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Estudio de Robot KUKA KR 6

Este documento describe las características y la cinemática del robot KUKA KR 6-2. Presenta las especificaciones técnicas del robot, incluyendo su espacio de trabajo y parámetros de articulación. Explica el modelo cinemático directo utilizando la tabla de parámetros de Denavit-Hartenberg y matrices de transformación homogénea para calcular la posición del efector final basada en los valores de las articulaciones.

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Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Proyecto 1: Estudio del Robot KUKA KR 6-2. Universidad NACIONAL de Colombia. Nelson Ariel Sierra. - nasierras@unal.edu.co 7 de junio de 2013 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Descripci´on del Robot ´Item Descripci´on Carga ´util nominal 6[kg] Carga en el brazo 10[kg] Carga en el eslab´on del brazo variable Carga en la columna de ro- taci´on 20[kg] Carga distribuida total 36[kg] Carga distribuida total 36[kg] El robot KR 6, es un robot de 6 grados de libertad de juntas de revoluci´on optimizado para las siguientes tareas: Manipulaci´on. Ensamblaje. Aplicaci´on de adhesivos y sellantes . Maquinado. Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Caracter´ısticas del Robot Eje Posici´on Velocidad 1 ±185[◦] 156[◦/s] 2 -125 a 65 [◦] 156[◦/s] 3 15 a -130 [◦] 156[◦/s] 4 ±350[◦] 343[◦/s] 5 ±130[◦] 362[◦/s] 6 ±350[◦] 659[◦/s] ´Angulos tomados desde la posici´on “Home”del Robot. Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Espacio de trabajo 680 100 670 2412 675 35 1320 260 115 1081530 1027 1611 120 2026 R118 +35˚ +154˚---130˚ ---155˚ 1611R ---185˚ +185˚ Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Par´ametros de articulaci´on (Denavit-Hartenberg) Definici´on Se trata de un procedimiento sistem´atico para describir la estructura cinem´atica de una cadena articulada constituida por articulaciones con un solo grado de libertad. Para ello, a cada articulaci´on se le asigna un sistema de referencia local con origen en un punto. Donde: ai → distancia entre zi a zi+1 medido por xi. αi → ´angulo entre zi a zi+1 medido por xi. di → distancia entre xi−1 a xi medido por zi. θi → ´angulo entre xi−1 a xi medido por zi. Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Par´ametros de articulaci´on q2 q1 q3 q4q5 q6 zR z0,z1 z4 z6 x2 x0,x1 xR x3 x4,x5 x6 y2 y3 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Par´ametros de articulaci´on Cuadro : Tabla de par´ametros DH modificada i αi−1 ai−1 di θi 1 0 0 0 θ1 2 −π/2 ∆x(2−1) 0 θ2 3 0 ∆z(3−2) 0 θ3 4 −π/2 −∆z(4−3) ∆x(5−4) θ4 5 −π/2 0 0 θ5 6 π/2 0 ∆x(6−5) θ6 {SR} =(0, 0, 0) {S0} = {S1} =(0, 0, 675) {S2} =(260, 0, 675) {S3} =(260, 0, 1355) {S4} = {S5} =(930, 0, 1320) {S6} =(1045, 0, 1320) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Par´ametros de articulaci´on Cuadro : Tabla de par´ametros DH modificada i αi−1 ai−1 di θi 1 0 0 0 θ1 2 −π/2 260 0 θ2 3 0 680 0 θ3 4 −π/2 -35 670 θ4 5 −π/2 0 0 θ5 6 π/2 0 115 θ6 Todas las medidas en mil´ımetros. Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa Definici´on La cinem´atica directa es una t´ecnica usada para calcular la posici´on de partes de una estructura articulada a partir de sus componentes fijas y las transformaciones inducidas por las articulaciones de la misma. La cinem´atica directa se refiere al uso de ecuaciones cinem´aticas para calcular la posici´on de su actuador final a partir de valores espec´ıficos llamados conjunto de par´ametros. (θ1, θ2, ..., θm) → (x1, x2, ..., xn) . Cinematica Directa.m Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa Definici´on Para hallar la cinem´atica directa se utiliza la matriz de transformaci´on homog´enea basada en la tabla de par´ametros Denavit-Hartenberg anteriormente definida. i−1 i T =     cθi −sθi 0 ai−1 sθicαi−1 cθicαi−1 −sαi−1 −sαi−1di sθisαi−1 cθisαi−1 cαi−1 cαi−1di 0 0 0 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 0 1T =     c1 −s1 0 0 s1 c1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     ; 1 2T =     c2 −s2 0 260 0 0 1 0 −s2 −c2 0 0 0 0 0 1     ; 2 3T =     c3 −s3 0 680 s3 c3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     3 4T =     c4 −s4 0 −35 0 0 1 670 −s4 −c4 0 0 0 0 0 1     ; 4 5T =     c5 −s5 0 0 0 0 1 0 −s5 −c5 0 0 0 0 0 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 5 6T =     c6 −s6 0 0 0 0 −1 −115 s6 c6 0 0 0 0 0 1     ; 0 3T =     c23c1 −s23c1 −s1 20c1(34c2 + 13) c23s1 −s23s1 c1 20s1(34c2 + 13) −s23 −c23 0 −680s2 0 0 0 1     3 6T =     c4c5c6 − s4s6 −c6s4 − c4c5s6 c4s5 115c4s5 − 35 −c6s5 s5s6 c5 115c5 + 670 −c4s6 − c5c6s4 c5s4s6 − c4c6 −s4s5 −115s4s5 0 0 0 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 0 6T =     r11 r12 r13 0Px r21 r22 r23 0Py r31 r32 r33 0Pz 0 0 0 1     r11 = s1(c4s6 + c5c6s4) − c23c1(s4s6 − c4c5c6) + s23c1c6s5 r12 = s1(c4c6 − c5s4s6) − c23c1(c6s4 + c4c5s6) − s23c1s5s6 r13 = s1s4s5 − s23c1c5 + c23c1c4s5 r21 = s23c6s1s5 − c23s1(s4s6 − c4c5c6) − c1(c4s6 + c5c6s4) r22 = −c1(c4c6 − c5s4s6) − c23s1(c6s4 + c4c5s6) − s23s1s5s6 r23 = c23c4s1s5 − s23c5s1 − c1s4s5 r31 = s23(s4s6 − c4c5c6) + c23c6s5 r32 = s23(c6s4 + c4c5s6) − c23s5s6 r33 = −c23c5 − s23c4s5 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 0 6T =     r11 r12 r13 0Px r21 r22 r23 0Py r31 r32 r33 0Pz 0 0 0 1     0 p6ORGx = 20c1(34c2 + 13) + 115s1s4s5 + c23c1(115c4s5 − 35) − s23c1(115c5 + 670) 0 p6ORGy = 20s1(34c2 + 13) − 115c1s4s5 + c23s1(115c4s5 − 35) − s23s1(115c5 + 670) 0 p6ORGz = −680s2 − s23(115c4s5 − 35) − c23(115c5 + 670) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Definici´on La cinem´atica inversa es la t´ecnica que permite determinar el movimiento de una cadena de articulaciones para lograr que un actuador final se ubique en una posici´on concreta. El c´alculo de la cinem´atica inversa es un problema complejo que consiste en la resoluci´on de una serie de ecuaciones cuya soluci´on normalmente no es ´unica. La cinem´atica inversa se refiere al uso de la posici´on y orientaci´on del efector final (o sistema) para calcular los par´ametros de articulaci´on. (x1, x2, ..., xn) → (θ1, θ2, ..., θm) . Cinematica Inversa.m y KUKA KR 6 2.m Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Se parte del hecho que se conoce la orientaci´on y la posici´on del punto que se desea alcanzar, (es decir 0 6T) es conocida: 0 P4ORG =0 6 T ·6 P4ORG 0 P4ORG =     r11 r12 r13 0 Px r21 r22 r23 0 Py r31 r32 r33 0 Pz 0 0 0 1     ·     0 0 −115 1     0 P4ORG =     −115r13 +0 px −115r23 +0 py −115r13 +0 pz 1     =     0 p4ORGx 0 p4ORGy 0 p4ORGz 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa A su vez se define como igualdad 0 P4ORG =0 3 T ·3 P4ORG Al realizar dicha multiplicaci´on: 0 P4ORG =     −35c23c1 − 670s23c1 + 20c1(34c2 + 13) −35c23s1 − 670s23s1 + 20s1(34c2 + 13) 35s23 − 670c23 − 680s2 1     =     A B C 1     =     0 p4ORGx 0 p4ORGy 0 p4ORGz 1     Al realizar la comparaci´on entre A/c1 y B/s1, se obtiene: [A/c1] ⇒ −35c23 − 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGx/c1 [B/s1] ⇒ −35c23 − 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGy/s1 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa 0 p4ORGx c1 = 0 p4ORGy s1 tan(θ1) = 0 p4ORGy 0p4ORGx θ1 = atan2(0 p4ORGy,0 p4ORGx) ´o θ1 = atan2(−0 p4ORGy, −0 p4ORGx) Para obtener un ´angulo diferente se toma la relaci´on (A/c1)2 y (C)2 . La cual utilizando reduc- ciones algebraicas puede ser expresada de la forma: −35c3 − 670s3 = 1 1360 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 −35c3 ± 670 1 − (c3)2 = 1 1360 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Finalmente, para el seno y coseno de este ´angulo se obtiene una soluci´on de la forma: c2 3 6702 + 352 K2 − 2c3 35 K + 1 − 670 K 2 Donde: K = 1 1360 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 Adem´as: s3 = −1 1360 · 670 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 − 35 670 c3 Entonces: θ3 = atan2(s3, c3) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Para el siguiente ´angulo se relaciona (A/c1) y (C), y se expresa un sistema de ecuaciones 2×2 en funci´on de las incognitas s2 y c2:   s2 c2 b 35s3 − 670c3 −35c3 − 670s3 + 680 (0p4ORGx/c1) − 260 35c3 + 670s3 − 680 35s3 − 670c3 0p4ORGz   Las soluciones de este sistema son: s2 = 34840 c1 c3 − 136 c1 0 p4ORGz − 134 c3 0 p4ORGx − 1820 c1 s3 + 7 0 p4ORGx s3 + 7 c1 c3 0 p4ORGz + 134 c1 0 p4ORGz s3 5 c1 18005 c3 2 − 1904 c3 + 18005 s3 2 − 36448 s3 + 18496 c2 = − 35360 c1 − 136 − 1820 c1 c3 + 7 c3 0 p4ORGx − 34840 c1 s3 + 134 0 p4ORGx s3 + 134 c1 c3 0 p4ORGz − 7 c1 0 p4ORGz s3 5 c1 18005 c3 2 − 1904 c3 + 18005 s3 2 − 36448 s3 + 18496 Entonces: θ2 = atan2(s2, c2) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Para los ´ultimos 3 ´angulos se hace uso de la relaci´on (Dado que se conocen los 3 primeros ´angulos, entonces 0 3T es conocida): 3 P6ORG =3 0 T ·0 P6ORG 3 P6ORG = 0 3T −1 ·0 P6ORG     115c4s5 − 35 115c5 + 670 −115s4s5 1     =     3p6ORGx 3p6ORGy 3p6ORGz 1     De la comparaci´on t´ermino a termino se obtiene: c5 = 3p6ORGy − 670 115 donde |s5| = 1 − (c5)2 Entonces: θ5 = atan2(s5, c5) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa 115c4s5 − 35 =3 p6ORGx y 115s4s5 =3 p6ORGz c4 = 3p6ORGx + 35 115s5 y s4 = 3p6ORGz 115s5 Entonces: θ4 = atan2(s4, c4) Para el ´ultimo de los ´angulos (θ6) se toma la relaci´on de transformaci´on: 3 6T =3 0 T ·0 6 T 3 6T = 0 3T −1 ·0 6 T Con la comparaci´on t´ermino a t´ermino se tiene: 3 6T(2, 1) = −c6s5 = 0 3T −1 ·0 6 T (2, 1) 3 6T(2, 2) = s5s6 = 0 3T −1 ·0 6 T (2, 2) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa c6 = − 0 3T −1 ·0 6 T (2, 1) s5 s6 = 0 3T −1 ·0 6 T (2, 2) s5 Finalmente: θ6 = atan2(s6, c6) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica diferencial Definici´on El jacobiano del manipulador relaciona las velocidades articulares con las velocidades cartesianas del extremo. V = J(θ) · ˙Θ ˙Θ = J−1 (θ) · V V = vx vy vz θx θy θz T Es de notar, que existan valores de θ para los que el jacobiano es singular. Estas singularidades se presentan en los l´ımites del espacio de trabajo, o en su interior cuando dos o m´as ejes de articulaci´on est´an alineados. Jacobiano.m Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Velocidades angulares y lineales Se calculan las velocidades (lineales y angulares) de las articulaciones de atr´as hac´ıa delante (Es decir del marco {0} al de la Herramienta). Adem´as se define una nueva matriz para la herramienta con la misma orientaci´on del ´ultimo marco, pero desplazada seg´un sea la distancia de la herramienta. 6 HT =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 35 0 0 0 1     i+1 ωi+1 =i+1 i R ·i ωi + ˙θi+1 ·i+1 ˆZi+1 Velocidad Angular i+1 vi+1 =i+1 i R · (i vi + (i ωi ×i Pi+1)) Velocidad Lineal Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial C´alculo del Jacobiano Se realizan las derivadas pertinentes (∂(iVj)/∂ ˙θk), calculando el cambio entre la posici´on j del vector de velocidad, descrita en el marco i y la variable ˙θk. i Ji(θ) =                   ∂i vx ∂ ˙θ1 ∂i vx ∂ ˙θ2 ∂i vx ∂ ˙θ3 ∂i vx ∂ ˙θ4 ∂i vx ∂ ˙θ5 ∂i vx ∂ ˙θ6 ∂i vy ∂ ˙θ1 ∂i vy ∂ ˙θ2 ∂i vy ∂ ˙θ3 ∂i vy ∂ ˙θ4 ∂i vy ∂ ˙θ5 ∂i vy ∂ ˙θ6 ∂i vz ∂ ˙θ1 ∂i vz ∂ ˙θ2 ∂i vz ∂ ˙θ3 ∂i vz ∂ ˙θ4 ∂i vz ∂ ˙θ5 ∂i vz ∂ ˙θ6 ∂i ωx ∂ ˙θ1 ∂i ωx ∂ ˙θ2 ∂i ωx ∂ ˙θ3 ∂i ωx ∂ ˙θ4 ∂i ωx ∂ ˙θ5 ∂i ωx ∂ ˙θ6 ∂i ωy ∂ ˙θ1 ∂i ωy ∂ ˙θ2 ∂i ωy ∂ ˙θ3 ∂i ωy ∂ ˙θ4 ∂i ωy ∂ ˙θ5 ∂i ωy ∂ ˙θ6 ∂i ωz ∂ ˙θ1 ∂i ωz ∂ ˙θ2 ∂i ωz ∂ ˙θ3 ∂i ωz ∂ ˙θ4 ∂i ωz ∂ ˙θ5 ∂i ωz ∂ ˙θ6                   donde i Vi = i vi i ωi =         i vx i vy i vz i ωx i ωy i ωz         Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial C´alculo del Jacobiano J11 = s6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260) − 115c23s5 + 115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260)) J12 = s6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2) − 115c23s5 + 115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2)) J13 = s6(670s4 + 115c5s4) − c6(115c4 − 35s5 + 670c4c5) J14 = 115c5s4s6 − 115c4c6 J15 = 115s5s6 J16 = J26 = J34 = J35 = J36 = J66 = 0 J21 = c6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260) − 115c23s5 + 115s23c4c5) − s6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260)) J22 = c6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2) − 115c23s5 + 115s23c4c5) − s6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2)) J23 = s6(115c4 − 35s5 + 670c4c5) + c6(670s4 + 115c5s4) J24 = 115c4s6 + 115c5c6s4 J25 = 115c6s5 J31 = s4s5(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260) J32 = s4s5(35c23 + 670s23 − 680c2) J33 = −35c5 − 670c4s5 J41 = c6(c23s5 − s23c4c5) + s23s4s6 J42 = c6(c23s5 − s23c4c5) + s23s4s6 J43 = −c4s6 − c5c6s4 J44 = −c4s6 − c5c6s4 J45 = −c6s5 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial C´alculo del Jacobiano J46 = s6 J51 = s23c6s4 − s6(c23s5 − s23c4c5) J52 = s23c6s4 − s6(c23s5 − s23c4c5) J53 = c5s4s6 − c4c6 J54 = c5s4s6 − c4c6 J55 = s5s6 J56 = c6 J61 = −c23c5 − s23c4s5 J62 = −c23c5 − s23c4s5 J63 = −s4s5 J64 = −s4s5 J65 = c5 150[mm] Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Descripci´on de la trayectoria c1 c2c3 c4 [xp, 350, 400] [xp, 50, 400] A B C D EF G H [xp, 0, 450] [xp, 0, 550] [xp, 50, 600][xp, 350, 600] [xp, 400, 550] [xp, 400, 450] [xp, 200, 500] [xp, 350, 450] [xp, 350, 550] [xp, 50, 550] [xp, 50, 450] zP xP 12 1113 14 15 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dimensiones (400 × 200 × 30)[mm] y Ubicaci´on del centro de la placa = [xP , 200, 500][mm] Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Desplazamiento) [A-B] (y decrece) z = 450 (B-C] (y decrece) z = − 502 − (y − c1(y))2 + c1(z) (C-D] (z crece) y = 0 (D-E] (y crece) z = 502 − (y − c2(y))2 + c2(z) (E-F] (y crece) z = 600 (F-G] (y crece) z = 502 − (y − c3(y))2 + c3(z) (G-H] (z decrece) y = 400 (H-A] (y decrece) z = − 502 − (y − c4(y))2 + c4(z) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Se asume en cada tramo que la pareja (y, z) cambia seg´un se desplace y el punto en x se mantiene constante. La orientaci´on de los intervalos parametrizados, en el segmento recto, es constante debido a que la orientaci´on se mantiene constante; pero en los curvos dicha orientaci´on se calcula con base en un ´angulo definido por el vector que apunta al centro de la trayectoria. xH zH yH xH zH yH El ´angulo (ψj) de rotaci´on en el i-´esimo segmento curvo con (ci) centro de rotaci´on, est´a dado por el coseno inverso entre el producto punto del vector unitario dirigido desde el k-´esimo punto (xP , yk, zk) de la trayectoria y el i-´esimo centro de rotaci´on, y el vector unitario del eje z: ˆai = (xP , y, z) − ci ||(xP , y, z) − ci|| ψj = arc cos(ˆai · ˆZ) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Trayectoria [A-B]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) Trayectoria (B-C]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ1 = 0) a (ψ1 = −π/2) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ1) Trayectoria (C-D]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(−π/2) Trayectoria (D-E]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ2 = −π/2) a (ψ2 = −π) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ2) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Trayectoria (E-F]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(−π) Trayectoria (F-G]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ3 = −π) a (ψ3 = −3π/2) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ3) Trayectoria (G-H]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(−3π/2) Trayectoria (H-A]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ4 = −3π/2) a (ψ4 = −2π) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ4) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Descripci´on de la trayectoria 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −400 −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 Muestras θ[º] 1199 1199.5 1200 1200.5 1201 0 100 200 300 400 400 450 500 550 600 xy z Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Gr´aficas de articulaci´on - Velocidad Las posiciones de articulaci´on se hallan evaluando la parametrizaci´on de posici´on y rotaci´on en la funci´on de cinem´atica inversa y optimizando tales resultados. Las velocidades se articulaci´on se hallan ayudados por la definici´on del Jacobiano inverso, tomando en cuenta que ´unicamente en los segmentos curvos existe velocidad angular y que la velocidad lineal (tangencial) es constante durante toda la trayectoria. H vH = [0, −100, 0]T [mm/s] p = 2πr 4 = 2π(50) 4 = 25π[mm] ttrayectoria = p v = 25π 100 = π 4 [s] |ωx| = ∆θ ttrayectoria = π/2 π/4 H ωH = [−2, 0, 0]T [rad/s] Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Gr´aficas de articulaci´on - Posici´on 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Gráficas de Posición para θ1 θ[rad] 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −1.3 −1.25 −1.2 −1.15 −1.1 −1.05 −1 −0.95 −0.9 −0.85 Gráficas de Posición para θ2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 Gráficas de Posición para θ3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Muestras θ[rad] Gráficas de Posición para θ4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 Gráficas de Posición para θ5 Muestras 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Muestras Gráficas de Posición para θ6 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Gr´aficas de articulaci´on - Velocidad 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −4 −2 0 2 4 6 8 10 θ[rad/s] Gráfica de velocidad angular para q1 . θ[rad/s] . Muestra Muestra Muestra 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 Gráfica de velocidad angular para q2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Gráfica de velocidad angular para q3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Gráfica de velocidad angular para q4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Gráfica de velocidad angular para q5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −3 −2 −1 0 1 2 3 Gráfica de velocidad angular para q6 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Modelaci´on en Matlab c Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Modelo de Matlab c - SimMechanics Tierra Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q6 theta6T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q5 theta5T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q4 theta4T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q3 theta3T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q2 theta2T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q1 theta1T Soldadura B F Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q6 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q5 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q4 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q3 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q2 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q1 0 Junta de Revolución 6 B F Junta de Revolución 5 B F Junta de Revolución 4 B F Junta de Revolución 3 B F Junta de Revolución 2 B F Junta de Revolución 1 B F Eslabon {SH} CS1 Eslabon {S6} CS1CS2 Eslabon {S5} CS1CS2 Eslabon {S4} CS1 CS2 Eslabon {S3} CS1 CS2 Eslabon {S2} CS1 CS2 Eslabon {S0} {S1} CS1 CS2 Eslabon Referencial {SR} CS1 CS2 Ajuste Herramienta B F Actuador Junta R6 Actuador Junta R5 Actuador Junta R4 Actuador Junta R3 Actuador Junta R2 Actuador Junta R1 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Resultado de Matlab c - SimMechanics Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
Din´amica de Robots Caracter´ısticas del Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Craig. John J. 3rd. Edition, Pearson Editorial. KUKA c KR6 robot specification. KUKA Robotics Disponible en: http://www.kuka-robotics.com/es/products/industrial_robots/low/kr6_2/ Simulaciones realizadas en Matlab 2011a. MathWorks c Versi´on: 7.12.0.635 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2

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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Par´ametros de articulaci´on q2 q1 q3 q4q5 q6 zR z0,z1 z4 z6 x2 x0,x1 xR x3 x4,x5 x6 y2 y3 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 7.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Par´ametros de articulaci´on Cuadro : Tabla de par´ametros DH modificada i αi−1 ai−1 di θi 1 0 0 0 θ1 2 −π/2 ∆x(2−1) 0 θ2 3 0 ∆z(3−2) 0 θ3 4 −π/2 −∆z(4−3) ∆x(5−4) θ4 5 −π/2 0 0 θ5 6 π/2 0 ∆x(6−5) θ6 {SR} =(0, 0, 0) {S0} = {S1} =(0, 0, 675) {S2} =(260, 0, 675) {S3} =(260, 0, 1355) {S4} = {S5} =(930, 0, 1320) {S6} =(1045, 0, 1320) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 8.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Caracter´ısticas t´ecnicas Espacio de trabajo Par´ametros de articulaci´on Par´ametros de articulaci´on Cuadro : Tabla de par´ametros DH modificada i αi−1 ai−1 di θi 1 0 0 0 θ1 2 −π/2 260 0 θ2 3 0 680 0 θ3 4 −π/2 -35 670 θ4 5 −π/2 0 0 θ5 6 π/2 0 115 θ6 Todas las medidas en mil´ımetros. Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 9.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa Definici´on La cinem´atica directa es una t´ecnica usada para calcular la posici´on de partes de una estructura articulada a partir de sus componentes fijas y las transformaciones inducidas por las articulaciones de la misma. La cinem´atica directa se refiere al uso de ecuaciones cinem´aticas para calcular la posici´on de su actuador final a partir de valores espec´ıficos llamados conjunto de par´ametros. (θ1, θ2, ..., θm) → (x1, x2, ..., xn) . Cinematica Directa.m Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 10.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa Definici´on Para hallar la cinem´atica directa se utiliza la matriz de transformaci´on homog´enea basada en la tabla de par´ametros Denavit-Hartenberg anteriormente definida. i−1 i T =     cθi −sθi 0 ai−1 sθicαi−1 cθicαi−1 −sαi−1 −sαi−1di sθisαi−1 cθisαi−1 cαi−1 cαi−1di 0 0 0 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 11.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 0 1T =     c1 −s1 0 0 s1 c1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     ; 1 2T =     c2 −s2 0 260 0 0 1 0 −s2 −c2 0 0 0 0 0 1     ; 2 3T =     c3 −s3 0 680 s3 c3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     3 4T =     c4 −s4 0 −35 0 0 1 670 −s4 −c4 0 0 0 0 0 1     ; 4 5T =     c5 −s5 0 0 0 0 1 0 −s5 −c5 0 0 0 0 0 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 12.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 5 6T =     c6 −s6 0 0 0 0 −1 −115 s6 c6 0 0 0 0 0 1     ; 0 3T =     c23c1 −s23c1 −s1 20c1(34c2 + 13) c23s1 −s23s1 c1 20s1(34c2 + 13) −s23 −c23 0 −680s2 0 0 0 1     3 6T =     c4c5c6 − s4s6 −c6s4 − c4c5s6 c4s5 115c4s5 − 35 −c6s5 s5s6 c5 115c5 + 670 −c4s6 − c5c6s4 c5s4s6 − c4c6 −s4s5 −115s4s5 0 0 0 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 13.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 0 6T =     r11 r12 r13 0Px r21 r22 r23 0Py r31 r32 r33 0Pz 0 0 0 1     r11 = s1(c4s6 + c5c6s4) − c23c1(s4s6 − c4c5c6) + s23c1c6s5 r12 = s1(c4c6 − c5s4s6) − c23c1(c6s4 + c4c5s6) − s23c1s5s6 r13 = s1s4s5 − s23c1c5 + c23c1c4s5 r21 = s23c6s1s5 − c23s1(s4s6 − c4c5c6) − c1(c4s6 + c5c6s4) r22 = −c1(c4c6 − c5s4s6) − c23s1(c6s4 + c4c5s6) − s23s1s5s6 r23 = c23c4s1s5 − s23c5s1 − c1s4s5 r31 = s23(s4s6 − c4c5c6) + c23c6s5 r32 = s23(c6s4 + c4c5s6) − c23s5s6 r33 = −c23c5 − s23c4s5 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 14.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica directa 0 6T =     r11 r12 r13 0Px r21 r22 r23 0Py r31 r32 r33 0Pz 0 0 0 1     0 p6ORGx = 20c1(34c2 + 13) + 115s1s4s5 + c23c1(115c4s5 − 35) − s23c1(115c5 + 670) 0 p6ORGy = 20s1(34c2 + 13) − 115c1s4s5 + c23s1(115c4s5 − 35) − s23s1(115c5 + 670) 0 p6ORGz = −680s2 − s23(115c4s5 − 35) − c23(115c5 + 670) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 15.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Definici´on La cinem´atica inversa es la t´ecnica que permite determinar el movimiento de una cadena de articulaciones para lograr que un actuador final se ubique en una posici´on concreta. El c´alculo de la cinem´atica inversa es un problema complejo que consiste en la resoluci´on de una serie de ecuaciones cuya soluci´on normalmente no es ´unica. La cinem´atica inversa se refiere al uso de la posici´on y orientaci´on del efector final (o sistema) para calcular los par´ametros de articulaci´on. (x1, x2, ..., xn) → (θ1, θ2, ..., θm) . Cinematica Inversa.m y KUKA KR 6 2.m Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 16.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Se parte del hecho que se conoce la orientaci´on y la posici´on del punto que se desea alcanzar, (es decir 0 6T) es conocida: 0 P4ORG =0 6 T ·6 P4ORG 0 P4ORG =     r11 r12 r13 0 Px r21 r22 r23 0 Py r31 r32 r33 0 Pz 0 0 0 1     ·     0 0 −115 1     0 P4ORG =     −115r13 +0 px −115r23 +0 py −115r13 +0 pz 1     =     0 p4ORGx 0 p4ORGy 0 p4ORGz 1     Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 17.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa A su vez se define como igualdad 0 P4ORG =0 3 T ·3 P4ORG Al realizar dicha multiplicaci´on: 0 P4ORG =     −35c23c1 − 670s23c1 + 20c1(34c2 + 13) −35c23s1 − 670s23s1 + 20s1(34c2 + 13) 35s23 − 670c23 − 680s2 1     =     A B C 1     =     0 p4ORGx 0 p4ORGy 0 p4ORGz 1     Al realizar la comparaci´on entre A/c1 y B/s1, se obtiene: [A/c1] ⇒ −35c23 − 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGx/c1 [B/s1] ⇒ −35c23 − 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGy/s1 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 18.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa 0 p4ORGx c1 = 0 p4ORGy s1 tan(θ1) = 0 p4ORGy 0p4ORGx θ1 = atan2(0 p4ORGy,0 p4ORGx) ´o θ1 = atan2(−0 p4ORGy, −0 p4ORGx) Para obtener un ´angulo diferente se toma la relaci´on (A/c1)2 y (C)2 . La cual utilizando reduc- ciones algebraicas puede ser expresada de la forma: −35c3 − 670s3 = 1 1360 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 −35c3 ± 670 1 − (c3)2 = 1 1360 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 19.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Finalmente, para el seno y coseno de este ´angulo se obtiene una soluci´on de la forma: c2 3 6702 + 352 K2 − 2c3 35 K + 1 − 670 K 2 Donde: K = 1 1360 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 Adem´as: s3 = −1 1360 · 670 0 p4ORGx c1 − 260 2 + (0 p4ORGz)2 − 352 − 6702 − 6802 − 35 670 c3 Entonces: θ3 = atan2(s3, c3) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 20.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Para el siguiente ´angulo se relaciona (A/c1) y (C), y se expresa un sistema de ecuaciones 2×2 en funci´on de las incognitas s2 y c2:   s2 c2 b 35s3 − 670c3 −35c3 − 670s3 + 680 (0p4ORGx/c1) − 260 35c3 + 670s3 − 680 35s3 − 670c3 0p4ORGz   Las soluciones de este sistema son: s2 = 34840 c1 c3 − 136 c1 0 p4ORGz − 134 c3 0 p4ORGx − 1820 c1 s3 + 7 0 p4ORGx s3 + 7 c1 c3 0 p4ORGz + 134 c1 0 p4ORGz s3 5 c1 18005 c3 2 − 1904 c3 + 18005 s3 2 − 36448 s3 + 18496 c2 = − 35360 c1 − 136 − 1820 c1 c3 + 7 c3 0 p4ORGx − 34840 c1 s3 + 134 0 p4ORGx s3 + 134 c1 c3 0 p4ORGz − 7 c1 0 p4ORGz s3 5 c1 18005 c3 2 − 1904 c3 + 18005 s3 2 − 36448 s3 + 18496 Entonces: θ2 = atan2(s2, c2) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 21.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa Para los ´ultimos 3 ´angulos se hace uso de la relaci´on (Dado que se conocen los 3 primeros ´angulos, entonces 0 3T es conocida): 3 P6ORG =3 0 T ·0 P6ORG 3 P6ORG = 0 3T −1 ·0 P6ORG     115c4s5 − 35 115c5 + 670 −115s4s5 1     =     3p6ORGx 3p6ORGy 3p6ORGz 1     De la comparaci´on t´ermino a termino se obtiene: c5 = 3p6ORGy − 670 115 donde |s5| = 1 − (c5)2 Entonces: θ5 = atan2(s5, c5) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 22.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa 115c4s5 − 35 =3 p6ORGx y 115s4s5 =3 p6ORGz c4 = 3p6ORGx + 35 115s5 y s4 = 3p6ORGz 115s5 Entonces: θ4 = atan2(s4, c4) Para el ´ultimo de los ´angulos (θ6) se toma la relaci´on de transformaci´on: 3 6T =3 0 T ·0 6 T 3 6T = 0 3T −1 ·0 6 T Con la comparaci´on t´ermino a t´ermino se tiene: 3 6T(2, 1) = −c6s5 = 0 3T −1 ·0 6 T (2, 1) 3 6T(2, 2) = s5s6 = 0 3T −1 ·0 6 T (2, 2) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 23.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica inversa c6 = − 0 3T −1 ·0 6 T (2, 1) s5 s6 = 0 3T −1 ·0 6 T (2, 2) s5 Finalmente: θ6 = atan2(s6, c6) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 24.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Cinem´atica diferencial Definici´on El jacobiano del manipulador relaciona las velocidades articulares con las velocidades cartesianas del extremo. V = J(θ) · ˙Θ ˙Θ = J−1 (θ) · V V = vx vy vz θx θy θz T Es de notar, que existan valores de θ para los que el jacobiano es singular. Estas singularidades se presentan en los l´ımites del espacio de trabajo, o en su interior cuando dos o m´as ejes de articulaci´on est´an alineados. Jacobiano.m Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 25.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial Velocidades angulares y lineales Se calculan las velocidades (lineales y angulares) de las articulaciones de atr´as hac´ıa delante (Es decir del marco {0} al de la Herramienta). Adem´as se define una nueva matriz para la herramienta con la misma orientaci´on del ´ultimo marco, pero desplazada seg´un sea la distancia de la herramienta. 6 HT =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 35 0 0 0 1     i+1 ωi+1 =i+1 i R ·i ωi + ˙θi+1 ·i+1 ˆZi+1 Velocidad Angular i+1 vi+1 =i+1 i R · (i vi + (i ωi ×i Pi+1)) Velocidad Lineal Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 26.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial C´alculo del Jacobiano Se realizan las derivadas pertinentes (∂(iVj)/∂ ˙θk), calculando el cambio entre la posici´on j del vector de velocidad, descrita en el marco i y la variable ˙θk. i Ji(θ) =                   ∂i vx ∂ ˙θ1 ∂i vx ∂ ˙θ2 ∂i vx ∂ ˙θ3 ∂i vx ∂ ˙θ4 ∂i vx ∂ ˙θ5 ∂i vx ∂ ˙θ6 ∂i vy ∂ ˙θ1 ∂i vy ∂ ˙θ2 ∂i vy ∂ ˙θ3 ∂i vy ∂ ˙θ4 ∂i vy ∂ ˙θ5 ∂i vy ∂ ˙θ6 ∂i vz ∂ ˙θ1 ∂i vz ∂ ˙θ2 ∂i vz ∂ ˙θ3 ∂i vz ∂ ˙θ4 ∂i vz ∂ ˙θ5 ∂i vz ∂ ˙θ6 ∂i ωx ∂ ˙θ1 ∂i ωx ∂ ˙θ2 ∂i ωx ∂ ˙θ3 ∂i ωx ∂ ˙θ4 ∂i ωx ∂ ˙θ5 ∂i ωx ∂ ˙θ6 ∂i ωy ∂ ˙θ1 ∂i ωy ∂ ˙θ2 ∂i ωy ∂ ˙θ3 ∂i ωy ∂ ˙θ4 ∂i ωy ∂ ˙θ5 ∂i ωy ∂ ˙θ6 ∂i ωz ∂ ˙θ1 ∂i ωz ∂ ˙θ2 ∂i ωz ∂ ˙θ3 ∂i ωz ∂ ˙θ4 ∂i ωz ∂ ˙θ5 ∂i ωz ∂ ˙θ6                   donde i Vi = i vi i ωi =         i vx i vy i vz i ωx i ωy i ωz         Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 27.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial C´alculo del Jacobiano J11 = s6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260) − 115c23s5 + 115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260)) J12 = s6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2) − 115c23s5 + 115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2)) J13 = s6(670s4 + 115c5s4) − c6(115c4 − 35s5 + 670c4c5) J14 = 115c5s4s6 − 115c4c6 J15 = 115s5s6 J16 = J26 = J34 = J35 = J36 = J66 = 0 J21 = c6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260) − 115c23s5 + 115s23c4c5) − s6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260)) J22 = c6(c4(35c23 + 670s23 − 680c2) − 115c23s5 + 115s23c4c5) − s6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 − 680c2)) J23 = s6(115c4 − 35s5 + 670c4c5) + c6(670s4 + 115c5s4) J24 = 115c4s6 + 115c5c6s4 J25 = 115c6s5 J31 = s4s5(35c23 + 670s23 − 680c2 − 260) J32 = s4s5(35c23 + 670s23 − 680c2) J33 = −35c5 − 670c4s5 J41 = c6(c23s5 − s23c4c5) + s23s4s6 J42 = c6(c23s5 − s23c4c5) + s23s4s6 J43 = −c4s6 − c5c6s4 J44 = −c4s6 − c5c6s4 J45 = −c6s5 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 28.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Cinem´atica directa Cinem´atica inversa Cinem´atica diferencial C´alculo del Jacobiano J46 = s6 J51 = s23c6s4 − s6(c23s5 − s23c4c5) J52 = s23c6s4 − s6(c23s5 − s23c4c5) J53 = c5s4s6 − c4c6 J54 = c5s4s6 − c4c6 J55 = s5s6 J56 = c6 J61 = −c23c5 − s23c4s5 J62 = −c23c5 − s23c4s5 J63 = −s4s5 J64 = −s4s5 J65 = c5 150[mm] Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 29.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Descripci´on de la trayectoria c1 c2c3 c4 [xp, 350, 400] [xp, 50, 400] A B C D EF G H [xp, 0, 450] [xp, 0, 550] [xp, 50, 600][xp, 350, 600] [xp, 400, 550] [xp, 400, 450] [xp, 200, 500] [xp, 350, 450] [xp, 350, 550] [xp, 50, 550] [xp, 50, 450] zP xP 12 1113 14 15 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dimensiones (400 × 200 × 30)[mm] y Ubicaci´on del centro de la placa = [xP , 200, 500][mm] Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 30.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Desplazamiento) [A-B] (y decrece) z = 450 (B-C] (y decrece) z = − 502 − (y − c1(y))2 + c1(z) (C-D] (z crece) y = 0 (D-E] (y crece) z = 502 − (y − c2(y))2 + c2(z) (E-F] (y crece) z = 600 (F-G] (y crece) z = 502 − (y − c3(y))2 + c3(z) (G-H] (z decrece) y = 400 (H-A] (y decrece) z = − 502 − (y − c4(y))2 + c4(z) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
  • 31.
    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Se asume en cada tramo que la pareja (y, z) cambia seg´un se desplace y el punto en x se mantiene constante. La orientaci´on de los intervalos parametrizados, en el segmento recto, es constante debido a que la orientaci´on se mantiene constante; pero en los curvos dicha orientaci´on se calcula con base en un ´angulo definido por el vector que apunta al centro de la trayectoria. xH zH yH xH zH yH El ´angulo (ψj) de rotaci´on en el i-´esimo segmento curvo con (ci) centro de rotaci´on, est´a dado por el coseno inverso entre el producto punto del vector unitario dirigido desde el k-´esimo punto (xP , yk, zk) de la trayectoria y el i-´esimo centro de rotaci´on, y el vector unitario del eje z: ˆai = (xP , y, z) − ci ||(xP , y, z) − ci|| ψj = arc cos(ˆai · ˆZ) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Trayectoria [A-B]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) Trayectoria (B-C]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ1 = 0) a (ψ1 = −π/2) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ1) Trayectoria (C-D]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(−π/2) Trayectoria (D-E]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ2 = −π/2) a (ψ2 = −π) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ2) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Parametrizaci´on de la trayectoria (Rotaci´on) Trayectoria (E-F]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(−π) Trayectoria (F-G]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ3 = −π) a (ψ3 = −3π/2) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ3) Trayectoria (G-H]: 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(−3π/2) Trayectoria (H-A]: . .....El ´angulo ψ cambia, ya que se eval´ua en cada iteraci´on, entre los l´ımites: Cambia de (ψ4 = −3π/2) a (ψ4 = −2π) 0 H R = Ry(π/2) · Rz(π) · Rx(ψ4) Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Descripci´on de la trayectoria 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −400 −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 Muestras θ[º] 1199 1199.5 1200 1200.5 1201 0 100 200 300 400 400 450 500 550 600 xy z Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Gr´aficas de articulaci´on - Velocidad Las posiciones de articulaci´on se hallan evaluando la parametrizaci´on de posici´on y rotaci´on en la funci´on de cinem´atica inversa y optimizando tales resultados. Las velocidades se articulaci´on se hallan ayudados por la definici´on del Jacobiano inverso, tomando en cuenta que ´unicamente en los segmentos curvos existe velocidad angular y que la velocidad lineal (tangencial) es constante durante toda la trayectoria. H vH = [0, −100, 0]T [mm/s] p = 2πr 4 = 2π(50) 4 = 25π[mm] ttrayectoria = p v = 25π 100 = π 4 [s] |ωx| = ∆θ ttrayectoria = π/2 π/4 H ωH = [−2, 0, 0]T [rad/s] Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Gr´aficas de articulaci´on - Posici´on 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Gráficas de Posición para θ1 θ[rad] 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −1.3 −1.25 −1.2 −1.15 −1.1 −1.05 −1 −0.95 −0.9 −0.85 Gráficas de Posición para θ2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 Gráficas de Posición para θ3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Muestras θ[rad] Gráficas de Posición para θ4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 Gráficas de Posición para θ5 Muestras 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Muestras Gráficas de Posición para θ6 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Gr´aficas de articulaci´on - Velocidad 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −4 −2 0 2 4 6 8 10 θ[rad/s] Gráfica de velocidad angular para q1 . θ[rad/s] . Muestra Muestra Muestra 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 Gráfica de velocidad angular para q2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Gráfica de velocidad angular para q3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Gráfica de velocidad angular para q4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Gráfica de velocidad angular para q5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −3 −2 −1 0 1 2 3 Gráfica de velocidad angular para q6 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Modelaci´on en Matlab c Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Modelo de Matlab c - SimMechanics Tierra Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q6 theta6T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q5 theta5T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q4 theta4T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q3 theta3T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q2 theta2T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q1 theta1T Soldadura B F Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q6 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q5 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q4 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q3 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q2 0 Referencias Velocidad y Aceleración Angular para q1 0 Junta de Revolución 6 B F Junta de Revolución 5 B F Junta de Revolución 4 B F Junta de Revolución 3 B F Junta de Revolución 2 B F Junta de Revolución 1 B F Eslabon {SH} CS1 Eslabon {S6} CS1CS2 Eslabon {S5} CS1CS2 Eslabon {S4} CS1 CS2 Eslabon {S3} CS1 CS2 Eslabon {S2} CS1 CS2 Eslabon {S0} {S1} CS1 CS2 Eslabon Referencial {SR} CS1 CS2 Ajuste Herramienta B F Actuador Junta R6 Actuador Junta R5 Actuador Junta R4 Actuador Junta R3 Actuador Junta R2 Actuador Junta R1 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Descripci´on de la trayectoria Gr´aficas de articulaci´on Modelaci´on en Matlab c Resultado de Matlab c - SimMechanics Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2
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    Din´amica de Robots Caracter´ısticasdel Robot Cinem´atica Simulaciones Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Craig. John J. 3rd. Edition, Pearson Editorial. KUKA c KR6 robot specification. KUKA Robotics Disponible en: http://www.kuka-robotics.com/es/products/industrial_robots/low/kr6_2/ Simulaciones realizadas en Matlab 2011a. MathWorks c Versi´on: 7.12.0.635 Universidad NACIONAL de Colombia. Din´amica de Robots - KUKA KR 6-2