Este documento describe el método del trapecio para la integración numérica. El método aproxima el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando las áreas de los trapecios formados. La regla del trapecio asume que la función es lineal en cada subintervalo. El valor de la integral se aproxima como la suma de las áreas de los trapecios dividida entre el número de subintervalos.

2. METODO DEL TRAPECIO
METÓDOS DE
INTEGRACIÓN
NUMÉRICA
NEWTON COTES
INTEGRACIÓN DE
ROMBERG
REGLA DEL RECTÁNGULO
REGLA DEL TRAPECIO
REGLA DE SIMPSON
METÓDO
EXTRAPOLACION
DE ROMBERG

3. ❑ Es una de las formulas cerradas de integración de Newton-Cotes.
❑ Es un método de integración numérica que nos permite calcular
aproximadamente el valor de un integral definida
❑ Corresponde al caso donde 𝑛 = 1, es decir:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥
❑ Donde 𝑓1 𝑥 es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1)
para los datos:
❑ La función 𝑓(𝑥) debe ser continua en el intervalo [𝑎, 𝑏]
❑ La regla se basa en aproximar el valor de la integral de 𝑓(𝑥) por el de la
función lineal que pasa a través de los puntos 𝑎, 𝑓 𝑎 𝑦 𝑏, 𝑓 𝑏 , donde
este valor aproximado es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la
función lineal.
𝑥
𝑦
𝑎 𝑏
𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏)

4. ❑ El polinomio de interpolación esta dado por:
𝑓1 𝑥 = 𝑓 𝑎 +
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎
(𝑥 − 𝑎)
Integrando este polinomio, tenemos que:
න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑎 +
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎
(𝑥 − 𝑎) 𝑑𝑥
න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑥 𝑎
𝑏 +
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎
(𝑥 − 𝑎)2
2 𝑎
𝑏
න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 +
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑏 − 𝑎
(𝑏 − 𝑎)2
2
න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 + 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
(𝑏 − 𝑎)
2

5. න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 + 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
(𝑏 − 𝑎)
2
Integral estimada
𝑎 𝑏
𝑓 𝑎
𝑓 𝑏
න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 +
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
2
න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎
2𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
2
න
𝑎
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
2
Teniendo así que:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
2
REGLA DEL
TRAPECIO SIMPLE

6. 𝑎 𝑏
𝑥𝑜
…
𝑥𝑛
△ 𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖.△ 𝑥
𝐴𝑇1
=△ 𝑥
𝑓(𝑥𝑜) + 𝑓(𝑥1)
2
𝐴𝑇2
=△ 𝑥
𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)
2
𝐴𝑇𝑛
=△ 𝑥
𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)
2
𝐵
𝑏
ℎ
A = ℎ
𝑏 + 𝐵
2
△ 𝑥 △ 𝑥 △ 𝑥 △ 𝑥
𝑇1
𝑇2
𝑇3
𝑇𝑛−1
𝑇𝑛
Entonces:
…
…
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1
△ 𝑥
𝒇(𝒙𝒊)
𝒙𝒊
𝒇(𝒙
𝟎
)
𝒇(𝒙
𝟏
)
𝒇(𝒙
𝟐
)
𝒇(𝒙
𝟑
)
𝒇(𝒙
𝒏−𝟐
)
𝒇(𝒙
𝒏−𝟏
)
𝒇(𝒙
𝒏
)
REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTO

7. 𝐴𝑇 ≈ 𝐴𝑇1
+ 𝐴𝑇2
+ 𝐴𝑇3
+ ⋯ + 𝐴𝑇𝑛−1
+ 𝐴𝑇𝑛
𝐴𝑇 ≈ △ 𝑥
𝑓(𝑥𝑜)+𝑓(𝑥1)
2
+△ 𝑥
𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)
2
+△ 𝑥
𝑓(𝑥2)+𝑓(𝑥3)
2
+ ⋯ +△ 𝑥
𝑓(𝑥𝑛−2)+𝑓(𝑥𝑛−1)
2
+△ 𝑥
𝑓(𝑥𝑛−1)+𝑓(𝑥𝑛)
2
𝐴𝑇 ≈ △ 𝑥
𝑓(𝑥𝑜)+𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+𝑓(𝑥2)+𝑓(𝑥3)+⋯+𝑓(𝑥𝑛−2)+𝑓(𝑥𝑛−1)+𝑓(𝑥𝑛−1)+𝑓(𝑥𝑛)
2
𝐴𝑇 ≈ △ 𝑥
𝑓(𝑥𝑜)+2𝑓(𝑥1)+2𝑓(𝑥2)+2𝑓(𝑥3)+⋯+2𝑓(𝑥𝑛−1)+𝑓(𝑥𝑛)
2
Entonces:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈△ 𝑥
𝑓(𝑥𝑜) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + 2𝑓(𝑥3) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)
2
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈△ 𝑥
𝑓(𝑥𝑜) + 2 σ𝑖=1
𝑛−1
𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑛)
2
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 ≈ 𝒃 − 𝒂
𝒇 𝒙𝟎 + 𝟐𝒇 𝒙𝟏 + 𝟐𝒇 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝟐𝒇 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒇 𝒙𝒏
𝟐𝒏
Ancho Altura promedio

8. PROCEDIMIENTO:
❑ Primero se determina un ‘’n’’
❑ Hallar ∆𝑥
❑ Hallar los limites de cada intervalo a través de:
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥
❑ Evaluar la función para cada 𝑥𝑖 ∶
𝑥
𝑦
𝑎 𝑥1
𝑓(𝑎) 𝑓(𝑥1)
𝑥2 𝑥3
𝑓(𝑥2) 𝑓(𝑥3)
…
… 𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑥𝑛−1 𝑥𝑛
𝑓(𝑥𝑛)
❑ Aplicar la Regla del Trapecio con los valores obtenidos
❑ Calcular el error

9. ERROR EN LA INTEGRACION NUMÉRICA
❑ Si la función a integrar no es lineal, la regla del trapecio genera un
error. La fórmula para calcular el error de truncamiento local de
una sola aplicación de la regla del trapecio viene dada por:
ERROR
f(a)
f(b)
a b
f(x)
x
INTEGRAL ESTIMADA

10. ❑ ERROR EL LA REGLA DEL TRAPECIO
𝐸𝑇 = ‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏−𝑎
2
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
𝑢 = 𝑓 𝑥 ∧ 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 ∧ 𝑣 = 𝑥 + 𝑐
𝐸𝑇 = 𝑎 + 𝑐 ȁ
𝑓(𝑥) 𝑎
𝑏
- ‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑐 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 −
𝑏−𝑎
2
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
𝑥 + 𝑐 ȁ
𝑓(𝑥) 𝑎
𝑏
=
𝑏−𝑎
2
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
𝑏 + 𝑐 𝑓 𝑏 − 𝑎 + 𝑐 𝑓 𝑎 =
𝑏𝑓 𝑎
2
+
𝑏𝑓 𝑏
2
−
𝑎𝑓 𝑎
2
−
𝑎𝑓 𝑏
2
𝑏𝑓 𝑏 + 𝑐𝑓 𝑏 − 𝑎𝑓 𝑎 − 𝑐𝑓 𝑎 =
𝒃𝒇 𝒂
𝟐
+
𝒃𝒇 𝒃
𝟐
−
𝒂𝒇 𝒂
𝟐
−
𝒂𝒇 𝒃
𝟐
𝑐 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 =
𝑎𝑓 𝑎
2
−
𝑏𝑓 𝑏
2
+
𝑏𝑓 𝑎
2
−
𝑎𝑓(𝑏)
2
𝑐 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = −
𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
2
−
𝑏(𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 )
2
𝑐 = −
𝑎 + 𝑏
2
𝐸𝑇 = − ‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑥 −
𝑎+𝑏
2
𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑓′ 𝑥 ∧ 𝑑𝑣 = 𝑥 −
(𝑎 + 𝑏)
2
𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑓′′ 𝑥 𝑑𝑥 ∧ 𝑣 = 𝑥 −
𝑎 + 𝑏
2
+ 𝑐
2

11. 𝐸𝑇 = −
1
2
𝑥 −
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝑐 ቚ
𝑓´ 𝑥
𝑎
𝑏
+ න
𝑎
𝑏
1
2
𝑥 −
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝑐 𝑓´´ 𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝑇 = −
1
2
𝑏 −
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝑐 𝑓´ 𝑏 +
1
2
𝑎 −
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝑐 𝑓´ 𝑎 + න
𝑎
𝑏
1
2
𝑥 −
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝑐 𝑓´´ 𝑥 𝑑𝑥
1
2
𝑏 −
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝑐 𝑓´ 𝑏 =
1
2
𝑎 −
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝑐 𝑓´ 𝑎
1
2
𝑏 − 𝑎
2
2
+ 𝑐 𝑓´ 𝑏 =
1
2
𝑎 − 𝑏
2
2
+ 𝑐 𝑓´ 𝑎
1
2
𝑏 − 𝑎
2
2
𝑓´ 𝑏 + 𝑐𝑓´ 𝑏 =
1
2
𝑎 − 𝑏
2
2
𝑓´ 𝑎 + 𝑐𝑓´ 𝑎
1
2
𝑏 − 𝑎
2
2
𝑓´ 𝑏 − 𝑓´ 𝑎 = −𝑐(𝑓´ 𝑏 − 𝑓´ 𝑎 )
𝑐 = −
1
2
𝑏 − 𝑎
2
2
𝐸𝑇 = න
𝑎
𝑏
1
2
𝑥 −
𝑎 + 𝑏
2
2
−
1
2
𝑏 − 𝑎
2
2
𝑓´´ 𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝑇 = 𝑓´´ 𝜀 න
𝑎
𝑏
1
2
𝑥 −
𝑎 + 𝑏
2
2
−
1
2
𝑏 − 𝑎
2
2
𝑑𝑥
𝐼 = ቮ
1
6
𝑥 −
𝑎 + 𝑏
2
3
−
1
2
𝑏 − 𝑎
2
2
𝑥
𝑎
𝑏

12. 3 2 3 2
1 1 1 1
6 2 2 2 6 2 2 2
a b b a a b b a
I b b a a
+ − + −
       
= − − − − +
       
       
3 2 3 2
1 1 1 1
6 2 2 2 6 2 2 2
b a b a a b b a
I b a
− − − −
       
= − − +
       
       
( ) ( )
2
1 1 1
2 2 3 2 3 2
b a b a
b a
I b a
− −
 
−
 
= − + +
 
 
   
( ) ( )
2
1
2 2 6 6
b a b a
b a
I b a
− −
 
−
 
= − + +
 
 
   
( ) ( )
2
2
1
2 2 6 2 2
b a b a
b a b a
I
− −
 
− −
 
= − +
 
 
   
( )
2
2
1
2 2 3
b a
b a
I
− −
 
−
 
=  
 
   
( ) ( )
2
2
1
2 2 6 2 2
b a b a
b a b a
I
− −
 
− −
 
= − +
 
 
   
( )
2
2
1
2 2 3
b a
b a
I
− −
 
−
 
=  
 
   

13. ( )
( )
3
12
t
b a
E f 
−

= −
0
x a
= 1
x 2
x 3
x 2
n
x − 1
n
x − n
x b
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3
1 0 2 1 3 2 1
1 2 3 ...
12 12 12 12
n n
t n
x x x x x x x x
E f f f f
   
−
− − − −
   
= − − − − −
1
i i
b a
x x h
n
+
−
− = =
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
...
12
t n
b a
E f f f f
n
   
−
     
= − + + + +
 
   
 
1
 2
 3
 1
n
 − n

❑ Para la regla compuesta el error es la conjunción de los errores de todos
sus intervalos:
❑ Como n=1
❑ Para “n” intervalos
…
…

14. ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
...
12
t n
b a
E f f f f
n
   
−
     
= − + + + +
 
   
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 3
2
...
12
n
t
b a f f f f
E
n
n
   
   
− + + + +
 
= −  
 
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 ... n
f f f f
f
n
   
   
+ + + +
 =
( )
3
2
12
t
b a
E f
n
−
 

= −  

15. Cuando solo se tiene un intervalo [a, b]
Se aplica la siguiente formula න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 ≈ 𝒃 − 𝒂
𝒇 𝒂 + 𝒇 𝒃
𝟐
Formula de la regla
del trapecio simple
Ejemplo 1
Utilizar la regla del trapecio para
obtener una aproximación de la siguiente
integral definida, en el intervalo[-1, 1]
න
−𝟏
𝟏
𝒆𝒙𝟒
𝒅𝒙
Datos
a=-1
b=1
𝒇 𝒂 = 𝒇 −𝟏 = 𝒆 −𝟏 𝟒
= 𝒆𝟏 = 𝒆
Siendo 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥4
Por lo tanto reemplazando en la formula
න
−1
1
𝑒𝑥4
𝑑𝑥 ≈ 1 − −1
𝑒 + 𝑒
2
= 2 2
𝑒
2
= 2𝑒
න
−1
1
𝑒𝑥4
𝑑𝑥 ≈ 5,436563657
Resolución
𝒇 𝒃 = 𝒇 𝟏 = 𝒆 𝟏 𝟒
= 𝒆𝟏
= 𝒆

16. Cuando el intervalo [a, b] se divide en subintervalos
Se aplica la siguiente formula න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 ≈ 𝒃 − 𝒂
𝒇 𝒙𝟎 + 𝟐𝒇 𝒙𝟏 + 𝟐𝒇 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝟐𝒇 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒇 𝒙𝒏
𝟐𝒏
Formula de la regla
del trapecio múltiple
Ejemplo 2
Utilizar la regla del trapecio para obtener una
aproximación de la siguiente integral definida,
en el intervalo [-1, 1] si n=5
Con x0 = a
xn = b
න
−𝟏
𝟏
𝒆𝒙𝟒
𝒅𝒙
Datos
n=5
a=-1
b=1
Paso 1
Hallamos en ancho de cada uno de los
subintervalos
Siendo 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥4
Δ𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
=
1− −1
5
=
2
5
= 0.4
Encontrar los limites de cada uno
de los intervalos
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖Δ𝑥
𝒙𝟎 = −𝟏 + 𝟎
𝟐
𝟓
= −𝟏
𝒙𝟏 = −𝟏 + 𝟏
𝟐
𝟓
= −𝟎. 𝟔
𝒙𝟐 = −𝟏 + 𝟐
𝟐
𝟓
= −𝟎. 𝟐
𝒙𝟑 = −𝟏 + 𝟑
𝟐
𝟓
= 𝟎. 𝟐
𝒙𝟒 = −𝟏 + 𝟒
𝟐
𝟓
= 𝟎. 𝟔
𝒙𝟓 = −𝟏 + 𝟓
𝟐
𝟓
= 𝟏
𝒇 𝒙𝟎 = 𝒇 −𝟏 = 𝒆 −𝟏 𝟒
= 𝒆𝟏
𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 −𝟎. 𝟔 = 𝒆 −𝟎.𝟔 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
𝒇 𝒙𝟐 = 𝒇 −𝟎. 𝟐 = 𝒆 −𝟎.𝟐 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
𝒇 𝒙𝟑 = 𝒇 𝟎. 𝟐 = 𝒆 𝟎.𝟐 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
𝒇 𝒙𝟒 = 𝒇 𝟎. 𝟔 = 𝒆 𝟎.𝟔 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
𝒇 𝒙𝟓 = 𝒇 𝟏 = 𝒆 𝟏 𝟒
= 𝒆𝟏
Resolución
Paso 2

17. න
−𝟏
𝟏
𝒆𝒙𝟒
𝒅𝒙 ≈ 𝟏 − −𝟏
𝒆𝟏
+ 𝟐 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
+ 𝟐 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
+ 𝟐 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
+ 𝟐 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
+ 𝒆𝟏
𝟐 𝟓
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅 𝒙 ≈ 𝒃 − 𝒂
𝒇 𝒙𝟎 + 𝟐𝒇 𝒙𝟏 + 𝟐𝒇 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝟐𝒇 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒇 𝒙𝒏
𝟐𝒏
Por lo tanto reemplazando en la formula
න
−𝟏
𝟏
𝒆𝒙𝟒
𝒅𝒙 ≈ 𝟐
𝟐𝒆𝟏
+ 𝟒 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
+ 𝟒 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
𝟐(𝟓)
න
−𝟏
𝟏
𝒆𝒙𝟒
𝒅𝒙 ≈
𝟐𝒆𝟏
+ 𝟒 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
+ 𝟒 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
𝟓
න
−𝟏
𝟏
𝒆𝒙𝟒
𝒅𝒙 ≈
𝟐(𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖) + 𝟒 𝟏. 𝟏𝟑𝟖𝟑𝟕𝟐𝟗 + 𝟒 𝟏. 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟎𝟏𝟑
𝟓
න
−𝟏
𝟏
𝒆𝒙𝟒
𝒅𝒙 ≈ 𝟐. 𝟕𝟗𝟗𝟐𝟗𝟐𝟏𝟏𝟎𝟑𝟖
𝒇 𝒙𝟎 = 𝒇 −𝟏 = 𝒆 −𝟏 𝟒
= 𝒆𝟏
𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 −𝟎. 𝟔 = 𝒆 −𝟎.𝟔 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
𝒇 𝒙𝟐 = 𝒇 −𝟎. 𝟐 = 𝒆 −𝟎.𝟐 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
𝒇 𝒙𝟑 = 𝒇 𝟎. 𝟐 = 𝒆 𝟎.𝟐 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔
𝒇 𝒙𝟒 = 𝒇 𝟎. 𝟔 = 𝒆 𝟎.𝟔 𝟒
= 𝒆𝟎.𝟏𝟐𝟗𝟔
𝒇 𝒙𝟓 = 𝒇 𝟏 = 𝒆 𝟏 𝟒
= 𝒆𝟏
n=5
a=-1
b=1

18. Analizando los 2 ejemplos anteriores
Cuando solo se tiene un intervalo (a, b) Cuando el intervalo (a, b) se divide en subintervalos
error error
5.44 2.84
error
error error

19. Determinar ‫׬‬−𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝒆−
𝒙𝟐
𝟐 𝒅𝒙 𝒖𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒏 = 𝟔
❑ Paso 1: calculamos el ancho de cada uno de los sub intervalos ∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
→ ∆𝑥 =
2 − (−2)
6
=
4
6
= 0.666667 𝑎𝑠í → ∆𝑥 = 0.666667 =
2
3
Ejemplo 3
Resolución:

20. ❑ Paso 2: encontramos los limites de cada uno de los sub intervalos → 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥
Entonces :
• 𝑥 0 = −2 + 0
2
3
= −2
• 𝑥 1 = −2 + 1
2
3
= −
4
3
= −1.33333
• 𝑥 2 = −2 + 2
2
3
= −
2
3
= −0.66667
• 𝑥 3 = −2 + 3
2
3
= 0
• 𝑥 4 = −2 + 4
2
3
=
2
3
= 0.66667
• 𝑥 5 = −2 + 5
2
3
=
4
3
= 1.33333
• 𝑥 6 = −2 + 6
2
3
= 2
Entonces:
0 −2
1
−
4
3
2
−
2
3
3 0
4 2
3
5 4
3
6 2
𝑖 𝑥𝑖

21. ❑ Paso 3: usar la forma general:
‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
∆𝑥
2
𝑓 𝑥0 + 2𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥2 + ⋯ + 2𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛
‫׬‬
−2
2 1
2
𝑒−
𝑥2
2 𝑑𝑥 =
(
2
3
)
2
𝑓 −2 + 2𝑓 −
4
3
+ 2𝑓 −
2
3
+ 2𝑓 0 + 2𝑓
2
3
+ 2𝑓
4
3
+ 𝑓 2
❑ Paso 4: evaluar la función en cada punto:
‫׬‬−2
2 1
2
𝑒−
𝑥2
2 𝑑𝑥 =
(
2
3
)
2
1
2
𝑒−
−2 2
2 + 2
1
2
𝑒−
−
4
3
2
2 + 2
1
2
𝑒−
−
2
3
2
2 + 2
1
2
𝑒−
0 2
2 + 2
1
2
𝑒−
2
3
2
2 + 2
1
2
𝑒−
4
3
2
2 +
1
2
𝑒−
2 2
2
2 × 0.29070
0.09570 2 × 0.56621 2 × 0.70712 2 × 0.56621 2 × 0.29070 0.09570
Grafica:

22. ‫׬‬
−2
2 1
2
𝑒−
𝑥2
2 𝑑𝑥 ≈ 1.6778 𝑢2
Determinación de error
𝑬 ≤
(𝒃 − 𝒂)𝟑
𝟏𝟐𝒏𝟐
𝒎𝒂𝒙 𝒇´´(𝒙)
• Hallamos las derivada
𝑓´ 𝑥 =
1
2
−
1
2
(2𝑥)𝑒−
𝑥2
2
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑒−
𝑥2
2
𝑓´ 𝑥 =
1
2
(−𝑥)𝑒−
𝑥2
2
𝑓´´ 𝑥 = −
1
2
𝑒−
𝑥2
2 −𝑥(𝑥)( 𝑒−
𝑥2
2 )
𝑓´´ 𝑥 = −
1
2
𝑒−
𝑥2
2 1 − 𝑥2
𝑓´´ 𝑥 =
𝑥2
− 1
2
𝑒−
𝑥2
2
1ra. derivada
2da. derivada

23. 𝐸 ≤
(2 − (−2))3
12(6)2
𝑚𝑎𝑥 𝑓´´(𝑥)
𝐸 ≤
(𝑏 − 𝑎)3
12𝑛2
𝑚𝑎𝑥 𝑓´´(𝑥)
Para determinar el Max(f´´(x)) entonces
𝑓´´ 𝑥 =
𝑥2
− 1
2
𝑒−
𝑥2
2
Derivamos por 3ra vez para y el resultado
igualamos a cero para determinar el punto
máximo
𝑓´´´ 𝑥 =
1
2
−𝑥(𝑥2
− 1)𝑒−
𝑥2
2 +2𝑥( 𝑒−
𝑥2
2 )
1
2
−𝑥(𝑥2
− 1)𝑒−
𝑥2
2 +2𝑥( 𝑒−
𝑥2
2 ) = 0
𝑥 = 0
𝑦 = −0.71
𝑥 = 3
𝑦 = 0.32
𝑥 = − 3
𝑦 = 0.32
𝐸 ≤
(2 − (−2))3
12(6)2
0.32
𝐸 ≤
64
12 6 2
0.32 = 0.04842 𝐸 ≤ 0.04842

24. ALGORITMO DEL MÉTODO DEL
TRAPECIO EN MATLAB

28. ALGORITMO DEL MÉTODO
DEL TRAPECIO EN EXCEL

31. ❑ Una de las conclusiones más importantes que podemos señalar es que este método de
integración nos sirve para poder aproximar los valores de aquellas integrales que no se
podrían resolver por los métodos de integración ya conocidos siendo incluso más preciso
para un valor aproximado de una integral a comparación del método del rectángulo.
❑ Se concluye que el error es aquella región que no llegamos a cubrir con la función lineal
que une los puntos extremos de la integral o aquellas regiones que se exceden en las
subdivisiones que se le hace a la función en integración, por ello a mayor subintervalos
menor será el error en el cálculo del área estimada
❑ Existe una desventaja de usar programas como Matlab o Excel para el método del
trapecio debido a la complejidad de ingresar las funciones para cada ejercicio que
solicitan los algoritmos o códigos respectivamente, además de que se presentan
pequeñas diferencias en los resultados obtenidos comparados con el obtenido de forma
analítica.
CONCLUSIONES:

32. ❑ VASQUEZ, I. R. S. métodos numéricos para ingeniería.
❑ SANCHEZ, E. R. E. (2006). Métodos numéricos. Departamento de Informática.
❑ Chapra, S. C., Canale, R. P., Ruiz, R. S. G., Mercado, V. H. I., Díaz, E. M., & Benites,
G. E. (2011). Métodos numéricos para ingenieros (Vol. 5). McGraw-Hill.
❑ Tapia Marfil, C. (2017). Métodos numéricos aplicados a la ingeniería naval. Énfasis
en los módulos de integración numérica y ecuaciones diferenciales.
❑ Infante, J. A., & Rey, J. M. (1999). Métodos numéricos. Teoría, problemas y
prácticas con MATLAB, Ed.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS: