaciones - Lay - 04.pdfManuel Ortiz
Este documento proporciona instrucciones para registrarse en una plataforma educativa en línea llamada MathXL. Indica que el código de acceso provisto sólo puede usarse una vez y da acceso al sitio por un año. También provee la dirección de internet para registrarse y sigue las instrucciones en pantalla. Finalmente, instruye raspar una moneda sobre el código para revelarlo y no usar objetos afilados para no dañarlo.
Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad...Alejandro Feliz
Este documento presenta un resumen de la teoría de funciones de una variable real. Introduce a los principales matemáticos fundadores del cálculo infinitesimal, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Explica que descubrieron que el cálculo de tangentes y áreas eran aspectos de un mismo fenómeno y que se podían estudiar los cambios en fenómenos físicos con esta nueva técnica. El documento también incluye el índice de contenidos de un libro sobre funciones reales.
Probabilidad y estadistica practica en equipomaria flores
La rubrica de evaluación presenta cuatro aspectos a evaluar en las prácticas en equipo en aula: comportamiento del equipo, procedimiento de solución, resultado y conclusión. Se describen los niveles de desempeño como altamente competente, competente, satisfactorio y en desarrollo. Otra rubrica presenta cinco indicadores para evaluar mapas conceptuales. Una tercera rubrica evalúa exámenes de conocimientos. Finalmente, una lista de cotejo evalúa tablas en Excel.
Secuencias para el aula expresiones algebraicas y modelos de areaNoemi Haponiuk
Este documento presenta actividades para trabajar expresiones algebraicas y modelos de área en el aula de matemática del nivel secundario. Propone construir figuras geométricas como cuadrados y rectángulos usando medidas variables, y analizar la relación entre sus áreas y lados para desarrollar expresiones algebraicas equivalentes que representen el área total. Los docentes comparten ejemplos de cómo llevar a cabo estas actividades de manera individual y grupal usando materiales concretos o herramientas digitales como GeoGebra.
Este documento presenta la planeación didáctica para el curso de Matemáticas 1 del primer grado de secundaria durante el segundo trimestre. Se describe el enfoque didáctico basado en la resolución de problemas y el desarrollo de habilidades comunicativas. Se detallan los contenidos, organizadores curriculares y secuencias didácticas a trabajar durante el periodo, con énfasis en temas como números, proporcionalidad y geometría. Finalmente, se incluye el contexto escolar y el diagnóstico del grupo.
Este documento presenta el plan de estudios para la asignatura de matemáticas para el primer grado de secundaria. Se busca que los alumnos progresen en la resolución autónoma de problemas, el uso de propiedades y procedimientos expertos. El plan incluye temas como números, álgebra, variación, patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes.
Este documento trata sobre la filosofía de la matemática. Explica brevemente algunas escuelas de pensamiento como el logicismo, formalismo, axiomatismo y platonismo matemático. También menciona algunas paradojas como la paradoja de Cantor y Russell que cuestionaron los fundamentos de las matemáticas en el siglo XIX.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones para estudiantes de 8° básico. Incluye instrucciones para representar gráficamente diferentes intervalos en una recta numérica y escribir los intervalos correspondientes a gráficos dados. Luego, propone 22 problemas de inecuaciones lineales para que los estudiantes resuelvan escribiendo la respuesta como desigualdad y gráficamente.
Sistema de 3 ecuaciones con tres variables19671966
The document provides 14 systems of 3 equations with 3 variables to solve. Each system consists of 3 linear equations with the variables x, y, and z. The goal is to determine the values of x, y, and z that satisfy all 3 equations simultaneously in each system.
Este documento discute los obstáculos epistemológicos, cognitivos y didácticos que se han presentado en la enseñanza y aprendizaje de la geometría a través de la historia. Identifica tres orígenes de obstáculos: epistemológicos relacionados con la intuición geométrica, cognitivos asociados con las limitaciones cognitivas de los estudiantes, y didácticos vinculados a las opciones del sistema de enseñanza. También analiza los obstáculos específicos en cada categoría como conceptos erróne
Problema de aplicacion función cuadraticajuan leal
Este documento presenta la resolución de un problema aplicado a la función cuadrática que modela la trayectoria de una bala disparada desde un cañón. Se determina que la altura máxima que alcanza la bala es 40.425 metros a los 2.5 segundos y que la bala cae al suelo a los 5.37 segundos.
Este documento presenta dos problemas relacionados con funciones cuadráticas. En el primer problema, se analiza la función f(t) = -5t^2 + 50t que modela la altura de una piedra lanzada al aire en función del tiempo. Se calcula que la máxima altura es de 125 metros a los 5 segundos y cae a tierra a los 10 segundos. En el segundo problema, se estudia la función p(n) = 6.2n^2 + 6n - 3 que representa la utilidad de una empresa en función del número de refrigeradores vendidos. Se calcul
El documento presenta una demostración del Teorema de Pitágoras utilizando papiroflexia. Explica que aunque Pitágoras no fue necesariamente el descubridor del teorema, este lleva su nombre. Luego describe una demostración geométrica tradicional del teorema y procede a presentar su propia demostración utilizando piezas de papel plegado que muestran que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Este documento presenta una secuencia didáctica sobre funciones cuadráticas que incluye actividades disparadoras, rutinas de pensamiento, ejercicios de aplicación y una actividad integradora evaluativa utilizando herramientas digitales como Tracker, Graspable Math, Geogebra y Mentimeter. El objetivo es que los estudiantes comprendan conceptos como máximos, mínimos, raíces y la relación entre la fórmula y el gráfico de una función cuadrática.
Este documento presenta una propuesta didáctica para introducir el concepto de límite a estudiantes utilizando la geometría de fractales lineales. Describe cómo las actividades con fractales permitieron desarrollar un proceso geométrico intuitivo sobre la idea de infinito que lleva al concepto de límite. También analiza cómo esta estrategia ayudó a los estudiantes a confrontar las ideas de infinito actual y potencial de manera aproximada.
Este documento discute problemas matemáticos de las antiguas civilizaciones egipcia y babilónica. Primero, analiza dos problemas de matemática egipcia, incluyendo uno sobre encontrar el triángulo con el área máxima dado dos lados. Luego, examina aspectos de la matemática babilónica como su uso del sistema sexagesimal y algoritmos para calcular raíces cuadradas y cubos. El autor argumenta que aunque no tenían teorías matemáticas completas como los griegos, lograron avances significativos en álgebra,
Ejercicios representacion geometrica de expresiones algebraicasEl profe Noé
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra y geometría que incluyen dibujar figuras geométricas y calcular su perímetro, área y volumen. También incluye representar algebraicamente expresiones como 2x*(2x+1), (x+3)*3x, y (3x+2)*2. El documento fue tomado de una tesis de maestría en matemática educativa.
Conceptos, Las fases del aprendizaje para concretar el enfoque didáctico: Inicio, elaboración, desarrollo y cierre. Estrategias Didácticas. Trabajo de prevención en primaria. Aproximaciones didácticas. Conclusiones.
El documento presenta 5 problemas de sistemas de ecuaciones 2x2. El primer problema involucra precios de latas de gaseosa y botellas de agua compradas por Britney. El segundo involucra números cuyo triple más cuádruple y cuádruple más uno son 10 y 9 respectivamente. El tercero involucra conejos y gallinas con 61 cabezas y 196 patas. El cuarto involucra números cuya suma es 1 y diferencia es 6. El quinto involucra hombres y mujeres en un jurado.
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Álgebra Lineal y sus Aplicaciones - Lay - 04.pdfManuel Ortiz
Este documento proporciona instrucciones para registrarse en una plataforma educativa en línea llamada MathXL. Indica que el código de acceso provisto sólo puede usarse una vez y da acceso al sitio por un año. También provee la dirección de internet para registrarse y sigue las instrucciones en pantalla. Finalmente, instruye raspar una moneda sobre el código para revelarlo y no usar objetos afilados para no dañarlo.
Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad...Alejandro Feliz
Este documento presenta un resumen de la teoría de funciones de una variable real. Introduce a los principales matemáticos fundadores del cálculo infinitesimal, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Explica que descubrieron que el cálculo de tangentes y áreas eran aspectos de un mismo fenómeno y que se podían estudiar los cambios en fenómenos físicos con esta nueva técnica. El documento también incluye el índice de contenidos de un libro sobre funciones reales.
Probabilidad y estadistica practica en equipomaria flores
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Secuencias para el aula expresiones algebraicas y modelos de areaNoemi Haponiuk
Este documento presenta actividades para trabajar expresiones algebraicas y modelos de área en el aula de matemática del nivel secundario. Propone construir figuras geométricas como cuadrados y rectángulos usando medidas variables, y analizar la relación entre sus áreas y lados para desarrollar expresiones algebraicas equivalentes que representen el área total. Los docentes comparten ejemplos de cómo llevar a cabo estas actividades de manera individual y grupal usando materiales concretos o herramientas digitales como GeoGebra.
Este documento presenta la planeación didáctica para el curso de Matemáticas 1 del primer grado de secundaria durante el segundo trimestre. Se describe el enfoque didáctico basado en la resolución de problemas y el desarrollo de habilidades comunicativas. Se detallan los contenidos, organizadores curriculares y secuencias didácticas a trabajar durante el periodo, con énfasis en temas como números, proporcionalidad y geometría. Finalmente, se incluye el contexto escolar y el diagnóstico del grupo.
Este documento presenta el plan de estudios para la asignatura de matemáticas para el primer grado de secundaria. Se busca que los alumnos progresen en la resolución autónoma de problemas, el uso de propiedades y procedimientos expertos. El plan incluye temas como números, álgebra, variación, patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes.
Este documento trata sobre la filosofía de la matemática. Explica brevemente algunas escuelas de pensamiento como el logicismo, formalismo, axiomatismo y platonismo matemático. También menciona algunas paradojas como la paradoja de Cantor y Russell que cuestionaron los fundamentos de las matemáticas en el siglo XIX.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones para estudiantes de 8° básico. Incluye instrucciones para representar gráficamente diferentes intervalos en una recta numérica y escribir los intervalos correspondientes a gráficos dados. Luego, propone 22 problemas de inecuaciones lineales para que los estudiantes resuelvan escribiendo la respuesta como desigualdad y gráficamente.
Sistema de 3 ecuaciones con tres variables19671966
The document provides 14 systems of 3 equations with 3 variables to solve. Each system consists of 3 linear equations with the variables x, y, and z. The goal is to determine the values of x, y, and z that satisfy all 3 equations simultaneously in each system.
Este documento discute los obstáculos epistemológicos, cognitivos y didácticos que se han presentado en la enseñanza y aprendizaje de la geometría a través de la historia. Identifica tres orígenes de obstáculos: epistemológicos relacionados con la intuición geométrica, cognitivos asociados con las limitaciones cognitivas de los estudiantes, y didácticos vinculados a las opciones del sistema de enseñanza. También analiza los obstáculos específicos en cada categoría como conceptos erróne
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Este documento presenta dos problemas relacionados con funciones cuadráticas. En el primer problema, se analiza la función f(t) = -5t^2 + 50t que modela la altura de una piedra lanzada al aire en función del tiempo. Se calcula que la máxima altura es de 125 metros a los 5 segundos y cae a tierra a los 10 segundos. En el segundo problema, se estudia la función p(n) = 6.2n^2 + 6n - 3 que representa la utilidad de una empresa en función del número de refrigeradores vendidos. Se calcul
El documento presenta una demostración del Teorema de Pitágoras utilizando papiroflexia. Explica que aunque Pitágoras no fue necesariamente el descubridor del teorema, este lleva su nombre. Luego describe una demostración geométrica tradicional del teorema y procede a presentar su propia demostración utilizando piezas de papel plegado que muestran que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Este documento presenta una secuencia didáctica sobre funciones cuadráticas que incluye actividades disparadoras, rutinas de pensamiento, ejercicios de aplicación y una actividad integradora evaluativa utilizando herramientas digitales como Tracker, Graspable Math, Geogebra y Mentimeter. El objetivo es que los estudiantes comprendan conceptos como máximos, mínimos, raíces y la relación entre la fórmula y el gráfico de una función cuadrática.
Este documento presenta una propuesta didáctica para introducir el concepto de límite a estudiantes utilizando la geometría de fractales lineales. Describe cómo las actividades con fractales permitieron desarrollar un proceso geométrico intuitivo sobre la idea de infinito que lleva al concepto de límite. También analiza cómo esta estrategia ayudó a los estudiantes a confrontar las ideas de infinito actual y potencial de manera aproximada.
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El documento presenta una línea de tiempo de los principales problemas y avances en los fundamentos de las matemáticas desde Zenón en el siglo V a.C. hasta el siglo XX. Destaca las contribuciones de figuras como Eudoxio, Euler, Galois, Dedekind, Cantor, Weierstrass y Cauchy para definir conceptos como el límite y establecer teorías como la de conjuntos. También menciona movimientos filosóficos surgidos a raíz de paradojas matemáticas y la estabilización de la crisis en los fundamentos en
Este documento presenta el plan de estudios semanal para un 4o grado de primaria en México. Cubre asignaturas como matemáticas, ciencias naturales, geografía, historia y más. En matemáticas, los temas incluyen números, sistemas de numeración, operaciones y resolución de problemas. En ciencias naturales, los temas son estados físicos del agua y efectos de la temperatura en los alimentos y materiales. En geografía, los temas son población, migración y grupos culturales en México.
El documento presenta dos líneas de investigación del Profesor Juan Gabriel Molina Zavaleta: 1) La cognición en los procesos del aprendizaje de las matemáticas y las ideas intuitivas y su influencia en el aprendizaje, con una referencia opcional. 2) Tecnologías para el estudio del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, con un ejemplo web. También incluye varias referencias bibliográficas relacionadas con estas líneas.
Este documento describe un video educativo sobre el volumen de un cono. El objetivo del video es mostrar que el volumen de un cono es una tercera parte del volumen de un cilindro. El video se alinea con los estándares curriculares de matemáticas en temas como razonamiento espacial, resolución de problemas, y modelado.
Este documento proporciona una lista de recursos bibliográficos y en línea sobre la Revolución Mexicana, incluidos libros, enciclopedias, videos y sitios web. También discute el uso de Internet como un recurso educativo útil para acceder a información actualizada y crear materiales didácticos. Se mencionan algunos desafíos como equipos insuficientes en las aulas y la necesidad de que los maestros se mantengan actualizados sobre los recursos disponibles en línea.
Este documento proporciona una lista de recursos bibliográficos y en línea sobre la Revolución Mexicana, incluidos libros, enciclopedias, videos y sitios web. También discute el uso de Internet como un recurso educativo útil para acceder a información actualizada y crear materiales didácticos. Se mencionan algunos desafíos como equipos insuficientes en las aulas y la necesidad de que los maestros se mantengan actualizados sobre los recursos disponibles en línea.
Paso 4 realizar transferencia del conocimiento..GermnDanielRendn
Este documento resume los principales problemas de fundamentación matemática a lo largo de la historia, comenzando con las contribuciones de los griegos como Euclides y continuando con los desarrollos en los siglos XVII-XIX que llevaron a una mayor rigurosidad en conceptos como los números reales y el cálculo infinitesimal. También examina las diferentes escuelas que surgieron para abordar paradojas como el logicismo, el intuicionismo y el formalismo.
Este documento presenta el syllabus del curso "Historia de las Matemáticas" para la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia. El curso busca situar el desarrollo histórico de las matemáticas y su impacto en la educación matemática. Se divide en dos unidades: la primera cubre el surgimiento de las primeras ideas matemáticas desde la prehistoria hasta la antigüedad, y la segunda cubre el periodo del medievo hasta la actualidad. El curso busca desarrollar competencias como recon
Este documento describe un estudio sobre la construcción social de las estructuras algebraicas. Se centra en tres dimensiones: epistemológica, didáctica y cognitiva. Analiza los procesos históricos y conceptuales en cada dimensión y cómo se transmiten a través de la enseñanza. También identifica las nociones de los estudiantes y cómo construyen el significado de las estructuras algebraicas. El objetivo es caracterizar la construcción social considerando estas tres facetas.
Similar a epistemologia de la funcion cuadratica (13)
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
6. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 21
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
922
ELEMENTOS HISTÓRICOS, EPISTEMOLÓGICOS Y DIDÁCTICOS DEL CONCEPTO DE
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Yadira Marcela Mesa, Jhony Alexánder Villa Ochoa
Grupo “Educación Matemática e Historia”. Universidad de Antioquia Colombia
yadiramarcelamesa@yahoo.es, javo@une.net.co
Campo de investigación: Historia de la matemática Nivel: Medio
Resumen. Son muchas las investigaciones que han resaltado la importancia de un
conocimiento de la evolución histórica de un concepto matemático en la comprensión de los
obstáculos y razonamientos de los estudiantes al interior del aula de clase (Posada & Villa,
2006). Con base en este argumento, se presenta en este documento los resultados de una
indagación histórica sobre la evolución del concepto de función cuadrática que ofrece al lector
algunas pautas que le sean útiles a la hora de diseñar situaciones didácticas que involucren el
concepto objeto de este estudio.
Palabras clave: ecuación cuadrática, movimiento, función, geometría analítica, álgebra
Introducción
La historia ha evidenciado cómo las matemáticas surgen gracias al interrogante que tiene
el hombre frente al universo y de su actividad como miembro de una sociedad. Es
entonces la historia quien muestra la construcción del conocimiento como actividad
propia del individuo y de él mismo como ser social. Además, Sierpinska (1989, 1992),
Cotret (1985, 1989) y Sfard (1991) citados por Posada & Villa (2006, p.11) coinciden en
que la historia es una herramienta para la actividad educativa en la medida en que le sirve
al educador fuentes de reflexión a la hora de diseñar actividades de aprendizaje de las
matemáticas.
En relación con las nociones cuadráticas, la revisión de la literatura permite determinar al
menos cuatro momentos claramente diferenciados, a saber: Las ecuaciones, Las cónicas,
La Cinemática y Las Funciones. De aquí se confirma la idea que, desde el punto de vista
histórico, las ecuaciones y las funciones tuvieron una génesis independiente, ya que el
descubrimiento de las relaciones funcionales a nivel formal se dio cuando había cierto
7. Categoría 3. Consideración de aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso
matemático escolar
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
923
desarrollo en el lenguaje algebraico, vale la pena profundizar en la investigación de tal
manera que se valore dicha separación al interior del aula o que por el contrario se
puedan construir ambos conceptos simultáneamente desde la modelación de situaciones
de variación.
Génesis histórica de las nociones cuadráticas
Se presentará a continuación una síntesis de los cuatro momentos encontrados con lo cual
se pretende generar reflexiones sobre el concepto de “cuadrado” y la manera en que
históricamente se fue consolidando hasta construir lo que actualmente conocemos como
función cuadrática. Estas reflexiones pueden convertirse en propuestas a la hora de
diseñar situaciones didácticas para el aula de clase.
1. Las ecuaciones: El concepto de ecuación es uno de los más importantes del álgebra
actual, y ha estado presente a través de la historia en diversas culturas ligada en
muchos casos a situaciones donde intervienen nociones cuadráticas.
Los Babilonios (2000 a.C – 600 a. C) tal y como se presentó en Mesa y Villa (2007, p.3)
“Generaron estrategias de cálculo diferentes a los geométricos de forma retórica, sin
embargo, no se podría inferir necesariamente que no se haya pensado
geométricamente, pero no tuvo la trascendencia que le dieron los griegos”. Esto se
puede observar un poco en esta situación presentada por Kline (1992, p. 26).
“Hallar un número tal que sumado a su inverso dé un número dado. En la notación moderna se puede
escribir que lo que buscaban los babilonios era dos números xx ∧ tales que 1=xx y bxx =+ .
Estas dos ecuaciones dan como resultante la ecuación cuadrática: 012
=+− bxx ”
Este tipo de situaciones muestra que el concepto de “cuadrado” era concebido como
un producto de una cantidad por sí misma, que se representaba por medio de un
“álgebra retórica” que le hacía ver de forma aritmética al no disponer de estrategias o
8. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 21
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
924
símbolos que les permitiera registrar las generalizaciones, pero es clara la intención de
generalidad que hay en ellas.
En la cultura Griega (300 a.C – 200 d.C) se evidencia cómo la cuadratura está
comprometida en diferentes situaciones, pero que todas remiten a su explicación
geométrica, a excepción de Diofanto que después de siete siglos (aproximadamente) se
valió de un álgebra sincopada con el fin de expresar potencias. Se rigieron por un
razonamiento de carácter puramente geométrico, por ende deductivo; la expresión “al
cuadrado” ó “es el cuadrado de…” se describen de forma retórica dentro de un sistema
deductivo que es desarrollado con el fin de darle generalidad a sus procedimientos
(que precisamente la deducción la que permite generar unas premisas generales para
serles útiles a los casos particulares) y son referidas a áreas y superficies.
En lo relacionado con el concepto trabajado y a la luz de una de las grandes obras que
representarían en Los Elementos de Euclides el término “cuadrado” acepta definiciones
como: “(…) entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y
rectangular”. Por lo que se puede asociar la idea de cuadrado como la construcción a
partir de un segmento (lado) cualesquiera de manera repetida de forma rectangular
que termina por limitar una región (área), es decir, una cantidad multiplicada por sí
misma sería la interpretación a la luz del álgebra geométrica, siendo x el valor del
segmento. Las representaciones para la solución de las proposiciones que se observan
en esta obra eran rigurosamente geométricas y su demostración de forma retórica.
Posteriormente los árabes iniciaron la creación de un álgebra en la utilizaban
representaciones de construcciones geométricas heredadas por los griegos; el
“cuadrado” se evidencia como una cantidad, pero aún la expresión cuadrado se vale de
una representación geométrica, por lo que se puede deducir que “cuadrado” es una
cantidad que permite representarse geométricamente de acuerdo con la definición
euclidiana mencionada anteriormente. Esta idea podría explicar el hecho de no tomar a
9. Categoría 3. Consideración de aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso
matemático escolar
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
925
los números negativos de los cuales se tenían ciertos conocimientos heredados de los
hindúes y que fue su falta de representación geométrica la que influyó para no
concebirlo como magnitudes. Es importante considerar el enfoque geométrico que
tomaban los conceptos, ya que como se ha mostrado hasta aquí pareciese que lo
evidente como sinónimo de real era posible representarse por algo que pudiese
observarse o percibirse simplemente.
2. Las Cónicas: Definitivamente pensar en ellas implica remitirse a Apolonio de Perga (260
a.C), quien realiza un tratado sobre el estudio de las secciones cónicas que fue de gran
trascendencia para el posterior desarrollo de la geometría analítica y los estudios del
movimiento, según González (Las cónicas de Apolonio, 4) referenciando a Apolonio
afirma: «La Parábola tiene la propiedad característica de que para todo punto tomado
sobre la curva, el cuadrado construido sobre su ordenada y es exactamente igual al
rectángulo construido sobre la abcisa x y el latus rectum l». de ahí que se pueda inferir
que “cuadrado” es, sin lugar a dudas, la expresión geométrica a la que Apolonio, por su
brillantez, hacia referencia desde la generalidad promoviendo un acercamiento a un
“álgebra” de las cónicas. Si bien la parábola no podía construirse con regla y compás,
pues como ya lo han mostrado al ser precisamente un lugar descubierto por los
problemas típicos de la época, se observa que lo que puede haber es una
transformación de áreas o lo que se ha llamado la cuadratura de la parábola.
Otro acercamiento es el de Hipócrates (s. V a. C) en su intento de hallar la solución a la
duplicación del cubo. En este sentido Kline (1992, p.70), anota que surgen ecuaciones
cuadráticas a partir del hallazgo de las cantidades que hacían la media proporcional.
A partir de este momento se puede observar un salto de casi 18 siglos en la historia de
las matemáticas con respecto al paso del tratado de las Secciones Cónicas a su estudio
en el plano cartesiano, que es el interés de esta investigación. En el siglo XVII con la
10. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 21
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
926
creación de la geometría analítica, en la que se definen las cónicas como curvas
correspondientes a ecuaciones de segundo grado, en x e y , también se concreta el
estudio de los lugares geométricos estableciendo un puente para transitar entre la
Geometría y el Álgebra, lo que permite asociar curvas y ecuaciones. En la obra “La
Geometría” de Descartes “cuadrado” tomó la acepción euclidiana, su diferencia
radicaba en el desprendimiento de 2
x al ser tratado como una cantidad generada por
la segunda potencia y no su restricción al ser tratada como un área.
3. Cinemática: Se destacan los trabajos sobre el movimiento de Galileo quien muestra
que la expresión: “al cuadrado” significa una segunda potencia de una cantidad o el
producto de un número por sí mismo, su participación en su avance o desarrollo está
basado en los procesos de modelización de los fenómenos físicos.
Galileo es el mayor representante de la transición entre la ecuación cuadrática
relacionada con las superficies y su interpretación como modelo matemático de
fenomenos físicos. En su obra conceptualiza el incremento de las cantidades a medida
que varían, y en el caso de la parábola comenta cómo los incrementos (variación)
corresponden a la progresión de los números impares.
La explicación dada por Galileo Galilei inicia con el establecimiento de relaciones entre
dos cantidades que varían, una dependiendo de la otra, así como el tiempo
transcurrido y el espacio alcanzado; la representación gráfica y las unidades de
medición, que le demandaba un conjunto denso para darle sentido a todas las
representaciones, por la naturaleza en sí del movimiento como continuo, sin embargo
ésto no impedía su representación gráfica y uno de sus ejercicios consistía en hallar
“(…) el espacio en el instante t”, es decir que se debía cumplir que para cualquier
tiempo le correspondía un espacio determinado, por lo que implícitamente existe en su
formulación y teoría la existencia de una relación biunívoca y especialmente
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situaciones cuadráticas, como muestra el siguiente teorema: “Si un móvil con
movimiento uniformemente acelerado desciende desde el reposo, los espacios
recorridos por él en tiempos cualesquiera, están entre sí como la razón al cuadrado de
los mismos tiempos, es decir como los cuadrados de esos tiempos”. Galilei (1638/2003,
p.236) de todo lo anterior se puede inferir que en Galileo el concepto de “cuadrado”
era aceptado como un número (aritmética) pero también era representado en forma
geométrica, sin embargo no se restringe a este aspecto si no que también el
“cuadrado” era concebido como una segunda potencia lo cual había sido explícito
desde Euclides. Adicionalmente el cuadrado era generado por la media proporcional
entre dos razones por ende su inversa era su raíz, por lo que raíz corresponde a la
operación de hallar una media proporcional.
Newton: Retoma los trabajos de Galileo para formalizar la teoría de la gravitación.
Introduce conceptos del cálculo gracias a los desarrollos matemáticos con los que se
contaba para la época; por ejemplo, la notación algebraica y la geometría analítica. En
su obra “Principia”, relaciona los fenómenos naturales en los que se observa la riqueza
de la expresión “cuadrado” vinculada a ciertos rasgos funcionales de manera implícita.
En la siguiente cita de Newton (1687/1982) se muestra una estrecha relación con lo
planteado por Galileo y en la forma en que trata los incrementos.
“Si un cuerpo es resistido en parte en razón de su velocidad y en parte como el cuadrado de esta
misma razón, y se mueve en un medio análogo únicamente por su fuerza innata, y los tiempos son
tomados en progresión aritmética, entonces las cantidades inversamente proporcionales a las
velocidades, incrementadas en una cierta cantidad dada, estarán en progresión geométrica.” (p. 225)
Sin lugar a dudas, el movimiento es tan antiguo como la existencia misma, aunque con
Aristóteles y posteriormente con Oresme se observa un primer trabajo del movimiento.
Hubo de esperar hasta el siglo XVII para un conocimiento físico – matemático más
sólido del comportamiento de éste. Una reflexión importante es el continuo vínculo
13. Categoría 3. Consideración de aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso
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Consideraciones finales
En la revisión de la literatura se evidencian algunos obstáculos presentes en la
construcción de la noción de función cuadrática, tales como: la no aceptación de los
números negativos, la concepción cuadrática como área, limitar su construcción con regla
y compás debido a que ésto ubica al concepto de “cuadrado” como polisémico creando
confusión. Es posible superar algunas de estos obstáculos el momento en que se pueda
establecer un puente entre la concepción aritmética, geométrica y algebraica,
permitiendo la reflexión del concepto como tal y cómo éste se convierte en herramienta
para modelar el entorno o situaciones aritméticas, de áreas, de variación, en especial del
movimiento.
Las reflexiones históricas presentadas en este documento sugieren la necesidad de que los
conocimientos matemáticos que se produzcan en el aula lleven al estudiante a la
exploración, manipulación, de lo que está en su entorno. En este caso, las situaciones de
movimiento ofrecen una la riqueza conceptual para la comprensión de la función
cuadrática. Un trabajo didáctico en este sentido, sugiere una visión de las aulas escolares
como espacios análogos a los laboratorios, en los cuales se valide el conocimiento y se
promueva un ambiente que potencie la creación de alternativas de solución, análogos a
los empleados por Galileo en sus experimentos de movimiento.
Referencias bibliográficas
Del Rio, J. (1996). Lugares geométricos: Las Cónicas. Madrid: Síntesis.
Euclides (1999). Elementos I‐ VI. Madrid: Planeta de Agostini.
Galilei, G. (1638/2003). Diálogos acerca de dos nuevas ciencias. Buenos Aires: Losada.
González, P. Apolonio ¿262 a.C. ‐ 190 a.C?. Extraído el 2 enero, 2007 de
14. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 21
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
930
http://www.divulgamat.net/weborriak/historia/MateOspetsuak/Inprimaketak/Apolonio.asp
Kline, M. (1992). El pensamiento matemático en la antigüedad a nuestros dias. I y II.
Madrid: Alianza editorial.
Mesa, Y. & Villa, J. (2007). Elementos históricos epistemológicos y didácticos del concepto
de función cuadrática. Revista virtual FUCN, 21,.Artículo 5. Extraído 25 Agosto, 2007 de
http://www.ucn.edu.co/portal/uzine/volumen21/html/articulo5.html
Newton, I. (1687/1982). Principios matemáticos de la filosofía natural. Madrid: Editora
Nacional.
Posada, F. & Villa, J. (2006). Propuesta didáctica de aproximación al concepto de función
lineal desde una perspectiva variacional. Tesis de Maestría no publicada. Facultad de
Educación, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia.
Ruiz, L. (1998). La noción de función: análisis epistemológico y didáctico, Jaén: Universidad
de Jaén.