Este documento presenta la solución y rúbrica de un examen de cálculo diferencial que incluye cuatro proposiciones para ser calificadas como verdaderas o falsas y justificadas, y cuatro ejercicios para calcular límites. El documento explica la metodología para evaluar cada pregunta y asignar puntajes de acuerdo al nivel de desempeño de los estudiantes.

1. Escuela Superior Politécnica del Litoral
Instituto de Ciencias Matemáticas
CÁLCULO DIFERENCIAL
Examen de la primera evaluación I término 2009‐2010
10 de julio de 2009
SOLUCIÓN Y RÚBRICA DEL EXAMEN
NOTA: En los ejercicios que involucren el cálculo de límites, NO ESTA PERMITIDO la aplicación de la
regla de L’Hopital
Tema 1
Califique cada una de las siguientes proposiciones como Verdaderas o Falsas. Justifique su afirmación.
a. (4 puntos) Si es una función de variable real con regla de correspondencia ,
entonces tal que | |
Se puede observar que:
1 0
1 1
| | 1
Por lo tanto la proposición es VERDADERA 1.

2. Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Grafica parcialmente la Realiza la gráfica de la Califica correctamente
coherentes que función (o intenta función correctamente la proposición
conduzcan a realizar un acotamiento (o realiza un mostrando procesos
determinar la cota o a la función) acotamiento de la correctos y completos,
califica correctamente misma por procesos e indicando un valor de
la proposición sin algebraicos) y no M válido
justificar concluye
0 1 2‐3 4
b. (4 puntos) lim 1
Considere por lo que:
1
lim
1
lim
0
Por lo tanto la proposición es FALSA.
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Realiza un cambio de Evalúa correctamente Califica correctamente
coherentes que variable pertinente que el límite de la función la proposición
conduzcan a permita transformar la por simple inspección mostrando procesos
determinar el límite o función original a otra (o aplicando el correctos y completos
califica correctamente con límite conocido en teorema del
la proposición sin el punto dado (o emparedado) y no
justificar establece alguna cota a concluye
la función g(x)=sen(x))
pero no es consistente
con la tendencia de la
nueva variable.
0 1 2‐3 4

3. c. (4 puntos) lim 1 0
Por definición:
1, 1 0
1
0, 1 0
1, 1 1
0, 0 1 1
1, 2
0, 1 2
Por lo que:
lim 1 1
lim 1 0
Por lo tanto:
lim 1 no existe
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Realiza la gráfica de la Aplica la definición de Califica correctamente
coherentes que función interna o la función escalón la proposición
conduzcan a intenta aplicar la unitario (o por medio mostrando procesos
determinar el límite o definición de la función gráfico) y evalúa los correctos y completos
califica correctamente escalón unitario pero se limites unilaterales
la proposición sin equivoca en la correctamente pero no
justificar resolución de las concluye
desigualdades.
0 1 2‐3 4

4. d. (4 puntos) Sea una función continua en todos los reales cuya regla de correspondencia se
expresa como:
,
,
entonces es derivable en .
La proposición es FALSA.
Contraejemplo:
, 0
, 0
La función es continua en 0, sin embargo no es derivable en 0.
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Muestra la gráfica de Establece un Califica correctamente
coherentes que alguna función pero la contraejemplo la proposición
conduzcan a misma no cumple con (definiendo g(x) y h(x)) mostrando algún
determinar si la función la hipótesis de la misma que es contraejemplo
es continua en el punto continuidad en todos continua en todos los (definiendo g(x)y h(x)) y
x=0 o califica los reales, o no define reales pero no justifica estableciendo la validez
correctamente la expresamente las completamente si la del mismo.
proposición sin funciones g(x) y h(x) misma es derivable en
justificar x=a.
0 1 2‐3 4
Tema 2
Calcule cada uno de los siguientes límites
a. (5 puntos) lim
1
lim
1 5 5

5. 1
lim
1 5 5
1
lim
1 5 5
5 5
5 5
1
lim
1 5 5
5 5
5 5
Se conoce que:
lim 0 , lim 1 , lim 0 , lim 1
Por lo tanto:
1 1
lim
1 5 5 5
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Agrupa adecuadamente Procede a la agrupación Evalúa correctamente
coherentes que los términos, pero no de términos el límite dado
conduzcan a muestra procesos adecuadamente y
determinar el límite adicionales que divide tanto al
conlleva a la numerador y
determinación del denominador, para una
límite. expresión que conduce
a límites de funciones
conocidas,
estableciendo su valor,
pero se equivoca al
simplificar la expresión
resultante.
0 1‐2 3‐4 5

6. √
b. (5 puntos) lim
√ 1 1
lim
2
√ 1 1 √ 1 1
lim
2 √ 1 1
1 1
lim
2 √ 1 1
2
lim
2 √ 1 1
1
lim
√ 1 1
Por lo tanto:
√ 1 1 1
lim
2 2
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Multiplica, tanto Procede a la Calcula correctamente
coherentes que denominador como simplificación de la el límite mostrado
conduzcan a la numerador, por la expresión resultante y procesos coherentes y
determinación de lo conjugada del calcula el límite, pero se correctos
solicitado numerador y simplifica equivoca en la
términos semejantes, evaluación
pero no simplifica los
factores del
denominador y
numerador.
0 1‐2 3‐4 5

7. | |
c. (5 puntos) lim
Se conoce que:
4, 4
| 4|
4, 4
Observe que, debido a que se solicita el límite de la función cuando x tiende a 3,
entonces para valores cercanos a 3 se tiene que:
| 4| 4 4
Por lo que:
| 4| 1
lim
3
4 1
lim
3
3
lim
3
Por lo tanto:
| 4| 1
lim 1
3
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Aplica la definición de Analiza el Evalúa correctamente
coherentes que la función valor comportamiento de la el límite solicitado
conduzcan a absoluto para obtener función por la derecha
determinar el límite la regla de y por la izquierda del
correspondencia de la punto x=2 y calcula los
función por la derecha límites, pero no
y la izquierda del punto concluye
x=2, pero se equivoca al
escoger la expresión
resultante.
0 1‐2 3‐4 5

8. d. (5 puntos) lim √ 8 9 √ 8 9
lim 8 9 8 9
√ 8 9 √ 8 9
lim 8 9 8 9
√ 8 9 √ 8 9
8 9 8 9
lim
√ 8 9 √ 8 9
16
lim
√ 8 9 √ 8 9
16
lim
√ 8 9 √ 8 9
16
lim
√ 8 9 √ 8 9
16
lim
8 9 8 9
16
lim
8 9 8 9
1 1
Por lo tanto:
lim 8 9 8 9 8

9. Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Multiplica y divide por Procede a dividir tanto Determina el límite
coherentes que la conjugada y procede numerador como solicitado
conduzcan a la a la simplificación de la denominador para la correctamente
determinación de lo expresión resultante máxima potencia de x mostrando todo el
solicitado pero no realiza artificios simplificando la proceso.
adicionales que permita expresión resultante
calcular el límite (máximo 3 puntos) y
solicitado. calcula el límite (4
puntos), pero se
equivoca en los cálculos
0 1‐2 3‐4 5
Tema 3
, 0
a. (5 puntos) Sea la función con regla de correspondencia . De ser
, 0
posible hallar el valor de para que sea continua en 0.
3
1
lim
Considere:
1
1
1
1
3
Por lo que:
3
1
lim
lim 1
1
3
3
lim 1
1

10. 3
lim 1
1
3
1
lim 1
Por lo tanto:
3
1
lim 3
Por lo que:
3
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Aplica el cambio de Realiza manipulaciones Determina
coherentes que variable pertinente que algebraicas a la función correctamente lo
conduzcan a la permita transformar la transformada con el fin solicitado mostrado el
determinación de lo función original en otra de obtener el límite en desarrollo completo y
solicitado con límite en el punto el punto x=0, pero se correcto del ejercicio.
x=0 conocido, pero se equivoca en algún
equivoca en la cálculo (por ejemplo no
tendencia de la nueva evalúa el logaritmo
variable, o determina el natural a la expresión
valor de A calculando el resultante)
límite directamente sin
ningún proceso.
0 1‐2 3‐4 5

11. b. (5 puntos) Utilizar la definición formal de límites para demostrar que
lim √ 1 1
Determinemos un tal que
0 | 2| √ 1 1
Puesto que:
| 2| | 1 1|
√ 1 1 √ 1 1
Y como
√ 1 1 1
Entonces:
| 2| √ 1 1 √ 1 1
√ 1 1
Reescribiendo lo anterior se tiene que:
√ 1 1 | 2| √ 1 1
Por lo tanto:
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Establece la definición Realiza un acotamiento Demuestra
coherentes que de límite para la lo que permite correctamente el límite
conduzcan a la función dada e intenta establecer la relación de la función dada
determinación de lo establecer la relación entre el antecedente y estableciendo
solicitado entre delta y épsilon. el consecuente de la claramente la relación
definición de límite, entre delta y épsilon
pero se equivoca en el
acotamiento.
0 1‐2 3‐4 5

12. c. (4 puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la región , siendo
, /0 3 ,
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Identifica la gráfica de Bosqueja Sombrea
coherentes que alguna de las correctamente la correctamente la región
conduzcan a la ecuaciones pero se gráfica de la solicitada,
determinación de lo equivoca circunferencia, así
solicitado significativamente en como la de las rectas,
los parámetros de la pero no sombrea la
misma (por ejemplo, no región solicitada.
establece el centro de
la circunferencia ni el
radio o coloca la recta
en una posición
incorrecta)
0 1 2‐3 4

13. Tema 4
a. (5 puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la gráfica de una función que
cumpla con las siguientes condiciones:
0 0 0 | | | 3|
0 0 0 3
0 0 0 3
0 0 | 1 |
0 0 | |
Desempeño
Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente
No desarrolla procesos Interpreta Grafica las asíntotas Grafica correctamente
coherentes que correctamente las oblicuas y verticales y a la función solicitada,
conduzcan a la definiciones formales lo mucho 2 de las otras mostrando claramente
determinación de lo de límites dadas, pero condiciones de límites las asíntotas verticales y
solicitado no realiza la propuestas oblicuas así como las
interpretación gráfica otras condiciones
de las mismas establecidas.
0 1‐2 3‐4 5

14. b. (5 puntos) Considere la gráfica mostrada a continuación de una función de variable real
estime, de ser posible:
i.
1 ∆
2 ∆
0,6
0,2
3

15. ii. 1
∆
1
∆
3
0.4
7,5
iii.
1 ∆
2 ∆
1
0,8
1,25

16. iv. 1
∆
1
∆
1
1
1
v. 2
No es derivable en 2
Esto se aplica en cada literal del ejercicio.
Desempeño
Insuficiente Regular Excelente
No desarrolla procesos Grafica de manera Grafica y estima
coherentes que conduzcan a la coherente la recta adecuadamente el valor de la
determinación de lo solicitado tangente a la curva en pendiente de la recta tangente
cada punto dado (excepto (excepto en el quinto literal en
en el quinto literal en el el cual la derivada no existe)
cual la derivada no existe),
pero se equivoca
significativamente en la
estimación de la
pendiente de la recta
tangente (por ejemplo, no
considera el signo de la
pendiente, o escoge
valores que no se ajusta a
la recta graficada por el
estudiante)
0 0,5 1