Este documento trata sobre intervalos de confianza para la proporción poblacional. Explica cómo calcular los límites superiores e inferiores de un intervalo de confianza para estimar una proporción poblacional desconocida a partir de una muestra. También cubre cómo calcular el tamaño mínimo de una muestra para estimar una proporción poblacional dentro de un error máximo especificado y un nivel de confianza dado. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.

1. Universidad Los Ángeles de Chimbote CURSO ESTADÍSTICA APLICADA
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS
LECTURA 06: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA
(PARTE II)
TEMA 12: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION
POBLACIONAL
1. INTRODUCCION
Muchas veces las decisiones dependen de parámetros que son binarios, parámetros
con solo dos posibles categorías dentro de las cuales pueden clasificarse las
respuestas. En este caso el parámetro de interés es la proporción poblacional o
porcentaje de la población que cumple cierta característica. Por ejemplo una
empresa distribuidora de computadoras puede estar interesada en estimar el
porcentaje de clientes que pagan al crédito. Una empresa productora de software
informáticos puede estar interesa en estimar el porcentaje software defectuosos, o
que porcentaje de clientes compran software estadísticos.
Donde:
P: Proporción poblacional de éxitos o proporción de elementos de la población que
tienen cierta característica.
poblaciónladeelementosdeNúmero
ticacaracterisciertatienenquepoblaciónladeelementosdeNúmero
N
X
P ==
Q: Proporción poblacional de fracasos o proporción de elementos de la población
que no tienen cierta características.
poblaciónladeelementosdeNúmero
ticacaracterisciertatienennoquepoblaciónladeelementosdeNúmero
N
X
Q
'
==
Además:
P1Qentonces1QP −==+
___________________________________________________________________________ 1
Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.
Fecha : Setiembre 2010
Versión : 2

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Generalmente la proporción poblacional se desconoce y tiene que ser estimado a
través de la proporción muestral. Entonces:
p: Proporción muestral de éxitos o proporción de elementos de la muestra que
tienen cierta característica.
muestraladeelementosdeNúmero
ticacaracterisciertatienenquemuestraladeelementosdeNúmero
n
x
p ==
q: Proporción muestral de fracasos o proporción de elementos de la muestra que
no tienen cierta característica.
muestraladeelementosdeNúmero
ticacaracterisciertatienennoquemuestraladeelementosdeNúmero
n
x
q
'
==
Además:
p1qentonces1qp −==+
2. DEFINICION
Es el rango dentro del cual se encuentra la proporción poblacional con un nivel de
confianza dado.
L1 P L2
fig. 14
___________________________________________________________________________ 2
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1 - α
α /2α /2
[ ] α−=≤≤ 1LPLP 2|

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Para hallar los intervalos de confianza para la proporción poblacional usaremos la
estadística Z para muestras grandes (n ≥ 30). Entonces los límites de confianza
serán:
n
qp
ZpsZpL 0p01
×
×−=×−=
n
qp
ZpsZpL op02
×
×+=×+=
3. ERROR ESTÁNDAR DE LA PROPORCIÓN
Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande (n ≥ 30). Si el muestreo es con
o sin sustitución en una población infinita (o con sustitución en una población finita
de tamaño N), el error estándar es:
n
)P1(P
p
−×
=σ que se estima por:
n
)p1(p
sp
−×
=
• Si el muestreo es sin sustitución en una población finita de tamaño N el
error estándar para la proporción poblacional esta dado por:
1N
nN
n
QP
P
−
−
×
×
=σ que se estima por
1N
nN
n
qp
sp
−
−
×
×
=
___________________________________________________________________________ 3
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Donde:
1N
nN
−
−
es el factor de corrección para población finita.
Ejemplo 1:
En una población, nadie es indiferente respecto a una iniciativa propuesta por el
alcalde: cada habitante adulto o bien está a favor, o bien en contra de la iniciativa.
Se desea conocer el porcentaje P de las personas que están en contra. Entre 50
habitantes adultos elegidos al azar, 15 afirmaron que estaban en contra (y los 35
restantes a favor). Hallar el intervalo de confianza al 95% para la proporción real de
personas que estan en favor de la iniciativa propuesta por el alcalde.
Solución:
• Se desea estimar la proporción real de personas a favor de la iniciativa propuesta
por el alcalde.
• Observamos que la proporción muestral de personas a favor de la iniciativa
propuesta por el alcalde es:
35
p 0.7 q 0.3
50
= = ⇒ =
• Para un nivel de confianza del 99% el valor de Z0 = 1.96
• El error estándar de la proporción muestral es:
p
p q 0.7 0.3
s 0.06
n 50
× ×
= = =
• Los límites de confianza para P son:
1 0
2 0
p q
L p Z 0.3 1.96 0.06 0.3 0.12 0.18
n
p q
L p Z 0.3 1.96 0.06 0.3 0.12 0.42
n
×
= − × = − × = − =
×
= + × = + × = + =
___________________________________________________________________________ 4
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Interpretación: Se tiene una confianza del 95% que el porcentaje de personas que
están a favor de la iniciativa de la propuesta por el alcalde varia entre el 18% y 42%.
Ejemplo 2:
Se desea conocer la opinión de los alumnos de la Uladech en relación con la
aceptación o no de la pena de muerte para los terroristas en el Perú. Para ello se ha
tomado una muestra aleatoria simple de tamaño 500. Si las respuestas afirmativas
han sido 100, encontrar un intervalo de confianza aproximado del 95%.
Solución:
• Se desea estimar la proporción de alumnos de la Uladech que están de acuerdo
con la pena de muerte para los terroristas en el Perú.
• Observamos también que la proporción muestral de personas que están a favor
de la pena de muerte es:
80.0q20.0
500
100
n
x
p =⇒=== .
• Para un nivel de confianza del 95% el valor de Z0 = 1.96.
• El error estándar de la proporción muestral es:
02.0s
500
80.020.0
n
qp
s
p
p
=
×
=
×
=
• Los límites de confianza para P son:
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24.002.096.120.0
n
qp
ZpL
16.002.096.120.0
n
qp
ZpL
02
01
=×+=
×
×+=
=×−=
×
×−=
Interpretación: Se tiene una confianza del 95% que el porcentaje de estudiantes de
la Uladech que afirman estar de acuerdo con la pena de muerte varía entre el 16% y
24%.
Ejemplo 3:
Se desea estimar el porcentaje de aprobados de un curso de Auditoria de una
población de 500 alumnos. Para este fin, se uso una muestra de 35 alumnos que
reveló un 80% de aprobados. Estime la verdadera proporción de aprobados del
curso completo dentro de una confiabilidad del 99%.
Solución:
• Se desea estimar la proporción de aprobafdos en el curso de Auditoria
• Observamos que N = 500 y n = 35
• Observamos también que la proporción muestral de alumnos aprobados en la
asignatura de Auditoria está dada por:
p 0.8= .
• Para un nivel de confianza del 99% el valor de Zo=2.576.
• El error estándar de la proporción muestral es:
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p
p
p
p q N n
s
n N 1
0.80 0.20 500 35
s
500 500 1
s 0.07
× −
= ×
−
× −
= ×
−
=
• Los límites de confianza para P son:
1 0 p
2 0 p
L p Z s 0.8 2.576 0.07 0.8 0.18 0.62
L p Z s 0.8 2.576 0.07 0.8 018 0.98
= − × = − × = − =
= + × = + × = + =
• Se tiene una confianza del 99% que el porcentaje de alumnos aprobados en el
curso de Auditoria vaia entre el 62% y 98%.
TEMA 13: TAMAÑO DE MUESTRA CUANDO EL PARAMETRO ES LA
PROPORCION PROBLACION USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
1. CALCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO
SIMPLE.
Característica de la Población Tamaño de la muestra
Tamaño de la población infinita o desconocido.
2
2
21
e
QPZ
n
××
=
α−
Tamaño de la población finita.
)1N(eQPZ
NQPZ
n 22
2/1
2
21
−×+××
×××
=
α−
α−
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Donde:
n Tamaño de la muestra.
N Tamaño de la población.
Z1-α/2
Valor correspondiente a la distribución de Gauss
Z0.975 = 1.96 para α = 0.05 y Z0.995 = 2.576 para α = 0.01.
(Utilizar Tabla II).
P Proporción poblacional de éxitos. En caso de no conocerse se
estima por la proporción muestral (p) a través de una muestra
piloto. En el caso más desfavorable se considera P=0.5
Q Proporción poblacional de fracasos.
e Error que se prevé cometer.
fig. 15
Ejemplo 4:
En una población, nadie es indiferente respecto a una iniciativa propuesta por el
alcalde: cada habitante adulto o bien está a favor, o bien en contra de la iniciativa.
Se desea conocer el porcentaje P de las personas que están en contra con una
confianza del 95%. Entre 50 habitantes adultos elegidos al azar, 15 afirmaron que
estaban en contra (y los 35 restantes a favor). ¿Cual es el numero mínimo de
encuestados necesario para que el error cometido en la estimación sea, como
mucho, de 0.05?
Solución:
● La proporción poblacional de personas que están en contra de la iniciativa
propuesta por el alcalde no se conoce entonces se estima por la proporción
muestral, y está dada por:
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L1 L2
e
P p−

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x 15
p 0.3 q 0.7
n 50
= = = ⇒ =
• Para el nivel de confianza 1 – α = 0.95 el valor de 96.1Z 975.0 = .
• e = 0.05
• La población es infinita o desconocida.
Como el valor de p se ha calculado a través de la muestra, la formula a utilizar será
la siguiente:
Ejemplo 5:
En una compañía que tiene 400 empleados se desea estimar que porcentaje de sus
empleados tienen tarjeta de crédito. Se estima que este porcentaje pudiese estar
cerca del 70%. Tomando una confianza del 99%, ¿Cuántos empleados debo tomar
como muestra para estimar este valor? Se desea un error máximo del 3%.
Solución:
• La proporción poblacional estimada (obtenida a través de una muestra) de
empleados que tienen tarjeta de crédito está dada por:
● Para un nivel de confianza del 95% el valor de 96.1Z 975.0 =
• e = 0.03
• La población es infinita o desconocida.
La formula a utilizar será la siguiente:
___________________________________________________________________________ 9
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2
1 2
2
Z p q
n
e
−α × ×
=
2
2
(1.96) 0.3 0.7
n
(0.05)
× ×
=
n 322.6 323 encuestados= ≅
2
2
21
e
qpZ
n
××
= α−
p 0.7 q 0.3= ⇒ =

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2
2
(1.96) 0.7 0.3
n
(0.03)
× ×
=
n 896.3 896 empleados= ≅
Ejemplo 6:
Se desea estimar el porcentaje de aprobados de un curso de Estadística de 500
alumnos. Para este fin, se uso una muestra de 35 alumnos que reveló un 80% de
aprobados. ¿Cuántos alumnos se debe tomar en la muestra si se desea una
precisión del 2% con una confiabilidad del 99%.
Solución:
• La proporción poblacional estimada (obtenida a través de la muestra) de alumnos
aprobados en el curso de Estadística, está dada por:
p 0.8 q 0.2= ⇒ =
• Para un nivel de confianza del 99% el valor de 576.2Z 995.0 = .
• e = 0.02
• La población es finita N=500.
La formula a utilizar será la siguiente:
2
1 2
2 2
1 / 2
Z p q N
n
Z p q e (N 1)
− α
− α
× × ×
=
× × + × −
2
2 2
(2.576) 0.80 0.20 500
n
(2.576) 0.80 0.20 (0.02) (500 1)
× × ×
=
× × + × −
n 420.9 421 alumnos.= ≅
7. Se desea estimar la proporción de personas p que tienen un aparato DVD en
su hogar, en una población de 10000 familias. Para eso debemos tomar una
muestra de tamaño de manera que con una confiabilidad del 99% y margen de error
de 0.05, el intervalo que construiremos contenga al valor desconocido de la
proporción poblacional p. Indica el tamaño de muestra que se debe tomar.
___________________________________________________________________________ 10
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Solución:
• La proporción poblacional de personas que tienen un aparato DVD en su casa
es desconocido, entonces consideramos P=0.5.
P 0.5 Q 0.5= ⇒ =
• Para un nivel de confianza del 99% el valor de 576.2Z 995.0 = .
• e = 0.05
• La población es finita N=10000
La formula a utilizar será la siguiente:
2
1 2
2 2
1 /2
Z P Q N
n
Z P Q e (N 1)
− α
− α
× × ×
=
× × + × −
2
2 2
(2.576) 0.50 0.50 10000
n
(2.576) 0.50 0.50 (0.05) (1000 1)
× × ×
=
× × + × −
n 622.3 622 personas.= ≅
___________________________________________________________________________ 11
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