Este documento presenta 15 problemas relacionados con la continuidad y derivabilidad de funciones. Los problemas cubren temas como la definición de continuidad, cálculo de límites, derivadas, ecuaciones de rectas tangentes, funciones compuestas y propiedades de funciones.

1. Continuidad
1. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando
adecuadamente su respuesta:
“Si dos funciones de variable real f y g, definidas de IR en IR , son discontinuas
en x =a, el producto entre ambas funciones también será discontinua en a”
Objetivo:
 Identificar la continuidad en operaciones con funciones de variable real.
Rúbrica
 (0%) El alumno califica incorrectamente la proposición
 (Hasta 60%) El alumno califica la proposición en forma correcta pero no
construye un contraejemplo adecuado
 (100%) El alumno califica la proposición en forma correcta y construye un
contraejemplo adecuado
2. Determine si f (x) =
es continua en x = 0
Objetivo Rúbrica
 Interpretar la definición de  (10%) Escribe el criterio de
continuidad en un punto continuidad
 (50%) Calcula los limites
laterales
 (30%) El limite existe y es igual
a la función en cero
 (10%) Llega a la conclusión de
que es continua en x = 0

2. 3. Sea f la función definida por:
a. Grafique la función dada
b. ¿Para qué valores la función f (x) es continua?
Objetivo Rúbrica
 Determinar los intervalos de  (25%) Graficar la función dada
continuidad de la función dada  (20%) Analiza la continuidad en
los números enteros
 (30%) Analiza la continuidad en
los intervalos abiertos entre dos
números enteros consecutivos.
 (25%) Determina los intervalos
de continuidad de la función.
4. Calcular de ser posible el valor de K para que la siguiente función sea continua en
x= 0:
Objetivo Rúbrica
 Analizar la continuidad de una  (40%) Plantear las ecuaciones de
función en un punto y en un limites laterales que se cumple
intervalo en la continuidad de la función
en un punto
 (30%) Cálculos correctos
 (30%) Concluir que no se puede
encontrar el valor de K.
5. Sea f una función definida en el intervalo [-2,2] en donde f (-2) = 6 y f (2) =-6 ,
entonces existe al menos un valor c, tal que c [-2,2] en donde f (c) = 0
Objetivo Rúbrica
 Aplicar y conocer el teorema de  (40%) Elaborar un gráfico con las
valor Intermedio para funciones condiciones dadas.
continuas en un intervalo  (60%)Concluir que no se cumple
cerrado la condición

3. 6. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justifique su
respuesta:
“Sea f una función definida sobre un intervalo cerrado [a, b] y acotada
superiormente por un valor real finito M, y sea c un punto interior en dicho
intervalo.
Si:
Entonces:
Objetivo:
 Identificar la características de acotamiento de una función
 Utilizar la definición intuitiva del limite
 Relacionar el bosquejo grafico con la definición intuitiva del límite.
Rúbrica
 Justificar utilizando un bosquejo gráfico de la situación planteada
 Conclusión correcta a partir del bosquejo gráfico
7. Una función f está definida como sigue:
Siendo a, b, c constantes. Si b y c están dados, hallar todos los valores de a (si
existe alguno) para los que f es continua en el punto x = c
Objetivo:
 Aplicar definición de continuidad
Rúbrica
 (60%) El alumno aplica la definición de continuidad

4.  (100%) El alumno encuentra todos los valores de a para que la función
sea continua en x=c
Derivada
8. Califique cada una de las siguientes proposiciones como falsa o verdadera, y
justifíquela adecuadamente:
“Si f es una función derivable en todo punto x dom f, entonces
Objetivo:
 Establecer otra forma de definir la derivada de una función
Rúbrica
 (Hasta 70%) El alumno realiza manipulaciones algebraicas que conlleve a
la definición de la derivada.
 (100%) El alumno califica correctamente la proposición dada

9. Usando la definición de derivada , hallara la derivada de f (x) :
Objetivo:
 Aplicar la definición de derivada en la función f
Rúbrica
 (15%) El alumno plantea la definición de la derivada.
 (25%) El alumno evalúa correctamente en f (x+h) y f(x)
 (35%) El alumno utiliza correctamente los teoremas de límites y lo
calcula

5.  (25%) El alumno concluye cual es la derivada y los valores para los cuales
existe.
10. Utilice la definición de derivadas para determinar la derivada con respecto a x de
f(x) = ln (x+2)
Objetivo:
 Aplicar la definición de derivada en la función f
Rúbrica
 (15%) El alumno plantea la definición de la derivada.
 (25%) El alumno evalúa correctamente en f (x+h) y f(x)
 (35%) El alumno utiliza correctamente los teoremas de límites y lo
calcula
 (25%) El alumno concluye cual es la derivada y los valores para los cuales
existe.
11. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = sen (x) en x=
Objetivo:
 Determinar la ecuación de la recta tangente en un punto dado.
Rúbrica
 (60%) El alumno aplica la definición de la derivada (pendiente de la recta
tangente).
 (20%) El alumno encuentra el punto, para lo cual necesita determinar el
valor de y para lo cual evalúa en la función.
 (20%) El alumno reemplaza la pendiente y el punto en la ecuación de la
recta tangente.
12. Considere la función definida en IR, f (x) =
a. Por medio de la definición , demuestre que f ´( x )=

6. b. Sea Q el punto de intersección de la recta tangente a f en el punto P.
Encuentre las coordenadas de P, de tal manera que el triangulo con
vértice P, Q y O (siendo O el origen de coordenadas) sea isósceles.
Objetivo:
 Determinar la ecuación de la recta tangente en un punto dado y las
coordenadas del Punto P
Rúbrica
 (40%) El alumno aplica la definición de la derivada (pendiente de la recta
tangente).
 (20%) El alumno obtiene la ecuación de la recta tangente
 (20%) El alumno despeja x de la ecuación de la recta tangente
 (10%) El alumno deja la ecuación en términos de x y obtiene una ecuación
de segundo grado
 (10%) El alumno factoriza la ecuación de segundo grado y obtiene x, y
remplaza este valor en la ecuación para obtener y el punto P será (x,y)
Funciones
13. Encuentre la ecuación de la función definida en IR con regla de correspondencia
+ bx +c, si se conoce que satisface las siguientes condiciones
 IR , f(x) = f(-x)

 f (1)=0
Objetivo:
 Reconocer propiedades de las funciones de variable real
Rúbrica
 (0%) El alumno realiza procesos inconexos que no conlleva a la resolución
del ejercicio.
 (Hasta 30%) El alumno aplica la definición de función par

7.  (Hasta 60%) El alumno aplica la definición de función par e identifica la
condición de valor mínimo de la función
 (Hasta 90%) El alumno aplica la definición de función par , identifica la
condición de valor mínimo de la función y la condición de ceros de la
función .
 (100%) El alumno resuelve correctamente el ejercicio.

14. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando su
respuesta:
“Si f es una función de variable real par y g es una función de variable real impar,
ambas no nulas, la suma f+g es impar”
Objetivo:
 Conocer la definición de una función par e impar y determinar el valor de
verdad de una proposición a partir de su estructura lógica.
Rúbrica
 (30%) El alumno conoce la definición de función par e impar
 (70%) El alumno califica la proposición en forma correcta.
15. Sean f(x) y g(x) funciones de variable real con regla de correspondencia:
a. Grafique y determine la regla de correspondencia (f o g) (x)
b. Determine el dominio y rango de ( f o g) (x)
Objetivo:
 Conocer la definición de una función par e impar y determinar el valor de
verdad de una proposición a partir de su estructura lógica.
Rúbrica
 (20%) El alumno grafica y determina correctamente la regla de
correspondencia para cada intervalo de f (x)
 (20%) El alumno grafica y determina correctamente la regla de
correspondencia para cada intervalo de g (x)

8.  (30%) El alumno grafica y determina correctamente la regla de
correspondencia para cada intervalo de (f o g) (x)
 (15%) El alumno determina correctamente el dominio de (f o g) (x)
 (15%) El alumno determina correctamente el rango de (f o g) (x)
16. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando su
respuesta:
“Si f (x+a) = f (x), entonces f (x- a) = f(x)”
Objetivo:
 Conocer la definición de una función periódica y determinar el valor de
verdad de una proposición a partir de su estructura lógica.
Rúbrica
 (20%) El alumno aplica la definición de función periódica
 (20%) El alumno califica la proposición en forma correcta.
Coordenadas Polares
17. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa:
“La grafica de la ecuación en coordenadas polares es un
par de rectas que se interceptan en un ángulo que mide rad.”
Objetivo:
 Identificar la curva en coordenadas polares, resolviendo la ecuación
trigonométrica dada.
Rúbrica
 (Hasta 30%) El alumno resuelve la ecuación dada
 (Hasta 60%) El alumno identifica la curva en coordenadas polares
 (100%) El alumno califica correctamente la proposición, justificándolo
plenamente.

9. 18. Graficar en un mismo plano
y
Y determinar los puntos de intersección de las curvas dadas.
Objetivo:
 Graficar las curvas , y establecer los puntos de intersección de las
curvas
Rúbrica
 (30%) El alumno grafica
 (30%) El alumno grafica
 (40%) El alumno encuentra las intersecciones de forma analítica y de
forma gráfica.
19. Sean las ecuaciones en coordenadas polares :
Donde a IR.
Determine los puntos de intersección entre las curvas.
Objetivo:
 Graficar las curvas , y establecer los puntos de intersección de las
curvas
Rúbrica
 (30%) El alumno grafica
 (30%) El alumno grafica
 (40%) El alumno encuentra las intersecciones de forma analítica y de
forma gráfica.
20. Hallar la ecuación en COORDENADAS RECTANGULARES de la curva cuyas
ecuaciones paramétricas son:

10. Objetivo:
 Aplicar los conocimientos relacionados a la transformación de ecuaciones
parametricas a rectangulares
Rúbrica
 (20%) El alumno utiliza la identidad trigonométrica adecuada para la
transformación
 (50%) El alumno lleva de la forma paramétrica a rectangular
 (30%) El alumno expresa la ecuación rectangular en forma adecuada.
Límites
21. Calcular:
Objetivo:
 Determinar el valor en el límite de las funciones escalón unitario y entero
mayor
 Evaluar correctamente el limite dado
Rúbrica
 (Hasta 40%) El alumno evalúa el limite unilateral , o de la función escalón
o de la función entero mayor
 (Hasta 40%) El alumno evalúa el limite unilateral de la función escalón y
de la función entero mayor
 (100%) El alumno evalúa correctamente el limite dado-
22. Demostrar:
Objetivo:

11.  Demostración formal del limite dado
Rúbrica
 (Hasta 20%) El alumno aplica la definición de límite para la función dada
 (Hasta 60%) El alumno realiza los cálculos algebraicos para obtener
 (100%) El alumno expresa correctamente el valor de
23. Calcular el siguiente limite
Objetivo:
 Calcular el limite dado y utilizar los limites notables en la resolución de la
indeterminación 0/0
Rúbrica
 (10%) El alumno identifica la indeterminación
 (30%) El alumno efectúa el cambio de variable adecuado
 (30%) El alumno manipula la expresión hasta que tengan la forma de algún
límite notable.
 (30%) El alumno calcula el límite correcto de la nueva expresión obtenida.
24. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando
adecuadamente su respuesta
Objetivo:
 Transferir el significado intuitivo de límites en la formulación de
contraejemplos
Rúbrica

12.  (Hasta 80%) El alumno establece ejemplos que muestra el cumplimiento
de las hipótesis.
 (100%) El alumno califica correctamente la proposición dada.
25. Evalué de ser posible, el siguiente limite:
Objetivo:
Aplicar manipulaciones algebraicas para eliminar indeterminaciones y evaluar
límites trigonométricos especiales.
Rúbrica
 (0%) El alumno no puede plantear una manipulación algebraica adecuada.
 (30%) El alumno realiza algún tipo de manipulación pero no logra llegar a
un resultado.
 (40%) El alumno reconoce límites trigonométricos especiales pero se
equivoca en sus cálculos.
 (30%) El alumno obtiene el limite requerido en forma correcta.