La descomposición LU involucra descomponer una matriz original A en dos matrices triangulares, una inferior L y una superior U, a través de operaciones sobre los coeficientes de A. Esto provee una forma eficiente de calcular la inversa de A o resolver sistemas de ecuaciones lineales. El proceso implica iterativamente hacer ceros los valores por debajo y por encima de los pivotes para obtener L y U, luego usar estas matrices para resolver el sistema.
La descomposición LU involucra descomponer una matriz A en dos matrices triangulares, una inferior L y una superior U, mediante operaciones sobre los coeficientes de A. Esto proporciona una forma eficiente de resolver sistemas de ecuaciones lineales. El proceso implica hacer ceros los valores por debajo y por encima de los pivotes en L y U respectivamente, a través de factores multiplicativos.
Este documento describe la factorización LU de una matriz. Explica que la factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar la factorización LU para resolver sistemas de ecuaciones.
El documento explica el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método involucra descomponer una matriz original en dos matrices triangulares, una inferior (L) y una superior (U), de tal forma que L*U = A. Luego se resuelven dos sistemas triangulares para encontrar las incógnitas. Se proveen los pasos detallados y dos ejemplos numéricos para ilustrar el proceso.
El documento describe la factorización o descomposición de Cholesky, que toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky. Esta técnica permite descomponer una matriz simétrica y definida positiva como el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. La descomposición de Cholesky se usa principalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales cuando la matriz de coeficientes es simétrica y definida positiva.
Este documento presenta un resumen del plan de estudios de álgebra para el primer bimestre impartido por la profesora Germania Rodríguez. Incluye temas como teoría de conjuntos, sistemas de números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, funciones y gráficas. El plan de estudios cubre conceptos fundamentales de álgebra así como funciones polinomiales, racionales y exponenciales entre otros temas.
Métodos de eliminación gaussiana tarea iiiluiguiiiii
Este documento resume varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Explica los pasos involucrados en cada método y cuando se debe usar cada uno. Concluye que el método de Gauss-Seidel es uno de los más utilizados debido a su facilidad y efectividad para resolver este tipo de problemas.
1. El documento introduce el concepto general de función, describiendo que una función es un conjunto de pares ordenados donde cada elemento del dominio está asociado con un único elemento del contradominio a través de una regla de correspondencia.
2. Se explica que las funciones se clasifican según su regla de correspondencia en funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, enfocándose en este documento en las funciones polinomiales.
3. Se describen los métodos para representar una función, incluyendo tablas de valores, expres
Este documento define funciones lineales y racionales. Explica que una función lineal tiene la forma y=mx+b y describe sus características como pendiente, interceptos y dominio/alcance. Luego define una función racional como la razón de dos polinomios y contrasta sus características con una función lineal, incluyendo que puede tener asíntotas y un dominio restringido cuando el denominador es cero. Finalmente, traza gráficas de ejemplos de ambos tipos de funciones.
La descomposición LU involucra descomponer una matriz A en dos matrices triangulares, una inferior L y una superior U, mediante operaciones sobre los coeficientes de A. Esto proporciona una forma eficiente de resolver sistemas de ecuaciones lineales. El proceso implica hacer ceros los valores por debajo y por encima de los pivotes en L y U respectivamente, a través de factores multiplicativos.
Este documento describe la factorización LU de una matriz. Explica que la factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Esto permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma más eficiente mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar la factorización LU para resolver sistemas de ecuaciones.
El documento explica el método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método involucra descomponer una matriz original en dos matrices triangulares, una inferior (L) y una superior (U), de tal forma que L*U = A. Luego se resuelven dos sistemas triangulares para encontrar las incógnitas. Se proveen los pasos detallados y dos ejemplos numéricos para ilustrar el proceso.
El documento describe la factorización o descomposición de Cholesky, que toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky. Esta técnica permite descomponer una matriz simétrica y definida positiva como el producto de una matriz triangular inferior y su transpuesta. La descomposición de Cholesky se usa principalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales cuando la matriz de coeficientes es simétrica y definida positiva.
Este documento presenta un resumen del plan de estudios de álgebra para el primer bimestre impartido por la profesora Germania Rodríguez. Incluye temas como teoría de conjuntos, sistemas de números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, funciones y gráficas. El plan de estudios cubre conceptos fundamentales de álgebra así como funciones polinomiales, racionales y exponenciales entre otros temas.
Métodos de eliminación gaussiana tarea iiiluiguiiiii
Este documento resume varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Explica los pasos involucrados en cada método y cuando se debe usar cada uno. Concluye que el método de Gauss-Seidel es uno de los más utilizados debido a su facilidad y efectividad para resolver este tipo de problemas.
1. El documento introduce el concepto general de función, describiendo que una función es un conjunto de pares ordenados donde cada elemento del dominio está asociado con un único elemento del contradominio a través de una regla de correspondencia.
2. Se explica que las funciones se clasifican según su regla de correspondencia en funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, enfocándose en este documento en las funciones polinomiales.
3. Se describen los métodos para representar una función, incluyendo tablas de valores, expres
Este documento define funciones lineales y racionales. Explica que una función lineal tiene la forma y=mx+b y describe sus características como pendiente, interceptos y dominio/alcance. Luego define una función racional como la razón de dos polinomios y contrasta sus características con una función lineal, incluyendo que puede tener asíntotas y un dominio restringido cuando el denominador es cero. Finalmente, traza gráficas de ejemplos de ambos tipos de funciones.
Metodo de Gauss, Gauss-Jordan, Descomposición LU, Factorización de Cholesky, Factorización de QR, Householder, métodos iterativos (Método de Jacobi y método de Gauss Seidel)
Este documento describe las funciones matemáticas. Explica que una función es una relación entre dos variables, generalmente llamadas x e y, donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente. También indica que las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos y sociológicos, o expresar relaciones matemáticas. Además, menciona que las funciones se pueden representar mediante diagramas de flechas, tablas de valores, gráficas o enunciados.
método de determinantes cramer y sarrus 3x3Federico Urrea
El documento describe el método de determinantes y la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La regla de Cramer establece que la solución de un sistema lineal puede obtenerse calculando determinantes. El método implica construir una matriz ampliada y calcular determinantes sustituyendo columnas por los términos independientes para obtener cada incógnita. También se explica el método de Sarrus para calcular determinantes 3x3 y se incluye un ejemplo práctico de su aplicación.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la regla de Cramer, métodos de eliminación como el método de Gauss, y el método especial de Thomas para sistemas tridiagonales. Se provee un ejemplo detallado de cada método y las ecuaciones fundamentales utilizadas.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
El documento explica el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero se presenta la fórmula general para resolver un sistema mediante la inversa de la matriz de coeficientes. Luego, se muestra un ejemplo numérico de un sistema 3x3, calculando primero el determinante, luego la matriz adjunta y finalmente la inversa para obtener las soluciones del sistema. Finalmente, se destaca la matriz inversa como una herramienta útil para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones.
El documento explica los conceptos básicos de determinantes de matrices cuadradas. Define el determinante de una matriz como un número asociado a la matriz. Explica cómo calcular determinantes de matrices de primer y segundo orden, así como los conceptos de menor, cofactor y expansión de determinantes para matrices de tercer orden. Finalmente, presenta ejercicios para calcular determinantes.
a) f(x)=4x+1
Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1)
No corta al eje de abscisas.
b) f(x)=2x-5
Punto de corte con el eje de abscisas: (5,0)
No corta al eje de ordenadas.
c) f(x)=x2-8x+15
Punto de corte con el eje de abscisas: (4,0) y (3,0)
No corta al eje de ordenadas.
Este documento define las funciones cuadráticas y explica sus propiedades principales. Una función cuadrática se define como f(x)= ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a no es igual a cero. Las gráficas de las funciones cuadráticas son parábolas. El documento también explica cómo graficar funciones cuadráticas, determinar sus dominios y alcances, y resalta la importancia de verificar que el denominador no sea cero cuando se trata con funciones fraccionarias.
Este documento describe el método de eliminación de Gauss y el método de Gauss-Jordán para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que la eliminación de Gauss convierte el sistema en una forma triangular mientras que Gauss-Jordán lo convierte en una matriz identidad. También cubre la descomposición LU que descompone la matriz de coeficientes en productos de matrices triangulares inferior y superior.
Este documento presenta los contenidos de la asignatura Fundamentos Matemáticos de Ciencias de la Computación para el segundo bimestre. Cubre temas como funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes, y sucesiones y series. Explica conceptos clave, propiedades y métodos para resolver problemas relacionados con cada uno de estos temas.
Este documento presenta una guía sobre funciones matemáticas. Explica conceptos básicos como dominio, rango, tipos de funciones como lineales, par e impar, y cómo graficar funciones. Incluye ejemplos para ilustrar estas nociones y concluye destacando la importancia de las funciones y su representación gráfica para resolver problemas.
La función lineal es una función polinómica de primer grado cuya representación gráfica es una línea recta. Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado cuya gráfica es una parábola. Una función racional es una función dada por el cociente de dos polinomios, cuya gráfica puede ser una hipérbola.
El documento presenta información sobre funciones polinomiales de grado cero, uno y dos. Explica que las funciones constante, lineal y cuadrática son casos especiales de funciones polinomiales. Describe las características de cada grado, incluyendo sus expresiones, representaciones gráficas y parámetros.
Este documento describe los conceptos básicos de las ecuaciones lineales en dos variables, incluyendo su forma general, conjunto de soluciones y gráfica. Explica tres métodos para graficar ecuaciones lineales: el método de tabla de valores, el método intercepto-pendiente y el método de los interceptos. Incluye ejemplos ilustrativos para cada método.
El documento describe dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Gauss-Jordan y la descomposición LU. Explica los pasos para aplicar cada método de forma general y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos. También menciona brevemente la factorización de Cholesky y la factorización QR.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se comienza despejando cada variable en términos de las demás y asignando valores iniciales. Luego se sustituyen los valores encontrados en iteraciones sucesivas hasta que los errores sean suficientemente pequeños. Esto proporciona una secuencia convergente de aproximaciones a la solución del sistema de ecuaciones.
Metodo de Gauss, Gauss-Jordan, Descomposición LU, Factorización de Cholesky, Factorización de QR, Householder, métodos iterativos (Método de Jacobi y método de Gauss Seidel)
Este documento describe las funciones matemáticas. Explica que una función es una relación entre dos variables, generalmente llamadas x e y, donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente. También indica que las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos y sociológicos, o expresar relaciones matemáticas. Además, menciona que las funciones se pueden representar mediante diagramas de flechas, tablas de valores, gráficas o enunciados.
método de determinantes cramer y sarrus 3x3Federico Urrea
El documento describe el método de determinantes y la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La regla de Cramer establece que la solución de un sistema lineal puede obtenerse calculando determinantes. El método implica construir una matriz ampliada y calcular determinantes sustituyendo columnas por los términos independientes para obtener cada incógnita. También se explica el método de Sarrus para calcular determinantes 3x3 y se incluye un ejemplo práctico de su aplicación.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la regla de Cramer, métodos de eliminación como el método de Gauss, y el método especial de Thomas para sistemas tridiagonales. Se provee un ejemplo detallado de cada método y las ecuaciones fundamentales utilizadas.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
El documento explica el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero se presenta la fórmula general para resolver un sistema mediante la inversa de la matriz de coeficientes. Luego, se muestra un ejemplo numérico de un sistema 3x3, calculando primero el determinante, luego la matriz adjunta y finalmente la inversa para obtener las soluciones del sistema. Finalmente, se destaca la matriz inversa como una herramienta útil para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones.
El documento explica los conceptos básicos de determinantes de matrices cuadradas. Define el determinante de una matriz como un número asociado a la matriz. Explica cómo calcular determinantes de matrices de primer y segundo orden, así como los conceptos de menor, cofactor y expansión de determinantes para matrices de tercer orden. Finalmente, presenta ejercicios para calcular determinantes.
a) f(x)=4x+1
Punto de corte con el eje de ordenadas: (0,1)
No corta al eje de abscisas.
b) f(x)=2x-5
Punto de corte con el eje de abscisas: (5,0)
No corta al eje de ordenadas.
c) f(x)=x2-8x+15
Punto de corte con el eje de abscisas: (4,0) y (3,0)
No corta al eje de ordenadas.
Este documento define las funciones cuadráticas y explica sus propiedades principales. Una función cuadrática se define como f(x)= ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a no es igual a cero. Las gráficas de las funciones cuadráticas son parábolas. El documento también explica cómo graficar funciones cuadráticas, determinar sus dominios y alcances, y resalta la importancia de verificar que el denominador no sea cero cuando se trata con funciones fraccionarias.
Este documento describe el método de eliminación de Gauss y el método de Gauss-Jordán para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que la eliminación de Gauss convierte el sistema en una forma triangular mientras que Gauss-Jordán lo convierte en una matriz identidad. También cubre la descomposición LU que descompone la matriz de coeficientes en productos de matrices triangulares inferior y superior.
Este documento presenta los contenidos de la asignatura Fundamentos Matemáticos de Ciencias de la Computación para el segundo bimestre. Cubre temas como funciones exponenciales y logarítmicas, sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes, y sucesiones y series. Explica conceptos clave, propiedades y métodos para resolver problemas relacionados con cada uno de estos temas.
Este documento presenta una guía sobre funciones matemáticas. Explica conceptos básicos como dominio, rango, tipos de funciones como lineales, par e impar, y cómo graficar funciones. Incluye ejemplos para ilustrar estas nociones y concluye destacando la importancia de las funciones y su representación gráfica para resolver problemas.
La función lineal es una función polinómica de primer grado cuya representación gráfica es una línea recta. Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado cuya gráfica es una parábola. Una función racional es una función dada por el cociente de dos polinomios, cuya gráfica puede ser una hipérbola.
El documento presenta información sobre funciones polinomiales de grado cero, uno y dos. Explica que las funciones constante, lineal y cuadrática son casos especiales de funciones polinomiales. Describe las características de cada grado, incluyendo sus expresiones, representaciones gráficas y parámetros.
Este documento describe los conceptos básicos de las ecuaciones lineales en dos variables, incluyendo su forma general, conjunto de soluciones y gráfica. Explica tres métodos para graficar ecuaciones lineales: el método de tabla de valores, el método intercepto-pendiente y el método de los interceptos. Incluye ejemplos ilustrativos para cada método.
El documento describe dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Gauss-Jordan y la descomposición LU. Explica los pasos para aplicar cada método de forma general y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos. También menciona brevemente la factorización de Cholesky y la factorización QR.
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se comienza despejando cada variable en términos de las demás y asignando valores iniciales. Luego se sustituyen los valores encontrados en iteraciones sucesivas hasta que los errores sean suficientemente pequeños. Esto proporciona una secuencia convergente de aproximaciones a la solución del sistema de ecuaciones.
Este documento presenta los métodos numéricos de LU, Cholesky, Chebyshev, Hermite e interpolación de Newton. Explica cada método con su teoría, algoritmo y resuelve ejemplos numéricos para ilustrarlos. También incluye código fuente en lenguaje de programación para implementar cada método numérico.
El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación gaussiana, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU y la factorización de Cholesky. Explica los pasos de cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar la descomposición LU.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación Gaussiana, el método de Gauss-Jordán, la descomposición LU y la factorización QR. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute las ventajas y desventajas de cada uno.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales.docxalbertoperozo123
Este documento resume diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo los métodos de Gauss-Jordan, Gauss y descomposición LU. Explica los pasos para aplicar cada método y resuelve un ejemplo paso a paso usando Gauss-Jordan para encontrar las soluciones x=1, y=-1, z=2.
1) El documento explica cómo resolver ecuaciones fraccionarias convirtiéndolas a ecuaciones enteras. 2) También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como suma-resta, igualación y sustitución. 3) Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como puntos en una recta, teorema de Pitágoras y números complejos.
El documento describe el algoritmo de reducción por filas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El algoritmo reduce el sistema a forma escalonada o triangular mediante operaciones elementales sobre las filas. Se proveen ejemplos que muestran cómo aplicar el algoritmo para determinar si un sistema tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. También define conceptos como matrices escalonadas y en forma canónica por filas.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones, que son conjuntos de ecuaciones. Explica que el grado de un sistema depende del exponente más alto de las incógnitas. Luego describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: igualación, reducción y sustitución. Finalmente, introduce conceptos como determinantes y funciones cuadráticas.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones, que son conjuntos de ecuaciones. Explica que el grado de un sistema depende del exponente más alto de las incógnitas. Luego describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: igualación, reducción y sustitución. Finalmente, introduce conceptos sobre determinantes y funciones cuadráticas.
1) El documento trata sobre matrices y sistemas de ecuaciones. Define una matriz y describe sus operaciones básicas como suma, resta, producto por escalar y producto de matrices.
2) Explica métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, incluyendo el método de Gauss, el método de Gauss-Seidel y el método de Newton.
3) Describe diferentes tipos de matrices como matrices diagonales, triangulares, escalares y la factorización de Choleski para resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y cómo pueden usarse para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones.
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, el método de Cramer, la eliminación de incógnitas y los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y factorización LU. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento presenta un resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales de dos variables. Explica qué son las ecuaciones y sistemas lineales, y los diferentes casos que pueden presentarse al resolver un sistema (solución única, infinitas soluciones, sin solución). También describe cuatro métodos para resolver sistemas: gráfico, eliminación, igualación y determinantes.
Este documento describe el método de factorización LU para obtener la inversa de una matriz A. La factorización LU descompone una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una triangular superior U. Para encontrar la inversa, se aplica la eliminación de Gauss para obtener L y U, luego se resuelven sistemas utilizando sustitución hacia adelante y atrás para hallar las columnas de la inversa.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz, sus tipos (cuadrada, nula, triangular, diagonal, escalar e identidad), y propiedades como la transpuesta y matriz periódica. Explica cómo representar matrices y calcular la traza y diagonal principal. El objetivo es proporcionar los fundamentos teóricos sobre matrices necesarios para aplicaciones en ingeniería.
1. Se resuelven problemas relacionados a rectas en R3, incluyendo hallar ecuaciones de rectas, puntos de intersección y distancias.
2. Se explican conceptos como vectores directores, puntos pertenecientes a rectas, sistemas de ecuaciones y modelo punto-pendiente.
3. Se presentan diversos ejercicios y sus soluciones sobre rectas en el espacio tridimensional.
Este documento presenta conceptos fundamentales de álgebra incluyendo sistemas de números reales, exponentes, radicales, expresiones algebraicas, fracciones, ecuaciones, desigualdades y funciones. Explica cómo graficar ecuaciones y funciones usando el sistema de coordenadas cartesianas.
1. DESCOMPOSICIÓN LU<br />Su nombre se deriva de las palabras inglesas “Lowerquot;
y “Upper”, que en español se traducen como “Inferior” y “Superior”. Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el porqué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.<br />La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.<br />Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].<br />[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.<br />El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].<br />PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ [U])<br />Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.<br />Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.<br />Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.<br />Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). <br />PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])<br />Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de “factor” explicado anteriormente y se ubican todos los “factores” debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.<br />Esquemáticamente se busca lo siguiente:<br /> <br />Originalmente se tenía:<br />Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:<br />Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.<br />PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU<br />Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.<br />Resolver Ly = b (para encontrar y).<br />El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre “y”.<br />Realizar Ux = y (para encontrar x).<br />El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada “x”, la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.<br />EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU<br />PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:<br />NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.<br />SOLUCIÓN:<br />4- 2- 19[A] =51- 1[B] =712- 412<br />ITERACIÓN 1<br />factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25<br />factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25<br />Encontrando [U]<br />fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)<br />fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)<br />a11 = a11<br />a12 = a12<br />a13 = a13<br />a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0<br />a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5<br />a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25<br />a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0<br />a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5<br />a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75<br /> <br />4- 2- 1[U] =03.50.2502.5- 0.75<br />Encontrando [L]<br />100[L] =1.25000.2500<br />ITERACIÓN 2<br />factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143<br />Encontrando [U]<br />fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)<br />a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0<br />a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0<br />a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286<br />4- 2- 1[U] =03.50.2500- 0.9285714286<br />Encontrando [L]<br />100[L] =1.25100.250.71428571431<br />Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver <br />Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:<br />Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:<br />El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:<br />La solución del sistema es:<br />Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU.<br />EJEMPLO 2 DE DESCOMPOSICIÓN LU<br />PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:<br />SOLUCIÓN:<br />11- 3- 218[A] =5- 2- 8[B] =134- 722<br />ITERACIÓN 1<br />factor 1 = (a21 / a11) = 5/11 = 0.4545454545<br />factor 2 = (a31 / a11) = 4/11 = 0.3636363636<br />Encontrando [U]<br />fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)<br />fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)<br />a11 = a11<br />a12 = a12<br />a13 = a13<br />a21 = - (0.4545454545) * (11) + (5) = 0<br />a22 = - (0.4545454545) * (- 3) + (- 2) = - 0.6363636365<br />a23 = - (0.4545454545) + (- 2) + (- 8) = - 7.0909090919<br />a31 = - (0.3636363636) * (11) + (4) = 0<br />a32 = - (0.3636363636) * (- 3) + (- 7) = - 5.909090909<br />a33 = - (0.3636363636) * (- 2) + (2) = 2.7272727272<br />11-3-2[U] =0- 0.6363636365- 7.09090909190- 5.9090909092.7272727272<br />Encontrando [L]<br />100[L] =0.45454545000.3636363600<br />ITERACIÓN 2<br />factor 3 = (u32/u22) = - 5.909090909 / - 0.6363636365 = 9.285714284<br />Encontrando [U]<br />fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)<br />a31 = - (9.285714284) * (0) + (0) = 0<br />a32 = - (9.285714284) * (- 0.6363636365) + (- 5.909090909) = 0<br />a33 = - (9.285714284) * (- 7.0909090919) + (2.7272727272) = 68.57142857<br />11- 3- 2[U] =0- 0.6363636365- 7.09090909190068.57142857<br />Encontrando [L]<br />100[L] =0.4545454545100.36363636369.2857142841<br />Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver <br />Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:<br />Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:<br />El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:<br />La solución del sistema es:<br />Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU.<br />