Este documento presenta información sobre intervalos de confianza para medias y proporciones de una población. Explica cómo calcular estos intervalos y cómo los tamaños de muestra, los niveles de confianza y los errores máximos afectan al tamaño de los intervalos. También cubre contrastes de hipótesis estadísticas y ejemplos de su aplicación.

1. In t e r v a l o d e co n f i a nz a p a r a l a m e d i a
El intervalo de confianza, para la media de una población,
con un nivel de confianza de 1- α , siendo x la media de una
muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es:
El error máximo de estimación es:
Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el
error.
Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-α, mayor es el
error.
Tamaño de la muestra
Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamaño
de la muestra.
Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamaño
de la muestra.
El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar
a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y
desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25
clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.

2. 1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el
tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.
2.Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho
tiempo medio con un el error de ± 0,5 minutos y un nivel de
confianza del 95%.
n ≥ 4
Si en una población, una determinada característica se
presenta en una proporción p, la proporción p' , de individuos con
dicha característica en las muestras de tamaño n, se distribuirán
según:
Intervalo de confianza para una proporción
El error máximo de estimación es:

3. En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción de
componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de
operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se
analizó una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrándose
que 90 de ellos eran defectuosos. ¿Qué nivel de confianza debe
adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido
variaciones?
p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18
E = 0.2 - 0.18 = 0.02
P (1 - zα/2 <1.12) = 0.86861 - 0.8686 = 0.1314
0.8686 - 0.1314 = 0.737
Nivel de confianza: 73.72%
Contrastes de hipótesis

4. Hipótesis estadísticas
Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una
muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones que
permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida
sobre el valor de un parámetro desconocido de una población.
La hipótesis emitida se designa por H0 y se llama HIPÓTESIS NULA .
La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama HIPÓTESIS
ALTERNATIVA .
Contrastes de hipótesis
1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1.
Bilateral H0=k H1 ≠ k
H0≥ k H1 < k
Unilateral
H0 ≤k H1> k
2. A partir de un nivel de confianza 1 - α o el de
significación α. Determinar:
El valor zα/2 (bilaterales), o bien zα (unilaterales)
La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p').
3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.
4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la
zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de
significación α. Si no, se rechaza.

5. In f e r e n c i a e s t a d í s t i c a . E j e r c i c i o s y p r o b l e m a s
1) En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer
mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus
habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos
al azar.
1.Explicar qué procedimiento de selección sería más adecuado
utilizar: muestreo con o sin reposición. ¿Por qué?
2.Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el
barrio viven 2.500 niños, 7.000 adultos y 500 ancianos,
posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un
muestreo estratificado. Determinar el tamaño muestral
correspondiente a cada estrato.
2) Sea la población de elementos: {22,24, 26}.
1.Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos,
escogidas mediante muestreo aleatorio simple.
2.Calcule la varianza de la población.
3.Calcule la varianza de las medias muestrales.
3) La variable altura de las alumnas que estudian en una
escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 1,62 m y
la desviación típica 0,12 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la media
de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m?
4) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo
producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio
de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

6. 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107,
111, 103, 110.
Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen
según una ley normal de varianza 25 y media desconocida:
1.¿Cuál es la distribución de la media muestral?
2.Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media
poblacional.
5) La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400
personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las
personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una
distribución normal con varianza σ2 = 0,16 m2.
1.Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la
media de las estaturas de la población.
2.¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que
pueda decirse que la verdadera media de las estaturas está a menos
de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%?
6) Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos
se distribuyen según una ley normal, con desviación típica 900 €. En
un estudio estadístico de las ventas realizadas en los últimos nueve
meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media
mensual de las ventas, cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 €.
1. ¿Cuál ha sido la media de las ventas en estos nueve meses?
2. ¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo?
7) Se desea estimar la proporción, p, de individuos daltónicos
de una población a través del porcentaje observado en una muestra
aleatoria de individuos, de tamaño n.

7. 1. Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es
igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de
confianza de 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al
3,1%.
2.Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, y el
porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es del 35%,
determina, usando un nivel de significación del 1%, el
correspondiente intervalo de confianza para la proporción de
daltónicos de la población.
8) En una población una variable aleatoria sigue una ley
normal de media desconocida y desviación típica 2.
1.Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se
ha obtenido una media muestra al igual a 50. ¿Calcule un intervalo,
con el 97 % de confianza, para la media de la población.
2.Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe
tener la muestra para qué la amplitud del intervalo que se obtenga
sea, como máximo, 1?
9) Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de
las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se
detectaron 21 vacías.
1.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la
afirmación de la marca?
2.Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están
vacías y 1-α = 0.95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para
estimar la proporción de nueces con un error menor del 1% por
ciento?

8. 1 0 ) La duración de la bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue
una distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su
vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar
una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene
una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que
rechazar el lote por no cumplir la garantía?
11 ) En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150
personas en el departamento de personal, 450 en el departamento
de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en el
departamento de atención al cliente. Con objeto de realizar una
encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180
trabajadores.
1¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección
de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro
departamentos mencionados?
2¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en
cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?
12 ) La cantidad de hemoglobina en sangre del hombre sigue
una ley normal con una desviación típica de 2g/dl.
Calcule el nivel de confianza de una muestra de 12
extracciones de sangre que indique que la media poblacional de
hemoglobina en sangre está entre 13 y 15 g/dl.
13 ) Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un
nuevo método de producción que se considerará aceptable si las
lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población
normal de duración media 2400 horas, con una desviación típica
igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por
este método y esta muestra tiene una duración media de 2320

9. horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso
de fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?
14 ) El control de calidad una fábrica de pilas y baterías
sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de
batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración.
Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una
distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30
minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido,
antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60
baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290
minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la
misma desviación típica:
¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son
ciertas a un nivel de significación del 1%?
15 ) Se cree que el nivel medio de protombina en una
población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación
típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una
muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml.
¿Se puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 5%?