Metodos numericos

1. 1
Tarea 2
Curso: Métodos Numéricos para Ingeniería
Nombre: Luis Santos Coaquira Paredes
Instrucción:
En estaactividad,debenanalizarcadaunode losejercicios enunciados,luegoresponde lapregunta
planteada.
Considera los siguientes indicadores para la evaluación:
 El desarrollo del ejercicio se fundamenta en los conocimientos adquiridos.
 El desarrollodel ejercicioesclaro,coherente,bienorganizado,fácil de comprenderycuidala
ortografía.
 La respuesta de la pregunta tiene sustento con el enunciado del ejercicio.
Ejercicio1:
En el siguiente ejercicioaproximelaintegral 4;1
0
1
2

ndxx ,conel métodode Simpson1/3
y estime el error nE .
Desarrollo: Para el cálculo de la integral se usará el método de Simpson 1/3 compuesto.
Calculo de h:
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
−1 − 0
4
= 0.25
Se usará la siguiente formula:
𝐼 ≅
ℎ
3
[𝑓( 𝑥0)+ 4 ∑ 𝑓( 𝑥𝑖)+ 2 ∑ 𝑓(𝑥 𝑗)+ 𝑓(𝑥 𝑛)
𝑛−2
𝑗=2,4,6
𝑛−1
𝑖=1,3,5
]
Desarrollando se tiene:
𝑓( 𝑥𝑖) 𝑓( 𝑥0) 𝑓( 𝑥1) 𝑓( 𝑥2) 𝑓( 𝑥3) 𝑓( 𝑥4 )
h -1 -0.75 -0.5 -0.25 0
1.414 1.250 1.118 1.031 1
Reemplazando los Datos
𝐼 ≅
0.25
3
[1.414 + 4(1.250 + 1.031) + 2(1.118 + 1)] ≅ 1.231
El valor de exacto de la integral ∫ √1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 1.148
0
−1
El Error será:
|𝐸 𝑛| = |1.148 − 1.23| = 0.082

2. 2
Ejercicio 2:
Una pieza metálica con una masa de 0.1 kg y 25 ºC se calienta internamente de forma eléctrica a
razón de q= 3000 W. La ecuación diferencial de la temperatura que se obtiene es:
2
20 t
dt
dT
 si 298)0( T
Calcule T(1) con h=0.01 y muéstrelo gráficamente. Use RK de cuarto orden
Desarrollo:
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
∫ 𝑑𝑇 = ∫(20 − 𝑡2) 𝑑𝑡
𝑇 = 20𝑡 −
𝑡3
3
+ 𝑐
Por condiciones Iniciales para t=0 se tiene T=298, reemplazando tenemos:
298 = 20(0) −
(0)3
3
+ 𝐶
𝐶 = 298
𝑁𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑎:
𝑇 = 20𝑡 −
𝑡3
3
+ 298
𝐿𝑎 𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑟𝑎:
𝑇 = 20(1) −
(1)3
3
+ 298 = 317.66 º𝑐
𝑼𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒖𝒏𝒈𝒆 𝒌𝒖𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏:
Las principales características de los métodos de Runge-Kutta son:
 Son auto-iniciables.
 Necesitan únicamente la información del punto anterior para calcular
el próximo.
 El orden del método depende de la cantidad de veces que se evalúa la
función. Por lo tanto entre mayor orden el método, más cantidad de
cálculos y menor velocidad.
 No poder estimar el error cometido sin la utilización conjunta con otro
método de distinto orden.
 Entre mayor el orden del método, se tiene mayor exactitud.
El método RK4 se fundamenta de la siguiente ecuación:

3. 3
Donde las constantes K obtienen la siguiente forma:
Se observa en la siguiente figura las pendientes K para una mejor
aproximación:
Coincida con un polinomio de Taylor de cuarto grado. Con lo anterior se
obtienen 11 ecuaciones con 13 incógnitas. El conjunto de valores de las
constates que más se usa produce el siguiente resultado:
donde:
Así, el siguiente valor (yi+1) es determinado por el presente valor (yi) más el
producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La
pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
• k1: es la pendiente al principio del intervalo.

4. 4
• k2: es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para
determinar el valor de y en el punto xi + h/2.
• k3: es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2
para determinar el valor de y.
• k4: esla pendiente al final del intervalo, conel valordey determinado
por k3.
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes
en el punto medio:
Resolviendo nuestra pregunta:
2
20 t
dt
dT

si 298)0( T
Solución:
Se identifican los valores iniciales
𝑡0 = 0
𝑇0 = 298
ℎ = 0.2
𝑓( 𝑡, 𝑇) = 20 − 𝑡2
Se calcula primeros los valores de k1, K2, K3 y k4:
𝐾1 = ℎ. 𝑓( 𝑡0, 𝑇0) = 0.2(20 − 0) = 4
𝐾2 = ℎ. 𝑓 (𝑡0 +
1
2
ℎ, 𝑇0 +
1
2
𝐾1) = 0.2(20− 0.12
) = 3.998
𝐾3 = ℎ. 𝑓 (𝑡0 +
1
2
ℎ, 𝑇0 +
1
2
𝐾2) = 0.2(20 − 0.12
) = 3.998
𝐾4 = ℎ. 𝑓( 𝑡0 + ℎ, 𝑇0 + 𝐾3) = 0.2(20− 0.22
) = 3.992
Luego se calcula y1 reemplazando en la siguiente ecuación:
𝑇1 = 𝑇0 +
1
6
(𝐾1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
𝑇1 = 298 +
1
6
(4 + 2 ∗ 3.998 + 2 ∗ 3.998 + 3.992) = 301.9973
El proceso debe calcularse hasta obtener 𝑇5, en la siguiente tabla se resumen
los resultados obtenidos

5. 5
n 𝑡 𝑛 𝑇𝑛
0 0 298
1 0.2 301.99733
2 0.4 305.97867
3 0.6 309.92800
4 0.8 313.82933
5 1.0 317.66667
Comprobacion usando Matlab
Solución:
Se identifican los valores iniciales
𝑡0 = 0
𝑇0 = 298
ℎ = 0.2
𝑓( 𝑡, 𝑇) = 20 − 𝑡2
Escribiendo el programa en Matlab general en donde introducimos los
siguientes datos:
295
300
305
310
315
320
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Temperatura(T) Vs Tiempo(t)
n tn h k1 k2 k3 k4 Tn
0 0 0 0 0 0 0 298
1 0.2 0.2 4 3.998 3.998 3.992 301.997333
2 0.4 0.2 3.992 3.982 3.982 3.968 305.978667
3 0.6 0.2 3.968 3.95 3.95 3.928 309.928000
4 0.8 0.2 3.928 3.902 3.902 3.872 313.829333
5 1 0.2 3.872 3.838 3.838 3.8 317.666667
Se identifican los valores i
𝑡0 = 0
𝑇0 = 298
ℎ = 0.2
𝑓(𝑡, 𝑇) = 20
Se calcula primeros los val
𝐾1 = ℎ. 𝑓(𝑡0, 𝑇0) =
𝐾2 = ℎ. 𝑓 (𝑡0 +
1
2
ℎ,
𝐾3 = ℎ. 𝑓 (𝑡0 +
1
2
ℎ,
𝐾4 = ℎ. 𝑓(𝑡0 + ℎ, 𝑇0
Luego se calcula y1 reemp
𝑇1 = 𝑇0 +
1
6
(𝐾1 + 2
𝑇1 = 298 +
1
6
(20 +

6. 6
f=20 − 𝑥2
x0 =0
x1=1
y0=298
n=5
function f
fprintf('n tRESOLUCIONDEECUACIONESDIFERENCIALESPOR MEDIO RUNGE-KUTTA DEORDEN4n')
f=input('n Ingreselaecuacion diferencialn','s');
x0=input('n Ingreseel primer punto x0:n');
x1=input('n Ingreseel segundo punto x1:n');
y0=input('n Ingreselacondicion inicial y(x0):n');
n=input('n Ingreseel numero depasos n:n');
h=(x1-x0)/n;
xs=x0:h:x1;
fprintf('n''it x0 y(x1)');
for i=1:n
it=i-1;
x0=xs(i);
x=x0;
y=y0;
k1=h*eval(f);
x=x0+h/2;
y=y0+k1/2;
k2=h*eval(f);
x=x0+h/2;
y=y0+k2/2;
k3=h*eval(f);
x=x0+h;
y=y0+k3;
k4=h*eval(f);
y0=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
fprintf('n%2.0f%10.6f%10.6fn',it,x0,y0);
end
fprintf('n El punto aproximado y(x1) es = %8.6fn',y0);

7. 7
Y obtenemos como resultado:
0 0.000000 301.997333
1 0.200000 305.978667
2 0.400000 309.928000
3 0.600000 313.829333
4 0.800000 317.666667
El punto aproximado T(1) es = 317.666667
CONCLUSION
Comparando lo calculado integrando
Valor obtenido por integración:
𝑇 = 20(1) −
(1)3
3
+ 298 = 317.66666 º𝑐
Valor obtenido por métodos numéricos RK4:
𝑇(1) = 317.66666 º𝑐
Error Absoluto=(317.66666 º𝑐 − 317.66666 º𝑐) = 0.00000
Concluimos que el método Runge Kutta 4 es exacto en nuestro ejemplo.

8. 8
Rúbrica de evaluación
CRITERIOS
ESCALA DE CALIFICACIÓN
Excelente:
10 puntos
Bueno:
8 puntos
Por mejorar:
6 puntos
Deficiente:
3 puntos
Puntos
Ejercicio 1
Determina
correctamente
los datos, realiza
en forma ordena
y secuencial su
algoritmoy,
finalmente,
realiza una
correcta
implementación,
arrojandola
solución
correcta
Determina
correctamente
los datos, realiza
en forma ordena
y secuencial su
algoritmo, pero
realiza una
incorrecta
implementación,
arrojando
resultados
incorrectos.
Determina
correctamente los
datos, realiza en
forma ordena y
secuencial su
algoritmo, pero
no realiza la
implementación
Determina
correctamente los
datos, pero
realiza a medias
su algoritmoyno
realiza la
implementación.
Ejercicio 2
Determina
correctamente
los datos, realiza
en forma ordena
y secuencial su
algoritmoy,
finalmente,
realiza una
correcta
implementación,
arrojandola
solución
correcta
Determina
correctamente
los datos, realiza
en forma ordena
y secuencial su
algoritmo, pero
realiza una
incorrecta
implementación,
arrojando
resultados
incorrectos.
Determina
correctamente los
datos, realiza en
forma ordena y
secuencial su
algoritmo, pero
no realiza la
implementación
Determina
correctamente los
datos, realiza a
medias su
algoritmo, pero
no realiza la
implementación.
CALIFICACIÓN DE LA TAREA