Estadistica ii crc 4

1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIERIA ECONÓMICA
Curso:
Estadística para economistas II
PARTE IV: ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Mc.Sc. Carlos Ramirez Cayro
Docente Principal de la F I E

2
ESTIMACION ESTADISTICA
• Sea el caso de un negocio que esta interesado
establecer una sucursal en un barrio que tiene ingresos
superiores a la media nacional
• ¿cómo se puede hallar la media de los ingresos de ese
barrio? Un procedimiento caro pero exacto es encuestar
a cada familia.
• Pero para realizar la misma inferencia se podría calcular
una muestra y calcular la media muestral que sería el
estimador de la media de la población.
• De la misma manera si queremos saber la dispersión
entonces podemos calcular a partir de la muestra un
estimador de la varianza poblacional.

3
Estimación Estadística
LA INFERENCIA ESTADÍSTICA Es la generalización
de los resultados a partir de la medición de una
muestra.
Definición.- La estimación estadística consiste en
utilizar datos muéstrales, para determinar los valores
de los parámetros desconocidos de una población.
(Máximo Mitac).
¿Qué es un estimador?
• Es aquel valor de una muestra muy semejante al
parámetro de la población.
1. Ejemplo, se puede decir que X está muy próximo al
verdadero valor de µ. Para ello X tiene que cumplir una
serie de requisitos. (Taro Yamane, Pág. 108)

4
¿Cuáles son los requisitos de un buen
estimador?
1. Es insesgado
2. Consistente
3. Eficiente
4. Suficiente

5
• Estimador Insesgado. Cuando el valor
esperado de un estadístico empleado
como estimador es igual al parámetro:
E(ô) = .
• Estimador Consistente. Cuando un
estimador se aproxima al parámetro
de la población que se va estimar
aumentando el tamaño de la muestra.

6
• Estimador Eficiente. Se dice que un
estimador ô1 es más eficiente que otro
estimador ô2 para  si el primero tiene
una menor varianza que el segundo.
• Estimador Suficiente. Es un estimador
que utiliza toda la información que
posee una muestra sobre el parámetro
que se estima.

7
• La Estimación Estadística comprende
dos pasos.
1) Estimación Puntual
2) Estimación Interválica o por
intervalos.

8
Estimación Puntual.
Es aquel proceso mediante el cuál a través de la información
de la muestra se obtiene un estimador puntual del parámetro.
La desventaja de la estimación puntual es que no exiate
modo de medir el error de la estimación
Estimación Interválica
Es la estimación de un parámetro por un intervalo,
llamado Intervalo de Confianza, cuyos puntos finales L
y U (L  U), son funciones de las variables aleatorias
observadas tales que la probabilidad de que quede
satisfecha la desigualdad L    U, se expresa en
términos de un número determinado: 1 - .

9
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
• Si X es la media de una muestra
aleatoria de tamaño “n” de una
población con media  y variancia
conocida 2, entonces la forma límite
de la distribución de:
• y si P(-Z/2  Z  Z/2) = 1 - .
z
X
n




10
1. Entonces P(-Z/2   Z/2) = 1 - .
2. Si el muestreo es sin reemplazo en una
población finita de tamaño N:
y P(-Z1-/2  Z  Z1-/2) = 1 - .
P(-Z1-/2   Z1-/2) = 1 - .
X
n


z
X
n
N n
N






1
X
n
N n
N





1

11
• Si:
• y P(-Z1-/2  Z  Z1-/2) = 1 - .
• P(-Z1-/2   Z1-/2) = 1 - .
• Luego el Intervalo de Confianza es:
P( X- Z1-/2    X+ Z1-/2 ) = 1 - .
z
X
n



z
X
n




n

n
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
POBLACIONAL , DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON
VARIANZA 2 CONOCIDA

12
X = Estimador de .
1 - . = Probabilidad del IC.
 = Parámetro media de la población.
n = Tamaño de la muestra.
- Z/2 0 Z/2
Intervalo de 
RC /2 RC /2
RA 1 - 
RC 
70 Z
RA 1 - 

13
• Si se desea saber de que tamaño debe ser “n” para
asegurar que el error en la estimación de  será menor
que una cantidad específica e :
• Cuando la población es finita de tamaño N, y el tamaño
de la muestra constituye más del 5% del tamaño de la
población, se debe usar el factor de corrección de
población finita para modificar las desviaciones
estándar de la formulas, así el estadístico que se
utilizara será:
• :
n
z
e






 /2
2
z
X
n
N n
N






1

14
• Si se desea saber de que tamaño debe ser “n”
para asegurar que el error en la estimación de
 será menor que una cantidad específica e.
• Si el error estadístico es:
• Despejando “n” se tiene:
n
Z N
Z e N

 


1 2
2 2
1 2
2 2 2
1




/
/ ( )
e Z
n
N n
N


1 2
1

/
El intervalo de confianza de (1 - ) 100% para 
es :

15
• Ejemplos
• Una máquina de empacar bolsitas de café esta regulada para empacar
bolsitas cuyos pesos se distribuyen normalmente con media 500 gramos y
desviación estándar de 10 gramos. Supongamos que la máquina esta
desregulada y deseamos saber el nuevo promedio , una muestra aleatoria
de 25 paquetes arroja una media de 485 grs Hallar un intervalo de
confianza del 95% de confianza.

16
2. ¿Dentro de qué límites caería el 95 % central de la
distribución muestral de las medias muestrales de tamaño 81
dado que µ = 30 y σ = 1.8?. Zt = 1.96,
(Rpta: P(29.6,30.4)=0.95.

17
El gerente de Electrolima quería estimar la facturación mensual
promedio de luz eléctrica en el mes de Julio en casas unifamiliares en el
distrito de Lince. Con base a estudios efectuados en otros distritos, se
supone que la desviación estándar es de 1/. 20. El gerente quería
estimar la facturación promedio de Julio con aproximación de 1/. 5 del
promedio real con 99% de confianza. ¿Qué tamaño de muestra se
necesita?

18
Un investigador desea hacer una encuesta en un gran sed de un área
metropolitana para determinar el ingreso familiar promedio los 30,000
hogares de ese sector. El investigador desea que el valor del timador de
la media se encuentre a 1/. 3,000 de la media verdadera con nivel de
confiabilidad de 99 %. Se va utilizar una desviación estándar muestral
igual al/. 20,000 que se obtuvo en una encuesta anterior como estridor
de la desviación estándar de la población. ¿Qué tamaño debe tener la
muestra que se necesita?

19
EJERCICIO. De un embarque de 2200 secadoras de mano se probó 81
secadoras al azar. La vida promedio en la muestra fue de 3.2 horas con
una desviación estándar de 0.9 horas. Construya in intervalo de confianza
del 095 % para la vida media de las secadoras del embarque. (Rpta.
P(3.008, 3.396)=0.95.
¿Cuál será el tamaño de la muestra “n” al 95% central con un error
estadístico aceptado: e = 0.15? (R. Moya. Pag 654)

20
• Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en el hospital loayza,
con el fin de estudiar una posible ampliación del mismo, se tiene datos
referidos a la estancia expresada en días de 600 pacientes, obteniéndose los
sgtes resultados: media x=12,3 s=8días
- Hallar un intervalo de confianza del 95% para la estancia media
- ¿Cuál es la probabilidad de riesgo de que µ>13?

21
Intervalo de Confianza (IC) para la media poblacional  De una
población normal con Varianza 2 desconocida.
CASO 1 Muestras de tamaño inferior o igual a 30, n≤ 30.
• Si se desconoce  y n ≤ 30, se puede usar la
desviación estándar muestral S para aproximar
. El IC se plantea así:
• P(-t1-/2.n-1  t  t1-/2,n-1) = 1 - .
• Por tanto el estadístico es:
t
X
S
n



22
• Si X y S son la media y la desviación estándar
de una muestra aleatoria de una población
normal de tamaño “n” de una población con
variancia conocida 2 , el intervalo de
confianza de (1- ) 100% para  es:
• P( X-t1-/2,n-1 S /√n    X+ t1-/2,n-1 S /√n ) = 1 - .
 será menor que una cantidad específica e:
n
t S
e
n







 1 2 1
2
 / ,

23
• Y para muestras grandes
P( X - Z1-/2 /√n    X + Z1-/2 /√n ) = 1 - .
N n
N

 1
N n
N

 1
, Observación. Cuando la población es finita de tamaño N, y el tamaño
de la muestra constituye más del 5% del tamaño de la población, el
intervalo de confianza con coeficiente de varianza y=1-, para la media
, de una distribución normal de varianza desconocida y muestras
pequeñas es:.

24
• Ejemplo: Las cajas de un cereal producidos en una fábrica, deben tener un
contenido de 16 onzas. Un inspector tomó una muestra que arrojó los
siguientes pesos en onzas.
• 15.7,15.7,16.3,15.8,16.1,15.9,16.2,15.9,15.8,15.66
• Indicar si es razonable que el inspector, usando un coeficiente de con-
fianza de 95% ordene que se multe al fabricante.

25
Durante los 12 meses pasados el volumen diario de ventas de un restaurante fue
de 1/. 20,000. El gerente piensa que los próximos 25 días serán críticos con
respecto al volumen de ventas normal debido a las medidas económicas tomadas
por el gobierno. Al finalizar los 25 días, el volumen de ventas promedio y su
desviación estándar fueron de 1/. 19,000 Y 1/. 2,000, respectivamente.
Supóngase que el volumen de ventas es una v.a. con distribución normal. El
gerente del restaurante, ¿tendría alguna razón para creer, con base a este
resultado, que hubo una disminución en el volumen de ventas promedio diario?

26
• Una compañía de seguros emplea 300 agentes de ventas. En una m.a. de 30
cuentas de gastos de representación en una semana del mes de Julio, los
auditores encontraron un gasto promedio de $ 500, con una disviación estándar
de $ 50.
• a) ¿Cuál es el valor del estimador puntual para la cantidad promedio de gastos?
• b) Establezca un intervalo de confianza de 99% para la cantidad promedio de
gastos.

27
• Una m.a. de 200 observaciones tiene una media de 60 y desviación estándar de
5.
a) Obtenga un valor con el cual usted tenga 95% de confianza de que no excederá la
media de la población
b) ¿Cuál es la probabilidad de riesgo de que u > 61?

28
Ejercicio. Una muestra aleatoria de 10 frascos de conservas de palmito de la
empresa agroindustrial “La Palma” de Iquitos ha dado los siguientes pesos netos en
gramos: 278, 285, 280, 290, 285, 275, 284, 295, 280, 287. Estime un intervalo de
confianza del 95 %. (Rpta. P(279.66,288.14)=0.95
¿Cuál será el tamaño de la muestra “n” al 95% central con un error estadístico
aceptado: e = 3.5?. (Córdova Z. Pag. 64)

29
Intervalo de Confianza (IC) para la diferencia
entre dos medias: 1 y 2 y con varianzas 2
1
y 2
2 supuestas conocidas. n  30.
• Si X1 y X2 , son las medias de dos muestras
aleatorias independientes de tamaños n1 y n2
seleccionadas respectivamente de dos
poblaciones con medias 1 y 2 y variancias
2
1 y 2
2, supuestas conocidas. El estadístico
es:
z
X X
n n

  

1 2 1 2
1
2
1
2
2
2
( ) 
 

30
• Si: y P(-Z/2  Z  Z/2) = 1 - .
• Reemplazando el estadístico Conforme n  
es la distribución normal estándar: N(0,1):
P Z
X X
n n
Z(
( )
)/ / 
  

   1 2
1 2 1 2
1
2
1
2
2
2
1 2 1 
 
 


31
Luego el Intervalo de Confianza es:

 
X X n n1 2
1
2
1
2
2
2
  
      12121 2/121212/121 XXXX ZXXZXXp

32
Ejercicio . La media y la desviación estándar de las cargas máxima soportada por
100 cables producidos por la compañía “Duramas” son 20 toneladas y 1.1 tonelada.
La media y la desviación estándar de 60 cables preoducidos por la Compañía
“Cableco” son 16 toneladas y 0.8 toneladas, respectivamente. Determinar un
intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de cargas máximas medias. (Rpta.
P(3.7,4.3)=0.95. (R. Moya, Pag. 660).
.n1 = 100; X1 = 20; S1 = 1.1; Z = 1.96
.n2 = 60; X2 = 16; S2 = 0.8.

33
1. Una m.a. de tamaño 36 es seleccionada de una población N(1, 9), donde X1 = 70.
otra muestra de tamaño 25 es seleccionada de otra población N(), dando X2 ₧
60. construir el intervalo de confianza para con 96%) de confianza.

34
Intervalo de Confianza (IC) para la diferencia entre dos medias de dos
poblaciones normales con varianzas poblacionales 2
1 y 2
2
supuestas desconocidas.
Caso 1 Tamaños muestrales pequeños n1,n2≤30, y varianzas
DESCOOCIDAS PERO IGUALES 2
1 = 2
2 = 2
• Las variables aleatorias son:
De acuerdo al Teorema que dice “Si S2 es la variancia
de una muestra aleatoria de tamaño “n” tomada de
una población normal que tiene la variancia 2,
entonces el estadístico:
z
X X
n n

  

1 2 1 2
1 2
1 1
( ) 



2
2
2
1

( )n S

35
• Tiene una distribución ji cuadrada con V=n-1
grados de libertad. Por tanto las dos variables
aleatorias (n1-1)S2
1/2 y (n2-1)S2
2/2 tienen
distribuciones ji cuadradas con n1 –1 y n2 –1
grados de libertad. Por otro lado son
variables ji cuadradas independientes. Por
consiguiente se suman:
V
n S n S n S n S





  ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2
2
2 2
2
2
1 1
2
2 2
2
2
1 1 1 1
  

36
• Siguiendo el Teorema “Sea Z una variable
aleatoria normal estándar y V una variable
aleatoria ji cuadrada con v grados de libertad. Si
Z y V son independientes, entonces la
distribución de la variable aleatoria T, donde:”
• Tenemos la siguiente expresión:
T
Z
V
v

 T
X X
n n
n S n S
n n

  

  
 
( ) ( )
( / ) ( / )
( ) ( )
( )
1 2 1 2
2
1 2
1 1
2
2 2
2
2
1 2
1 1
1 1
2
 


Tiene distribución “t” con
v = n1 + n2 –2 grados
de libertad

37
• Una estimación puntual de la variable común
desconocida puede obtenerse combinando las
variables muestrales. Al representar el
estimador de ambas con S2
p se tiene:
• Al reemplazar el estadístico S2
p en T:
S
n S n S
n np
2 1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2

  
 
( ) ( )
T
X X
S n np

  

1 2 1 2
1 2
1 1
( ) 

38
Al utilizar el estadístico T se tiene:
P(-t/2,gl  t  t/2,gl) = 1 - .
(gl = n1 + n2 –2)
P t
X X
S n n
t
p
(
( )
)/ / 
  

   1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1
1 
 


39
Luego el IC es: (WM, pag 259);
S S n nX X p1 2
1 1
1 2
  
      121212121 2,2/121212,2/121 XXnnXXnn StXXStXXp

40
Ejemplo. una compañía esta tratando de decidir cual de los dos tipos de
neumáticos va a comprar. Es deseo del directorio de la compañía
comprar los neumáticos de marca G a menos que haya alguna evidencia
de que la marca F resulte mejor.
Se hace un experimento en el que se utilizan 12 neumáticos de cada
marca. Los resultados obtenidos fueron:
Marca F: X1 = 40,000 km , S1 = 5,000 km
Marca G: X2 = 49,000 km , S2 = 3,000 km
¿Bajo que supuestos se puede resolver el problema?
¿Qué marca de neumático decidirá comprar la compañía

41
Ejercicio. un inversionista desea comparar los riesgos asociados con
diferentes mercados. A y B. el riesgo de un mercado dado se mide por la variación
en los cambios diarios de precios. El inversionista piensa que el riesgo promedio
asociado con el mercado B es mayor que el del mercado A. se obtienen muestras
aleatorias de 15 cambios de precios diarios para cada mercado. Se obtienen los
siguientes resultados.
• Mercado A Mercado B
XA = 0.3 XB = 0.4
SA = 0.25 SB = 0.45
¿Estos datos apoyan la creencia del inversinista? (Use ).
¿Cuántos cambios de precios diarios mas se deben observarse para cada
mercado para detectar una diferencia en la variación de precios 0.2 con un
97% de confianza?.

42
• Caso 2 Tamaños muestrales pequeños
n1,n2≤30, y varianzas desconocidas pero
distintas 2
1  2
2
Si y S2
1 y ,y S2
2 son las medias y variancias
de muestras pequeñas independientes de
tamaños n1 y n2 respectivamente, de
distribuciones aproximadamente normales con
variancias diferentes y desconocidas. El
estadístico es:
   
2
2
2
1
1
2
2121
n
S
n
S
XX
T





43
Un intervalo de confianza aproximada de
(1 - )100 % para está dado por: (WM, pag 262);
S
S
n
S
nX X1 2
1
2
1
2
2
2

 
   
V
S n S n
S n n S n n


  
( / / )
( / ) / ) ( / ) / ( )
1
2
1 2
2
2
2
1
2
1
2
1 2
2
2
2
21 1
Donde t es el valor t con:
Grados de libertad, con un área de /2 a la derecha
      12121 ,2/12121,2/121 XXVXXV StXXStXXp

44
EJEMPLO. un fabricante de radio esta desarrollando un modelo de radio
y para este fin se pueden utilizar dos tipos de esquemas transistorizados.
El fabricante selecciona una muestra de esquemas transistorizados del
primer tipo de tamaño 13 y otra del segundo tipo de tamaño 15. los datos
maestrales respecto a la vida de cada esquema son los siguientes:
X1 = 1,400 h , S1 = 30 h , n1 = 13
X2 = 1,500 h , S2 = 17 h , n2 = 15
Construir un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de vida
media de cada tipo de esquema.

45
Caso 3 Tamaños muestrales grandes
n1,n2>30 y varianzas poblacionales
desconocidas.
Si X y X, son las medias de dos muestras
aleatorias independientes de tamaños n1 y n2
seleccionadas respectivamente de dos poblaciones
cuyas poblaciones son no normales con variancias
2
1 y 2
2, supuestamente desconocidas. Los
parámetros 2
1 y 2
2, se estiman por ŝ2
1 y ŝ2
2. El
estadístico es:
   
2
2
1
1
2121
n
S
n
S
XX
Z





46
• El Intervalo de Confianza es:
s
s
n
s
nX X1 2
1
2
1
2
2
2
  
      12121 2/121212/121 XXXX SZXXSZXXp

47
Ejercicio. En una discusión sobre reajuste salarial entre empresarios y el
sindicato de los empleados se llego a un impase. Los empresarios afirman que el
salario medio de la categoría es de 7.6 salarios mínimos (SM), y los empleados
dicen que es de 6.5 SM. Para eliminar dudas, cada uno de los grupos resolvió
seleccionar muestras independientes. Los empresarios, con una muestra de 90
empleados, observaron un salario medio de 7.0 SM, con una desviación estándar
de 2.9 SM. El sindicato, con 60 empleados obtuvo una media de 7.1 SM y una
desviaciçon estándar de 2.4 SM. En base a un intervalo de confianza del 95%
para , donde 1 es el salario medio del sindicato por los empresario y 2 es el
salario medio sostenido por los del sindicato, responda a la siguiente pregunta.
¿Las muestras obtenida justifican las respectiva afirmaciones de los dos grupos?.

48
Ejercicio . Una compañía exportadora de café quiere escoger la mejor calidad
de café de exportación entre dos variedades de café en grano: A
(Chanchamayo) y B (Quillabamba). Elegirá la variedad de café que contenga el
menor porcentaje de impurezas por saco de un quintal. Se sabe que los
porcentajes de impurezas de saco de cada variedad de café tienen distribución
normal y con la misma varianza. (Córdova Manuel, Pág. 76)
Dos muestras aleatorias independientes una de 10 sacos de A y la otra
de 12 sacos de B, revelaron los siguientes porcentajes de impurezas
por saco de café:
A: 4, 3, 6, 6, 5, 6, 7, 4, 7, 6
B: 7, 6, 10, 8, 9, 8, 7, 6, 7, 9, 5, 8
Estime mediante un intervalo de confianza del 95% la diferencia entre
los dos promedios de porcentajes de impurezas por saco de toda la
producción de las dos variedades de café. ¿qué variedad de café
debería elegir para la exportación?
. Rpta. P(-3.354, -0.846)=0.95.

49
• Ejercicio.- El jefe de personal de una empresa de confecciones quiere comparar las
medias de los tiempos en minutos que operarios hombres y mujeres utilizan para
confeccionar una camisa. Se supone que las dos poblaciones de tiempos tienen
distribución normal con varianza homogenea. Dos muestras aleatorias de tamaño 16
revelaron las sgtes estadísticas
X1=38, S1=6, y X2=35, s2=4, utilizando un intervalo de confianza del 95%, ¿se
puede concluir que en promedio los hombres y las mujeres utilizan el mismo
tiempo?, suponiendo varianzas iguales pero desconocidas. (Cordova manuel
Pag.100).

50
Intervalo de Confianza (IC) para la
diferencia entre dos medias pareadas
Sea (X1,Y1), (X2,Y2),... (Xn, Yn), una
muestra aleatoria de “n” datos aparejados,
donde las muestras X1,X2,...Xn e
Y1,Y2,...Yn correlacionados son
seleccionados respectivamente de dos
poblaciones normales X  N(1, 2
1) e Y
 N(2, 2
2).

51
Se puede establecer “n” diferencias: D1 = X1 –
Y1, D2 = X2 – Y2, ...Dn = Xn – Yn, como una
muestra aleatoria seleccionada de una
población de diferencias D = X – Y cuya
distribución es normal N(d, 2
d) con media d =
1 - 2 y variancia 2
d = 2
1 - 2
2 – 2 cov(X,Y).
El estimador insesgado de d = 1 - 2 es la
estadística:
d
d
n
X Y
n
X
n
Y
n
X Y


 




 
( )

52
• Cuyo valor d= ∑d/n es la estimación insesgada
de d.
• Si 2
d es conocida, la diferencia tiene
distribución normal N(d, 2
d) . Por consiguiente
la estadística:
reemplazando en P(-Z1-/2  Z  Z1-/2) = 1 - .
se tiene el IC:
P( d – Z1-/2  d  d + Z1-/2 ) = 1 - .
z
d
n
d

 ( ) 

1 2
S
n
dS
n
d

53
• Si d y Sd son la media y la desviación estándar
de una muestra aleatoria de “n” las diferencias
de “n” pares de datos de una población normal
con variancia d supuesta desconocida,
entonces el intervalo de confianza de (1- )
100% para d = 1 - 2 es:
• P( d – t1-/2,v  d  d + t1-/2,v ) = 1 - .
V = n-1
S
n
d S
n
d

54
Ejercicio. El gerente de operaciones de una empresa de confecciones debe tomar
la decisión entre dos procesos de manufactura A y B para la fabricación de una
prenda. Eligió 10 operaciones eficientes y cada uno de ellos utilizó los dos
procesos de manufactura para fabricar la prenda, resultando los siguientes
tiempos en minutos para los procesos de manufactura A y B. (Córdova Manuel.
Pág. 80)
n
d
d
n
i
i
 1
1
)( 22




n
dnd
Sd

55
Utilizando un intervalo de confianza del 98 %,
¿se puede afirmar que el proceso de
manufactura B reduce el tiempo medio de
fabricación de la prenda?. Suponga
distribución normal de la diferencia de los
tiempos. Rpta. P(0.3958, 2.8042)=0.98
Operador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Proceso A 10 10 11 12 12 13 13 15 15 16
Proceso B 8 11 11 10 9 11 10 12 14 15
Diferencia di
d2
i

56
INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA
PROPORCION POBLACIONAL
• Un estimador puntual de la proporción p en un
experimento binomial está dado por el
estadístico p = X/n, donde X representa el
número de éxitos en “n” intentos.
• De acuerdo con el Teorema de Límite Central,
para una “n” lo bastante grande, p está
distribuida aproximadamente en forma normal
con media  = E(p) = E[X/n] = np/n = p
• variancia: 2
p = 2
x/n = npq/n2 =pq/n

57
• Si:
y P(-Z/2  Z  Z/2) = 1 - .
• Tenemos:
P(-Z/2   Z/2) = 1 - .
• Luego el IC es:
P( p -Z/2    p + Z/2 ) = 1 - .
z
p
pq n


/
p
pq n

/
pq
n
pq
n

58
media  de una muestra grande
El estadístico para la prueba de
hipótesis es:
z
p
pq n


/

59
Luego el IC es:
P( P-Z/2    P+Z/2 ) = 1 - .
Donde Z/2 es el valor de Z
P = Estimador de .
1 - . = Probabilidad del IC.
 = Parámetro media de la población.
n = Tamaño de la muestra.
pq
n
pq
n

60
• Al (1 - .) 100 % el error no excederá de:
.e = Z/2
 será menor que una cantidad específica es:
pq
n
n
Z pq
e
  /2
2
2

61
Ejercicio Durante cierta semana, una tienda de departamentos observo y registró
que 5,750 de las 12500 personas que entraron en la tienda hicieron por lo menos
una compra. Tratando esto como una muestra al azar de todos los clientes
potenciales, hallar el intervalo de confianza del 99 % para la proporción real de
personas que entran en la tienda y que harán por lo menos una compra.
(Rpta: p(0.45,0.47)=0.99. (R. Moya. Pag. 662).
¿Cuál será el tamaño de la muestra “n” al 99% central con un error estadístico
aceptado: e = 0.015?.

62
Ejercicio. para verificar si una dado era sesgado, se lanzó el mismo 120 veces,
obteniéndose 25 veces el número 5. hallar un intervalo de confianza del 99% para
la proporción p. ¿Se puede decir que el dado es sesgado?.

63
Ejercicio
De una población de 3,000 empleados de una empresa industrial se seleccionó
una m.a. de 300 para que participen en una encuesta. Entre los comprendidos en
la muestra. 240 manifestaron que estaban satisfechos por completo con todas las
condiciones laborales de la empresa. Construir el intervalo de confianza del 95%
para la proporción real que opinan de esta manera.

64
Ejercicio. Una organización de salud se interesa en actualizar su información con
respecto a la proporción de hombres que fuman. Con base a estudios previos, se
cree que la proporción es del 40%. La organización lleva a cabo una encuesta en
la que se selecciona en forma aleatoria 1,200 hombres a los cuales se les
pregunta sus hábitos de fumador. De los encuestados, 420 son fumadores.
Emplee un método aproximado para determinar se ésta evidencia apoya al
estudio previo. Use .01.0

65
Intervalo de Confianza (IC) para la media
 de poblaciones finitas
• El estadístico para una población finita sin
reemplazo es:
• El error estadístico es:
e = Z/2
1



N
nN
n
pq
P
Z

pq
n
N n
N

 1

66
Luego el intervalo de confianza aproximado de
(1- ) 100% para el parámetro binomial  es:
P( P-Z1-/2    P + Z1-/2 ) = 1 - .
Si se desea saber de que tamaño debe ser “n”
para asegurar que el error en la estimación de 
será menor que una cantidad específica es:
pq
n
N n
N

 1
pq
n
N n
N

 1
n
Z pqN
Z pq e N

 


/
/ ( )
2
2
2
2 2
1

67
Ejercicio. el director de u Colegio Nacional desea calcular la proporción de los
1,000 alumnos de último año que piensan seguir estudios en la universidad. ¿Qué
tamaño debe tener la muestra que necesita tomar el director si su estimación
debe estar a 0.04 del valor verdadero, con 99% de confianza?. El año anterior, el
70% de los alumnos encuestados dijeron que tenían planeado seguir estudios en
la universidad.

68
diferencia de dos proporciones
poblacionales
Si se seleccionan muestras independientes de
las dos poblaciones, las variables P1 y P2 serán
independientes y entonces, por la propiedad
reproductiva de la distribución normal se acepta
que P1 – P2 está distribuida aproximadamente
en forma normal con media: 1 - 2 = 1 - 2 y
varianza
 P p
p q
n
p q
n1 2
2 1 1
1
2 2
2
  

69
El estadístico para la prueba de hipótesis es:
Conforme n   es la distribución normal
estándar: N(0,1) reemplazando en:
P(-Z/2  Z  Z/2) = 1 - .
Tenemos:
z
p p
p q
n
p q
n

  

1 2 1 2
1 1
1
2 2
2
( ) 
P Z
p p
p q
n
p q
n
Z(
( )
)/ / 
  

   
 
2
1 2 1 2
1 1
1
2 2
2
2 1

70
Luego el intervalo de confianza aproximado
de (1- ) 100% para la diferencia de
proporciones es:
      1212/12121212/121 PPPP ZPPZPPP
p p
p q
n
p q
n1 2
1 1
1
2 2
2

 

71
Ejercicio . Se ha encontrado que 25 de 250 cinescopios de televisión
producidos por el proceso A son defectuosos y que 14 de 180 producidos
por un proceso B son defectuosos. Suponiendo que el muestreo es
aleatorio, determinar el intervalo de confianza del 99 % de confianza para la
diferencia verdadera es la proporción de defectuosos, de los dos procesos.
(Rpta, p(-0.049, 0.093). (R. Moya, Pag. 669).

72
Ejercicio. una compañía que hace sus negocios con el sistema
“Club” donde los individuos se comprometen a recibir emisiones
periódicas de una producto (libros, discos, etc.) se interesó en
averiguar cuál era la tasa de éxito de las colecciones que vendía.
Se tomó una muestra de 69,249 informes y se encontró que en el
70% las personas habían completado colecciones. La gerencia,
no estando muy seguro de la exactitud del resultado, pidió que se
sacara otra muestra. En la segunda de 68,011 facturas hubo un
75% de éxito. ¿Piensa que la gerencia debería estar satisfecha,
ahora?

73
Ejercicio. En un articulo del periódico El espectador se leía:
“Unos detectives siguieron a 1647 compradores deambulando por
las tiendas de Monterrey. Descubrieron que 7.4% de las mujeres
y 5% de los hombres se involucraron en actos de robo. El valor
promedio de artículos robados se estimó en I/. 50,000. eso es lo
que reporta una agencia policial privado”. Suponiendo que 70%
de los compradores fueron mujeres, determinar, usando un
intervalo de confianza del 90% si hay evidencia suficiente en este
reporte para declarar diferencia real entre los sexos en lo que
respecta al robo en tiendas de Monterrey.

74
Intervalo de Confianza (IC) para la Varianza
DE UNA POBLACION NORMAL
• Estimador puntual de la variancia 2 es la
variancia muestral:
• S2 es la estimación puntual de 2, para
determinar el IC para la variancia se utiliza
el estadístico:
cuya distribución es Ji cuadrada con n-1
g.l. donde n > 2.
S
X X
n
i2
2
1



( )


2
2
2
1

( )n S

75
Si:
P(2
/2.n-1  2  2
1-/2,n-1) = 1 - 
P(2
/2.n-1   2
1-/2,n-1) = 1 - .
El intervalo de confianza es:
P(  2  ) = 1 - .
( )n S 1 2
2

( )
/ .
n S
n

 
1 2
2
1 2 1 
( )
/ .
n S
n


1 2
2
2 1 

76
1- 
/2 /2
2
/2.n-1 2
1-/2,n-1
Distribución Ji

77
• Los sgtes números son las notas de 15 estudiantes del curso de estadística aplicada
II.
• 13,08,10,12,15,07,16,09,14,11,08,11,17,13,11
• Suponiendo que la población de notas esta normalmente distribuida , construir el
intervalo de confianza del 95% para 2 y .

78
• Se selecciona una muestra de 80 empleados de una compañía;se registra el salario
anual de cada empleado de la muestra y se calcula la media y la varianza muestral
de los salarios obteniendose X= I/. 7,750 y S2=640,000, suponiendo que la población
de salarios esta normalmente distribuida, construya el intervalo de confianza del
95% para 2

79
11. Intervalo de Confianza (IC)
para la razón de dos varianzas
• Un estimador puntual de la razón 2
1 / 2
2 es
el estadístico: S2
1/S2
2. Para determinar el IC
de la razón de dos varianzas se utiliza el
estadístico F definido por
F
S
S

1
2
1
2
2
2
2
2



80
P(/2,V1, V2  F  1-/2,V1, V2) = 1 - 
Reemplazando:
P(/2,V1,V2   1-/2,V1,V2) = 1 - .
S
S
1
2
1
2
2
2
2
2



81
• Si S2
1 y S2
2 son dos varianzas de dos
muestras aleatorias independientes de
tamaños n1 y n2 seleccionadas
respectivamente de dos poblaciones
normales, entonces, el IC de 1 -  por 100 %
para 2
1 / 2
2 es:
P( /2,V2,V1   1-/2,V2,V1) = 1 - .
S
S
1
2
2
2
S
S
1
2
2
2


1
2
2
2

82
Ejercicio Se preparan dos diferentes tandas de cemento, y de cada una se
fabrica gran número de tabiques. Se toma una muestra de seis tabiques de
cada tanda, y la fuerza de tensión en 1b/pulg2, se mide para cada tabique
de las dos muestras. Suponiendo que en la tanda i la fuerza de tensión está
normalmente distribuida con varianza σ2
i, i = 1,2. Obtenga un intervalo de
confianza de 95 % para la razón de las dos desviaciones típicas, σ1/σ2. (R.
Moya, Pág. 687).
Tanda 1: 536, 492, 528, 572, 582, 506
Tanda 2: 555, 567, 550, 550, 535, 540

83
• Ejercicio. Se dividió en dos grupos una clase de Estadística Aplicada II de 40
alumnos. Cada grupo utilizo durante un ciclo un metodo de enseñanza diferente. Al
final del ciclo los alumnos se sometieron a una misma prueba de rendimiento
obteniendose los sgtes resultados:
• N1=19, s21=280 N2=21 S22=200
• Suponer Que los datos constituyen muestras aleatorias independientes extraidas de
poblaciones normalmente distribuidas. ¿Puede afirmarse que las varianzas
poblacionales son iguales? Tome γ=90%

84
Ejercicio. Entre 29 aspirantes a un empleo en una empresa pública, 13 acababan
de completar un curso de secretariado de seis meses y 16 acababan de terminar
estudios de bachillerato donde habían tomado clases de comercio. A cada
aspirante se le aplicó la misma prueba de eficiencia. La varianza de los puntajes
para el primer grupo fue de 525 y para el segundo, de 350. Construir el intervalo
de confianza del 90% para 21 y 2 y 21/22 donde 21 y 22 son las
varianzas de las poblaciones de calificaciones de los aspirantes. ¿Qué
suposiciones hay que hacer para resolver este problema?

85
Bibliografía:
• CÓRDOVA ZAMORA, Manuel. 1999.
“Estadística Inferencial” Publicaciones
Moshera. Lima Perú.
• MOYA Rufino y ZARAVIA Gregorio.
“Probabilidad e Inferencia Estadística”. Lima
Perú
• YAMANE, Taro. 1973 “Estadística”. Harla,
México
• WALPOLE y MYRES. 1991 “Probabilidad y
Estadística”. Mc Graw Hill

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