trabajo de matemática. Unidad #1 Contenido: Suma, resta y valor numérico de expresiones algebraicas. Multiplicación y división de expresiones algebraicas. Productos notables de expresiones algebraicas. Factorización de productos notables.

1. Unidad 1
Expresiones Algebraicas, Factorización y Radicación .
República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Polar Para La Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
Estudiantes:
Catherine Mendoza C.I 31926625.
Wismer Riera. C.I 32570602.
Materia: Matemática.
Sección: 0232.
Docente: Prof. Nelson Torcate.

2. Suma de expresiones algebraicas:
Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión
algebraica (suma).
Ejercicios
1. Hallar la suma de 6a y 9a.
6a+9a= 15a.
2. Hallar la suma de 6a; 7a.
6a+ 7a= 13a .
Regla para sumar
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben
unas a continuación de las otras con sus propios signos y se
reducen los términos semejantes si los hay.
Suma de monomios: Lo escribimos a continuación de otros
con sus propios signos, el orden de los sumandos no altera la
suma. Cuando algún sumando es negativo suele incluirse
dentro de un paréntesis para indicar la suma.
Ejercicios
a) A 3x²y sumarle -5x²y.
3x²y + ( -5x²y) = 3x²y -5x²y = -2x2y
b) Sumar 3x; -5y; -6x; -2y ;x ; 4y.
3x + (-5y) + (-6x) + (-2y) + x + 4y = 3x - 5y - 6x - 2y + x + 4y
=
(3x-6x+x)+(-5y-2y+4y) = -2x + (-3y) = -2x -3y
Suma de polinomios: Para realizar la suma de dos o más
polinomios, se debe sumar los coeficientes de los términos
cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y
exponentes (o grados) deben ser los mismos en los
términos a sumar.
Ejercicios
Sumar:
1. a4-b4; - a3b+a2b2 – ab3; -3a4+5a3b-4a2b2;-4ab3
a4-b4 –a3b+a2b2-ab3-3a4+5a3b-4a2b2-4ab3
= -2a4-b4+4a3b-3a2b2-5ab3.
2. 3x2+xy-y2; -5x2-3y2;2xy+y2;4x2-3xy-2y2+5
3x2+xy-y2-5x2-3y2+2xy+y2+4x2-3xy-2y2+5
=2x2-5y2+5.

3. Resta de expresiones algebraicas
Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos
sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustrayendo), hallar el
otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta
definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que
ser el minuendo.
Ejercicios
1. A 13mn restarle 16mn
13mn-16mn= -3mn
3. Restar -6x de 9x
-6x+9x= 3x
Regla general para restar
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se
reducen los términos semejantes, si los hay.
Resta de monomios: En la resta de monomios, de lo que se
trata es de realizar una reducción entre monomios semejantes,
es decir, con la misma composición de variables, no pudiendo
realizarse en caso contrario, siendo el resultado de esta
operación, otro monomio.
Ejercicios
1. Restar 20m de 5m
-20m+5m = -15m
2. De 3xy restar 9xy
3xy - 9xy = -6xy
Resta de polinomios: La resta de polinomios consiste en
sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. También
podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno
debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden
en columnas y se puedan sumar.
Ejercicios
1. De 7x+3y restar 5x-4y
7x+3y – (5x+4y) = 7x+3y -5x -4y = 2x -y
2. De 4a restar 3a+6b
4ª – (3ª + 6b) = 4a – 3a – 6b = a-6b

4. Valor numérico de expresiones
algebraicas
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se
obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar
después las operaciones indicadas.
Hallar el valor de las siguientes expresiones si:
a=3, b=4, c=6
1)a+b = 3+4 = 7
2) ac = a.c = 3.6 = 18
Valor numérico de expresiones simples:
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
a= 2: b = 3; m = ½; n = ⅓;
1) 4ab = 4.2.3= 24
2) b²mn = 3² . ½ . ⅓ = 9 . ⅙ = 9/6
Valor numérico de expresiones compuestas:
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes
para:
a= 3, b= 4, c= ⅓, d= ½, m= 6, n= ¼
1) ab/n + ac/d * bd/m = 3.4 / ¼ + 3 . ⅓ / ½ * 4 . ½ / 6 =
¹²/¹ / ¼ + ¹/¹ / ½ - 2 / 6 = 48 + 2 - ⅓ = ⁵⁰/¹ - ⅓ = ¹⁵⁰ - ¹ / 3
= ¹⁴⁹ / 3 = 49 ⅔
Multiplicación de expresiones algebraicas
Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada
producto, que sea respecto del multiplicando, es valor absoluto y signo,
lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.
El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto, esta propiedad,
demostrada en aritmética, se cumple también en algebra. Los factores
de un producto pueden agruparse de cualquier modo.

5. Casos de la multiplicación
Distinguiremos 3 casos: Multiplicación de monomios, multiplicación
de un polinomio por un monomio. Multiplicación de polinomios.
Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes y a
continuación de este producto se escriben las letras de los factores
en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la
suma de los exponentes que tenga en los factores.
Ejercicios
1) 6x² . 4x⁵ = 24x⁷
2) 5x⁴y³(-6x⁵) = 30x⁹y³
Multiplicación de un polinomio por un monomio: Multiplicación
de un Polinomio por un monomio y Producto de un Polinomio por otro
Polinomio. Para continuar con la multiplicación de polinomios, se
coloca el polinomio como multiplicando y el monomio como
multiplicador y seguidamente multiplicamos el monomio por cada
término del polinomio.
Ejercicios
1) 6x³(3x⁴ + 4y⅘) = 18x⁷ + 24x³y⁴
2) -⁶/⁵x³ (⅔x⁴ -³/⁶y⁴) = -¹²/¹⁵x⁷ + ¹⁸/³⁰x³y⁴
Multiplicación de polinomios: El producto de polinomios se
obtiene multiplicando cada término del primero por el segundo y
reduciendo luego los términos semejantes. De este modo
obtenemos el polinomio resultante. Así, comprobamos, así como
nos da la misma solución por ambos métodos.
Ejercicios
1) (4x+3y) (6x-5y) = 24x² – 20xy + 18xy – 15y²
= 24x² – 2xy – 15y²
2) 3 (2x³ − 3x² + 4x − 2) =
6x³ − 9x² + 12x – 6

6. División de expresiones algebraicas
Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos
factores (Dividendo y uno de los factores (Divisor), hallar el otro
factor (Cociente). De esta definición se deduce que el cociente
multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.
División de monomios: Se dividen los coeficientes y las literales
se restan junto con sus exponentes.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir,
restando los exponentes.
Ejercicios
Dividir 30a³ ÷ 3a–³, representado será:
30a³3a–3 = 30a³3a–³ (a³)(a³) = 30a(³ + ³)3a(–³ + ³) = 30a⁶3a⁰ = 10a⁶
Dividir 6a2b2 entre –2ab, se tendrá:
6a²b²–2ab = 6a²b²–2ab (a–1b–1)(a–1b–1)
= 6a(² – ¹) b(² – ¹) – 2a(¹– ¹ ) b(¹–¹) = –3ab
División de polinomio entre monomio: Se realiza dividiendo cada
uno de los factores del polinomio entre el factor del monomio.
Ejercicios
1) 2x⁴ – 4x³ + 8x² – 12x / 2x = 2x⁴/ 2x - 4x³ / 2x +8x² / 2x - 12x / 2x
= X3- 2x² +4x - 6
2) 2x⁶ - 4x⁴ + x² / 2x² = 2x⁶ / 2x² - 4x⁴ / 2x² + x² / 2x² = X⁴ - 2x² + ½
División de polinomios: Para dividir un polinomio entre otro
polinomio es necesario seguir los siguientes pasos.
1.Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabético.
2.Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor.
3.Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el
producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo
dividendo.
4.Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor
exponente que el dividendo.
Ejercicios
D(x) = 2x² + x -2 d(x) = X = 2x² + x -2 / 2 = 2x + 1

7. Producto notable de expresiones
algebraicas
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con
expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas
reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de
muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados
perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y
recíprocamente.
Binomio al cuadrado: Para elevar un binomio al cuadrado (es
decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada
término con el doble del producto de ellos.
Ejercicios
A) (5a + 2)² = 25a² + 20a + 4
B) (2a + 3)² = 4a² + 12a + 9
C) (3ab + 4c)² = 9a²b² + 24abc + 16c²
Producto de dos binomios con un término común: Cuando se
multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del
término común se suma con el producto del término común por la suma
de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos
diferentes.
Ejercicios:
(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) = x² + (2 + 3)x + 2 · 3 = x² + 5x + 6
(a + 5) (a + 8) = a² + ( 5 + 8) a + (5)(8)
(a + 5) (x + 8) = a² + 13a + 40
Cuadrado de la diferencia de dos términos: El multiplicar (a – b)(a –
b) equivale a elevar al cuadrado (a – b) y al realizar la operación se
tiene:
(a – b)² = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²
Como se puede observar es el mismo procedimiento que la suma de
dos cantidades, únicamente se debe tener cuidado en el signo.
Ejercicios:
1. (x – y)² = x² – 2xy + y²
2. (2x – 2y)² = 4x² – 8xy + 4y²
3. (5v – 4w)² = 25v² – 40vw + 16 w²

8. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades: Sea
el producto (a + b)(a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b².
En este caso el término medio se anula y el resultado es el primer
término elevado al cuadrado menos el segundo término elevado al
cuadrado.
Ejercicios:
1) (a – x)(x + a) =
(a – x)(a+x) = a² – x²
2) (1 – 3ax) (3ax + 1)
= (1 – 3ax) (1 + 3ax)
= 1 – 9a²x²
Producto de dos binomios conjugados: Dos binomios
conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su
multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos
(obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se
obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejercicios:
(a + c)*(a – c) = a² – c² = a² – ac + ac – c² = a² – c²
(4x + 8y²)*(4x – 8y²) = 16x² – 64y⁴ = 16x² – 32xy² + 32xy² – 64y⁴
= 16x² – 64y⁴
Polinomio al cuadrado: Para elevar un polinomio de cualquier
cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término
individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de
cada posible par de términos.
Ejercicios:
(3a + b - c)² = (3a)² + b² + (-c)² + 2(3a)(b) + 2 (3a)(-c) + 2(b)(-c)
= 9a² + b² + c² + 6ab – 6ac – 2bc
(2a2 – 3a + 1)² = (2a2)² + (-3a)² + (1)² + 2(2a)(-3a) + 2 (2a2)(1)
= 4a² + 9a² + 1 -12a³ + 4ab – 6ª
= 4ª⁴ – 12a³ + 13a²
Binomio al cubo: Para calcular el cubo de un binomio se suman,
sucesivamente:
§ El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del
primero por el segundo.
§ El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
§ El cubo del segundo término.
Ejercicios:
(2x + 3y)³ = (2x)³ + 3 (2)²(3y) + 3 (2x) (3y)² + (3y)³
= 23(x³) + 3 (22x²) (3y) + 3 (2x) (32y²) + 33y³
= (2x + 3y)³ = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

9. Factorización por Productos Notables.
Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones
cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en
transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más
factores.
• Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.)
como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan
los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del
polinomio por el F.C.
CASO I: Factor común monomio:
Descomponer en factores a² + 2a
a² y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a
como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los
cocientes obtenidos de dividir a² ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos: a²
+ 2a = a(a + 2)
Ejercicios:
1. Descomponer 10b - 30ab.
10b ÷ 10b = 1 y - 30ab² ÷ 10b = - 3ab, y tendremos:
10b - 3ab² = 10b(1 - 3ab)
2. Descomponer 10a² - 5a + 15a³
10a 2 - 5a + 15a 3 = 5a(2a - 1 + 3a 2 )
CASO II: Factor común polinomio:
Descomponer x (a + b) + m (a + b)
Estos dos términos tienen como factor común el binomio
(a + b), por lo que ponemos (a + b) como coeficiente de un
paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de
dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor
común (a + b), o sea:
X(a + b) = x ym(a + b) = m y obtendremos:
(a + b) (a + b)
X (a + b) + m (a + b) = (a + b) (x + m)
Ejercicios:
1.Descomponer: 2x (a – 1) – y ( a – 1).
2x (a – 1) = 2x y -y (a – 1) = -y
(a – 1) (a – 1)
2x (a – 1) –y (a – 1) = (a – 1)(2x – y)

10. CASO III: Factor común por agrupación de términos:
Descomponer en factores ax + bx + ay + by
Los dos primeros términos tiene el factor común x y los dos últimos
el factor común y. Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y
los dos últimos en otro, precedido del signo + porque el tercer
término tiene el signo (+):
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x (a + b) + y (a + b)
= (a + b) (x + y)
Ejercicios:
1. Factorar 3m² – 6mn + 4m – 8n.
3m² – 6mn + 4m – 8n = (3m² – 6mn) + ((4m – 8n)
= 3m (m – 2n) + 4(m – 2n)
= (m – 2n) (3m + 4)
2. Factorar: 2x² – 3xy – 4x + 6y.
2x² – 3xy – 4x + 6y = (2x² – 3xy) - (4x – 6y)
= x (2x – 3y) -2 (2x – 3y)
= (2x – 3y) (x -2)
Bibliografía
Baldor, A. (1980). álgebra. Madrid: Cultura Centroamericana.
Santillana. (2012). Matemática 2do año. Caracas: Autor.