Este documento define conceptos básicos sobre sucesiones numéricas, incluyendo: (1) Las sucesiones numéricas son funciones cuyo dominio son los números naturales y cuyos términos pertenecen a cualquier conjunto numérico; (2) Existen sucesiones finitas e infinitas, siendo estas últimas las que presentan puntos suspensivos; (3) Las sucesiones polinomiales son aquellas cuyo término general es un polinomio en n, incluyendo sucesiones aritméticas de primer orden y sucesiones polinomiales

1. Sucesiones Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

2. 11/03/10 Racso Editores NÚMERO ORDINAL Definición .- Se llama número ordinal al número natural no nulo que designa la ubicación de un elemento en un conjunto dado. Cuando los elementos de un conjunto se alinean entonces la asignación del número ordinal puede hacerse desde cualquiera de los elementos. Por lo general, y por comodidad, se suele empezar por alguno de los extremos. Ejemplo.- Asignemos números ordinales a los elementos de los siguientes conjuntos A = { a; b; c; d; e }, B = {12; 13; 14; 15; 16; 17}, eligiendo como primero al que ocupa la posición del extremo izquierdo:

3. 11/03/10 Racso Editores SUCESIÓN Recibe el nombre de sucesión en  una función, f :  *  U, cuyo dominio es el conjunto de los números naturales no nulos (  *), y su rango es un conjunto cuyos elementos pertenecen a cualquier otro conjunto U. Ejemplo.- Sea la sucesión literal: Luego la sucesión es: f = {(1, A), (2, C), (3, D), … } Esta misma sucesión se puede presentar así: A , C , D , …

4. 11/03/10 Racso Editores SUCESIÓN NUMÉRICA A = { a 1 ; a 2 ; a 3 ; . . . ; a N ; . . . } Obsérvese que cada elemento de la sucesión numérica tiene un orden dentro del conjunto: A los elementos de este conjunto se les llama términos de la sucesión . a 1 es el 1ro, a 2 es el 2do, ... etc. Se llama sucesión numérica a un conjunto de números en el que a cada uno se le ha hecho corresponder con un número ordinal.

5. 11/03/10 Racso Editores 2do. En adelante una sucesión se denotará así {a n } n  1 , o, simplemente {a n }, o, bien a n , n   *, siendo los elementos de dicha sucesión los valores de a n . 3ro. El número « n » , llamado ordinal , define el nombre y posición del término a n . Luego: {a n } n  1 = a 1 ; a 2 ; a 3 ; …. CONSIDERACIONES IMPORTANTES 1ro. En general los términos de la sucesión numérica pertenecen a cualquier conjunto numérico.

6. 11/03/10 Racso Editores Sucesión numérica finita Es la que se compone de un número finito de términos. Ejemplo.- Las siguientes son sucesiones finitas: Sucesión numérica infinita Es la que se compone de un número infinito (innumerable) de términos y a la que, para mayor brevedad, llamaremos simplemente sucesiones . . Ejemplo.- Las siguientes son sucesiones infinitas: Solo las sucesiones infinitas presentan puntos suspensivos. TIPOS DE SUCESIONES i) 1; 4; 9; 16; 25. ii) 36; 32; 28; 24; 20. i) 3; 9; 27; 81; ... ii) ...; 40; 30; 20; 10; 0.

7. 11/03/10 Racso Editores SUCESIONES POLINOMIALES Sea {a n } n  1 una sucesión de números naturales. Se dice que {a n } n  1 es una sucesión polinomial si la fórmula del término general « a n » es un polinomio entero en «n», es decir, de la forma P(n). Si: A 1  0 , entonces « k » define el orden de la sucesión. Si: k = 1, la sucesión es de primer orden, Si: k = 2, la sucesión es de segundo orden y así sucesivamente. Ejemplos.- Sean las siguientes sucesiones: i) {3 n + 1} ii) {2 n 2 + 5n – 1} iii) { n 3 – 3 n 2 +8} es una sucesión polinomial de 1er orden es una sucesión polinomial de 2do orden es una sucesión polinomial de 3er orden

8. 11/03/10 Racso Editores SUCESIONES ARITMÉTICAS (S.A) Sea {a n } n  1 una sucesión de números naturales. Se dice que {a n } n  1 es una sucesión aritmética si la fórmula del término general « a n » es un polinomio entero en « n » de primer grado. La sucesión aritmética resulta ser una sucesión polinomial de primer orden. También se le conoce como progresión aritmética . Ejemplo 1.- Las siguientes son sucesiones aritméticas: i) {a n } n  3 = 3n + 7 ii) {a n } n  5 = -5n + 9 iii) {a n } n  8 = 2n - 11

9. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 2.- Construir las siguientes sucesiones aritméticas: i) {3n} n  4 ii) {2n + 7} n  1 iii) {5n - 9} n  3 Si observamos cualquier par de términos consecutivos de estas sucesiones comprobaremos que entre ellos existe una diferencia constante llamada razón ( r ) de la progresión aritmética. En los ejemplos anteriores la razón es 3; 2 y 5 respectivamente = 12; 15; 18; … r = 3 = 9; 11; 13; … r = 2 = 6; 11, 16; … r = 5

10. 11/03/10 Racso Editores DESCRIPCIÓN DE UNA SUCESIÓN ARITMÉTICA Sea la sucesión aritmética: donde: a 1 es el 1er término, a n es el último término, n es el número de términos y r es la razón. Los términos se suceden sumándole al anterior la razón, así: La fórmula del término general de la sucesión aritmética es: a 3 = a 2 + r = a 1 + 2r ; a n = a 1 + (n -1)r a 2 = a 1 + r ; a 4 = a 3 + r = a 1 + 3r ; …

11. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 1.- Determinar la fórmula del término general de cada sucesión aritmética: i) 3; 7; 11; 15; 19; .... Reconociendo que a 1 = 3, r = 7 – 3 = 4, se tiene: ii) 160; 152; 146; 138; 130; .... Reconociendo que a 1 = 160, r = 152 – 160 = -8, se tiene: a n = 3 + ( n – 1)4  a n = 4 n – 1 a n = 160 + ( n –1)(-8)  a n = 168 – 8 n

12. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo 2.- Determinar el término de lugar 12 de la sucesión aritmética: 2; 8; 14; 20; .... Reconociendo que a 1 = 2, r = 8 – 2 = 6, se tiene: a n = 2 + ( n – 1)6  a n = 6 n – 4 Luego para n = 12, reemplazamos: a 12 = 6(12) – 4  a 12 = 68 Observación.- En ocasiones los términos de una sucesión aritmética se definen en el conjunto de los números enteros. Ejemplo .- -5; -2; 1; 4; …

13. 11/03/10 Racso Editores SUCESIONES POLINOMIALES DE SEGUNDO ORDEN Sea {a n } n  1 una sucesión de números naturales. Se dice que {a n } n  1 es una sucesión polinomial de segundo orden si la fórmula del término general a n es un polinomio entero en «n» de segundo grado. Ejemplos.- Sean las siguientes sucesiones polinomiales: Analizando los términos se descubre que: a)

14. 11/03/10 Racso Editores Analizando los términos se tiene: Analizando los términos se tiene: b) c)

15. 11/03/10 Racso Editores DESCRIPCIÓN DE UNA SUCESIÓN DE 2DO ORDEN donde d 1 , d 2 , d 3 , ...corresponden a las primeras diferencias obtenidas al restar un par de términos consecutivos. Sea la sucesión polinomial de segundo orden cuyo esquema es: Debe reconocerse que los valores de las primeras diferencias forman una secuencia aritmética de razón « r ». El valor de la razón « r » se constituye en la segunda diferencia de los términos de la sucesión.

16. 11/03/10 Racso Editores La fórmula del término general de la sucesión polinómica de segundo orden es: Los elementos se relacionan de un modo recurrente, así : Para calcular el valor de un término de lugar « n », en este tipo de sucesiones, se recomienda construir el esquema en el que se logren deducir los valores de las diferencias. Donde:

17. 11/03/10 Racso Editores Ejemplo.- Determinar la fórmula del término general de la siguiente sucesión: 1; 6; 13; 22; 33; .... Elaboramos el esquema de la sucesión: Aplicando la fórmula de a n :

18. 11/03/10 Racso Editores CONTEO DE TÉRMINOS DE UNA S.A Sea {a n } n  1 una sucesión numérica. Se llama conteo de términos de una sucesión al proceso mediante el cual se determina la cantidad de términos que posee la sucesión. Para determinar la cantidad de términos, n, que tiene una sucesión aritmética se puede utilizar la fórmula del término general: Ejemplo.- Determinar la cantidad de términos que tiene la siguiente sucesión aritmética: 13; 18; 23; ....; 98 Analizando los términos deducimos: a 1 = 13, a n = 98, r = 18 – 13 = 5 Luego:

19. 11/03/10 Racso Editores SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA S.A DE 1ER ORDEN Sea la sucesión aritmética: {a n } n  1 , y sea S la suma de la serie: donde « a 1 » es el 1er término, « a n » es el último término y « n » es el número de términos de la sucesión. Luego: Ejemplo 1.- Calcular la suma de la siguiente serie: S = 1 + 2 + 3+ ...+ 50. Identificamos los términos: a 1 = 1, a 50 = 50 y n = 50 Luego:

20. 11/03/10 Racso Editores Pero si « r » es la razón de la sucesión aritmética entonces se cumple que: Ejemplo 2.- Calcular la suma de los 50 primeros términos de la sucesión aritmética: 3; 7; 11; 15; ... Identificamos los términos: a 1 = 3, r = 7 – 3 = 4 y n = 50 Luego:  S = 150 + 4 900 = 5 050

21. 11/03/10 Racso Editores SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA S.A DE 2DO ORDEN Ejemplo.- Calcular la suma de los 20 primeros términos de la serie: S = 1+ 6 +13 + 22 +19 + .... Las 1ras diferencias son: 5; 7; 9; 11;... Las 2das diferencias son: 2; 2; 2; 2; … Aplicando: Sea la sucesión aritmética: , donde: Y: Si S es la suma de la serie , se cumple que: a 1 = 1; d 1 = 5; r = 2; n = 20 }