FIIS-EPII-Semana 2. Números Reales-2024A.pdf

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
MATEMÁTICA BÁSICA
FIIS-EPIS-2024-A
UNIVERSIDADNACIONALDELCALLAO
FACULTADDEINGENIERÍAINDUSTRIALYDESISTEMAS
ESCUELAPROFESIONALDEINGENIERÍADE SISTEMAS
EQUIPO DOCENTE DE MATEMÁTICA BÁSICA
2024 – A

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INTRODUCCIÓN
Los Números Reales son la unión disjunta de los
Racionales e Irracionales.
Es un sistema numérico que cumple con una
axiomática para las operaciones definidas: La
Adición y la Multiplicación. Estos axiomas
permiten realizar demostraciones tanto en
igualdades como en desigualdades.

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LOGROS DE APRENDIZAJE
Al finalizar las sesiones, el estudiante utiliza los números reales y sus
axiomas de cuerpo y orden para probar y demostrar propiedades.
Además, utiliza las ecuaciones y desigualdades para resolver situaciones
problemáticas de contexto real.

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CONTENIDOS
1. Los Números Reales.
2. Axiomas de cuerpo.
3. Ecuaciones.
4. Axiomas de orden.
5. Intervalos.
6. Inecuaciones.

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1. NÚMEROS REALES

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LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales es denotado por ℝ y en él están definidas las operaciones
adición (+) y multiplicación (.).
• Los axiomas de cuerpo nos dan las reglas básicas para realizar las operaciones de adición y
multiplicación de números reales.
• Los axiomas de orden: nos permiten organizar el conjunto de números reales.
• El axioma de completitud: garantizan la existencia de los números irracionales, entre otros
hechos importantes.
En este capítulo nos centraremos en los axiomas de cuerpo y orden, dejando de lado el axioma de
completitud para un curso de Análisis Real más extenso.
https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQ

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LA RECTA NUMÉRICA REAL
Es oportuno mencionar que el conjunto de los números reales tiene una interpretación
geométrica importante como el conjunto de puntos ubicados sobre una recta, como se muestra en
el siguiente grafico.

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2. AXIOMAS DE CUERPO

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AXIOMAS DE CUERPO
Los axiomas de cuerpo establecen las reglas validas para realizar correctamente las operaciones
entre números reales, a partir de estos axiomas se desprenden propiedades que nos permitirán
resolver ecuaciones algebraicas entre otras cosas.
Hemos dividido los axiomas de cuerpo en 3 partes, axiomas de cuerpo para la adición, axiomas
de cuerpo para la multiplicación y un ultimo axioma que relaciona ambas operaciones (la
propiedad distributiva de la multiplicación sobre de la adición).

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AXIOMAS DE CUERPO PARA LA ADICIÓN
(A1) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, (𝑎 + 𝑏) ∈ ℝ (Clausura)
(A2) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (Asociatividad)
(A3) ∀ 𝑎, 𝑏, ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Conmutatividad)
(A4) ∃ 0 ∈ ℝ, ∀ 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 (Existencia del elemento neutro auditivo)
(A5) ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃ ത
𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 + ത
𝑎 = ത
𝑎 + 𝑎 = 0 (Existencia del opuesto aditivo)
Observación. Se puede probar que el opuesto aditivo de un numero real es único, de este
modo si 𝑎 ∈ ℝ, su opuesto aditivo ത
𝑎 será denotado por −𝑎.

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AXIOMAS DE CUERPO PARA LA MULTIPLICACIÓN
(M1) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, (𝑎. 𝑏) ∈ ℝ (Clausura)
(M2) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎. 𝑏 . 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐) (Asociatividad)
(M3) ∀ 𝑎, 𝑏, ∈ ℝ, 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 (Conmutatividad)
(M4) ∃ 1 ∈ ℝ − 0 , ∀ 𝑎 ∈ ℝ, 1. 𝑎 = 𝑎. 1 = 𝑎 (Existencia del elemento neutro multiplicativo)
(M5) ∀ ℝ − 0 , ∃ ො
𝑎 ∈ ℝ, 𝑎. ො
𝑎 = ො
𝑎. 𝑎 = 1 (Existencia del opuesto multiplicativo)
Observación. Se puede probar que el opuesto multiplicativo de un numero real diferente de
cero es único, de este modo si 𝑎 ∈ ℝ − 0 , su opuesto multiplicativo ො
𝑎 será denotado por 𝑎−1
.
Cuando escribimos 𝑎. 𝑏 estamos indicando que se está multiplicando 𝑎 por 𝑏, vamos a denotar
esta operación prescindiendo del punto que indica el producto escribiendo simplemente 𝑎𝑏.

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AXIOMAS DE CUERPO PARA LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
(D1) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎. 𝑏 + 𝑐 = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
(D2) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑏 + 𝑐 . 𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎
Mediante el uso de estos axiomas podemos definir otras operaciones tales como la sustracción
y la división de números reales.

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DEFINICIÓN DE LA SUSTRACCIÓN
Se denota la sustracción de dos números reales 𝑎 𝑦 𝑏 por 𝑎 − 𝑏 y se define de la siguiente
manera:
𝑎 − 𝑏: 𝑎 + (−𝑏)
Ejemplo 3 − 5 = 3 + −5 = −2.
TEOREMA (Propiedades). Si 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℝ, entonces
• − −𝑎 = 𝑎
• −1 𝑎 = −𝑎
• 𝑎 −𝑏 = −𝑎 𝑏 = −𝑎𝑏
• (−𝑎) −𝑏 = 𝑎𝑏

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DEFINICIÓN DE LA DIVISIÓN
Se denota la división de dos números reales 𝑎 𝑦 𝑏 (𝑏 ≠ 0) por 𝑎/𝑏 o
𝑎
𝑏
y se define de la
siguiente manera:
𝑎
𝑏
∶ 𝑎. 𝑏−1
TEOREMA (Propiedades). Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 ∈ ℝ, entonces
•
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
•
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑑

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PROPIEDADES BÁSICAS
TEOREMA (Propiedades básicas). Si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ, entonces
i. 𝑎. 0 = 0.
ii. 𝑎. 𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0.
iii. Si 𝑐 ≠ 0 ∧ 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑐 → 𝑎 = 𝑏.
iv. La ecuación 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 tiene solución única 𝑥 = −𝑎 + 𝑏.
v. Si 𝑎 ≠ 0 , la ecuación 𝑎. 𝑥 = 𝑏 tiene solución única 𝑥 =
1
𝑎
. 𝑏 =
𝑏
𝑎
.

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1
Utilizando los axiomas de cuerpo, pruebe que
1. ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎. 0 = 0.
2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎. 𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0.
3. si 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑎. 𝑏 = 𝑎. 𝑐, entonces 𝑏 = 𝑐.
4. si 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎2
= 𝑏2
→ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏.
5. ∀𝑎 ∈ ℝ: − −𝑎 = 𝑎.

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Ejemplo Supongamos que tenemos 3𝑥 + 1 5𝑥 − 2 = 0
• Por ii) propiedad básica 3𝑥 + 1 = 0 ∨ 5𝑥 − 2 = 0.
• Por iv) propiedad básica 3𝑥 = −1 ∨ 5𝑥 = 2.
• Finalmente por v) tenemos que 𝑥 = −
1
3
∨ 𝑥 =
2
5
.
Ejemplo Si 3𝑥 = 12
• Como 3 ≠ 0 y 3. 𝑥 = 3.4
• iii) tenemos que 𝑥 = 4.

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Si consideramos que la variable que consideramos incógnita asume valores reales, entonces
podemos hacer operaciones con dicha variable utilizando los axiomas de cuerpo; por ejemplo
podemos hacer resolver situaciones como 𝑥 + 𝑥, en este caso
𝑥 + 𝑥 = 1. 𝑥 + 1. 𝑥
= 1 + 1 . 𝑥
= 2. 𝑥
= 2𝑥
Lo que hemos aplicado en el ejemplo anterior, es la propiedad distributiva y así 𝑎 y 𝑏 son
números reales, el procedimiento anterior es válido también para poder escribir
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = (𝑎 + 𝑏)𝑥
Si en lugar de 𝑥 tenemos otra variable o una expresión algebraica mas elaborada, entonces
podemos sumar expresiones algebraicas “semejantes“ como en el ejemplo anterior, por ejemplo
2 𝑥 + 5 𝑥 = 7 𝑥

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3. ECUACIONES

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DEFINICIÓN DE ECUACIÓN
Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que una o varias de las
letras involucradas (las incógnitas) tiene un valor desconocido.
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN
Las raíces de una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican la ecuación; es decir, que al
ser sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en una identidad.
Ejemplo. En la ecuación 3𝑥 + 5 = 7𝑥 − 3
2 es la raíz de la ecuación anterior porque haciendo 𝑥 = 2 tenemos
3(2) + 5 = 7(2) − 3
11 = 11
CONJUNTO SOLUCIÓN
El conjunto de todas las soluciones de una ecuación algebraica es llamado conjunto solución.
De momento nos vamos a enfocar en dos tipos de ecuaciones, las ecuaciones lineales y las
ecuaciones cuadráticas.

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ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal en la variable 𝑥 es una ecuación algebraica que puede ser escrita en la forma
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ; donde 𝑎 𝑦 𝑏 son constantes reales con 𝑎 ≠ 0.
Observación.
Toda ecuación lineal tiene una única solución y en el caso de la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 con 𝑎 ≠ 0, su
única solución es dada por 𝑥 = −
𝑏
𝑎
.
Ejemplo 3𝑥 + 4 = 6 − 𝑥 es una ecuación lineal; ya que si sumamos 𝑥 − 6 a ambos lados de la igualdad
obtenemos 4𝑥 − 2 = 0. En efecto, tenemos
3𝑥 + 4 + 𝒙 − 𝟔 = 6 − 𝑥 + 𝒙 − 𝟔
3𝑥 + 𝑥 + 4 − 6 = 6 + 0 − 6
4𝑥 − 2 = 0
En el ejemplo anterior a partir de la ecuación 3𝑥 + 4 = 6 − 𝑥 se tiene 4𝑥 − 2 = 0, que es una ecuación
lineal similar a la descrita por la ecuación.

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PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN
Para resolver una ecuación lineal podemos seguir los siguientes pasos:
1. Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.
2. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que
contengan la incógnita y en el otro miembro todas las constantes.
3. Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la
incógnita.
Ejercicio Resuelva la ecuación utilizando los axiomas de cuerpo 6𝑥 + 10 = 4𝑥.
El objetivo es dejar la incógnita a un lado de la igualdad y las constantes al otro lado de la igualdad,
para ello hacemos las mismas operaciones a ambos lados de la igualdad utilizando los axiomas
estudiados. En la siguiente diapositiva, resolveremos el ejercicio.

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Utilizando los axiomas de cuerpo
1. Resuelva la ecuación 6𝑥 + 10 = 4𝑥.
2. Resuelva la ecuación
𝑥
𝑥+3
−
𝑥
𝑥−3
=
3𝑥−4
𝑥2−9

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ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática en la variable 𝑥 es una ecuación algebraica de la forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; donde 𝑎 , 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes reales con 𝑎 ≠ 0.
Los métodos para resolver una ecuación cuadrática son tres :
▪ Por medio de la fórmula general
▪ Método de factorización
▪ Método de completar cuadrados

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RESOLUCIÓN POR MEDIO DE LA FÓRMULA GENERAL
para llegar a la fórmula que nos permita resolver la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0,
utilizaremos el método de completar cuadrados. En efecto.
Siendo 𝑎 ≠ 0, multiplicamos por 4𝑎 ambos miembros de la ecuación cuadrática
4𝑎 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 4𝑎. 0 → 4𝑎2𝑥2+ 4𝑎bx + 4𝑎c =0
Acomodando y completando cuadrados en el primer miembro, resulta:
(2𝑎𝑥)2+2(2𝑎𝑥)𝑏 + 𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐 = 0 → 2ax + b 𝟐 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
→ 2ax + b = + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Vemos que las soluciones están en el conjunto de los números complejos , por lo que la igualdad
anterior se puede colocar así :

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2𝑎x = −b+ b2 − 4𝑎c
De donde
x =
−𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
A esta expresión se le denomina FÓRMULA GENERAL que resuelve la ecuación cuadrática en cualquier
caso, incluso cuando los coeficientes son números complejos. En esta fórmula hay dos valores para
‘’x’’; separándolas son :
𝑥1 =
−𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
; 𝑥2 =
−𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎

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Ejemplo.
Resolver la ecuación 𝑥 + 3 𝑥 + 2 = 𝑥 + 1.
Solución
llevándola a la forma general se obtiene 𝑥2
+ 4𝑥 + 5 = 0
Identificando los coeficientes : 𝑎 = 1 , b = 4 , c = 5
Reemplazando en la fórmula general, tenemos :
x =
−4+ 42−4(1)(5)
2(1)
→ x=
−4+ −4
2
=
−4+2 −1
2
= −2+ −1
El resultado de −1 es igual 𝑖 (unidad imaginaria). Por lo tanto, las raíces de la ecuación
son :
𝑥1= −2 + 𝑖 ; 𝑥2= −2 − 𝑖

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RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Este método se basa en la aplicación del teorema de los números reales :
𝑎𝑏 = 0 ↔ 𝑎 = 0 ˅ 𝑏 = 0
Ejemplo. Resolver : 3𝑥2 − 5𝑥 − 12 = 0
Solución. Por factorización : 3𝑥2
− 5𝑥 − 12 = (3𝑥 + 4)(𝑥 − 3), entonces
(3𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0 ↔ 3𝑥 + 4 = 0 ˅ 𝑥 − 3 = 0
↔ 𝑥 =
−4
3
˅ 𝑥 = 3
Luego , el conjunto solución de la ecuación cuadrática es : C.S. =
−4
3
, 3

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RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS
Este método se basa en la aplicación de la propiedad :
𝑎2
= 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏 ˅ 𝑎 = − 𝑏
Ejemplo. Resolver : 𝑥2
+ 𝑥 − 20 = 0
Solución. Podemos completar el cuadrado pasando el término independiente al segundo
miembro, luego sumar a cada extremo, la mitad del coeficiente de 𝑥 elevado al cuadrado, esto es:
𝑥2
+ 𝑥 = 20 ↔ 𝑥2
+ 𝑥 +
1
2
2
= 20 +
1
2
2
↔ (𝑥 +
1
2
)2
=
81
4
↔ 𝑥 +
1
2
=
9
2
˅ 𝑥 +
1
2
= −
9
2
↔ 𝑥 = 4 ˅ 𝑥 = −5
Por lo tanto, el conjunto solución es : C.S. = −5, 4

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ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Siendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ˄ 𝑎 ≠ 0 , en la fórmula general se puede observar que la naturaleza de los
valores de 𝑥 depende de los valores que pueda tomar: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 . Este parámetro se denomina
discriminante de la ecuación cuadrática y se le denota por ∆ , así
∆ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
Con lo cual las raíces se pueden colocar así:
𝑥1 =
−𝑏+ ∆
2𝑎
˅ 𝑥2 =
−𝑏− ∆
2𝑎
a) Si ∆> 0 → ∆ existe en ℝ y además ∆ >0 con esto 𝑥1 ≠ 𝑥2.
b) Si ∆= 0 → 𝑥1 = −
𝑏
2𝑎
= 𝑥2, es decir las raíces son reales e iguales
c) Si ∆< 0 → ∆ ∄ en ℝ, así, 𝑥1=
−𝑏+ −∆𝑖
2𝑎
, 𝑥2=
−𝑏− −∆𝑖
2𝑎
es decir las raíces son
imaginarias y conjugadas

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• PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Estableceremos relaciones entre las raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática. Para
esto consideremos el siguiente teorema:
Teorema. Si 𝑥1 , 𝑥2 son raíces de la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0 entonces se cumple
que :
a) Suma de raíces : 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
b) Producto de raíces : 𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
c) Suma de las inversas de las raíces :
1
𝑥1
+
1
𝑥2
= −
𝑏
𝑐
d) Diferencia positiva de las raíces : siendo ∆> 0 ˄ 𝑥1 > 𝑥2, entonces 𝑥1 − 𝑥2 =
∆
𝑎

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OBSERVACIÓN.
Si la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se escribe: 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0 de modo tal que el
coeficiente de 𝑥2
sea la unidad, entonces:
La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con signo diferente y el producto de las raíces
es igual al término constante. Luego, la ecuación :
𝑥2
+ 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
Resulta de mucha utilidad para formar ecuaciones cuadráticas cuando son dadas sus raíces
Por ejemplo, hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son: 𝑥1= 2+ 3 , 𝑥2 = 2− 3 como
S= 𝑥1 + 𝑥2 = 4 P = (2+ 3)(2− 3) = 4 −3=1, entonces la ecuación buscada es :
𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0.

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Ejemplo. Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y producto,
respectivamente, de las raíces de la ecuación:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Solución. Sean 𝑥1 𝑦 𝑥2 las raíces de 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 → 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
, 𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
.
Si S y P son la suma y el producto de las raíces de la ecuación buscada , entonces
S = 𝑥1 + 𝑥2+ 𝑥1. 𝑥2 =−
𝑏
𝑎
+
𝑐
𝑎
= −
𝑏−𝑐
𝑎
, P = (𝑥1+𝑥2) (𝑥1. 𝑥2) = (−
𝑏
𝑎
)(
𝑐
𝑎
) = −
𝑏𝑐
𝑎2 .
Luego, si 𝑥2
+ 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0 → 𝑥2
+
𝑏−𝑐
𝑎
𝑥 −
𝑏𝑐
𝑎2 = 0 → 𝑎2
𝑥2
+ 𝑎 𝑏 − 𝑐 𝑥 − 𝑏𝑐 = 0.

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RAÍCES ESPECIALES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
En algunos casos se requiere que las raíces de una ecuación cuadrática tengan cierta
particularidad, o al revés, a partir de una ecuación cuadrática ¿ que característica podemos
anticipar para las raíces ?. Eso es lo que trataremos en esta sección
1. RAÍCES SIMÉTRICAS U OPUESTAS
Las dos raíces de una ecuación cuadrática se dicen que son SIMÉTRICAS si tienen la forma r y
−r , es decir una es la negativa de la otra.
Luego: 𝑥1 + 𝑥2 = 0 = −
𝑏
𝑎
→ 𝑏 = 0 ; con lo cual la ecuación cuadrática que así : 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
Una ecuación cuadrática, cuyo primer miembro no presenta término lineal, siempre tiene sus
raíces simétricas.
2. RAÍCES RECÍPROCAS O INVERSAS
Las dos raíces de una ecuación cuadrática se dicen que son RECÍPROCAS si presentan la forma:
𝑟 y
1
𝑟
, (𝑟 ≠ 0), es decir una es la inversa de la otra.
Se observa que : 𝑥1. 𝑥2 = 1 =
𝑐
𝑎
→ 𝑎 = 𝑐.

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Con esto la ecuación cuadrática queda así: 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.
Una ecuación cuadrática, donde el primer miembro tiene coeficientes extremos iguales, tiene
sus dos raíces recíprocas entre si.
3. UNA RAÍZ NULA
Una de las raíces es nula, o 𝑥1= 0, entonces ocurre lo siguiente :
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
→ 0+𝑥2 = −
𝑏
𝑎
→ 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
(esta es la otra raíz)
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
→ 0 =
𝑐
𝑎
→ 𝑐 = 0
Con esto la ecuación cuadrática queda así : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
Una ecuación cuadrática cuyo primer miembro no posee término independiente, tiene una raíz
nula o ‘’0’’ , la otra raíz es −
𝑏
𝑎
.
4. UNA RAIZ LA UNIDAD
Una de las raíces de la ecuación es 𝑥1= 1, en este caso sucede que :

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𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
→ 1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
→ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
(esta es la otra raiz)
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
→ 1+
𝑐
𝑎
= −
𝑏
𝑎
→ 𝑎 + 𝑐 = −𝑏 o sino : 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
Y la ecuación cuadrática queda así: 𝑎𝑥2 − 𝑎 + 𝑐 𝑥 + 𝑐 = 0.
Una ecuación cuadrática cuyo coeficiente lineal es el negativo (u opuesto) de la suma de
coeficientes extremos (o mejor aún cuya suma de coeficientes es igual a cero) tiene como raíz a
la unidad, loa otra será
𝑐
𝑎
.
EJEMPLO. Calcule las raíces de la ecuación : 𝑎(𝑏 − 𝑐)𝑥2
+ 𝑏(𝑐 − 𝑎)𝑥 + 𝑐(𝑎 − 𝑏) = 0, siendo
𝑎 , 𝑏 𝑦 𝑐 distintos entre sí
Se puede notar que la suma de coeficientes es :
𝑎 𝑏 − 𝑐 + 𝑏 𝑐 − 𝑎 + 𝑐 𝑎 − 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 = 0.
Entonces, una raíz de la ecuación es 𝑥1 = 1 y la otra es 𝑥2 =
𝑐(𝑎−𝑏)
𝑎(𝑏−𝑐)
.

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1. (Ecuación con raíces reales diferentes) Resuelva la ecuación 3𝑥2
= 2𝑥.
2. (Ecuación con raíces reales iguales) Resuelva la ecuación 4𝑥2
− 12𝑥 + 9 = 0.
3. (Ecuación sin raíces reales) Resuelva la ecuación 𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 0.

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4. AXIOMAS DE ORDEN

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AXIOMAS DE ORDEN
Existe un subconjunto 𝑃 ⊂ ℝ (los números positivos) con las siguientes
propiedades:
(O1) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃, (𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎. 𝑏 ∈ 𝑃)
(O2) ∀ 𝑎, ∈ ℝ − 0 , 𝑎 ∈ 𝑃 ⊻ −𝑎 ∈ 𝑃
(O3) 0 ∉ 𝑃

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DEFINICIÓN
A partir de los axiomas de orden, tenemos:
1. Si 𝑎 ∈ 𝑃, diremos que 𝑎 es positivo.
2. Escribimos 𝑎 < 𝑏 (leeremos “ 𝑎 es menor que 𝑏” o 𝑏 > 𝑎 (leeremos “ 𝑏 es
mayor que 𝑎” ), cuando (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑃.
3. Si 𝑎 < 0, diremos que 𝑎 es negativo.
4. Diremos que 𝑎 ≤ 𝑏 (leeremos “ 𝑎 es menor o igual que 𝑏” o 𝑏 ≥ 𝑎 (leeremos
“ 𝑏 es mayor o igual que 𝑎” ), cuando 𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏.

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PROPIEDADES
En esta sección vamos a enunciar algunas propiedades que se cumplen para las desigualdades
de números reales. Todas estas propiedades se pueden deducir a partir de los axiomas de orden
de los números reales.
TEOREMA (Propiedades básicas). Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 ∈ ℝ, entonces se cumple lo siguiente:
1. Se verifica únicamente una de las condiciones siguientes: 𝑎 > 𝑏 , o 𝑏 > 𝑎 o 𝑎 = 𝑏.
2. Si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 → 𝑎 < 𝑐.
3. Si 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐, ∀𝑐 ∈ ℝ.
4. Si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 < 𝑑 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑.
5. Si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 > 0 → 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐.
6. Si 𝑎 ≠ 0 → 𝑎2
> 0.
7. 1 > 0.

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8. Si 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 < 0 → 𝑏. 𝑐 < 𝑎. 𝑐.
9. Si 𝑎 < 𝑏 → −𝑏 < −𝑎.
10. Si 𝑎. 𝑏 > 0 → 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 < 0 ∨ (𝑎 > 0 ∧ 𝑏 > 0).
11. Si 𝑎. 𝑏 < 0 → 𝑎 < 0 ∧ 𝑏 > 0 ∨ (𝑎 > 0 ∧ 𝑏 < 0).
12. Si 𝑎 > 0 →
1
𝑎
> 0.
13. Si 𝑎 < 0 →
1
𝑎
< 0.
14. Si 0 < 𝑎 < 𝑏 → 0 <
1
𝑏
<
1
𝑎
.
15. Si 𝑎 < 𝑏 < 0 →
1
𝑏
<
1
𝑎
< 0.
16. Si (𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≥ 0), entonces 𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎2
≤ 𝑏2
↔ 𝑎 ≤ 𝑏.

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5. INTERVALOS

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INTERVALOS
DEFINICIÓN
Un intervalo es un subconjunto de ℝ tal que cualquier número entre dos elementos del
subconjunto también pertenece a dicho subconjunto. Es decir, 𝐼 ⊂ ℝ es un intervalo si
cumple
∀𝑥, 𝑧 ∈ 𝐼, ∀𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 < 𝑦 < 𝑧 → 𝐼
Geométricamente un intervalo puede verse como un segmento de recta, vamos a describir
los tipos de intervalos con los que nos encontremos en la practica.

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TEOREMA
Si 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎 > 0 y ∆< 0, entonces
𝑥 ∈ ℝ: 𝑝 𝑥 > 0 = ℝ

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DEFINICIONES
• Si 𝑎 < 𝑏 , entonces el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏 esta formado por todos los números reales
entre 𝑎 y 𝑏 y será denotado por (𝑎; 𝑏) por 𝑎; 𝑏 o por 𝑎; 𝑏 .
• El intervalo cerrado de 𝑎 y 𝑏 incluye los extremos y se denota con 𝑎; 𝑏 .
Con la notación de la teoría de conjuntos podemos escribir lo siguiente:
𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

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DEFINICIONES
Los intervalos también pueden incluir solo uno de los extremos, o pueden extenderse hasta el
infinito en una dirección o en ambas. Veamos los otros casos que podrán presentarse.
• Intervalo abierto en 𝑎 y cerrado en 𝑏, ‫ۦ‬𝑎; ሿ
𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 .
• Intervalo cerrado en 𝑎 y abierto en 𝑏, ሾ𝑎; ۧ
𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 .

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DEFINICIONES
• Intervalo infinito abierto en 𝑎 por la izquierda, 𝑎; +∞ = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 > 𝑎 .
• Intervalo infinito cerrado en 𝑎 por la izquierda , ሾ𝑎; ۧ
+∞ = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≥ 𝑎 .

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DEFINICIONES
• Intervalo infinito abierto en 𝑏 por la derecha, −∞; 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 < 𝑏 .
• Intervalo infinito cerrado en 𝑏 por la derecha, ‫ۦ‬−∞; ሿ
𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 𝑏 .

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DEFINICIONES
• Intervalo infinito cerrado no acotado, −∞; +∞ = ℝ.
Ejemplos Algunos intervalos y su interpretación geométrica.
• ሾ−2; ۧ
1 = 𝑥 ∈ ℝ /−2 ≤ 𝑥 < 1
• 1,5; 3 = 𝑥 ∈ ℝ /1,5 ≤ 𝑥 ≤ 3
• −2; +∞ = 𝑥 ∈ ℝ /𝑥 > −2

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6. INECUACIONES

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DESIGUALDAD
Una desigualdad es un enunciado que establece que un numero es menor que otro.
Ejemplo 5 > 2, −3 < −1.
INECUACIÓN
Cuando una desigualdad tiene una o más variables se denomina inecuación.
INECUACIÓN LINEAL
Una inecuación lineal en la variable 𝑥 puede escribirse en cualquiera de las formas dadas
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ∨ 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 ∨ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0
Donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, con 𝑎 ≠ 0.

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INECUACIÓN CUADRÁTICA
Una inecuación cuadrática en la variable 𝑥 puede escribirse en cualquiera de las formas dadas
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 ∨ 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 ∨ 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
Donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, con 𝑎 ≠ 0.

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1. Resuelva 𝑥2
− 2𝑥 ≤ 3𝑥 − 6.
2. Para que valores de 𝑎, el conjunto solución de la inecuación 𝑎2
− 𝑎𝑥 − 2𝑥2
< 9 es ℝ.
3. Pruebe que ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0, se cumple que 𝑥 +
1
𝑥
≥ 2.
4. Pruebe que si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ+
, se cumple que
𝑎
𝑏+𝑐
+
𝑏
𝑎+𝑐
+
𝑐
𝑎+𝑏
≥ 2.
5. Pruebe que si 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ, se cumple que 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐.

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INECUACIONES RACIONALES
Ejemplo. Resuelva la inecuación
𝑥+1
𝑥+3
≤ 2
Un error común al resolver este tipo de desigualdades es multiplicar primero ambos lados por 𝑥 + 3.
Si lo hacemos eso, tendríamos que considerar dos casos, porque puede ser positivo o negativo
(suponiendo ) y podríamos invertir la desigualdad.
Un método más sencillo es obtener primero una desigualdad equivalente que tenga 0 en el lado
derecho y continuar desde ahí.

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1. Para que un medicamento tenga un efecto benéfico, su concentración en el
torrente sanguíneo debe exceder de cierto valor, que se denomina nivel
terapéutico mínimo. Suponga que la concentración 𝑐 (en mg/L) de un
medicamento particular 𝑡 horas después de tomarlo oralmente está dada por
𝑐 =
20𝑡
𝑡2 + 4
Si el nivel terapéutico mínimo es 4 mg/L, determine cuándo este nivel se
rebasa.

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CONCLUSIONES
Aprendimos a resolver situaciones problemáticas con
la utilización de los números reales, sus axiomas de
cuerpo, de orden, ecuaciones e inecuaciones.

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