1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Ilustración deIlustración de
la integral cona eg a co
métodos ymétodos y
li iaplicacionesp
Pablo García y Colomé

2. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Integración
por partes

3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( ) ( )u f x y v g x= =( ) ( )u f x y v g x
( )d uv udv vdu+( )d uv udv vdu= +
( )udv d uv vdu= −
udv uv vdu= −∫ ∫udv uv vdu∫ ∫

4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2x sen x dx∫
cos2
; 2
2
x
u x du dx dv sen x dx v= ⇒ = = ⇒ = −
2
udv uv vdu= −∫ ∫∫ ∫
2 cos2
2
2 2
xcos x x
x sen x dx dx
⎛ ⎞
= − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫2 2⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
2 1
2 cos2
xcos x
x sen x dx x dx= +∫ ∫2 cos2
2 2
x sen x dx x dx= − +∫ ∫
2 2
2
xcos x sen x
d C∫ 2
2 4
cos se
x sen x dx C∴ = − + +∫

5. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
lnx dx∫∫
d
ln ;
dx
u x du dv dx v x
x
= ⇒ = = ⇒ =
ln ln
dx
x dx x x x
x
= −∫ ∫ x∫ ∫
ln lnx dx x x dx= −∫ ∫∫ ∫
ln lnx dx x x x C∴ = +∫ln lnx dx x x x C∴ = − +∫

6. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 3x
x e dx∫∫
3x
e2 3
2 ;
3
x e
u x du x dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ =
( )
2 3 3
2 3
2
x x
x x e e
x e dx x dx∫ ∫ ( )2
3 3
x e dx x dx= −∫ ∫
2 3
2 3 32
3 3
x
x xx e
x e dx xe dx= −∫ ∫3 3∫ ∫

7. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
∫
3x
xe dx∫
3
3
x
x e3
;
3
x e
u x du dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ =
3 3x x
xe e
∫ ∫
3
3 3
3 3
x
x x
xe e
xe dx dx= −∫ ∫
3 3
3
1
3 9
x x
x xe e
xe dx C⇒ = − +∫
2 3 3 3
2 3 2
3 3 3 9
x x x
x x e xe e
x e dx C
⎛ ⎞
= − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ 3 3 3 9⎝ ⎠
∫
2 3 3 3
2 2x x x
x e xe e
∫
2 3 2 2
3 9 27
x x e xe e
x e dx C∴ = − + +∫

8. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
lntansenx xdx∫ lntansenx xdx∫
2
sec
lntan
tan cos
x dx
u x du dx
x sen x x
= ⇒ = =
tan cos
cos
x sen x x
dv sen x dx v x= ⇒ = −
lntansenx x dx∴ ∫
( )
lntan
cos lntan cos
senx x dx
dx
x x x
∴
= − − −
∫
∫( )cos lntan cos
cos
x x x
se x xn
= − − −∫

9. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
cos lntan cscx x x dx= − +∫
lntansenx x dx∴ =∫ lntan
cos lntan ln csc cot
senx x dx
x x x x C
∴
= − + − +
∫

10. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
DiferencialesDiferenciales
trigonométricas

11. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2
3 cos 3sen x xdx∫∫
1 1 1 1⎛ ⎞⎛ ⎞
∫
1 1 1 1
cos6 cos6
2 2 2 2
x x dx
⎛ ⎞⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
2 21 1 1 1
cos 6 cos 6x dx dx xdx
⎛ ⎞
⎜ ⎟∫ ∫ ∫cos 6 cos 6
4 4 4 4
x dx dx xdx− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫

12. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
1 1 1 1
cos12
4 4 2 2
dx x dx
⎛ ⎞
= − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫4 4 2 2
1 1 1
cos12dx dx xdx
⎝ ⎠
= ∫ ∫ ∫ cos12
4 8 8
1 1
dx dx xdx= − −∫ ∫ ∫
∫ ∫
1 1
cos12
8 8
dx xdx= −∫ ∫
2 2 12
3 cos 3
x sen x
sen x xdx C∴ +∫ 3 cos 3
8 96
sen x xdx C∴ = − +∫

13. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
5
cos x
dx∫ dx
senx
∫
1
4 2
cos cosx sen x xdx
−
= ∫
( )
1
2
2 2
1 cossen x sen x xdx
−
= − =∫( )
( )
1
2 4 2
1 2 cossen x sen x sen x xdx
−
= − + =
∫
∫( )
1 3 7
2 2 2
cos 2 cos cossen x xdx sen x xdx sen x xdx
−
= − +
∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

14. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
cosu senx du xdx= ⇒ =
1 5 9
1 3 7 2 2 2
2 2 2
2
2
u u u
u du u du u du C
−
+ + +∫ ∫ ∫2 2 2
2
1 5 9
2 2 2
u du u du u du C− + = − + +∫ ∫ ∫
2 2 2
1 5 95
2 2 2
cos 4 2
2
x
dx sen x sen x sen x C∴ + +∫ 2 2 2
2
5 9
dx sen x sen x sen x C
senx
∴ = − + +∫

15. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
64
sec x dx
π
π∫6
π∫
2
( )
( )
2
6 2 2
4 2 2
sec tan 1 sec
t 2t 1
x dx x x dx
d
= + =∫ ∫
∫( )
( )
4 2 2
4 2 2 2 2
tan 2tan 1 sec
tan sec 2tan sec sec
x x x dx
x x x x x dx
= + +
= + +
∫
∫( )tan sec 2tan sec secx x x x x dx= + +∫
2
5 3
tan sec
2
u x du x dx
u u
= ⇒ =
5 3
4 2 2
2
5 3
u u
u du u du du u C+ + = + + +∫ ∫ ∫

16. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
5 3 5 3
2 tan 2tan
tan
u u x x
u C x C+ + + + + +tan
5 3 5 3
u C x C
π
= + + + = + + +
⎡ ⎤5 3 4
64
6
tan 2tan
sec tan
5 3
x x
x dx x
π
π
π
⎡ ⎤
= + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫6
6
5 3
tan 2tan
π π
⎣ ⎦
tan 2tan
4 4 tan
5 3 4
π
= + +
5 3
tan 2tan
6 6 tan
π π
π6 6 tan
5 3 6
− − −

17. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
5 3
1 1
2
1 2 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2 13 3
1
5 3 5 3 3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + − − −
5 3 5 3 3
28 1 2 1 28 56
= − − − = −
15 1545 3 9 3 3 45 3
64
sec 1 1482x dx
π
∴ ≈∫ 4
6
sec 1.1482x dxπ∴ ≈∫

18. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3
tan 4x dx∫∫
3 2
tan 4 tan 4 tan4x dx x x dx=∫ ∫
( )2
sec 4 1 tan4x x dx∫( )sec 4 1 tan4x x dx= −∫
2
tan4 sec 4 tan4x x dx x dx= −∫ ∫

19. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
2 2
tan4 4sec 4
1 1 t 4
u x du x dx= ⇒ =
2 2
1 1
1 1 tan 4
4 4 2 8
u x
udu C C= + = +∫
1
2
1
tan4 ln sec4
4
x dx x C= +∫
2
3 tan 4 1
tan 4 ln sec4
8 4
x
x dx x C∴ = + +∫ 8 4∫

20. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3 5
sec tanx x dx∫∫
∫ ∫
( )
3 5 2 4
2
2 2
sec tan sec tan sec tan
1 t
x x dx x x x xdx
d
=∫ ∫
∫ ( )
( )
2 2
2 4 2
sec sec 1 sec tan
sec sec 2sec 1 sec tan
x x x xdx
x x x x xdx
= −
= − +
∫
∫ ( )
6 4
sec sec 2sec 1 sec tan
sec sec tan 2 sec sec tan
x x x x xdx
x x x dx x x x dx
= − +
= −
∫
∫ ∫
2
sec sec tanx x x dx+
∫ ∫
∫

21. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
6 4
sec sec tan 2 sec sec tanx x x dx x x x dx= −∫ ∫
2
sec sec tanx x x dx+
∫ ∫
∫
7 5 3
sec sec tanu x du x x dx= ⇒ =
7 5 3
6 4 2 2
2
7 5 3
u u u
u du u du u du C− + = − + +∫ ∫ ∫ 7 5 3
3 5
sec tanx x dx∴ ∫
7 5 3
sec 2sec secx x x
C= − + +
∫
7 5 3
C= + +

22. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
SustituciónSustitución
trigonométrica

23. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
1
2 2 2
)i a u−
a u
y( ))i a u
2 2
a u−
y
( )
1
2 2 2
)ii a u+ u
2 2
a u+
( )2 2 2
)ii a u+ u
a
a u+
y
a
1
u
( )
1
2 2 2
)iii u a−
u 2 2
u a−
a
y
a

24. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
9 1 6x d x−∫
2 2
9 ; 3 ; 3u x u x du dx= = =
2
16 ; 4a a= =
1
∫
2 21
3
u a du⇒ −∫
u2 2
u a−
sec
sec tan
u a y
du a y y dy
=
=
y
a
u a
2 2
tanu a a y− =

25. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
1
tan sec tan
3
a y a y y dy⇒ ∫
( )
2 2
2 2
3
sec tan sec sec 1
3 3
a a
y y dy y y dy= = −∫ ∫ ( )
2 2
3
3 3
sec sec
a a
y dy y dy= −
∫ ∫
∫ ∫sec sec
3 3
y dy y dy∫ ∫
3 2
sec sec secy dy y y dy=∫ ∫
2
sec ; sec tan
sec ; tan
u y du y ydy
dv ydy v y
= =
= =sec ; tandv ydy v y= =

26. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3 2
sec sec tan sec tany dy y y y y dy= −∫ ∫
( )3 2
3 3
sec sec tan sec sec 1
t
y dy y y y y dy
d d d
= − −∫ ∫
∫ ∫ ∫
3 3
3
sec sec tan sec sec
2 sec sec tan sec
y dy y y y dy y dy
y dy y y y dy
= − +
= +
∫ ∫ ∫
∫ ∫2 sec sec tan secy dy y y y dy= +∫ ∫
3 1 1
sec sec tan ln sec tan
2 2
y dy y y y y C∴ = + + +∫ 2 2

27. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
⎛ ⎞2
1 1
sec tan ln sec tan
3 2 2
a
y y y y
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
ln sec tan
3
a
y y C
⎝ ⎠
− + +
3
2 2
sec tan ln sec tan
6 6
a a
y y y y C= − + +
6 6

28. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
u2 2
u a
y
a
u a−
a
2 2 2 2 2 2
ln
6 6
a u u a a u u a
C
a a a a
− −
− + +
2 2 2 2 2
6 6a a a a
u u a a u u a+2 2 2 2 2
ln
6 6
u u a a u u a
C
a
− + −
= − +

29. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2
3 9 16 16 3 9 16
ln
6 6 4
x x x x
C
− + −
= − +
6 6 4
2
9 16x dx∴ − =∫
2 2
9 16 8 3 9 16
ln
x x x x
C
− + −
= − +ln
2 3 4
C= +

30. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
22
2
1 4
x dx
x−
∫ 1 4x−
2 2
4 2 2u x u x du dx= ⇒ = ⇒ =
2
1 1a a= ⇒ =
2
u
d2 2
2 2 2 2 2
1 14
2 81 4
u
dux dx u du
x a u a u
= =∫ ∫ ∫2 81 4x a u a u− − −
cosu aseny du a y dy= ⇒ =a
2 2 2 2 2
; cos
y y y
u a sen y a u a y= − =y
u
a
2 2
u a−

31. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2 2
1 1 cosu du a sen ya ydy
∫ ∫2 2
1 1 cos
8 8 cos
u du a sen ya ydy
a ya u
=
−
∫ ∫
2 2
2 1 1
cos2
8 8 2 2
a a
sen y dy y dy
⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
2 2 2 2
cos2 2
16 16 16 32
a a a a
dy y dy y sen y C
⎝ ⎠
= − = − +∫ ∫16 16 16 32
y y y y y∫ ∫

32. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
u
a
y
2 2
u a
2 2
a u a
2 2
u a−
2 2
2 cos
16 32
a u a
angsen seny y C
a
= − +
2 2
cos
16 16
a u a
angsen seny y C
a
= − +
2 2 2 2
16 16
a u a u a u
angsen C
a a a
−
= − +
16 16a a a

33. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2 2
16 16
a u u a u
angsen C
a
−
= − +
2
16 16
1 2 2 1 4
a
x x x
angsen C
−
= +
2
16 1 16
1 1 4
angsen C= − +
2
1 1 4
2
16 8
x x
angsen x C
−
= − +
2 2
1 1 4x dx x x2 2
2
1 1 4
2
16 81 4
x dx x x
angsen x C
x
−
∴ = − +
−
∫

34. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
d
2
64 25
dx
x x +
∫ 64 25x x +
2 2
64 8 8u x u x du dx= ⇒ = ⇒ =
2
25 5
1
a a
dx du du
= ⇒ =
∫ ∫ ∫2 2 22
1
864 25 64 25
8
dx du du
ux x u u ax
= =
+ ++
∫ ∫ ∫
8
2 2
u a+ 2
tan secu a y du a y dy= ⇒ =
y
u
u a+
2 2
tan sec
sec
u a y du a y dy
a u a y
= ⇒ =
+ =
a

35. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
2 2
sec
tan sec
du a y dy
a y a yu u a
=
+
∫ ∫
1
1 sec 1 1cos
y yu u a
y dy y
+
∫ ∫ ∫
1 sec 1 1cos
csc
tan
y dy y
dy y dy
senya y a a
= = =∫ ∫ ∫
cos
1
ln csc cot
y
y y C= +ln csc coty y C
a
= − +

36. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
11
ln csc coty y C
a
= − +
2 2
1
ln
u a a
C
+
= − +2 2
2
ln C
a u u
+
y
u
2 2
u a+
2
1 64 25 5
ln
5 8
x
C
x
+ −
= +
y
a
2
1 64 25 5d 2
2
1 64 25 5
ln
5 864 25
dx x
C
xx x
+ −
∴ = +
+
∫ 64 25x x +

37. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Sustitución
trigonométrica
del ángulo mediode á gu o ed o

38. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
tan
2
x
z =
2
1
2
xz
2
1z −
2
1
2 2 cos
2 2 2
x x x
sen sensenx
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠2 2 2
1
2
2z z
⎝ ⎠
= =
2 22 1
2
1 1z zz+ ++

39. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
xz
2
1z −
2
1
2 2
cos cos2 cos
2 2 2
x x x
senx
⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2 2
1
2 2 2
1 z z
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
22 2
11 1z z
x
z
= − =
+ + +
tan 2 ta
2
2
n
x
ang
dz
z x ang z= ⇒ =
2
2
1
dz
dx
z
=⇒
+

40. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
cos
dx
senx x+∫
2dz
2
2
2
22 1
2 1cos
dz
dx z
z zsenx x
+=
+∫ ∫
2 2
2 1cos
1 1
z zsenx x
z z
d d
−+
+
+ +
∫ ∫
( )2 2
4 4
2 1 2 1
dz dz
z z z z
= =
+ − − − −
∫ ∫ ( )
( ) ( )
22
4 4
2 1 1 1 2 1
dz dz
= =∫ ∫( ) ( )
22
2 1 1 1 2 1z z z− − + − − − −
∫ ∫

41. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
22
2
1 1u z u z= − ⇒ = −
2
; 2 2
4 4
du dz a a
dz du
⇒ = = ⇒ =
∫ ∫( )
2 2 2
4 4
2 1 a uz
= =
−− −
∫ ∫
1 2 2 1
4 ln ln
2 2 2 1
a u z
C C
a a u z
+ + −
+ = +
− − +2 2 1a a u z +
2 1 tan
x
+2 1 tan
2 22 ln
cos
dx
C
xsenx x
− +
∴ = +
+∫ cos 2 1 tan
2
xsenx x+ + −
∫

42. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Descomposición
en fraccionesen fracciones
racionales

43. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )) ; 1
n
i ax b n+ ≥" "n
( ) ( )
1 2
2
n
n
A A A
ax b ax b ax b
+ + +
+ + +( ) ( )
; 1,2, ,iA i n N= ∈…
( )2 2
) ; 1 4 0
n
ii ax bx c n y b ac+ + ≥ <( )2 2
1 1 2 2
) ; 1 4 0
n n
ii ax bx c n y b ac
A x B A x B A x B
+ + ≥ − <
+ + +
+ + +
( ) ( )
1 1 2 2
22
2 2
n n
n
ax bx c ax bx c ax bx c
+ + +
+ + + + + +
; 1,2,i iA y B i n N= ∈…

44. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
6
3 10
x
dx
x x
−
− −∫ 3 10x x
( )( )2
3 10 2 5x x x x− − = + −( )( )
1 2
2
3 10 2 5
6
3 10 2 5
x x x x
A Ax
+
−
= +
( ) ( )
2
1 2
3 10 2 5
5 26
x x x x
A x A xx
− − + −
− + +− ( ) ( )
( )( )2
3 10 2 5
5 26
x x x x
A x A A x Ax
=
− − + −
+ +
( )( )
1 1 2 2
2
5 26
3 10 2 5
A x A A x Ax
x x x x
− + +−
⇒ =
− − + −
1 1 2 26 5 2x A x A A x A− = − + +

45. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
1 1A A A A= + + =⎧1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
6 5 2 5 2 6
A A A A
A A A A
= + + =⎧
⇒ ⎨
− = − + − + = −⎩
( )1 2 2 21 ; 5 1 2 6
5 5 2 6
A A A A
A A
= − − − + = −
⇒ + +2 25 5 2 6
1 1 8
7 1 ; 1
A A
A A A A
⇒ − + + = −
⎛ ⎞
= − ⇒ = − = − − ⇒ =⎜ ⎟2 2 1 17 1 ; 1
7 7 7
8 1
A A A A= − ⇒ = − = − − ⇒ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
8 1
6 7 7
3 10 2 5
x
dx dx dx
x x x x
−
−
= +
− − + −∫ ∫ ∫3 10 2 5x x x x+

46. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
6 8 1x dx dx
∫ ∫ ∫2
6 8 1
3 10 7 2 7 5
2
x dx dx
dx
x x x x
d d
−
= −
− − + −∫ ∫ ∫
2
5
u x du dx
v x dv dx
= + ⇒ =
= − ⇒ =
1 1
8 8 8 8
ln ln 2
7 2 7 7 7
dx du
u C x C
x u
= = + = + +
+∫ ∫
2 2
7 2 7 7 7
1 1 1 1
ln ln 5
7 5 7 7 7
x u
dx dv
v C x C
x v
+
− = − = − + = − − +∫ ∫ 2 2
7 5 7 7 7x v−∫ ∫

47. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
6 8 1
ln 2 ln 5
x
dx x x C
−
∴ + +∫
( )
2
8
ln 2 ln 5
3 10 7 7
dx x x C
x x
∴ = + − − +
− −∫
( )
8
21
ln
7 5
x
C
x
+
= +
−7 5x

48. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3 23 2
4
2 1
1
x x x
dx
x
− + −
−∫ 1x
( )( ) ( )( )( )
3 2 3 2 3 2
4 2 2 2
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
x x x x x x x x x
x x x x x x
− + − − + − − + −
= =
− − + − + +( )( ) ( )( )( )
3 2
4 2
2 1x x x A B Cx D− + − +
= + +4 2
3 2
1 1 1 1
2 1
x x x x
x x x
+ +
− − + +
− + − =
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2
1 1 1 1 1A x x B x x Cx D x+ + + − + + + −

49. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3 2
2 1x x x+ =
( ) ( )3 2 3 2 3 2
2 1
1 1
x x x
A x x x B x x x Cx Cx Dx D
− + − =
+ + + + + − − + − + −
3 2
2 1x x x− + − =
3 2 3 2 3 2
2 1x x x
Ax Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx Dx D
+ =
+ + + + + − − + − + −

50. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
1 1
2 2
A B C A B C
A B D A B D
= + + + + =⎧ ⎧
⎪ ⎪
⎪ ⎪2 2
1 1 1
A B D A B D
A B C A B C C A B
⎪ ⎪− = − + − + = −⎪ ⎪
⇒⎨ ⎨
= + − + − = ⇒ = + −⎪ ⎪
1 1 1A B D A B D D A B
⎪ ⎪
⎪ ⎪− = − − − − = − ⇒ = − +⎩ ⎩
1 1
1 2
A B A B
A B A B
+ + + − =⎧
⎨
− + − + = −⎩ 1 2A B A B+ + =⎩
1
A
⎧
=⎪ 2 2 2 44 1
2 2 3 5
A
A B
A
A B
B
= −⎪ + =⎪
⇒ ⇒ = − ⇒⎨
− = −⎪
4
B⎪ =
⎪⎩

51. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
11
4
A = −
5
4
B =
1 5
1 0
4 4
C C= − + − ⇒ =
4 4
1 5 1
1
4 4 2
D D= − − + ⇒ = −
4 4 2
3 23 2
4 2
2 1
1 1 1 1
x x x A B Cx D
x x x x
− + − +
= + +
− − + +

52. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3 2
2 1x x x
dx
− + −
∫ 4
1
11 5
dx
x −
⎛ ⎞
∫
2
11 5 0
24 4
x
dx dx
⎛ ⎞
+ −− ⎜ ⎟
⎝ ⎠= + +∫ ∫ ∫ 2
3 2
1 1 1
2 1
dx dx
x x x
x x x
+ +
− + +
− + −
∫ ∫ ∫
∫ 4
2 1
1
x x x
dx
x
+
−∫
1 5 1
ln 1 ln 1 tan
4 4 2
x x ang x C= − − + + − +
4 4 2

53. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3 2
2 1x x x
d
− + −
∫ 4
5
1
dx
x
∴
−∫
( )
5
11 1
ln tan
4 1 2
x
ang x C
x
+
= − +
4 1 2x −

54. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 1
3
2 1
8
x
dx
x
+
−∫
2 1 2 1x x+ +
=
( )( )3 2
8 2 2 4x x x x
A Bx C
=
− − + +
+
( ) ( )( )
2
2
2 2 4
2 1 2 4 2
A Bx C
x x x
A B C
+
= +
− + +
( ) ( )( )2
2 2
2 1 2 4 2
2 1 2 4 2 2
x A x x Bx C x
x Ax Ax A Bx Bx Cx C
+ = + + + + −
+ = + + + − + −
0
2 2 2
A B
A B C
= +
= +2 2 2
1 4 2
A B C
A C
= − +
= −

55. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 4A C= +2 4
1 4 2
1
A C
B A
A C
+
= − ⇒
= −
1
3
C =
2 4 5
1 3
121 4 2
A C
C A
A C
= +
⇒ ⇒ = ⇒ =
− = − +
5
12
C
B = −
12
5 15
2 1 12 312
x
x
− +
+
∫ ∫ ∫3 2
2 1 12 312
8 2 2 4
5 1 5 4
x
dx dx dx
x x x x
d
+
= +
− − + +∫ ∫ ∫
2
5 1 5 4
12 2 12 2 4
dx x
dx
x x x
−
= −
− + +∫ ∫

56. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
1
5 5
ln 2
12 2 12
dx
x C
x
= − +
−∫
( ) ( )2
12 2 12
2 4 2 2 2 1
x
u x x du x dx x dx= + + ⇒ = + = +
2 2
5 4 5 5 5 4
2 4 2 4
x x
dx dx
x x x x
− + − −
=
+ + + +∫ ∫
2 2
1
5 9
2 4 2 4
x dx
dx
x x x x
+
= −
+ + + +∫ ∫
22
2 4 2 4
1 5 5
5 ln
2 4 2 2
x x x x
x du
dx u C
x x u
+ + + +
+
= = +
+ +∫ ∫2
2
2
2 4 2 2
5
ln 2 4
x x u
x x C
+ +
= + + +
∫ ∫
2
2

57. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2
2 4 2 1 1 4
d x d x
d x
x x x x
=
+ + + + +∫ ∫
( )
2
2 4 2 1 1 4x x x x
d x
+ + + + − +
=
∫ ∫
∫ ( )
2
2
1 3
3 ; 3
x
a a
+ +
= =
∫
( )
22
3 ; 3
1 ; 1 ;
a a
u x u x d u d x
= =
= + = + =
( )
22 2 2
9 9 9
2 4
dx dx du
dx− = − = −∫ ∫ ∫( )
22 2 2
2 4 1 3
1 9 1
9 t t
x x u ax
u x
C C
+ + ++ +
+
∫ ∫ ∫
3 3
1 9 1
9 tan tan
3 3
u x
ang C ang C
a a
+
= − ⋅ + = − +

58. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3
2 1
8
x
dx
x
+
∴
−∫
2
8
5 1 5
ln 2 ln 2 4
x
x x x
⎛
= − − + +⎜ln 2 ln 2 4
12 12 2
9 1
x x x
x
+ +⎜
⎝
⎞+9 1
tan
3 3
x
ang C
⎞+
− +⎟
⎠
25 5
ln 2 ln 2 4
12 24
x x x
⎠
= − − + +
12 24
3 1
tan
x
ang C
+
+ +tan
4 3 3
ang C+ +

59. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Sustituciones
diversasdiversas

60. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3
dx
∫ 3
x x+
∫
6 5
6x z dx z dz⇒6 5
6x z dx z dz= ⇒ =
5 5 3
6
6 6
dx z dz z dz z dz
= = =∫ ∫ ∫ ∫3 23 36 6
6 6
1zz zx x z z +++ +
∫ ∫ ∫ ∫

61. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3
1z dz ⎛ ⎞2 1
6 6 1
1 1
z dz
z z dz
z z
⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫
3 2
2 3 6 6ln 1z z z z C= − + − + +
( )
6
3 6 6
2 3 6 ln 1
dx
x x x x C∴ = − + − + +∫ ( )3
x x+
∫

62. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
1 x
dx
+
∫1 x+
∫
2
2x u dx udu= ⇒ =
2 3
1 1 2 2
2
x u u u
dx udu du
+ + +
= =∫ ∫ ∫2
1 11
dx udu du
u ux + ++
∫ ∫ ∫
3
22 2 4
2 2 4
u u
du u u du
+ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟∫ ∫ 2 2 4
1 1
du u u du
u u
= − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫

63. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
2 2 4 4
du
u du udu du= − + −∫ ∫ ∫ ∫2 2 4 4
1
u du udu du
u
+
+∫ ∫ ∫ ∫
3 3
22 2 2
4 4ln 1
u u u
du u u u C
+
= − + − + +∫ 4 4ln 1
1 3
du u u u C
u
= + + +
+∫
1 2x x x+
∫
1 2
4 4ln 1
31
x x x
dx x x x C
x
+
∴ = − + − + +
+
∫

64. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
1x
dx
e
∫ 1e −
2 2
1 1x x
e u e u= ⇒ = +1 1e u e u− = ⇒ = +
( )2 2
ln 1
udu
x u dx⇒ = + ⇒ =( ) 2
ln 1
1
2
x u dx
u
udu
⇒ = + ⇒ =
+
2
2
2
1 2 2 tan
11x
udu
dx duu ang u C
u ue
+= = = +
+∫ ∫ ∫
2 tan 1xdx
ang e C∫
11 u ue +−
2 tan 1
1
x
x
ang e C
e
∴ = − +
−
∫

65. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Á b jÁrea bajo
la curva

66. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Calcular el valor del área limitada porp
la gráfica de la función
( )f x senx=
el eje de las abscisas y las rectas
( )
3
el eje de las abscisas y las rectas
3
0
2
x y x π= =
2

67. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
y
y senx=
y
A
π
x
π
A
2
3
0x =
3
2
x
π
=
2

68. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
3π
2
0
A senxdx senxdx
π
π
= −∫ ∫
3
2
0
cos cosA x x
π
π
π
= − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3
cos cos0 cos cos
2
π
π π
⎛ ⎞
= − + − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠2
3
0A
π
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
cos cos0 cos cos
2
1 1 0 1 3
A π π= − + + −
( ) ( )1 1 0 1 3= − − + − − − =
2
3A 2
3A u∴ =

69. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Área entre
curvas

70. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
y f
A
x y
A
x y fg
A x
y g
A
y
f
g
( ) ( )
b
a
A f x g x dx⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫
A x
a
g

71. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Calcular el valor del área de la región
limitada por las curvas:limitada por las curvas:
2
4 1.5 1.5y x y x y= − + + =
y
2
y
2
4y x= − +
A
( )1, 3−
A
x
1.5 1.5x y+ =
( )2 5 2 25−( )2.5, 2.25

72. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( ) 2
4y f x x= = − +
( )1.5 1.5 1.5 1.5x y y g x x+ = ⇒ = = −
( )
2 5
⎡ ⎤
∫ ( ) ( )
2.5
2
1
4 1.5 1.5A x x dx
−
⎡ ⎤= − + − −
⎣ ⎦∫
( )
2.5
3 2
2 5
2 1 5x x⎡ ⎤
∫ ( )
2.5
2
1
1
1.5
1.5 2.5 2.5
3 2
x x
A x x dx x
−
−
⎡ ⎤
= − + + = − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫

73. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( ) ( )
( )
3 2
2 5 1 5 2 5⎛ ⎞
⎜ ⎟
( ) ( )
( )
2.5 1.5 2.5
2.5 2.5
3 2
A ⎜ ⎟= − + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( )
3 2
1 1.5 1
2 5 1
⎝ ⎠
⎛ ⎞− −
⎜ ⎟
( ) ( )
( )2.5 1
3 2
⎜ ⎟− − + + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
5.2083 4.6875 6.25 0.3333 0.75 2.5A ≈ − + + − − +
2
7.1459A u∴ ≈ 7.1459A u∴

74. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Calcular el área limitada, en el primer
cuadrante, por las gráficas de las curvas:g
2
2 2 2
; ; ; 8
8
x
y x y y x y x= = = =
8
( )
2
4 3
2
1 0
y x
x x x x
y x
⎧ =
⇒ = ⇒ − =⎨
=⎩
0 0
y x
x y
=⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
( )
2
4 3
1 1
8 8 0
x y
y x
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩
⎧ =
⎨ ( )4 3
2
8 8 0
8
0 0
y x
x x x x
y x
⎧
⇒ = ⇒ − =⎨
=⎩
⎧ 0 0
2 4
x y
x y
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩

75. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
2
4
3
64 0
x
y x
⎧
=⎪
⎨ ( )3
2
64 08
64
y x
x x x
y x
⎪
⇒ = ⇒ − =⎨
⎪ =⎩
0 0
4 2
x y
x y
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
⇒⎩
2
4
4 2x y
x
y x
= ⇒ =⎩
⎧
⎪
( )
4
3
2
8 512 08
64
8
y x
x x x
y x
=⎪
⇒ = ⇒ − =⎨
⎪ =⎩ 8
0 0
y x
x y
=⎩
= ⇒ =⎧
⇒ ⎨
8 8x y
⇒ ⎨
= ⇒ =⎩

76. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
y
2
8y x2
8y x=
2
y x=
( )8, 8
A
2
x
y
A
3A
8
y =
( )2, 4
1A
2A
( )4 2
x
2
y x=
( )4, 2
( )1,1
x

77. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
2
2
1 1
A x x dx−=∫ ( )1 1∫
( )
4
2 8A x x dx= −∫ ( )2 2
8A x x dx∫
2
8 x⎛ ⎞
∫3 4
8
8
x
A dxx
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎠⎝
∫ ⎠⎝

78. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
3
1 3
⎡ ⎤
⎛ ⎞1 3 22
2 2
1 1
2
3 3
x x
A x x dx
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
1
8 4 2 1 2 4 2
⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞8 4 2 1 2 4 2
3
3 3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2
1 114A u∴ 2
1 1.114A u∴ ≈

79. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
4
3
1 1 24 2x
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥
( )
1 1 24
2 2
2 2
2
2 2 2 2 1
3
x
A x x dx
⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
( )
2
16 4 2
2 2 1
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟( )2 2 1
3 3
= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
6 303A u∴ ≈2 6.303A u∴ ≈

80. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
8
3
1 2 328
2
4 2
2 2
x x x
A x dx
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥
⎜ ⎟∫ 2
3 4
4
2 2
8 3 24
A x dx ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
128 64 32 2 8
3 3 3 3
⎛ ⎞⎛ ⎞
= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠3 3 3 3⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22
3 8.915A u∴ ≈
2
1 2 3 16.332T TA A A A A u= + + ∴ ∴ =1 2 3 16.332T TA A A A A u+ + ∴ ∴

81. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Área en
lpolares

82. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )r f θ=2
π
β
AA α
0
( )
2 21 1
A f d r d
β β
θ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫( )2 2
A f d r d
α α
θ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫

83. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Calcular el área limitada por las curvas:
4 2r sen y r senθ θ4 2r sen y r senθ θ= =
π
2
2r senθ=
4r senθ=
2r senθ
0π
3
0
3
2
π

84. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2 2
0 0 0
1 1
16 4 6
2 2
A sen d sen d sen d
π π π
θ θ θ θ θ θ= − =∫ ∫ ∫
1 1 2sen
π
θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
0
0
1 1 2
6 cos2 6 6 3
2 2 2 2 2
sen
A d
π θ θ π
θ θ π
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫
2
3A uπ∴ =

85. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
L it dLongitud
de arco

86. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
y
f
x
b a
( )
2
1 '
b
L f x dx⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ ( )1
a
L f x dx⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫
2 2
dx dx
L d
β
θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∫L d
d dα
θ
θ θ
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫

87. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Verificar que la longitud de una
circunferencia de radio esr 2 rπ
a) Con la expresión que define la longitud
de arco cuando la función está expresada
en su forma explícita, es decir, ( )y f x=p , , ( )y
b) Mediante la e presión q e define lab) Mediante la expresión que define la
longitud de arco cuando la función está
dada por sus ecuaciones paramétricas

88. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2 2
y 2 2 2
x y r+ =
y
r
2 2
y r x= −
x
rr−
y r x
dy x
d
=
−
⇒ =rr 2 2dx r x−
r−
22
⎛ ⎞⎛ ⎞
2
2 20
1 4 1
b r
a
dy x
L dx L dx
dx r x
⎛ ⎞−⎛ ⎞
= + ⇒ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ −⎝ ⎠
∫ ∫ ⎝ ⎠
2 2 2 2
1
4 1 4
rx r x x
L dx dx
− +
= + =∫ ∫2 2 2 20 0
4 1 4L dx dx
r x r x
= + =
− −∫ ∫

89. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2 2 20 0
4 4
r rr dx
dx r
r x r x
= =
− −
∫ ∫r x r x
r
x⎡ ⎤
4
o
x
L r angsen
r
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
π⎛ ⎞
⎡ ⎤( ) ( )4 1 0 4
2
L r angsen angsen r
π⎛ ⎞
⎡ ⎤= − = ⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠
2L r uπ∴ =

90. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
cosx r y y rsenθ θcosx r y y rsenθ θ= =
cos
dx
x r rsenθ θ= ⇒ = −cos
cos
x r rsen
d
dy
y rsen r
θ θ
θ
θ θ
⇒
⇒ cosy rsen r
d
θ θ
θ
= ⇒ =
2 22 2
dx dy
L d
d d
β
α
θ
θ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )
2 2
2 2
4 cos 4L rsen r d r d
π π
θ θ θ θ⇒ = − + =∫ ∫
π
( ) ( )0 0
4 cos 4L rsen r d r dθ θ θ θ⇒ = + =∫ ∫
2
0
4 2L r rθ π∴ = =⎡ ⎤⎣ ⎦

91. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESLongitud de
arco en polaresarco en polares

92. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2
π
β ( )r f θ=
α
0
α
0
( ) ( )
2
2 2 2
'
dr
L f f d r d
β β
θ θ θ θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
∫ ∫( ) ( )
dα α θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
∫ ∫

93. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Calcular la longitud de arco de la gráfica de la
siguiente función en el intervalo considerado:g
4cos ; ,
2 2
r
π π
θ θ
⎡ ⎤
= = −⎢ ⎥
⎣ ⎦2 2⎣ ⎦
2
π
4cosr θ=
2
2
0π
4
3π
4
3
2
π

94. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
2 2 2
4cos 4 cos 4r r r x y xθ θ= ⇒ = ⇒ + =
( )
22 2 2
4 4 4 0 2 4x x y x y⇒ − + − + = ⇒ − + =
2
2 2 22
6 6
dr
d d
π
β ⎛ ⎞
∫ ∫
2 2 22
2
16cos 16
dr
L r d sen d
d
β
πα
θ θ θ θ
θ −
⎛ ⎞
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
2 2
2 2
4 4 4d
π π
π πθ θ π
− −
= = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ 2 2
4L uπ∴ =

95. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Volúmenes de sólidos
d l ió (dide revolución (discos
Cilíndricos)

96. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
y
( )y f x=
y
xx
a ba b
y
( )if α
xx
a b
ixΔ

97. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
2
1
lim
n
i i
n
i
V f xπ α
→∞
⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦∑1i=
( ) ( )
2 2b b
a a
f x dx f x dxπ π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( )
2 2d d
V f y dy f y dy⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫( ) ( )c c
V f y dy f y dyπ π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

98. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Calcular el volumen del cono truncado que
se genera al hacer girar alrededor del ejese genera al hacer girar, alrededor del eje
de las abscisas, la superficie limitada por las
i i t t h tsiguientes rectas y hacer un trazo
aproximado de la superficie de giro, así
como del cono truncado cuyo volumen se
pide:p
5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x= − = = =

99. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
y y
cono3x =5
y y
truncado5y x= −0x =
53
xx
0y =

100. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
b
( )
2b
a
V f x dxπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫
( ) ( )
3 32 2
5 25 10x dx x x dxπ π= − = − +∫ ∫( ) ( )0 0
5 25 10x dx x x dxπ π= − = − +∫ ∫
3
3
2 27 87
25 5 75 45
2 2 2
x
x xπ π π
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − + = − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦ 0
2 2 2⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
3
136.66V u∴ ≈

101. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Volúmenes de sólidos
de revoluciónde revolución
(cortezas cilíndricas)

102. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
yy
f
x
a b
y
fixΔ
( )if α
x
a b
ix1ix iα
( )i
i1i−

103. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
xΔ
( ) ( )2
b
a
V p x q x dxπ∴ = ∫( )p x
eje de
revolución ( )q x
ba xΔ
( ) ( )2
d
V p y q y dyπ∴ ∫
( )q y
d ( ) ( )2
c
V p y q y dyπ∴ = ∫d
yΔ
( )p yc
eje de revolución

104. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Se construye un depósito de combustible
cuya forma se obtiene al hacer girarcuya forma se obtiene al hacer girar
alrededor del eje de las abscisas, el
segmento de la parábola
2
x
segmento de la parábola
2 ; 4 4
8
x
y x= − − ≤ ≤
¿Cuál es su volumen? (magnitudes
en metros) Utilizar para el cálculo los dos
" " " "x y y
en metros). Utilizar para el cálculo los dos
métodos, el de las cortezas cilíndricas y el de
los discos

105. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
y
2
2
8
x
y = −
44 m x
8 m

106. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Cortezas
2
2
8
x
y = −
y
2
y
8
dy
y
x
4− 4
( ) ( )
d
∫
2 4 2x y= −
( ) ( )2
d
c
V p y q y dyπ= ∫
( ) ( )2 4 4 2 ;q y x y p y y= = − =

107. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
2 2
∫ ∫( )
2 2
0 0
2 4 4 2 8 4 2V y y dy V y y dyπ π= − ⇒ = −∫ ∫
4
4 2 ; 4 2 2 ;
2
u
y y dy u y du dy y
−
− = − ⇒ = − =∫
( )
1 3
2 2
1 4 1 1
4 4
2 2 4 4
u
u du u u u du u u du
⎛ ⎞−
− = − − = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫( )2 2 4 4 ⎝ ⎠
3 5
3 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟ 3 52 2
2 2
1 4 2 1
3 54 3 10
2 2
u u
C u u C
⎜ ⎟
= − − + = − + +⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠2 2⎝ ⎠
( ) ( )
3 5
2 2
2 1
4 2 4 2y y C+ +( ) ( )2 24 2 4 2
3 10
y y C− − + − +

108. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( ) ( )
2
3 5
2 2
2 1
8 4 2 4 2
3 10
V y yπ
⎡ ⎤
= − − + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
0
3 10
y y⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
3 5
2 2
2 1
8 4 4
3 10
π
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦3 0⎣ ⎦
16 32⎛ ⎞16 32
8
3 10
V π
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
53 62V m∴ ≈ 53.62V m∴ ≈

109. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
Discos
2
y
Discos
2
2
8
x
y = − dx2
x
2
2
8
x
y = −
x
44−
( )
2b
a
V f x dxπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ( )
2 2
2 2
4 4
2 2 2
a
x x
dx dx
⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∫
∫ ∫4 0
2 2 2
8 8
dx dxπ π
−
= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫

110. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
22
2 2 4 3 5
2 4 4
8 2 64 6 320
x x x x x
dx dx x C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− = − + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
⎡ ⎤
4
3 5
0
64 1024
2 4 2 16
6 320 6 320
x x
V xπ π
⎡ ⎤ ⎛ ⎞
= − + = − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
3
53.62V m∴ ≈

111. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
En la ciudad de San Luis Missouri, EUA, se
construyó un arco que posee la forma de unaconstruyó un arco que posee la forma de una
catenaria invertida. En el centro tiene de
altura y de extremo a extremo en la base hay
192 m
altura y de extremo a extremo en la base hay
una longitud de . La forma del arco
obedece en forma apro imada a la c r a de
192.28 m
obedece, en forma aproximada, a la curva de
ecuación:
⎛ ⎞
231 39cosh
39
x
y
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠39⎜ ⎟
⎝ ⎠
Determinar la longitud total del arco, así comog ,
el área total bajo el mismo

112. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
231 39cosh
x
y
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟231 39cosh
39
y ⎜ ⎟
⎝ ⎠

113. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES

114. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
y
231 39cosh
39
x
y
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )0,192
y
39⎝ ⎠
x
( )96.14,0− ( )96.14,0
x
2
96.14
2 1
dy
L dx
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫0 dx⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫

115. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
231 39cosh ;
39 39
x dy x
y senh
dx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
39
dy x
senh
d
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠39dx⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
96 14 x⎛ ⎞96.14
2
0
2 1
39
x
L senh
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
96.14
96.14
0
cosh 2 39
39 39
x x
dx senh
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫0
0
39 39⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
455.52L m≈

116. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
( )
96.14
0
2A f x d x= ∫
96.14
2 231 39 h
x
A d
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟∫0
2 231 39cosh
39
A dx
⎡ ⎤⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
( )
96.14
2
2 231 39 2 22 208 34 8 882 63
x
x senh
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟⎢ ⎥ ( )2
0
2 231 39 2 22,208.34 8,882.63
39
x senh= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
2
26,651.42A m∴ =

117. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES
M chas
Yo gané,
¿verdad?
Muchas ¿verdad?
graciasgracias
P bl G í C l éPablo García y Colomé
Blog “colomenta”