filtro

1. Diseño de filtros pasivos y activos
Alumnos:
Maximiliano Nieto
Lucas Romano
Rodrigo Russo
Axel Vial
Materia:
Teoría de Redes II
1ero
de Julio de 2013

3. 1
Introducción
En el presente informe se buscará lograr sintetizar dos filtros pasabajos a partir de los conocimientos
teóricos adquiridos durante la asignatura y evaluar sus comportamientos tanto ideales como reales. Para
esto debemos partir de una función transferencia H(s) obtenida por medio de las funciones aproximación
conocidas y, luego, utilizando el método pertinente, lograr la realización. En el primer caso, el filtro pasivo,
contamos con las especificaciones, a partir de las cuales debemos formar una función aproximación que se
adapte a ellas; en el segundo caso, el filtro activo, debemos llevar una función transferencia a una realización
circuital.
Una vez lograda la síntesis, debemos corroborar que sea realizable y funcione como es esperado. De lo
contrario, deberíamos proponer otro modelo hasta lograr el indicado. Además debemos contar con los valores
de los componentes obtenidos y que, éstos a su vez, sean de buena calidad para minimizar las diferencias en
el modelo y la realización.
3

4. 2
Filtro Pasivo
En esta parte, se sintetizará y realizará un filtro pasabajos con componentes pasivos. Sus especificaciones
son:
• αmáx = 3dB
• αmín = 20dB
• fc = 15MHz
• fs = 30MHz
• Rs = Rl = 50Ω
2.1 Síntesis
Partiendo de las especificaciones dadas, debemos seleccionar el tipo de función aproximación y determinar
su orden. En nuestro caso, se eligió Butterworth cuyo orden se determina mediante la siguiente expresión:
n =
log
100,1αmín − 1
100,1αmáx − 1
2log
ωs
ωp
Reemplazando valores, obtenemos que n = 3, 318. Debido a que el orden debe ser un número entero,
redondeamos al entero próximo, es decir, n = 4. Ahora, podremos recurrir a una tabla de funciones de
Butterworth y obtenemos la siguiente:
H(s) =
k
s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1
(2.1.1)
Debido que en las especificaciones tenemos una resistencia a la entrada y otra en la salida, procederemos
a sintetizarla por el método de Darlington. En primer lugar, obtenemos la constante de ganancia k (2.1.2)
y, luego, obtenemos la función ρ(s) (2.1.3).
H(0) = k =
Rl
Rs + Rl
=
1
2
(2.1.2)
4

5. 2.1. SÍNTESIS 2. FILTRO PASIVO
ρ(s) · ρ(−s) = 1 − 4H(s) · H(−s) =
= 1 − 4 ·
1
2
2
(s4
+ 2, 61313s3
+ 3, 41421s2
+ 2, 61313s + 1)(s4
− 2, 61313s3
+ 3, 41421s2
− 2, 61313s + 1)
=
=
(s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1)(s4 − 2, 61313s3 + 3, 41421s2 − 2, 61313s + 1) − 4 · 1
4
(s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1)(s4 − 2, 61313s3 + 3, 41421s2 − 2, 61313s + 1)
=
=
s8 − 2, 8397 × 10−5 s6 − 6, 6870 × 10−5 s4 − 2, 8397 × 10−5 s2
(s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1)(s4 − 2, 61313s3 + 3, 41421s2 − 2, 61313s + 1)
=
s2(s + 0, 1768)(s2 + 0, 1704s + 0, 0301)(s − 0, 1768)(s2 − 0, 1704s + 0, 0301)
(s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1)(s4 − 2, 61313s3 + 3, 41421s2 − 2, 61313s + 1)
=
s(s + 0, 1768)(s2 + 0, 1704s + 0, 0301)
s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1
Ceros y polos en el semiplano izquierdo (ρ(s))
·
s(s − 0, 1768)(s2 − 0, 1704s + 0, 0301)
s4 − 2, 61313s3 + 3, 41421s2 − 2, 61313s + 1
Ceros y polos en el semiplano derecho (ρ(−s))
⇒
⇒ ρ(s) =
s(s + 0, 1768)(s2 + 0, 1704s + 0, 0301)
s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1
(2.1.3)
A partir de esto, podremos encontrar Zin utilizando una de las siguientes expresiones:
Zin1 (s) = Rs ·
1 + ρ(s)
1 − ρ(s)
Zin2 (s) = Rs ·
1 − ρ(s)
1 + ρ(s)
Como se puede ver, estas funciones son inversas entre sí, salvo por el factor que las multiplican; por lo
tanto, una será la correcta para nuestro caso. Para asegurarnos cuál usar, se puede especializar Zin(0) y
que, por ser un filtro pasabajos, resulte igual al valor de la resistencia de carga. Especializando:
Zin1 (0) = Rs ·
1 + 0
1 − 0
= Rs = RlZin2 (0) = Rs ·
1 − 0
1 + 0
= Rs = Rl
Se puede ver que en este caso es indistinto usar una u otra, por lo tanto usaremos la primera y la
llamaremos a partir de ahora Zin. Sustituyendo ρ(s) por su correspondiente función y distribuyendo el
denominador:
Zin(s) = 50 ·
s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1 + s4 + 0, 3472s3 + 0, 0603s2 + 0, 0053s
s4 + 2, 61313s3 + 3, 41421s2 + 2, 61313s + 1 − (s4 + 0, 3472s3 + 0, 0603s2 + 0, 0053s)
=
= 50 ·
2s4 + 2, 96033s3 + 3, 47451s2 + 2, 61843s + 1
2, 26593s3 + 3, 35391s2 + 2, 60783s + 1
Finalmente, podremos sintetizar la función sin el factor que la multiplica para simplificar el trabajo por
la 1er forma de Cauer y, posteriormente, desnormalizar en frecuencia y afectarla por dicho factor.
5

6. 2.2. INDUCTORES 2. FILTRO PASIVO
2, 26593s3 + 3, 35391s2 + 2, 60783s + 1 ) 2s4 + 2, 96033s3 + 3, 47451s2 + 2, 61843s + 1 ( 0, 882639s
1, 173325s2 + 1, 73579s + 1
1, 173325s2 + 1, 73579s + 1 ) 2, 26593s3 + 3, 35391s2 + 2, 60783s + 1 ( 1, 931204s
0, 676625s + 1
0, 676625s + 1 ) 1, 173325s2 + 1, 73579s + 1 ( 1, 734084s
1
1 ) 0, 676625s + 1 ( 0, 676625s
1
El “1” al final representa la resistencia de carga. Como la función no ha sido afectada aún por 50, el
resultado es coherente. Por lo tanto, el circuito final es:
Con L1 = 0, 882639Hy, L2 = 1, 734084Hy, C1 = 1, 931204F, C2 = 0, 676625F y Rl = 1Ω
Momentáneamente, el circuito sintetizado tiene ωc = 1, por lo que es necesario desnormalizarla. Las
especificaciones indican fc = 15MHz. Sin embargo, no corresponde a las unidades s que está expresada en
rad
s . Para adecuarla, simplemente se multiplica por 2π. Luego, ωc = 15 000 000 · 2πrad
s . A continuación,
se desnormalizarán los componentes y se aplicará el factor de 50 mencionado anteriormente. Esto último
provocará que los inductores sean multiplicados por dicho factor, mientras que los capacitores sean divididos
por éste. Las resistencias, de carga y fuente, no se ven afectadas por la desnormalización aunque sí por el
factor de 50, el cual surge por el valor de las resistencias de la especificación; por lo tanto, pasarán a
cumplirla.
L1 = 0, 882639Hy
desnormalizado en frecuencia
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 9, 36nHy
factor de 50
−−−−−−−→ 0, 4625µHy
L2 = 1, 734084Hy
desnormalizado en frecuencia
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 18, 39nHy
factor de 50
−−−−−−−→ 0, 9199µHy
C1 = 1, 931204F
desnormalizado en frecuencia
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 20, 49nF
factor de 50
−−−−−−−→ 0, 4098nF
C2 = 0, 676625F
desnormalizado en frecuencia
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 7, 17nF
factor de 50
−−−−−−−→ 0, 1435nF
Los valores obtenidos están en el rango de los comerciales. La realización es posible.
2.2 Inductores
Respecto a las bobinas, por sus valores tan particulares, recurrimos a fabricarlas. Partiendo de la
ecuación para el cálculo de la inductancia (2.2.1), se obtuvo que era necesario para un diámetro de 1,2cm y
un largo de 1,5cm, cinco vueltas para L1 y siete vueltas para L2.
L =
n2 + r2
23r + 25l
(2.2.1)
Sin embargo, al momento de medirlas, los valores se desviaron de lo calculado. Por lo tanto, con un Q-
metro, buscamos ajustar las bobinas para que tengan un buen Q y el valor deseado. Para esto, se quitaron
un par de vueltas a cada uno hasta que quedaron con inductancias 0, 41185µHy y 1, 008µHy cada una,
respectivamente.
6

7. 2.3. SIMULACIÓN 2. FILTRO PASIVO
2.3 Simulación
A partir de los valores obtenidos y la función aproximación, se buscó determinar los gráficos en frecuencia
de la ganancia para ver cuán aproximado logra ser el filtro a armar. A continuación las gráficas, en la cual
la verde es la ideal que surge de la función transferencia y la roja es la del circuito obtenido. Nótese que en
las frecuencias de paso ambas funciones coinciden.
7

8. 2.4. MEDICIÓN 2. FILTRO PASIVO
2.4 Medición
Utilizando un analizador de espectro, pudimos visualizar la transferencia a determinadas frecuencias.
Con esto, observamos la similitud con la simulación. Como puntos a destacar, la frecuencia de corte se
halló en los 12, 52MHz, lo cual puede ser debido a que los valores de los componentes utilizados no fueron
exactamente los obtenidos; y la ganancia en dicha frecuencia fue de −13, 34dBm, la cual resultó estar 3dBm
por debajo de la banda de paso.
Se obtuvieron los valores mostrados en la siguiente tabla y mostrados en el siguiente gráfico:
f (MHz) dBm
1 -10,34
3,5 -10,46
6 -10,80
10 -12
12,52 -13,34
15 -14,7
20 -17,35
30 -23,6
50 -36,33
8

9. 3
Filtro Activo
A continuación, se detallará el proceso de la síntesis de un filtro activo compuesto por tres amplificadores
operacionales cuya función transferencia responde al modelo del pasabajos de Butterworth de 5to orden,
ganancia diez y frencuencia de corte a 10kHz.
3.1 Síntesis
Partiendo de la función transferencia de Butterworth de 5to orden y diez veces de ganancia (3.1.1a)
puedo separarla como un producto de tres funciones. El objetivo es lograr con cada una de ellas un circuito
con un amplificador operacional cada uno y unirlos en cascada.
H(s) = −
10
(s2 + 0, 62s + 1)(s2 + 1, 62s + 1)(s + 1)
(3.1.1a)
H1(s) = −
10
s + 1
(3.1.1b)
H2(s) =
1
s2 + 0, 62s + 1
(3.1.1c)
H3(s) =
1
s2 + 1, 62s + 1
(3.1.1d)
Comenzando por (3.1.1b), se puede interpretar como un amplificador conectado como inversor. Teniendo
en cuenta que la transfencia para dicho modo es V2
V1
= −Z2
Z1
, podemos definir a Z1 y Z2 arbitrariamente de
la siguiente manera.
Z1 = 1
Z2 =
10
s + 1
Podemos ver que Z1 corresponde a una resistencia de 1Ω, mientras que Z2 corresponde a un tanque en
serie de una resistencia y un capacitor. Teniendo en cuenta que Z1 se conecta a la entrada inversora y Z2
desde la misma hacia la salida del amplificador operacional, llegamos al esquema que sigue con los valores
de cada elemento especificado:
9

10. 3.1. SÍNTESIS 3. FILTRO ACTIVO
Siguiendo con (3.1.1c), como representa un polinomio de segundo grado en el denominador, podemos
aplicar la topología de Sallen-Key para filtros pasabajos:
H2(s) =
1
s2 + 0, 62s + 1
=
k
R1R2C1C2
s2 + s
1
R1C1
+
1
R2C1
+
1 − k
R2C2
+
1
R1R2C1C2
; con k = 1 +
r2
r1
Con la ecuación anterior, podremos llegar a un sistema de tres ecuaciones donde se resolverá para cada
elemento. Sin embargo, como la cantidad de incógnitas excede el número de ecuaciones para resolver, el
sistema no será compatible por lo que se debe asignar valores arbitrarios a algunas de ellas.



k
R1R2C1C2
= 1
1
R1C1
+
1
R2C1
+
1 − k
R2C2
= 0, 62
1
R1R2C1C2
= 1
(3.1.2a)
(3.1.2b)
(3.1.2c)
En primer lugar, de (3.1.2a) y (3.1.2c), se deduce que k = 1, lo que significa que r2 no exista, es decir,
haya un cable. Luego, quedan cuatro incógnitas a resolver; por lo tanto, se asignan los valores arbitrarios
C2 = 1
2 y R1 = 1. De esta manera, el sistema pasa a ser compatible y resulta de la siguiente forma:



1
R2C1
=
1
2
1
2
1 +
1
R2
=
0, 62
2
C1
Sencillamente, se obtienen los valores de las incógnitas, resultando R2 = 0, 239 y C1 = 8, 34. Sustituyendo
en la topología genérica, se obtiene el circuito correspondiente a H2:
10

11. 3.2. DESNORMALIZACIÓN Y ADECUACIÓN DE LOS VALORES 3. FILTRO ACTIVO
Finalmente, sintetizaremos (3.1.1d). Como se puede ver, es el mismo caso que el circuito anterior; por
lo tanto, se procederá de la misma manera. En este caso, se asignará arbitrariamente C2 = 1 y R1 = 1.
Nuevamente, el sistema a resolver es ahora compatible:



k
R1R2C1C2
= 1
1
R1C1
+
1
R2C1
+
1 − k
R2C2
= 1, 62
1
R1R2C1C2
= 1
=⇒



1
R2
= C3
1 +
1
R2
= 1, 62C3
De allí se obtienen los valores R2 = 0, 621 y C1 = 1, 61. Por consiguiente, el circuito para H3 corresponde
a la figura siguiente:
Como se dijo al principio de esta sección, el objetivo es formar la H(s) dada en un comienzo y, para eso,
hay que conectar los tres circuitos obtenidos en cascada:
3.2 Desnormalización y adecuación de los valores
Las especificaciones indican que el filtro debe presentar una frecuencia de corte a los 10kHz. Como
la variable s se mide en rad
s , se debe pasar a dicha unidad multiplicándolo por 2π. De esta manera,
nuestra frecuencia de corte será ωc = 20 000πrad
s ≈ 62 831, 85rad
s . La transferencia de Butterworth está
dada para ωc = 1rad
s ; por lo tanto, se debería sustituir por s = s
ωc
. La influencia que tiene esta sustitución
en la transferencia afecta a los valores de los elementos. En el caso de la transferencia H1 (3.1.1b), altera
únicamente al capacitor siendo éste, ahora, de valor C = 1
10ωc
. Para el resto resto de las transferencias, por
conveniencia, podemos afectar a los capacitores sin cambiar las resistencias, manteniendo la igualdad. Así
cada capacitor valdrá Ci = Ci
ωc
. Se puede demostrar sencillamente de la siguiente manera:
11

12. 3.3. SIMULACIÓN 3. FILTRO ACTIVO
Sea un coeficiente de la transferencia 1
RC , se divide por una constante ωc.
Luego por propiedad conmutativa y asociativa:
1
ωc · RC
=
1
(ωcC) · R
= ; definiendo ωcC = C
=
1
C R
=
1
RC
Sin embargo, a pesar de que el filtro es teóricamente funcional, los componentes no tienen valores
convenientes para su realizabilidad debido a que las resistencias son muy chicas y los capacitores aún son
muy grandes, a pesar de haberlos afectado por la frecuencia de corte. Debido a las ecuaciones de diseño
del filtro, fácilmente se pueden adecuar los valores; las resistencias y los capacitores están vinculadas como
productos de a pares, por lo tanto incrementando un tipo de ellas n veces más, la otra se verá reducida en n
veces menos. Un valor conveniente podría ser mil, así tendremos grandes resistencias y pequeños capacitores.
Particularizando cada uno de los tres filtros obtenidos:
H1(3.1.1b) : R1 = 1 · 1 000 = 1kΩ
R2 = 10 · 1 000 = 10kΩ
C2 =
1
10ωc · 1 000
= 1, 6nF
H2(3.1.1c) : R1 = 1 · 1 000 = 1kΩ
R2 = 0, 239 · 1 000 = 239Ω
C1 =
8, 34
1 000ωc
= 133nF
C2 =
1
2 · 1 000ωc
= 7, 96nF
H3(3.1.1d) : R1 = 1 · 1 000 = 1kΩ
R2 = 0, 621 · 1 000 = 621Ω
C1 =
1, 61
1 000ωc
= 25, 6nF
C2 =
1
1 000ωc
= 16nF
Este filtro ya es realizable debido a que los componentes son cercanos a los valores comerciales. Por lo
tanto, es esquema final resulta:
3.3 Simulación
A partir de los valores obtenidos y la función aproximación, se buscó determinar los gráficos en frecuencia
de la ganancia para ver cuán aproximado logra ser el filtro a armar. A continuación, las gráficas. Nótese que
el caso real difiere más allá de la frecuencia de corte. Sin embargo no es un problema, ya que se mantiene
12

13. 3.4. MEDICIÓN 3. FILTRO ACTIVO
en los -100dB aproximadamente. Sabemos que la relación entre la ganancia y los dB es α = 20log(|H(s)|2).
Si despejamos H(s), llegamos a |H(s)| = 10
α
20 . Si reemplazamos en α = −100dB, H(s) es del orden de
10−3, por lo que difieren por cuatro órdenes de magnitud frente a nuestra ganancia inicial, diez.
3.4 Medición
Para medir el filtro activo, montado sobre una protoboard y alimentado con una fuente de tensión,
utilizamos un osciloscopio y un generador de funciones. Ingresando con una onda senoidal de baja frecuencia
de 2 volts pico a pico, vemos a la salida la misma pero de 20 volts pico a pico. Esto se debe por la ganancia
de valor diez del amplificador. La frecuencia en la que caen 3dB se da a los 10,64KHz, bastante aproximada
a la teórica que era 10KHz. Aumentando la frecuencia, se puede ver que la amplitud se va achicando a
partir de entonces
13

14. 4
Conclusiones
Gracias a este informe, pudimos reconocer y utilizar los conceptos estudiados a lo largo de la cátedra.
Aplicamos los métodos de síntesis de filtros estudiados, utilizando el método de doble terminación de Dar-
lington para el filtro pasivo, y los conocimientos acerca de síntesis en cascada, realización de polos y ceros
reales, y pasabajos Sallen-Key para el filtro activo. Luego de haber obtenido teóricamente los circuitos,
aprendimos a tener en cuenta los valores comerciales de los elementos necesarios, la calidad, y las diferencias
existentes entre el comportamiento real y el ideal de los mismos, a la hora de realizarlos en forma prác-
tica. En el caso del filtro pasivo, ante la necesidad de emplear bobinas, las realizamos por nuestros propios
medios y también experimentamos la utilización del Q-metro para lograr la mayor precisión en el valor de
las bobinas requeridas. Además, apreciamos la importancia de simular los circuitos obtenidos (mediante el
programa de computadora PSpice) para comparar los gráficos de las funciones transferencia ideal y real.
Por lo tanto, se vieron cumplidos los objetivos de este informe pudiendo haber aplicado los conceptos
teóricos vistos satisfactoriamente. Como puntos a destacar, durante la realización de uno de los filtros,
la función transferencia medida con el analizador de espectro no era la correcta; eso llevó a que hayamos
tenido que volver sobre nuestros pasos para detectar y corregir la falla. Además, fue de vital importancia el
aprendizaje de los instrumentos de medición antes y durante el proceso.
14