Este documento describe los conceptos básicos de la cinemática de los manipuladores, incluyendo la definición de sistemas de referencia, parámetros de Denavit-Hartenberg, transformaciones homogéneas y cinemática directa e inversa. Explica cómo definir los sistemas de referencia de los enlaces de un manipulador y calcular la posición y orientación del efecto final en función de las variables articulares usando la cinemática directa, así como cómo resolver el problema inverso de la cinemática.

1. Cinemática de los manipuladores

2. Introducción Cinemática: Estudio del movimiento sin considerar las fuerzas que lo producen Propiedades geométricas y temporales Posición, velocidad, aceleración Cinemática de los manipuladores: Propiedades geométricas y temporales del movimiento de brazos articulados

3. Aspecto a resolver Problema: A partir de los parámetros geométricos del manipulador Especificar: Posición y orientación del manipulador Solución : Definir sistemas de referencia en el manipulador y objetos del entorno siguiendo la notación de Denavit-Hartenberg (1955)

4. Los términos enlace/articulación Articulación: Conexión de dos cuerpos rígidos caracterizados por el movimiento de un sólido sobre otro Grado de libertad: Circular o prismático Enlace o eslabón: Cuerpo rígido que une dos ejes articulares adyacentes del manipulador Posee muchos atributos: Peso, material, inercia, etc.

5. Parámetros de un enlace Eje articular: Línea en el espacio alrededor de la cual el enlace i rota referido al enlace i -1 Longitud del enlace ( a i-1 ): Distancia entre los ejes articulares i e i -1 Número de líneas que definen la longitud: Ejes paralelos: Ejes no paralelos: 1 Signo: positivo Ángulo del enlace (  i-1 ): Ángulo medido entre los ejes articulares i e i -1. Proyección sobre plano Signo: Regla de la mano derecha perpendicular común

6. Ejemplo de parámetros 1.- Se colocan los ejes articulares 2.- Longitud del enlace: 7” 3.- Ángulo del enlace: 45 0 Plano Longitud del enlace

7. Variables articulares Desplazamiento del enlace (d i ): Distancia medida a lo largo del eje de la articulación i desde el punto donde a i-1 intersecta el eje hasta el punto donde a i intersecta el eje d i es variable si la articulación es prismática d i posee signo Ángulo de la articulación (  i ): Ángulo entre las perpendiculares comunes a i-1 y a i medido sobre el eje del enlace i  i es variable si la articulación es de rotación  i posee signo definido por la regla de la mano derecha

8. Definición de Sistemas de Referencia: Enlaces primero y último Sistema de referencia {0}: Sistema que se adjunta a la base del robot. No se mueve El Sistema de referencia {1} coincide con la base cuando la variable articular es cero Enlace( i ) a 0 y a n  0 y  n d i  i 1 y n 0 0 Prismática ( d i ) 0 Rotacional (0)  n

9. Origen del sistema de referencia { i }: Se ubica en el punto creado por la perpendicular de a i y el eje articular i Eje Z: El eje del sistema de referencia { i } se hará coincidir con el eje articular i Eje X: El eje se hace coincidir con la distancia a i desde la articulación i hacia i +1 Eje Y: Se define a partir del eje , aplicando como referencia la regla de la mano derecha Definición de Sistemas de Referencia: Enlaces intermedios

10. Identificar los ejes articulares: De los pasos 2 a 5 utilice dos ejes consecutivos i e i+1 Identifique la perpendicular común: Identifique la línea que intersecta, perpendicularmente, al eje articular i e i+1 . Defina el sistema de referencia sobre el punto de intersección en i Asigne el eje al eje articular i Asigne el eje a la perpendicular común que definió el origen del sistema de referencia i Termine de asignar el sistema de referencia, definiendo el eje según la ley de la mano derecha Haga coincidir los sistemas de referencia {0} y {1} cuando la primera variable articular sea cero Procedimiento general para la definición de sistemas de referencia

11. Significado de los parámetros de Denavit-Hartenberg Los parámetros de DH tienen el siguiente significado: El parámetro es la distancia entre y medida a lo largo de El parámetro es el ángulo entre y referido a El parámetro es la distancia de a medida a lo largo de El parámetro es el ángulo entre y referido a Nota : es la única magnitud positiva, las demás tienen signo

12. Transformación homogénea de un enlace Es el resultado de Al definir tres sistemas de referencia Intermedios {R}, {Q} y {P}, se tiene: {R} difiere de i-1 en la rotación {Q} difiere de {R} por la traslación {P} difiere de {Q} por la rotación {i} difiere de {P} por la traslación

13. Transformación homogénea de un enlace (II) Un punto definido en el sistema de referencia { i } proyectado en el sistema de referencia { i -1} responde a La transformación del sistema de referencia { i } en { i -1} responde a

14. Transformación homogénea de un enlace (III) Matriz DH

15. Definir el sistema de referencia de los enlaces Definir los parámetros DH de cada enlace Calcular la matriz de transformación de cada enlace Relacionar el sistema { N } sobre el sistema {0} Después de determinar las transformaciones de los enlaces, se determina la posición del efector final referido a la base Concatenar transformaciones homogéneas de enlaces Transformación resultante de todos los enlaces

16. Ejemplo RRR (3R)

17. Identificar el eje de las articulaciones Ejemplo RRR (II) Identificar la perpendicular común entre los ejes de las articulaciones Asignar el eje en los ejes articulares

18. Ejemplo RRR (III) Asignar el eje en la perpendicular común Utilizando la regla de la mano derecha, asignar el eje

19. Ejemplo RRR (IV) i  i-1 a i-1 d i  i 1 0 0 0  1 2 0 L 1 0  2 3 0 L 2 0  3

20. Ejemplo RRR (V) i  i-1 a i-1 d i  i 1 0 0 0  1 2 0 L 1 0  2 3 0 L 2 0  3

21. Ejemplo RRR (Final)

22. Ejemplo RPR 1.- Identificar el eje de las articulaciones 2.- Identificar la perpendicular común al eje de las articulaciones: Ninguna

23. Ejemplo RPR (II) Asignar el eje en los ejes articulares Si los ejes se intersectan, ubicar de forma que sea normal al plano que contenga los dos ejes, considere además que la variable articular {i} proyectada en {i-1} sea cero en el origen

24. Ejemplo RPR (III) Completar el sistema de referencia colocando aplicando la regla de la mano derecha

25. Ejemplo RPR (IV) Parámetros DH i  i-1 a i-1 d i  i 1 0 0 0  1 2 90 0 0 d 2 0 3 0 0 L 2  3

26. Ejemplo RPR (Final) i  i-1 a i-1 d i  i 1 0 0 0  1 2 90 0 0 d 2 0 3 0 0 L 2  3

27. Puma 560-6R

28. Asignación del sistema de referencia 1 Posición del robot cuando todas las variables articulares son cero. Hacer coincidir los sistemas de referencia {0} y {1}. Asignar el eje en el primer eje articular Asignar el eje a la perpendicular común al eje . Si los ejes se intersectan, asignar a la normal del plano conteniendo los dos ejes Completar el sistema de coordenadas asignando por la regla de la mano derecha

29. Asignación del sistema de referencia 2 Asignar el eje en el segundo eje articular Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 2 y 3 Completar el sistema de coordenadas asignando por la regla de la mano derecha 2 3

30. Asignación del sistema de referencia 3 Asignar el eje en el tercer eje articular Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 3 y 4 o normal al plano Completar el sistema asignando por la regla de la mano derecha 3 4

31. Asignar el eje en el cuarto eje articular Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 4 y 5 o normal al plano Completar el sistema asignando por la regla de la mano derecha Asignación del sistema de referencia 4

32. Asignación del sistema de referencia 5 Asignar el eje en el quinto eje articular Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 4 y 5 o normal al plano Completar el sistema asignando por la regla de la mano derecha

33. Asignación del sistema de referencia 6 { N } Asignar el eje en el sexto eje articular Seleccione libremente el eje considerando que sean cero la mayor cantidad de parámetros DH Completar el sistema asignando por la regla de la mano derecha

34. Parámetros DH

35. Transformaciones de los enlaces

36. Simulador PUMA 560 >> puma560 >> plot(560,qz) >> drivebot(p560) Toolbox Robótica Peter I. Corke

37. Cinemática directa Cinemática directa: Se conocen las variables articulares de una cadena de enlaces de un brazo articulado Cálculo sencillo (multiplicación matricial) Una única solución:

38. Cinemática inversa Cinemática inversa: Problema: Obtener los valores de las variables articulares para que el órgano terminal tenga una determinada posición y orientación Se deben resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas Problemas fundamentales: Ecuaciones no lineales (sen, cos en matrices de rotación) Existen múltiples soluciones Es posible que no exista una solución Singularidades

39. Espacio alcanzable Cartesiano Cilíndrico Esférico Scara Antropomórfico Espacio alcanzable: Volumen del espacio que el robot puede alcanzar con al menos una orientación

40. Existencia de múltiple soluciones Deben atenderse las múltiples soluciones: Elección que minimice los movimientos desde la posición actual Concepto de solución más Cercana Mover los eslabones de menor peso Considerar obstáculos (evitar colisiones) Obstáculo

41. Método de resolución Manipulador resoluble: Existe un algoritmo que permite determinar todas las soluciones del modelo inverso (variables articulares) asociadas a una determinada posición y orientación Teóricamente es resoluble: todo sistema R y P con 6 grados de libertad Métodos numéricos iterativos: lentitud Se prefieren expresiones analíticas (soluciones cerradas): Métodos algebraicos Métodos geométricos

42. ¿Porqué la cinemática inversa? Métodos de programación: Programación por guiado: Desplazamiento del efector final para que se alcancen las configuraciones deseadas, registrándose los valores (digitalización de posiciones) Programación textual: Programa de ordenador donde existen órdenes para especificar los movimientos del robot, acceder a información de sensores, etc.

43. Cinemática directa Conocidos: Ángulos articulares y geometría de los eslabones Determinar: Posición y orientación del elemento terminal referido a la base Cinemática inversa Conocidos: Posición y orientación del elemento terminal referido a la base Determinar: Ángulos articulares y geometría de los eslabones para alcanzar la orientación y posición de la herramienta Cinemática directa vs inversa {Herramienta} {Base}

44. Se desea: Posicionar el elemento terminal en un punto del plano Número de GDL del manipulador = Número de GDL que requiere la tarea Dos soluciones Número de GDL del manipulador > Número de GDL que requiere la tarea Infinitas soluciones Número de soluciones

45. Solución: Conjunto de variables articulares que permiten posicionar el elemento terminal en una determinada posición y orientación No existen algoritmos generales de solución al problema de cinemática inversa Tipos de solución : Soluciones cerradas: Solución algebraica : Ecuaciones no lineales trigonométricas Solución geométrica : Conjunto de subproblemas geométricos en el plano Soluciones numéricas (iterativas): No aplicables en tiempo real Tipos de solución

46. Se conoce: Geometría del manipulador Punto objetivo: Posición ( x e y ) y orientación del elemento terminal en el espacio Problema: Determinar las variables articulares ( ) Ejemplo de solución geométrica (I) x y

47. Algunas identidades trigonométricas Ley de los cosenos para un triángulo general Suma de ángulos: Identidades:

48. La orientación del último eslabón es la suma de las variables articulares Ejemplo de solución geométrica (II) x y

49. Cálculo de : Aplicando la ley de los cosenos: Debido a que Resulta: Ejemplo de solución geométrica (III)

50. Se debe verificar la solución del algoritmo, el cual debe cumplir: Espacio alcanzable Intervalo de la solución Ejemplo de solución geométrica (IV) Espacio alcanzable

51. Si se definen dos ángulos se cumple El ángulo se calcula: Y aplicando ley de los cosenos Ejemplo de solución geométrica (V)

52. Finalmente Ejemplo de solución geométrica (VI) x y