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RAZONES Y
PROPORCIONES
RAZÓN


          PROPORCIÓN



DIRECTA      INVERSA   COMPUESTA


      PORCENTAJE
¿Qué son las
  razones y
proporciones?     Las       razones     y
                  proporciones son una
                  manera de encontrar
                  relaciones        entre
                  cantidades         que
                  aumentan o disminuyen
    Por ejemplo
    La cantidad de dinero que se paga por la
    compra de un kilo de pescado irá
    aumentando o disminuyendo en la medida
    que aumente o disminuya la cantidad de kilos
    de pescado a comprar
RAZÓN
      Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades
por medio del cuociente entre ellas.
   Se puede escribir como


  a:b           a
            ó
                  =k        Se lee " a es a b
                b
        a                      Antecedente
        b                      Consecuente
APLICACIONES DE RAZONES

En    lenguaje    de
cartografía la razón
se conoce como
escala.

Si un mapa está a
escala      1:1000,
¿Qué significa?

Cualquier distancia
(digamos 1cm) en el
mapa, representa
1000 cm en la vida
real es decir 10m.
APLICACIONES DE RAZONES
Los demógrafos, que son los
que estudian la evolución de
las poblaciones establecen que
la razón de natalidad anual es
de

               13
              1000


 Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes
 nacen al año 13 bebés.
APLICACIONES
La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos,
como densidad poblacional.

    Por ejemplo, se sabe que la población de
    Antofagasta es de 285.255 personas, y
    también se sabe que la superficie es de
    30.718,1 kilómetros cuadrados.


  Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la
  densidad poblacional es de

        285255               habitantes por kilómetro cuadrado
                  = 9,3
       30718,1
 ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 9 personas!
RAZONES EQUIVALENTES
Dos razones son equivalentes si el valor de la
razón es el mismo.
Ejemplo la razón 3:4 es equivalente a la razón 6:8,
ya que 3:4 = 6:8
3:4= 0,75                    y                 6:8=0,75
•2:4 es equivalente a 4:8
2:4= 0,5               y                               4:8= 0,5
•5:2 es equivalente a 10:4
5:2 = 2,5                        y                    10:4 = 2,5
AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR
• Dado que una razón es una fracción, podemos amplificarla y
  simplificarla para obtener razones equivalentes, así:




Simplificar                                            División




Amplificar                                     Multiplicación
PROPORCIONES
Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones

 Se escribe

  a c
   =          o   a:b=c:d       Se lee “a es a b como c es a d”
  b d


En toda proporción:
                             a c
                              =                        Medios
                             b d
Extremos
OBSERVACIÓN
El producto de los medios es igual al producto de
    los extremos.
 Dada la proporción:

                     a c
                      =
                     b d
 Se cumple:

               a⋅d = b⋅c
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos o más cantidades a y b son directamente
proporcionales cuando su cociente es constante (k)
PORCENTAJE
INTRODUCCIÓN
      Para calcular un porcentaje, se divide el
entero en 100 partes iguales y se toma de ella la
cantidad requerida. Si una cantidad se divide en
100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está
considerando el 25 % de la cantidad.
EJEMPLO

      Si se dice que el
10% de los alumnos de
este curso son niñas, se
está diciendo que de
cada 100 alumnos 10
son niñas.
CÁLCULO DE PORCENTAJE
      Para trabajar con tantos por cientos, se
procede como una proporción directa.
EJEMPLO

   Calcular el 32 % de 459.
   La proporción que se debe formar es:
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OBSERVACIÓN
• Dos cantidades se dicen que son directamente
  proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas
  la otra también aumenta.

• Dos cantidades se dicen que son directamente
  proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas
  la otra también disminuye.
  Ejemplo:

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   En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas.
   ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la
   receta para 20 personas?
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                                                             3 12
     3            12                                          =
                                                             x 20
     x            20



Multiplicando cruzado       3 ⋅ 20 = 12 ⋅ x       Resolviendo para x, se tiene que:


   5= x           Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas
EJEMPLO

Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su
velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto
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EJERCICIOS

• Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si
  queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana
  necesitaremos?
• Con 6 litros de pintura, se puede pintar 40 m2 de pared. ¿cuántos
  litros de pintura se necesitan para pintar 96 m2?
• Una llave que arroja 40 litros de agua por minuto, llena un estanque
  en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo demora en llenar el mismo estanque
  una llave que arroja 60 litros por minuto?
PROPORCIONALIDAD INVERSA
      Dos o más cantidades son inversamente
proporcionales si los productos que se obtienen al
multiplicar los términos de cada una de las razones son
constantes.
OBSERVACIÓN
   Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales
    si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.

   Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales
    si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.

Ejemplo:

      El número de obreros y el tiempo para realizar
                        una obra
EJEMPLO
        En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un
        camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más
        ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?
    Se tiene:
                        Formando la               Se invierte la
Gallinas      Días
                        proporción    300 20      segunda razón      300 x
  300           20                       =                              =
                                                                     400 20
  400           x                     400 x


Multiplicando cruzado    300 ⋅ 20 = 400 ⋅ x   Resolviendo para x, se tiene que:



    x = 15 tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos
      Por lo
EJEMPLO
Un depósito de agua se
llena en 2.25 horas
empleando cinco llaves de
agua de igual diámetro.
¿En cuánto tiempo se
llenará, si se utilizan tres
llaves?
EJEMPLO DE PROPORCIONALIDAD
1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar
   es una proporción...
2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje
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3. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es...
4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar
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5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa
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Razones, proporciones y porcentajes

  • 2. RAZÓN PROPORCIÓN DIRECTA INVERSA COMPUESTA PORCENTAJE
  • 3. ¿Qué son las razones y proporciones? Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen Por ejemplo La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar
  • 4. RAZÓN Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cuociente entre ellas. Se puede escribir como a:b a ó =k Se lee " a es a b b a Antecedente b Consecuente
  • 5. APLICACIONES DE RAZONES En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala. Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa? Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.
  • 6. APLICACIONES DE RAZONES Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de 13 1000 Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés.
  • 7. APLICACIONES La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional. Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de 285255 habitantes por kilómetro cuadrado = 9,3 30718,1 ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 9 personas!
  • 8. RAZONES EQUIVALENTES Dos razones son equivalentes si el valor de la razón es el mismo. Ejemplo la razón 3:4 es equivalente a la razón 6:8, ya que 3:4 = 6:8 3:4= 0,75 y 6:8=0,75 •2:4 es equivalente a 4:8 2:4= 0,5 y 4:8= 0,5 •5:2 es equivalente a 10:4 5:2 = 2,5 y 10:4 = 2,5
  • 9. AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR • Dado que una razón es una fracción, podemos amplificarla y simplificarla para obtener razones equivalentes, así: Simplificar División Amplificar Multiplicación
  • 10. PROPORCIONES Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones Se escribe a c = o a:b=c:d Se lee “a es a b como c es a d” b d En toda proporción: a c = Medios b d Extremos
  • 11. OBSERVACIÓN El producto de los medios es igual al producto de los extremos. Dada la proporción: a c = b d Se cumple: a⋅d = b⋅c
  • 12. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante (k)
  • 14. INTRODUCCIÓN Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.
  • 15. EJEMPLO Si se dice que el 10% de los alumnos de este curso son niñas, se está diciendo que de cada 100 alumnos 10 son niñas.
  • 16. CÁLCULO DE PORCENTAJE Para trabajar con tantos por cientos, se procede como una proporción directa.
  • 17. EJEMPLO Calcular el 32 % de 459. La proporción que se debe formar es:
  • 18. EJEMPLO ¿Qué porcentaje es 142 de 568? Solución: La proporción que se debe formar es:
  • 19. EJEMPLO De qué cantidad es 96 el 12%? Solución: La proporción que se debe formar es:
  • 20. OBSERVACIÓN • Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta. • Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Ejemplo: Mas horas de trabajo mas producción
  • 21. EJEMPLO En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas? Se tiene: Huevos Personas Formando la proporción 3 12 3 12 = x 20 x 20 Multiplicando cruzado 3 ⋅ 20 = 12 ⋅ x Resolviendo para x, se tiene que: 5= x Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas
  • 22. EJEMPLO Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?
  • 23. EJERCICIOS • Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana necesitaremos? • Con 6 litros de pintura, se puede pintar 40 m2 de pared. ¿cuántos litros de pintura se necesitan para pintar 96 m2? • Una llave que arroja 40 litros de agua por minuto, llena un estanque en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo demora en llenar el mismo estanque una llave que arroja 60 litros por minuto?
  • 24. PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes.
  • 25. OBSERVACIÓN  Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.  Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta. Ejemplo: El número de obreros y el tiempo para realizar una obra
  • 26. EJEMPLO En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? Se tiene: Formando la Se invierte la Gallinas Días proporción 300 20 segunda razón 300 x 300 20 = = 400 20 400 x 400 x Multiplicando cruzado 300 ⋅ 20 = 400 ⋅ x Resolviendo para x, se tiene que: x = 15 tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos Por lo
  • 27. EJEMPLO Un depósito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?
  • 28. EJEMPLO DE PROPORCIONALIDAD 1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción... 2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es... 3. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es... 4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es... 5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...