El documento describe conceptos fundamentales de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones, notaciones y propiedades. Se abordan elementos como conjuntos, subconjuntos, unión, intersección, y el conjunto potencia, así como las leyes de De Morgan y el producto cartesiano. Además, se menciona la importancia de la representación gráfica mediante diagramas de Venn y define propiedades clave en el álgebra de conjuntos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación y Deporte
Universidad Fermín toro
Facultad Ingeniería
Luisana Hernández
C.I.: 26.904235
Estructuras Discretas I

2. ¿Qué es un conjunto?
Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales se llaman Elementos., también se le
puede llamar: miembros, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”.
Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la
palabra elementos del conjunto A, se escribe:
x ∈ A.
Que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es
elemento de un conjunto A, se escribe:
x ∉A.
Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el
conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:
A = { 2, 3, 5}
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:
A= {a, c, b}
B= {primavera, verano, otoño, invierno}

3. El símbolo є indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto.
Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de
referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo
como ∉.
Ejemplo: Sea B= {a, e, i, o, u}, a є B y c ∉ B

4. CONJUNTO UNIVERSAL
Se llama conjunto universal, conjunto referencial o universo del discurso al conjunto formado por todos
los elementos que están en discusión, Se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio
muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U= { 1, 2, 3, 4, 5 }
FORMA ALTERNATIVA PARA INDICAR CONJUNTOS DE GRAN IMPORTANCIA:
o Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
o Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
o Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros
{fracciones}). Estos números se representan por una Q
o Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números
enteros) representados por la letra I.
o Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados
por R.

5. Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por
extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace
referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación
llamada COMPRENSIÓN.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el
conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores
que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{ x/x Î N ; x<60 }
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales
(N) y además que los valores de x son menores que 60.
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser
representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar
los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:
{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }

6. Un conjunto está definido por extensión, si se enumeran sus elementos.
Por ejemplo: A = {x / x es un número obtenido al lanzar un dado corriente} es un
conjunto definido por comprensión ya que sus elementos “x” se describen a través de una
propiedad “es un número obtenido al lanzar un dado corriente”.
DIAGRAMA DE VENN
Esencialmente, se conoce como
una forma de mostrar de manera
gráfica, una agrupación de elementos
según los conjuntos, siendo
representado cada conjunto con una
circunferencia. Esta clase de gráficos se
emplean en la Teoría de Conjuntos,
dentro de las matemáticas modernas y
nos explica el funcionamiento de un
conjunto de elementos al realizar alguna
operación con ellos.
La posición en que estén dispuestas las circunferencias, nos mostrará el vínculo que existe
entre los conjuntos

7. En la imagen de abajo, el círculo del grupo A se haya dentro del círculo B, de manera que todos los
componentes de B también se encuentran contenidos en A.

8. SUBCONJUNTO
Diremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B si y
sólo si A ⊂ B y A ≠ B.
Ejemplo:
Si A = { a,d,f,} y B = { a,b,c,d,e,f,h }
Entonces A es subconjunto propio de B.
.

9. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
1) Reflexiva.- para todo conjunto A se cumple que todo conjunto está incluido a sí mismo.
A С A
2) Asimétrica.- para todo conjunto A y B se cumple que si A está incluido en B.
A С B ^ B С A = A = B
3) Transitiva.-
A С B ^ B С A A С C
Si se cumple las 3 propiedades se dice que existe una relación de orden.
Si al comparar dos conjuntos y estos no se incluyen entre A y B en este caso se dice que los dos conjuntos no
son comparables.
El conjunto vacío es el conjunto matemático que no tiene ningún elemento.
Se representa con el símbolo ∅ o simplemente como {}. Algunas de sus propiedades son:
•Para cualquier conjunto A, el conjunto vacío es un subconjunto de A: {} ⊆ A.
•Para cualquier conjunto A, la unión de A y el conjunto vacío es A: A ∪ {} = A.
•Para cualquier conjunto A, la intersección de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío: A ∩ {} = {}.
•El único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío.

10. CONJUNTO POTENCIA
El conjunto potencia de un conjunto cualquiera A, P(A)
es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Si A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá
2n elementos.
Otro símbolo para usar: ⊆
CARACTERISTICAS:
La principal característica de este conjunto es que es
un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son
conjuntos.
Dado un conjunto A podemos conocer el número de
elementos de (A), ya que si A tiene n elementos,
entonces (A) tiene 2n elementos.
El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes
conserva la relación de inclusión:
Teorema A ⊂ B Û (A) ⊂ (B)
IGUALDAD DE CONJUNTO
Dos conjuntos son iguales el uno al otro s contienen
exactamente a los mismos miembros. Indicado
matemáticamente A= B si y solamente si A ⊆ B y B ⊆ A. Esto
significa que si conjunto A contiene todo en el conjunto B y
el conjunto B contiene todo adentro conjunto A, después los
dos conjuntos tienen exactamente el mismo contenido.

11. UNIÓN E INTERSECCION DE CONJUNTOS
UNIÓN
La unión de los conjuntos A y B,
es el conjunto de todos los elementos
que pertenecen a A o a B o a ambos.
Se denota la unión de A y B por A U B y
se llama unión de A y B.
Entonces se puede expresar por
comprensión este conjunto así:
Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la
siguiente:
En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan
los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual
se seleccionan los conjuntos A y B.
Podemos decir que la unión de conjuntos es una operación binaria (aquella
operación matemática, que precisa del operador y de dos argumentos para que se
pueda calcular un valor) en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto
universal (Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de
referencia) dado. Mediante la cual a cada par de conjuntos A y B de U le es asociado
otro conjunto (A U B) de U.

12. PROPIEDADES
Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera
o A ∪ A = A (propiedad idempotente) En álgebra de conjuntos, las operaciones de unión y también de
intersección de conjuntos cumplen con esta propiedad. Esto quiere decir que la unión o intersección de un
conjunto con el mismo, resultará en el mismo conjunto.
o A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa). Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto unión no se
altera.
o (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa).
o (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la intersección).
o A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).
INTERSECCIÓN
Una intersección de dos o más
conjuntos es un conjunto que contiene a los
miembros que están en todos los conjuntos.
Se habla esto, “conjunto C es la intersección
de los conjuntos A y B.” Escriba esto como, C
= A ∩ B.
Gráficamente, una representación de A ∩ B es:
La región rayada corresponde a A B. Cuando A y B no
tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.

13. PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
o Comutativo A ∩ B = B ∩ A La intersección de conjuntos es comutativa.
o Asociativo (D ∩ E) ∩ F = D ∩ (E ∩ F) La intersección de conjuntos es asociativa
o Distributivo (D ∩ E) ∪ F = (D ∪ F) ∩ (E ∪ F)
А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C La intersección y la unión de conjuntos son distributivas
o Propiedad Idempotente
А ∩ А = А
o Propiedad Conmutativa.
А ∩ B = B ∩ А
Intersección con el Vacío
А ∩ Ø = Ø

14. Diferencia
La diferencia entre los conjuntos A y B, denotada por A - B, es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto de A y no pertenecen al conjunto B.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia A - B es {b, c, d, e, f}. La
diferencia B - A es {h, j}
Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A - B y B - A.
En el ejemplo anterior la diferencia simétrica es {b, c, d, e, f, h, j}
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
o Unicidad: Dados dos conjuntos A y B, el resultado de la diferencia entre los conjuntos A y B es un
único conjunto C y no puede ser otro distinto.
o Propiedad conmutativa:o Propiedad conmutativa
o Elemento neutro: El elemento neutro de la operación diferencia es
el conjunto vacío.

15. COMPLEMENTO
Sean los conjuntos A y universal U. El complemento del conjunto A es la parte el conjunto universal
U que no pertenece al conjunto A.
Sean:
PROPIEDADES
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío
no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera
posee propiedades similares a la segunda:
o Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el propio A:
(A∁)∁ = A

16. o La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
A ∪ A∁ = U
o Propiedad involutiva. El complementario del complementario de A es el
propio A:
(A∁)∁ = A
o La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal:
A ∪ A∁ = U
o Un conjunto y su complementario son disjuntos:
A ∩ A∁ = ∅
o El complementario de A está contenido en el complementario de
cualquier subconjunto de A:
B ⊆ A implica que A∁ ⊆ B∁
ALGEBRA DE CONJUNTOS
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia
A  A = A
A A = A
2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A
3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C
4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A
5.- Distributiva
A  ( B  C ) = ( A  B ) 
( A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
6.- Complementariedad A  A' = U A  A' = 

17. Propiedades de identidad
o A∪ φ = A
o A∪U = U
o A∩U = A
o A∩φ = φ
LEYES DE D’MORGAN
Estas leyes establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:
Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
En el diagrama de la izquierda, A∪ B viene dada por la región en blanco y (A ∪ B)' está representado, por el
área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es la región sombreada
horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que 'A ∩ 'B está representado por la
superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.

18. PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos, el conjunto
producto o producto cartesiano expresado por A x B
está formado por las parejas ordenadas (a, b)
donde a ∈ A y b ∈ B.
A x B = {(a, b) | a ∈A y b ∈ B}

19. Ejemplo.
Obtener el producto cartesiano A× B de los siguientes conjuntos:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6,7 }
Solución.
A× B = {(1,2),(1,4),(1,6),(1,7),(2,2),(2,4),(2,6),(2,7),(3,2),(3,4),(3,6),(3,7)}
El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus
cardinalidades. En el ejemplo anterior, η(A) = 3 y η(B) = 4 , el número de parejas ordenadas es:
(3)(4) = 12.
El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que A× B ≠ B× A , a menos que A = B .
Ejemplo.
Obtener el producto cartesiano B × A dados los mismos conjuntos anteriores:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6,7 }
Solución.
B × A = {(2,1),(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(4,3),(6,1),(6,2),(6,3),(7,1),(7,2),(7,3)}
A× B ≠ B × A

20. OPERACIONES GENERALIZADAS
El concepto de familia indexada de conjunto, permite generalizar las operaciones con conjuntos
(unión, intersección, producto cartesiano) que se habían definido para dos conjuntos, al caso de un número
arbitrario de conjuntos.
Dada una familia de conjuntos F y un conjunto I, se denomina familia indexada de conjuntos con
conjuntos Índices I a toda
función f: I -> F
Si I es cualquier conjunto, una familia de conjuntos indizada por I es una colección de
conjuntos, denotada por {Xi}, donde, para cada i € I, se tiene que Xi es un conjunto miembro de la familia.
Entonces la unión de la familia {Xi} es el conjuntos de elementos x tales x pertenece a alguno de los
conjuntos Xi. De igual forma, la intersección de la familia es el conjunto de todos los y tales y € Xi, para
todos los i € I. De manera simbólica se tiene

21. PARTICIÓN
Una partición de un conjunto A es una clase de subconjuntos Sі de A que son colectivamente exhaustivos y
mutuamente excluyentes. En otras palabras, los subconjuntos son disjuntos (excluyentes) y su unión es A
(exhaustivos).
Dado un conjunto A, diremos que los subconjuntos de A, A1,A2, . . . ,An,
constituyen una partición del mismo si se cumplen las siguientes condiciones:
1. Ai ≠ Ø; Ʉi = 1,2,3,…,n
2 Ai ᴖ Aj = Ø; Ʉi ≠ j,i, j=1,2,3,…,n
3. A1 ᴗ A2 ᴗ A3 …An = A
Las particiones de conjuntos ya han demostrado ser muy útiles en las cuestiones
de Combinatoria: la regla de la suma nos permitirá evaluar el tamaño de un conjunto si lo
“partíamos” en subconjuntos (disjuntos dos a dos) cuyo tamaño fuera más fácil de calcular.
Sea X un conjunto con n elementos, que supondremos, como hacemos habitualmente,
que son los números {1, . . . , n}. Una partición en k bloques no vacios de X será una colección de
subconjuntos {A1, A2, . . . Ak} , tales que
1. los bloques, efectivamente, conforman una partición de X:
X = A1 ∪ · · · ∪ Ak y Ai ∩ Aj = Ø para cada i = j.
2. Y los bloques son no vacíos , esto es, Ai = Ø para cada i = 1, . . . , k.
Es importante señalar que el orden de los elementos dentro de cada bloque es irrelevante y el de
presentación de los bloques, también. Observemos que, pese a que los nombremos como
A1, . . . , Ak, no estamos dando un orden entre ellos.

22. CARDINALIDAD
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural
n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario
se dice que es infinito.
TEOREMA:
Sean A y B dos conjuntos finitos, luego:
(B - A) = #B - #(A I B)
#(A U B) = #A + #B - #(A I B)
TEOREMA:
Si A; B y C son tres conjuntos finitos entonces
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).
Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los
conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación
presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de
conjuntos.