Este documento presenta el método Monte Carlo para simulaciones computacionales. Explica que el método Monte Carlo resuelve problemas mediante la simulación de procesos aleatorios, como seguir la trayectoria de neutrones que atraviesan una barrera. También describe cómo generar números aleatorios y pseudoaleatorios que son esenciales para las simulaciones Monte Carlo.

1. Departamento de Física
F4002 – Simulaciones computacionales
Sergio Camacho
sergio.camacho@itesm.mx
A4-423-B
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© Sergio Camacho
F4002
Simulaciones
Computacionales
 Preámbulo
 Monte Carlo
 Números
aleatorios

2.  Motivación: Estudiar la forma en que los neutrones atraviesan una barrera.
 Problema: Un neutrón puede reaccionar en diferentes formas con la
materia; i.e. puede…
o ser absorbido
o ser dispersado, ya sea elástica o inelásticamente
o no ser afectado
 Se sabe que la probabilidad de estos eventos depende de la energía del
neutrón y es un valor conocido. No obstante, no es posible resolver este
problema mediante un análisis matemático convencional.
 En 1947, Ulan and von Neumann resolvieron este problema mediante un
nuevo método numérico denominado Monte Carlo.
o Se sigue la trayectoria de un solo neutrón a través de la barrera y se
toma una decisión estadística para determinar si atravesó la barrera o
no en cada interacción.
o Al repetir este proceso para un número grande de neutrones
individuales, se puede determinar la proporción de neutrones que
atraviesan la barrera con una precisión razonable.
Preámbulo
 Preámbulo
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Simulaciones
Computacionales
 Monte Carlo
 Números
aleatorios

3.  Escenario: Dado que un cuerpo da 𝑛 pasos, cada uno de longitud 𝑑 y en
direcciones aleatorias; ¿cuál es la relación entre 𝑛 y la distancia final
recorrida?
 En 1D, con un número 𝑟 con densidad de probabilidad uniforme en el rango
0 a 1.
o +1 para 0 ≤ 𝑟 ≤ 0.50
o −1 para 0.50 < 𝑟 ≤ 1
 De hecho, en 1905, Einstein resolvió este problema relacionado al
movimiento Browniano.
o El valor cuadrático medio de la distancia final recorrida a partir del
punto inicial tras 𝑛 pasos de longitud unitaria en una dirección
aleatoria es 𝒏 𝟏/𝟐.
Una caminata aleatoria
 Preámbulo
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Simulaciones
Computacionales
 Monte Carlo
 Números
aleatorios

4.  Los ejemplos anteriores ilustran los principios generales del método Monte
Carlo.
 El método Monte Carlo es uno de los primeros métodos de búsqueda
aleatoria, que favorece la localización de máximos globales.
 Asimismo, muestra diagramas de fase y se utiliza para predecir sistemas
físicos aleatorios.
 Una de sus características es que proporciona un valor estimado y una
desviación; es decir, la reducción de la desviación estándar, o varianza, es un
aspecto importante de la aplicación del método.
Método Monte Carlo
 Preámbulo
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Computacionales
 Monte Carlo
 Números
aleatorios

5.  La generación de números “realmente” aleatorios no es trivial.
 Una forma infallible de generar números “realmente” aleatorios es a través
de dispositivos físicos y electrónicos.
Números aleatorios
 Preámbulo
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Computacionales
 Monte Carlo
 Números
aleatorios

6.  HotBits genera números “realmente” aleatorios a partir de intervalos
sucesivos de decaimiento radioactivo del Cesio-137, esencialmente
muestreando ruido atmosférico.
0.8 kbits/s
 Random.org genera números “realmente” aleatorios a partir de señales de
radio muestreadas digitalmente, esencialmente muestreando ruido
atmosférico.
3 kbits/s
 RandomNumbers.info genera números “realmente” aleatorios a partir de la
reflexión/transmisión cuántica de fotones a través de un espejo
semireflexivo.
4,000 kbits/s @ USB
Números aleatorios en WWW
 Preámbulo
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Simulaciones
Computacionales
 Monte Carlo
 Números
aleatorios

7.  En la mayoría de los casos, la generación de números “realmente” aleatorios
implica métodos demasiado lentos o demasiados costosos.
 Una solución empleada en informática es usar números que no son
realmente aleatorios, pero que lucen de esa manera.
 Estos número, denominados números pseudo-aleatorios, pasan las pruebas
matemáticas de aleatoridad, pero no son realmente aleatorios en el sentido
de que una misma secuencia puede ser generada nuevamente.
 Los números pseudo-aleatorios se generan a partir de una función
matemática simple; e.g,
Método del centro de la cuadratura
1. Seleccionar semilla (sin una razón en particular): 𝑥0 = 3943
2. Elevar al cuadrado la semilla: 𝑥0
2
= 15547249
3. Seleccionar los cuatro dígitos centrales de la operación anterior: 𝑥1 = 5472
4. Poner un decimal a la izquierda del número anterior: 𝒚 𝟏 = 𝟎. 𝟓𝟒𝟕𝟐
5. Iterar 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛
Números pseudo-aleatorios
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Computacionales
 Monte Carlo
 Números
aleatorios
0.5472, 0.9427, 0.8683, 0.3944, 0.5551,
0.8136, 0.1944, 0.7791, 0.6996, 0.9440

8. Generadores de congruencia lineal
𝑥 𝑛+1 = (𝛼𝑥 𝑛+𝛽) MOD 𝑚
donde
𝑥 𝑛 es la semila
𝛼, 𝛽 y 𝑚 son constantes determinadas por el programador
MOD 𝑚 es el residuo entero de
(𝛼𝑥 𝑛+𝛽)
𝑚
• Permite generar números aleatorios entre 0 y 𝑚 − 1
Números pseudo-aleatorios
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Simulaciones
Computacionales
 Monte Carlo
 Números
aleatorios

9.  Los números pseudo-aleatorios son esenciales en la prueba de simulaciones
y juegos.
 Al utilizar la misma raíz, los programadores pueden entonces hacer que un
modelo computacional se comporte exactamente igual en dos ejecuciones
diferentes.
 Lo anterior es particularmente útil durante un proceso de depuración.
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 Números
aleatorios
Números pseudo-aleatorios