Se estudia la teoría sobre el Análisis de los sistemas eléctricos de potencia, sus características de funcionamiento, variables que intervienen y ejercicios de aplicación.

1. Estabilidad de Sistemas de
Potencia

2. Criterio de Igualdad de Áreas
Problema 1 (Aplicación a Incremento repentino de carga)
El generador (H=5s) del pequeño sistema de la figura está conectado a
una barra infinita a través de un circuito sin pérdidas. Las reactancias se
encuentran en una base común del sistema. El generador entrega 0.6
p.u. de potencia activa con 0.8 fdp (-) en la barra infinita la cual tiene un
voltaje de 1.0 p.u.

3. a) Determinar el máximo incremento de potencia que puede ser
aplicado sin pérdida de sincronismo.
b) Repetir la parte a) cuando la potencia inicial del generador es cero.
Asumir que la tensión interna del generador permanece constante al
valor hallado en la parte a).
Solución
En donde tenemos la tensión interna del generador asociada a la barra
infinita a través de un reactancia equivalente de toda la red del sistema
más la reactancia transitoria de la máquina.
Con los datos del problema debemos calcular las magnitudes de
tensión y potencia en la red y transformarla a una más reducida como:

4. Haciendo cálculos obtenemos:
.
.
º
79
.
16
35
.
1
' u
p
E 

.
.
65
.
0 u
p
X 
Para la resolución de este tipo de problemas (una sola máquina
conectada a una barra infinita) el PST posee el programa eacpower, el
cual encuentra la máxima potencia súbita permitida a incrementarse tal
que se llegue a la operación límite sin perder el sincronismo.
a) Escribimos “eacpower” en la pantalla de comando del Matlab, se nos
pide ingresar 4 datos, los cuales son:
Generator initial power in p.u. P0 = 0.6
Generator e.m.f. in p.u. E = 1.35
Infinite bus-bar voltage in p.u. V = 1
Reactance between internal emf and infinite bus in p.u. X = 0.65

5. Los resultados se muestran a continuación:
La gráfica generada se muestra a continuación:

6. La potencia súbita que se puede incrementar al generador es de 1.084
p.u., el régimen final sería en este caso una potencia de 1.684 p.u. con
un ángulo de 54.16º.
b) Al igual que la parte a) ingresamos los datos:
Generator initial power in p.u. P0 = 0
Generator e.m.f. in p.u. E = 1.35
Infinite bus-bar voltage in p.u. V = 1
Reactance between internal emf and infinite bus in p.u. X = 0.65
Los resultados los mostramos a continuación:
Notamos que ahora la potencia súbita a incrementar es mayor debido a
que inicialmente el generador se encuentra sin entregar potencia a la
red, el ángulo final de carga por lo tanto también es menor.

7. Problema 2 (Aplicación a Falla Trifásica)
Tenemos la misma red y generador del problema anterior, esta vez el
generador entrega una potencia activa de 0.8 p.u. y una potencia
reactiva de 0.074 p.u. en la barra infinita.
a) Una falla trifásica temporal ocurre en la barra de envío del generador,
en el punto F. Cuando se libera la falla las líneas están intactas. Hallar
el ángulo crítico de falla y el tiempo crítico de liberación de falla.
b) Una falla trifásica ocurre a la mitad de una de las líneas de
interconexión, cuando la falla es liberada, abren los interruptores de la
línea fallada aislándola del sistema, determinar el ángulo crítico de falla.

8. Solución
Al igual que el problema anterior debemos reducir la red a su forma más
simple con la tensión interna del generador asociada a la barra infinita
mediante una reactancia equivalente, pero esta vez tenemos que hallar
dicha configuración para cada condición del sistema, esto es: condición
pre falla, durante la falla y post falla.
En primer lugar calculamos la tensión interna del generador, la cual es:
.
.
º
387
.
26
17
.
1
' u
p
E 

El PST nos presenta el programa eacfault para resolver problemas
como el de nuestro caso, el cual nos grafica la curva potencia ángulo
aplicando el criterio de igualdad de áreas. Similar al manejo del
programa eacpower, este programa nos pide 3 reactancias como dato:
•X1: Reactancia equivalente total del sistema para condición Pre-Falla.
•X2: Reactancia equivalente total del sistema en condición de falla.
•X3: Reactancia equivalente del sistema en condición Post-Falla

9. a) El problema nos indica que después de liberada la falla, el sistema
queda intacto, por lo que las condiciones Pre-Falla y Post-Falla son
idénticas, es decir X1= X3. Del Problema 1 tenemos que la reactancia
equivalente es de 0.65 p.u.
La falla ocurre en la barra de envío (barra 1), por lo tanto para el régimen
en falla la potencia transferida durante la falla es cero, lo cual se puede
interpretar como si existiera una impedancia infinita entre la fuente
interna de tensión de la máquina y la barra infinita, por lo tanto: X2=inf.
Tipeamos eacfault en la pantalla de comando del Matlab, los datos son:
Generator output power in p.u. Pm = 0.8
Generator e.m.f. in p.u. E = 1.17
Infinite bus-bar voltage in p.u. V = 1
Reactance before Fault in p.u. X1 = 0.65
Reactance during Fault in p.u. X2 = inf
Reactance aftere Fault in p.u. X3 = 0.65
For this case tc can be found from analytical formula.
To find tc enter Inertia Constant H, (or 0 to skip) H = 5

10. Los resultados se muestran a continuación:
La curva generada es la siguiente:

11. El ángulo crítico de liberación de falla resulta ser 84.775º, mientras que
el tiempo crítico para la liberación de la misma es de 0.260 s.
b) Aquí la configuración inicial de la red es exactamente la misma, por lo
que X1=0.65 p.u.
Sin embargo, ahora la falla ocurre a la mitad de la línea, por lo que
existirá potencia transmitida a través de la red, haciendo las
reducciones necesarias para el caso durante la falla encontramos que la
reactancia equivalente X2 es igual a 1.8 p.u.
Luego de la falla la línea ha sido abierta en sus extremos, aislándola del
sistema, por lo que la configuración de la red no será la misma que la
Pre-Falla, evaluando la reactancia equivalente X3 encontramos que su
valor es de 0.8 p.u. Ingresando datos tenemos:
Generator output power in p.u. Pm = 0.8
Generator e.m.f. in p.u. E = 1.17
Infinite bus-bar voltage in p.u. V = 1
Reactance before Fault in p.u. X1 = 0.65
Reactance during Fault in p.u. X2 = 1.8
Reactance aftere Fault in p.u. X3 = 0.8

12. Los resultados se muestran a continuación:
La curva generada es la siguiente:

13. El programa ahora no nos brinda el tiempo crítico de falla, ya que para
este caso el cálculo de dicho tiempo implica la resolución de una
ecuación diferencial de mayor complejidad que para el caso de la parte
a). El ángulo crítico de falla es de 98.834º, mayor que para la parte a).
Problema 3 (Solución Numérica de la Ecuación de Oscilación)
Para la misma red que el caso que el problema 2, una falla trifásica a la
mitad de una de las líneas resulta en el aislamiento de la misma por
parte de los interruptores respectivos en ambos extremos de la misma.
a) La falla es despejada en 0.3 segundos. Obtener la solución numérica
a la ecuación de oscilación hasta un tiempo de un segundo, mediante el
método de Euler Modificado, con un intervalo de tiempo Δt=0.01 segs.
b) Repetir la parte a) resolviendo la ecuación de oscilación, mediante el
método de Runge-Kutta de orden 4.
c) Repetir las simulaciones para un tiempo de despeje de falla de 0.5
segs, verificar gráficamente la estabilidad del sistema para todos los
casos

14. Solución
a) El PST nos brinda el programa “swingmeu” que resuelve la
ecuación de oscilación usando el método de Euler Modificado, el cual
resuelve la ecuación a partir del instante en que ocurre la falla (t=0),
hasta el tiempo que especificamos para el despeje de la misma, luego
del cual al configuración de la red cambia, por lo tanto también los
parámetros de la ecuación de oscilación, a partir de ese instante
continúa la resolución de la ecuación con los cambios respectivos hasta
el tiempo final indicado para la simulación, arrojándonos la curva ángulo
vs tiempo de la máquina, pudiendo verificar así la estabilidad.
Los datos a ingresar son de las mismas características que para el
programa “eacfault”, sin embargo “swingmeu” nos pide 4 entradas
adicionales, estas son:
f: frecuencia nominal del sistema.
tc: tiempo de despeje de falla.
tf: tiempo final de integración o simulación.
Dt: intervalo de tiempo de integración

15. Ingresando los datos respectivos tenemos:
Generator e.m.f. in p.u. E = 1.17
Infinite bus-bar voltage in p.u. V = 1
Reactance before Fault in p.u. X1 = 0.65
Reactance during Fault X2 = 1.8
Reactance after Fault X3 = 0.8
Generator Inertia constant in sec. H = 5
System frequency in Hz f = 60
Time interval Dt = 0.01
Clearing time of fault in sec tc = 0.3
Final time for swing equation in sec tf = 1
Se presenta en la ventana de comando del Matlab la tabulación de la
integración numérica, posteriormente los resultados:

16. El programa nos arroja el valor del ángulo y tiempo críticos de liberación
de falla, 98.83º y tc = 0.41 segs respectivamente, al haber especificado
en nuestra simulación un tiempo de despeje de 0.3 segs, se mantendrá
la estabilidad de la máquina, lo cual podemos verificar del gráfico
ángulo vs tiempo que también nos brinda el programa:

17. b) El PST al igual que el programa “swingmeu” nos brinda el programa
“swingrk4”, totalmente análogo al anterior, resolviendo la ecuación de
oscilación esta vez por el método de Runge Kutta de orden 4. La data a
ingresar es la misma que para el caso anterior, excepto por la no
necesidad de ingresar un intervalo de tiempo de integración Δt (o Dt), ya
que el método tiene sus propios intervalos de tiempo ya definidos.
Ingresando los datos:
Generator output power in p.u. Pm = 0.8
Generator e.m.f. in p.u. E = 1.17
Infinite bus-bar voltage in p.u. V = 1
Reactance before Fault in p.u. X1 = 0.65
Reactance during Fault X2 = 1.8
Reactance after Fault X3 = 0.8
Generator Inertia constant in sec. H = 5
System frequency in Hz f = 60
Clearing time of fault in sec tc = 0.3
Final time for swing equation in sec tf = 1

18. Los resultados son los mismos que para la parte a), la gráfica generada
usando este método es la siguiente:
Las diferencias con las gráficas en la parte a) se deben a la mayor
exactitud de resolución que nos brinda el uso del método de Runge-
Kutta. Existe otro programa, “swingrk2”, totalmente análogo al visto
aquí, que usa el método de Runge-Kutta de orden 2.

19. c) Para esta parte similarmente a los casos anteriores simulamos para
un tiempo de despeje de 0.5 segs, obteniendo:
Como podíamos esperar, observamos que la máquina para este tiempo
de despeje es inestable.

20. Problema 4 (estabilidad multi-máquina)
Se tiene el sistema de potencia de la figura. La barra 1 es la barra de
referencia del sistema. Una falla trifásica ocurre en la línea 5-6, cerca de
la barra 6, y es despejada mediante la apertura simultánea de los
interruptores en ambos extremos de la línea. Verificar la estabilidad
transitoria del sistema para los siguientes casos.
a) Cuando la falla es despejada en 0.4 segundos
b) Cuando la falla es despejada en 0.5 segundos.
c) Determinar el tiempo crítico de falla

21. Los datos de la red, en una base común de 100 MVA, son los
siguientes:
Parámetros de Líneas y Trasformadores
Línea o Trafo R
(p.u.)
X
(p.u)
½B
(p.u)
1 4 0.035 0.225 0.0065
1 5 0.025 0.105 0.0045
1 6 0.04 0.215 0.0055
2 4 0.0 0.035 0.0
3 5 0.0 0.042 0.0
4 6 0.028 0.125 0.0035
5 6 0.026 0.175 0.03

22. Generación Programada
Barra Tipo V(mag)
(p.u.)
Generación
(MW)
Qmax
(MVAR)
Qmin
(MVAR)
1 Ref. 1.06 - - -
2 P-V 1.04 150 0 140
3 P-V 1.03 100 0 90
Cargas
Barra (MW) (MVAR)
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 100 70
5 90 30
6 160 110

23. Máquinas
Generador Ra X’d H
1 0 0.20 20
2 0 0.15 4
3 0 0.25 5
Solución
El PST nos brinda el programa “trstab”, el cual nos permite hacer
análisis de estabilidad transitoria para sistemas con múltiples máquinas.
El mismo debe ser precedido por alguno de los programas para flujo de
potencia. Además se debe incluir la matriz “gendata”, en la cual
ingresaremos los datos de las máquinas que conforman el sistema de la
siguiente manera:
Columna 1: contiene el número de barra del generador.
Columnas 2 y 3: resistencia y reactancia transitoria de la máquina (pu)
Columna 4: constante de inercia correspondiente en segundos

24. El programa calcula las matrices reducidas del sistema para las
condiciones pre-falla, durante la falla y post-falla, usando los datos de
las mismas para obtener las ecuaciones de oscilación de cada
generador, para cada condición del sistema, resolviendo las mismas
mediante el método de Runge-Kutta (función ode23 del Matlab).
La data a ingresar entonces, en el editor del Matlab es la siguiente:

25. Corriendo el programa obtenemos primero el flujo de potencia:
Se nos muestra también la matriz pre-falla reducida y las tensiones
internas de los generadores:

26. Como podemos observar se nos pide la barra en que ocurre la falla,
ingresamos que la falla ocurre en la barra 6 como nos dice el problema,
se imprime en pantalla la matriz reducida durante la falla:
Debemos ingresar ahora la línea que es aislada del sistema por
apertura de los interruptores, entre corchetes, según el problema es la
línea 5-6, obtenemos la matriz post-falla:

27. Ingresamos a continuación el tiempo de despeje de falla.
a) Para un tiempo de despeje de 0.4 segundos, ingresamos además el
periodo de simulación (1.5 segundos), se presenta la tabulación de
valores y la gráfica correspondiente:
δ21: color azul
δ31: color verde
Referencia:
Máquina 1

28. Observamos que el sistema no pierde estabilidad al no presentarse
crecimientos indefinidos en los ángulos de las respectivas máquinas.
b) Para un tiempo de despeje de 0.5 segundos, ingresamos el mismo
periodo de simulación (1.5 segundos), la gráfica resultante es la
siguiente:
δ21: color azul
δ31: color verde
Referencia:
Máquina 1

29. Observamos que el sistema en este caso sí pierde estabilidad, el ángulo
de potencia de la máquina 2 crece indefinidamente.
c) Efectuando varias simulaciones para distintos tiempos de despejes
llegamos a la conclusión de que el tiempo crítico de falla es de 0.45
segundos, aproximadamente.