Aritmetica.pdf

Omar Salcedo Girón
Luis Barrienìos Cale’:: .
*

Razones y serie de razones
geométricas equivalentes
Lectura de motivación 13
Concepto de razón 14
Razón aritmética 14
Razón geométrica 15
Situaciones particulares 17
Serie de razones geométricas
equivalentes (SRGE) 22
Resolvemos juntos 30
Practiquemos lo aprendido 48
Magnitudes proporcionales
Conceptos previos 54
Relación entre magnitudes 54
Propiedades 55
Aplicaciones de las magnitudes 57
1
Promedios
Concepto de promedio 88
Promedios importantes 88
Variación de la media
aritmética (a MÁ) 93
Promedios particulares 93
Regla del tanto por ciento
Concepto 124
Equivalencias importantes 124
Propiedad *25
Operaciones con el tanto por ciento 128
Empleo del tanto por ciento 128
Regla de interés
Concepto 160
Elementos 160
Tasas equivalentes 161
Clases de interés 161
Teoría de conjuntos
Concepto de conjunto 198
Diagrama de Venn-Euler 198
Relación de pertenencia (e)
y no pertenencia (g) 199
Determinación entre conjuntos 200
Relaciones entre conjuntos 200
Conjuntos especiales 202
Operaciones entre conjuntos 203

Teoría de la numeración
Concepto 236
Sistema de numeración 236
Numeral capicúa 238
Representación literal de
un numeral 239
Descomposición polinómica 239
Cambio de base de un numeral 240
Propiedades 242
Conteo de numerales 245
Operaciones fundamentales en Z +
Adición 274
Resta o sustracción 278
Complemento aritmético (CA) 280
Multiplicación 282
División 285
Sucesión numérica
Concepto 314
Progresión aritmética (P.A.) 314
Progresión geométrica (P.G.) 319
Teoría de la divisibilidad
Representación de los números 355
Principios fundamentales 357
Criterios de divisibilidad 361
Clasificación de los números enteros
positivos (Z+
)
Clasificación según la cantidad
de divisores 392
Clasificación por grupos
de números 395
Teorema fundamental de
la aritmética 397
Estudio de los divisores de
un número entero positivo 398
Estadística
Concepto 426

Recopilación de los datos 427
Organización y presentación
de datos 427
Análisis de las variables 427
Gráficos 430
Medidas de tendencia central 431
Análisis combinatorio
Concepto 468
Principios de conteo 468
Técnicas de conteo 470
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
Teoría de probabilidades
Lectura de motivación
Conceptos previos
Definición clásica de probabilidad
(regla de Laplace)
Operaciones con eventos
Propiedades
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
Glosario
Bibliografía
481
502
507
508
509
509
510
517
535
539
541

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k
r
C
Í*&'W<« V -'•
^ • v" " < W -
1
^ S: : ir
' - *- vV ^■^

RAZONESY SERIEDE RAZONES
GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
' ¿
‘
V
v
w
S
n
¡n
El número de oro, o numero áureo, es un número irracional
que representamos con la letra griega phl ((¡>
), en honor a
Fidias por ser la primera letra de su nombre, y que es igual a
1+^ - =1,6180339887...
Este número fue un hallazgo de los griegos de la época
clásica y se utilizó para establecer las proporciones de los
templos, tanto en su planta como en su fachada. Por ejem
plo, en el Partenón (véase la figura), Fidias también lo apli
có en la composición de las esculturas. Curiosamente, esta
proporción, considerada como la más armoniosa para la
sensibilidad humana, se corresponde con las proporciones
que nos presenta la naturaleza.
Aprendizajes e s p e ra d a s
• Comparar y relacionar cantidades, ya sean homogéneas
o heterogéneas.
Formar o reconstruir una serie de razones geométricas.
• Utilizar métodos prácticos, propiedades o algoritmos
para la resolución de problemas.
¿Por qiaé es necesario este conocimiento?
Es necesario por la aplicación que se le da en la vida
cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos de compras, com
paramos precios, de este modo encontramos una relación
entre los precios a medida que las cantidades aumenten o
disminuyan; en la ingeniería, al usar escalas para elaborar
maquetas; o en el área contable, para realizar movimientos
financieros.

COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Razones y serie de razones geométricas
equivalentes
1. CONCEPTO DE RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades me
diante las operaciones de sustracción o división.
2. RAZÓN ARITMÉTICA
Es la comparación de dos cantidades mediante la operación de
sustracción para determinar en cuántas unidades una cantidad
excede a la otra.
j Cuando se diga solamente razón,
i sin indicar de qué clase es, se
i asume que se refiere a la razón
C geométrica, porque es la más
: usada en la vida cotidiana; por
i ejemplo, en la elaboración de
| maquetas, en la lectura de las
i / escalas en un mapa...
V'lí! '!/ZZ//////‘ " ' ...........r í j
Ejemplos
1. Comparemos los números 20 y 12.
I £f■
/2 1
‘azón aritn iet cj
20 Sz
V t * t
antecedente cerisecuenís
El resultado obtenido indica lo siguiente:
• 20 y 12 se diferencian en 8.
• 20 excede a 12 en 8.
• 12 es excedido por 20 en 8.
2. El ancho y el largo de un terreno rectangular miden 15 m y
24 m, respectivamente. Comparemos estas cantidades.
razón aritmética
------------ *
------------ ,
24 m - 15 m = 9m
valor de la
antecedente consecuente razón aritmética
= 8
: | valor cíe la
razón, aritmética
• El largo y el ancho se diferencian en 9 m.
• El largo excede al ancho en 9 m. '
• El ancho es excedido por el largo en 9 m.

Razones y serie de razones geométricas equivalentes
i :Cuando sé diqa :< 4 y .....1
. " "
rm r o
m ‘A es una vez 8 -> A -B
• /Aes 2 veces 8 -> A =28
-rrr—Á es 3 veces 8 A =38;
-~
» A es n veces 8 —> A =n8
t-Pero cuando se diga
A es una vez más que 8 -> A=28
A=38
A=48
• A es 2 veces más que 8 ->
■
sr: ■
A es 3 veces más que 8
1
1
1v/ íj ■
-
r- , ' ' ■
■
■
■
■
u* h A es n veces mas que 8 -4 A-(n+1)8
■ J
3. RAZON GEOMÉTRICA
Es la comparación de dos cantidades mediante
la operación de división para determinar
cuántas veces una cantidad contiene a la otra.
Ejemplos
1. Comparemos los números 2 y 8.
antecedente
consecuente
1x /
-i 2j =_____
’:_8 i 4 x /
T T t
4 i
razón
•geométrica
valor de ia?r:% ;
razón geometrica
• 2 es la cuarta parte de 8.
• 2 y 8 son números en la proporción o
relación de 1 a 4, porque 2 contiene 1
vez a 2 y 8 contiene 4 veces a 2.
. 2 es como 1, y 8 es como 4, porque
2=1x2 y 8=4x2.
2. A una reunión asistieron 20 varones y
30 mujeres. Comparemos estas cantidades.
antecedente-
consecuente
20
30
razón
geometrica
2 x /
10 _| 2 j
3 x )6 ¡_3_í
valor de la
razón geométrica
• La cantidad de varones es los dos
tercios de la cantidad de mujeres.
• La cantidad de varones y mujeres está
en la proporción o relación de 2 a 3,
porque 20 contiene 2 veces a 10 y 30
contiene 3 veces a 10.
Además, si agrupamos a los varones de 2
en 2 y a las mujeres de 3 en 3, tenemos que
Hoy 10 grupos
20 varones—* 2 2 2 ... 2
30 mujeres — 3 3 3 ... 3
Hay 10 grupos
Por lo tanto, por cada 2 varones hay 3
mujeres.
7
-----— :----------------------
Importénte
Cuando se diga: “A y 8 están en la relación de m
y n , quiere decir que
i;•?' , ; ' y '
A m A B .
— ° —=—-k —
> A=mk a B-nk
B n m n
Las siguientes expresiones son equivalentes:
• Ay 8 están en la relación de m y n.
• A y 8 están en la proporción de m y n.
• A es como m y 8 es como n.
• A y 8 son entre sí como m es a n.
En general, para dos cantidades A y 8 tenemos
| j ¡jj!{ ''V
: ! Aritmética Geométrica
i
ii
C
Q
1
ó *
—
s
donde
- A: antecedente
- 8: consecuente
- r. valor de la razón aritmética
- k: valor de la razón geométrica
5

Aplicación 7
Determine el valor de la razón aritmética en
cada caso.
a. En un día, María confecciona 8 polos y Ana
5 polos. Calcule la razón aritmética de las
cantidades de polos.
b. Si las edades de Isabel y Marco hoy son
30 años y 26 años, respectivamente, de
termine la razón aritmética de sus edades
dentro de 8 años.
Resolución
Resolvemos cada problema.
a. 8-5=3
b. Ordenamos los datos en la tabla/ .2
Isabel 30 años 38 años
Marco 26 años 34 años
38-24 =4
Aplicación 2
2
La razón geométrica de dos números es - .
Si el antecedente es 6, calcule el valor del
consecuente.
Resolución
antecedente — *
consecuente — *
•
Aplicación 3
La relación de dos números es de 3 a 7. Si el
mayor número es 42, halle el menor número.
Resolución
menor — *
• x ¡ 3 x 6
mayor — * ;42¡ 7 x 6
x= 3x6 =18
Aplicación 4
Si A y 8 están en la relación de 7 a 4, además A
excede a B en 12, calcule el valor de B.
Resolución
Como A y B están en la relación de 7 a 4,
entonces tenemos
- = - -> A=7k a 8 =48
B 4
Además, A excede a B en 12.
A-B=42 -+ 78-48=121
y < 3/c=12 -> k=4
fí=4(4)=16
Aplicación 5
Si A es tres veces más que B, además ambos
números suman 35, calcule el valor de A.
Resolución
Como A es 3 veces más que B
A =48
Además
A+B=35
48+8=35
58=35 -+ 8=7
H o y
D e n t r o d e
B años
6 :_ 2_x 3
x ; 5 x 3
x= 5x3 =15 A=4(7) =28

Capítulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Aplicación 6
Los volúmenes de dos cilindros son entre sí
como 12 es a 15. Si el menor volumen es 44 m3,
halle el mayor volumen.
Resolución
Sean v1y v2 los volúmenes de dichos cilindros.
Por dato, v1y v2 son entre sí como 12 es a 15.
menor
mayor
i =^ = 4
'2
—
>
44 4 x11 m3
v2 5 x11 m3
v2=5x11=55
4. SITUACIONES PARTICULARES * 0
4.1. -En edades
Comparemos las edades (en años) de Juan y
Carlos.
Hoy
Edad
actual
Dentro de
4 AÑOS
Juan 13 años i 18 años 22 años
Cari os 1
1 años i 16 años 20 años
Diferencia: 2 años 2 años' 2 años
r r _ _ ■
J______ ZT~
La diferencia no cambia.
En conclusión, al comparar las edades de dos
personas a través del tiempo, se cumple que
la diferencia de sus edades es constante (no
cambia).
Aplicación 7
Hace 5 años, la diferencia de las edades de
Luis y Alberto era de 4 años. Si la suma de sus
edades actuales es 30 años, ¿cuál es la edad
actual de Alberto?
Resolución
Sean L y A las edades actuales de Luis y
Alberto, respectivamente. Nos piden A
Como la diferencia de edades es constante,
entonces
/ -A =4
/ +A =30
2A =26
A =13 años
Aplicación 8
La diferencia de las edades de Sandra y Cintia
es 6 años. Si dentro de 4 años sus edades es
tarán en la relación de 7 a 5, ¿cuál fue la edad
de Cintia hace 5 años?
yp
Resolución
Por dato
V
=30 ?
-5 -4
H a c e
5 AÑOS
Edad
actual
D e n t r o d e
4 AÑOS
Juan 7k-9 7k-4 7k
Carlos Sk-9 Sk-4 5k
Diferencia: 6 años 6 años
De la tabla tenemos
7k-5k=2k=6 -> k=3
Nos piden
5/r-9=5(3)-9=6 años

COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 9
Actualmente, las edades de dos personas
están en la relación de 8 a 11, y dentro de 10
años estarán en la relación de 7 a 9. ¿Cuál fue
la suma de las edades hace 4 años?
Resolución
Por dato
Edades
actuales
8k~4 8k
m -4 . Hit-
Suma: 19/c—
8
8/r+10
1U+10
de 7 a 9
.. ;
■
Por dato
ri7+in =X 72/r+90=77/:+70
1U+10 9
i
20=5k -> k-4 X éP'
V ¿f-
19/r—
8=19(4)—
8=68
4.2. En móviles ^ :
Comparemos las velocidades y las distancias
recorridas por dos móviles {A y 8), respectiva
mente.
5 s
- vA y vB: las velocidades de A y 8
- dA y dB: las distancias recorridas por A y B
Comparamos las velocidades de A y B.
vA _ 3j^rrí/s) _ 3
vb A ^ rríls j 4 vb 4
Comparamos las distancias recorridas por A y B.
dA _ 3(10 m) _ 3
dB 4(10 m) 4
d
_A = 3
dB 4
Por lo tanto, cuando los tiempos son iguales,
se cumple lo siguiente:
de
Es decir, la relación de las velocidades es igual
a la relación entre las distancias recorridas por
A y B, respectivamente.

Aplicación 70
Dos móviles (A y fí), separados cierta distan
cia, parten simultáneamente al encuentro. La
velocidad del móvil A es dos veces más que
la del móvil B. ¿Cuánta era la distancia que los
separaba ¡nidalmente si cuando se produce el
encuentro, uno de ellos recorrió 200 m más
que el otro?
Resolución
Por condición, los móviles parten simultánea
mente, entonces el tiempo que transcurre para
ambos es igual.
Comparando las distancias recorridas por los
móviles A y B, se tiene que
dA-d B=2K=200
-> K = m
Nos piden
4K=4(100) =400
Aplicación 77
Dos móviles (A y B) están separados 500 km
y parten al encuentro con velocidades en la
proporción de 7 a 3. ¿Cuánto le falta llegar al
otro extremo al móvil A en el instante en que
ambos móviles están separados 90 km por
segunda vez?
Resolución
De la condición del problema, la primera vez
en que A y B están separados 90 km ocurre
antes del encuentro entre A y B.
Gratam os
vB=3v
2»
A
h90 kfTH
500 km —
8
La segunda vez en que A y B están separados
90 km ocurre después de haberse realizado.el
encuentro entre A y B.
3d
Del gráfico
3d=90+x
—
> x=3c/-90
Además
7d+x =500
7c/+3c/-90 =500
10c/=590
-> d= 59
Nos piden x.
x=3(59)-90
x=B7
igfe A
.....___ .v
La relación de las velocidades será iqual a la re-
litm iir/ '/// n.v v v 'v '_______- ■'
láción de las distancias recorridas solo si el tiem
po transcurrido es igual para todos los móviles
y si sus velocidades permanecen constantes.
9

4.3. En una mezcla
En un recipiente mezclamos agua (A) y vino (V);
como se muestra a continuación:
Al inicio Extraemos ' Nos quedan
— — ? ^ S
Ì ]
1/4 A 5 : A
40 L ' " " v 10 L ' . v
-
,
1
I
J
60 L
V
15 L 45 L
1/4
J
Comparando los volúmenes de agua y vino,
respectivamente, se observa que
20 L _ 1 5 L _ 1 15 L - 1 %
4 0 L ~ 2 ' 10 L~ 2' / 30 L _ 2
t______________ t / '
La proporción de los volurneO
nes de agua y virio no cambia)
En conclusión, al extraer parte de una mezcla,
la proporción de sus ingredientes no se altera.
Además se observa que
• 5 L=—(20 L)
4
• 10 L= —(40 L)
4
• 15 L= —(60 L)
4
Ai extraer la cuartel
. parte del total cieqa
mezcla, en lo extraído
sale la cuarta parte de
cada Ingrediente.
En general, al extraer una fracción de la mez
cla total, de cada Ingrediente sale también la
misma fracción.
> ,v> j ? / / / / / . í / / / /
: ím núriantt/ // ■
,purtaiW/%//:
Una mezcla es la reunión de dos o más sus
tancias llamadas ingredientes, en la cual cada
componente no pierde sus propiedades natu-
• . . i -; -.
rales.
r r .____ - - - . ______ _____________ ___2¿
Aplicación 12
De una mezcla que contiene 40 L de vino y
30 L de agua se extraen 42 L. Calcule la razón
aritmética de la cantidad de agua y vino que
sobra luego de la extracción.
Resolución
Sean V el vino y A el agua.
Tenernos Extraemos Nos quedan
y
^---------^ ......—
---- .
------ ... .......... ---
;. . V . V
".......... .............. ...............
iili# ....'-''
■
A A
70 7 x 6 -4 2 L
Nos piden
16 L—
12 L=4 L
Aplicación 13
Se tiene en un recipiente 100 L de una mezcla
formada por gaseosa y vino. Si extraemos 40 L,
de los cuales 10 L son de gaseosa, ¿cuántos
litros de vino y gaseosa, respectivamente, que
dan aún en el recipiente?
Resolución
Sean G la gaseosa y V el vino.
Tí»
enemos Extraemos ios quedar
*¿u}
í 1
G
--- —
?
v G
-.......- -•?
.1(25) V 30 L“ 1(10) V
100_L
4(25)
40 L 60 L
4Í1S1
Por lo tanto, quedan 45 L de vino y 15 L de
gaseosa.
2

Aplicación 14
Se mezclan 40 L de vino con 20 L de agua y
de esta mezcla se extraen 12 L. ¿Cuántos litros
de agua se deben agregar a lo que queda de
la mezcla para obtener igual volumen de vino
y agua?
Resolución
Por dato
Al ¡nido
vino
agua
60 L
Quedan
S ......... .. .................... -
; 4.(51 (2} vino 2x16..
■ 20 L (1) agua 1x16
3x16 = 48 L
Se extraen 12#..
Luego
vino
agua
—
> 32 =16+x
x =16
„„.V — — - .......^ ~ — ....... , s
______________ '■
12_L X t '
______________________ " "
• agua
^ _____ ! _____^
Aplicación 75
A una fiesta asistieron 140 personas, entre
varones y mujeres. Por cada 3 mujeres hay
4 varones. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la
razón entre el número de mujeres y varones
que se quedan en la fiesta?
Nos piden
40 _ 2
60 ” 3
Aplicación 16
Si el producto de dos números es 180, pero su
razón aritmética es 3, calcule la suma de dichos
números.
Resolución
Sean A y B dichos números.
Por condición
4 x 8 =180
Además
4-8=3 -> 4 =8+3
Luego
(8+3jx8 =180
. 82+38=180
Despejando tenemos
82+38-180 =0
8
8
+15
-12
- 158 +
- -128
+38
8 +15=0 o 8-12=0
-+ 8 =—
15 o 8 =12 y 4=-12 o 4=15
Por lo tanto
• Si 4=-12 y 8=—
15 -> 4 +8=-27
• Si 4=15 y 8=12 -> 4 +8=27
Resolución
Se tiene
Inicio S
fc VAN Quedan
Varonas 4x20 20 60
MUMRLS 3x20 20 40
Total: 7x20
Aplicación 17
En una granja se observa que el número de
pavos es dos veces más que el número de co
nejos y, además; la suma de las cantidades de
cabezas y patas se encuentran entre 170 y 190.
¿Cuántos conejos hay en la granja?

Resolución
Recordemos que la expresión dos veces más
significa tres veces. Entonces respecto de la
cantidad de pavos, se tendría
N.° DE
CABEZAS
N.° DE
PATAS
N.° DE PAVOS
' X:2
3x^
X-
^*6x
i':
....... .
N.° DE CONEJOS X -*4x
Total: 4x 10x
Por dato
170 <
n.° de cabezasú+f n.° de patas
en total en total
<190
j
Ax
-> 170<14x<190
12,14... <x< 13,57...
x= 13
*
0x
■
•-1
4
5. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS I
EQUIVALENTES (SRGE)
5.1. CONCEPTO
Es la igualdad que se establece entre tres o más
razones geométricas que son equivalentes.
Ejemplos
1. Sean las razones
antecedentes
consecuentes
Igualamos
serie de 1res razo
nes geométricas
equivalentes
|27 _ 18 _ 30 ;3 ;
—¡9 " 6 "10 i y
valor de la sazón
o constante de .
proporcionalidad
donde
- 27; 18 y 30: antecedentes
- 9; 6 y 10: consecuentes
- 27 y 10: términos extremos de la serie
(el primer y último término)
2. Tenemos
antecedentes
3 6, 12 24 _ 1
consecuentes
Esta es una serie de cuatro razones geomé
tricas equivalentes. En esta serie se obser
va, en particular, que
• (2.° término) =(3.er término) =6
•y (4.° término) =(5.° término) =12
y : (6.° término) =(7.° término) =24
A este tipo de serie se le denominará serie de
razones geométricas equivalentes continua. En
general, una SRGE se representará así:
s
3
II.
II
-V
II
cfi
II
C
1 ^2 Cn Cn
__ J
donde
- o,; a2; c?3; ...; an: antecedentes
- cv c2; c3; ...; cn. consecuentes
- k: razón o constante de proporcionalidad
- o1y cn: términos extremos
Pero si la SRGE es continua, se cumple
a b _ c
b c d

y IKv 7 ■
f
/j
Importante
; . n h r
La serie continua—=—=—=k
b c d
también'se puede representar así:
. dk2 dk d
porque al despejar a; fey c. en la serie original;
se tiene que
1
c=dk
. ,
• b=ck-dk-k=dk2
• a-bk-dk2■
k=dk3
a
J ; * x ,
Observación
Iü>1117/
En una serie de razones geométricas equi
valentes, cada uno de los términos ocupa un
lugar determinado.
1er término _ 3er término _ 5.°término
2o término 4 o término< 6o término
Ejemplo j|¡j
Dada la SRGE
12 = 15 =_9 =.3j
16 “ 20 "12 4
I|I
rIí III'/////////S- S
tenemos
4 otérmino: 20
'
• ■
v-o
• 5otérmino: 9
2.° término: 15
Aplicación 18
En una serie de cuatro razones geométricas
equivalentes, los consecuentes son 10; 5; 7 y 12.
Si la suma de los dos primeros antecedentes es
75, halle los valores de los otros antecedentes.
Resolución
Formamos la serie con los datos indicados.
antecedentes
A =í =- =— =k] A +B=7S
10 5 7 12
consecuentes
Despejamos
A = m i B=5k;C=7k y D=12/r
Nos piden
C+D=M
Por dato
A +B=-)5k=75
—
> k=5
C=7(5)=35 y D=12(5)=60
Aplicación 19
Si —= además x-y-z=192,
3 4 2
halle el valor de x+y+z.
Resolución
Igualamos la serie a una constante k.
3 4 2 k
Despejamos los valores de x; y, z en términos
de k.
x=3k; y=4k; z=2k —
> x+y+z=9k
Por dato
x-y-z=192
-> (3/í)(4C)(2íí)=240=192
0=8 -> k=2
x+y+z=9(2)=18
importante
Cuando se diga que los números A; B y C son
proporcionales a m; n y p, quiere decir que
N¡ ■
. "
• ' .
A B C ,
—=—=—=k —
> A=mk; B=nk; C=nk
m n p
' ;o ¡i i ’
•; v '//,'/, />

Aplicación 20
Las medidas de los ángulos internos de un
triángulo son proporcionales a 1; 2 y 3. Calcule
el mayor ángulo.
Resolución
Sean A; B y C dichos ángulos internos.
Por dato, A] B y C son proporcionales a 1; 2; 3,
entonces
A=k; B=2k y C=3k
mayor ángulo
En un triángulo se cumple que
(suma de ángulos intemos)=180°
-> A +B + C =180°
2/r-h3Ar=180° -> k=30°.
/. C=3(30°)=90° ' V
Rcfto ataaber. . ~
~
.
Tres números son proporcionales a<
20;/10,y,25?
. . . . . . .
: 3j¡
.......i ¡
y»
'"
n
ú
m
e
f
o
s
? m
5.2. Propiedades
Dada la siguiente SRGE:
12 20 _ 16 _ 32 _ 2 cas que se multiplican.
18_ 3 0~ 24 _ 48 3 Además, observemos que
observemos lo siguiente: 20 +16-32 )6 2
30 +24-48 ~
~2A ~ 3
12+20 ^ 2 _ :2 :
18+30 /tá 20-16 +32 36 2
30-24 +48 34 3
20 +16+32 faé Í 2 Í t n.razón de
16+12-20 ,8
--,
30 +24+48 )Q Í i 3 i /
2 i
24 +18-30 y¿ 3 i
12+20+16+32 J3(f _ : 2 :/ 16-12 +20 24 2:
18+30 +24+48 )2Ó i _
3
_i 24-18 +30_ 36 ~ 3-
En general
(suma de antecedentes) __ 'razón de i
(suma de consecuentes) la SRGE j
Luego, al multiplicar
12x20
18x30
12:
-¡X
18:
20
30
OO2
u
C G 1
razón
3
12x20x32
18x30x48
¡12: 20: ¡32: f 2^|
:— :x ---*X'---'= —
:18: 30: :48: L3y
(2 ( 2 (2
razón
12x20x16x32
18x30x24x48
En general
12| !20¡
— 'X— x
18 i ¡30¡
16; !32
— x —
24 48
C? C? (.y C
2 4
3 /
t
3zón
I razón üe
(producto de antecedentes)
(producto de consecuentes) i la SRGE j
razón de
la SRGf.
2

. 6 d =f '
. u„ ^ : , v . , ¡i ; .
Ij { / // ////f i 4////.V'“ -“-- »-----------
i W f
Dada la SRGE S&N
11iI I II s í s v S -
o c e , :/S
—=—=~=k ' '' sÍSv
~ b d f s s :
a+b _ c +d _ e +f _ k +1 S -ífS s
* a-b c-d e - f k - 1 . . S S S y
¡ ^
; ¡ - an+cn+en =kn
tn S ' ' -
X Z 3
Ä r V
WW/»
'qi fi f
siili
11*%
•$
; $$i £1
i
| «i I |
MflH
U i , L i , S
::s;rS
S
y
-Ss
Aplicación 21
a b c d ,
Si - = ademas
4 7 5 2
a +b-c =48, calcule el valor de V^.
Resolución
Por dato
a _ ¿ > _ c _ c / _ ^ _ 48 _ g
c/= 2x8 -» c/=16
VÍ6 =4
Aplicación 22
S¡ £ = - =- =- , además axb+cxd= 207,
4 2 5 3
calcule el valor de a+c.
Resolución
Dato:
o ¿i c d _/
4 _ 2 _ 5 ~ 3
Por la propiedad de serie
0 ^ 4 = ^ y 0 4 = it2
4x2 5x3
—
^ axb=Qk¿ y cxcM S/í2
Del dato
axb+cxc/=23/^=207
k^=9 —
» /r=3
o _ ¿ > _ c _ c / _ 3
4 ~ 2 _ 5~ 3 ~
~
Porla propiedad de serie
£+C=3
4+5
o+c =9x3=27
Aplicación 23
Si 32 y 4 son el primer y el último anteceden
te de una serie de cuatro razones geométricas
equivalentes continua, halle el valor del último
consecuente.
Reso lu c ió n
Por dato
S v ,S »prime'— i i— último
xantecedente 1 1 antecedente
32 _ a _ 6 _ 4
o ¿i 4 c
=/r3=8 -» k=2
32x^ xi
X x^ x4
Nos piden c.
4 o 4
c . 2
c=2
Aplicación 24
En una serie de cuatro razones iguales, al dividir
el producto de los antecedentes entre el pro-
256
ducto de los consecuentes, se obtuvo----. Si
81
la suma de los consecuentes es 99, ¿cuánto es la
suma de los antecedentes?

Resolución
Se tiene la siguiente serie:
- = - = * = l = k
b d f h
Del dato
a x c x e x g 4 256 -
b x d x f x h ~ 81 <
44 . 4
„ -» 6 =—
Además
o+c+e+g ,
—■
-------- . =6
b+d + f +h 1_4
y 3
^
—
99
99x4 _
a+c+e+g =—-— =132
Aplicación 25
Si los números 54; b; c y 128 forman una se
rie de razones geométricas continua, en ese
orden, calcule b+c.
Resolución
Nos piden b+c. Como los números 54; ¿
>
; c y
128 forman una serie de razones geométricas
continua, se tendría
54 _ b _ _ c __ k
b ~ c " 128 “ v V #
Por la propiedad de serie'
27
+ T x / x / = k3 2 7 = jt 3
64
64
Extraemos la raíz cúbica.
i = *
4
Luego
11 =1 -> ¿
>=l i l i =72
b 4
c
128
3
4
—
^ c —■
3
128x3
=96
Aplicación 26
Las edades actuales de Carlos, Eduardo y Mila
gros están en la proporción de 4; 7 y 5. Si hace
15 años estaban en la relación de 3; 9 y 5, halle
la edad de Eduardo dentro de 7 años.
Resolución
Sean C, E y M las edades actuales de Carlos,
Eduardo y Milagros, respectivamente.
Nos piden 6+7.
Por dato
C E M
- =- =— =k -» C=46; £=76; M=56
4 7 5 •
Hace 15 años las edades fueron (46-15);
(76-15) y (56-15).
Por dato
46—
15^ 76-15 56-15
Z . 3 ^ ^ 9 " 5
Luego igualamos
1 ^46-15 56-15
— — =— ------ > 206-75 =156.-45
56=30 -> 6=6
£+7=7(6)+ 7 =49
Aplicación 27
c.a 9 12 . . „
Si - =- =— =6, halle a+b.
4 a b
Resolución
Del dato
a 9 2
- =- —
> a =36
4 a
—
> o=6
Reemplazamos el valor de a en la serie inicial.
6 =9 =12 3
4 6 ~ b “ 2
b+c=72+96=168

Entonces
12 3
7 - 2 -> 24=3b
b =— -» b=8
3
a+b =6+8 =14
Aplicación 28
Si - =—=z^-^- =3i halle a-b +c.
c 4 b
Resolución
De la serie observamos que
—=3 -> c =4x3 =12
4
Además
—=3 -> 0 =12x3 =36
c
Luego
36 +6 42
=3 -» b =— =14
b 3
a-ó +c=36-14+12=34
Aplicación 29
En una serie de tres razones geométricas con
tinua, cuya constante de proporcionalidad es
3, se sabe que la suma de los dos últimos con
secuentes es 32. Determine la suma de los dos
primeros antecedentes.
Resolución
Una serie continua de tres razones geométricas
tiene la siguiente forma:
r valor de la constante
£ =- =- =k =3 (i)
Al despejar se tiene que
c-3d
-> b=3c=3(3d) =9d
a=3b =3{9d) =27d
Reemplazamos (II), (III) y (IV) en (I).
primeros
antecedentes
(ID
(III)
(IV)
27d)_(9d)_3d^_3
9d _ 3d~ d
Por dato
3d+d =4d =32 -+ d= 8
Nos piden
• 27d+9d =36d =36(8) =288
Aplicación 30
Rosa y María están distanciadas 320 m y
parten a su encuentro con velocidades que
están en la relación de 5 a 3, respectivamen
te. ¿Cuál es la diferencia de los espacios re
corridos por ellas cuando le falten 56 m para
encontrarse?
Resolución
Tenemos
5
'3
María
d ^ 3 k
y
■
56 m -
320 m
Del gráfico
5/r+3/c+56=320
8/r=264 -» k=33
-+ dR=5(33)=165 a dM=3(33)=99
dR~dM=66 m

Aplicación 31
Dos móviles {A y B) parten de dos ciudades
hacia su encuentro con velocidades que es
tán en la relación de 7 a 3, respectivamente.
Luego de cierto tiempo se encuentran sepa
rados 90 m después de su encuentro. En ese
instante, ¿cuánto le falta a A para llegar al otro
extremo si la distancia entre las ciudades es de
500 m?
Resolución
Tenemos
vb 3 dB 3
Del gráfico
500=7/r+3/r=10/r -> k=50
Nos piden x.
x= 3k-7x9
x=3(50)-63
x=87
Para investigar
Busque cuántas parejas de números naturales cumplen que su razón aritmética sea igual a su razón
geométrica.

Capítulo
1
Razones
y
serie
de
razones
geométricas
equivalentes

RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.”1
0+1- ¿
»+2 ,
5 i---- =---- , ademas o+6+3=60,
2 3
halle el valor de o.
A) 23
D) 12
Resolución
De la condición
o +1 6+2
B) 30
6
2 3
—> o + 1—
2/c a 6+2=36
Sumamos
o=26-1
6 =36-2 >
0+6 =56-3
Se tiene que
o+6 +3=60
5 6 - / + X =60
56=60 -> 6=12
o=2(12)—
1=23
Problema N.° 2
C) 18
E) 28
i Clave «
Dos números están en la relación de 5 a 7. Si
su razón aritmética es 18, ¿en cuánto excede el
triple del menor al doble del mayor de dichos
números?
A) 6
D) 9
B) 2 C) 12
E) 8
Resolución
Sean o y 6 dichos números.
Por dato
a 5 o =56 (menor número)
b~ 7 6 =76 (mayor número)
Nos piden
3o-26=3(56)-2(76)=6
Por dato
6-o=18
76-56=26=18 -> 6=9
3o-26=9
=Clave
Problema N.° B
12
La razón de dos números es —. Si la suma
5
de los cuadrados de dichos números es 676,
calcule el mayor de los números.
A) 24
D) 28
B) 18 C) 20
E) 21
Resolución
Sean o y 6 dichos números.
Por dato
£ =12 o=126 (mayor número)
6 5 6 =56 (menor número)
Nos piden o.
Por dato
o2+62=676 —>
(126)2+(56)2=676
14462+2562=676 -> 169/^= 676
62=4 -> 6=2
o=12(2)=24
; Clave
3

Problema M.° 4_________________ _______________
La cantidad de dinero que tiene Ana y la canti
dad de dinero que tiene Lucy son entre sí como
11 es a 7. Si Ana da S/.80 a Lucy, ambas tendrían
la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Ana?
A) S/.190 B) S/.260 C) S/.300
D) S/.600 E) S/.440
Resolución
Por dato
-> 11/r-S/.80 =7/r+S/.80
4/r= S/.160
k =S/.40
Nos piden 1
1k.
... H(40)=S/.440
; Clave ; j
Problema N.° 5_______________________________ _
La suma de dos números es 200, y si le agre
gamos 40 a cada uno de ellos, los nuevos nú
meros obtenidos serían proporcionales a 3 y 4.
Calcule el valor del mayor de dichos números.
Resolución
De los datos tenemos
-> (3k-40) +{4k-40)=200
7A—
80=200
7^=280
k=40
Nos piden 4Ar—
40.
... 4(40)-40=120
i Clave }
^
:í-^
'v
¿
.. • ..........
Problema N.° 6_________________________________
Una varilla de fierro de 40 cm de longitud es
dividida en tres partes, tal que la longitud de
la primera es dos veces la segunda, y esta es
dos veces más que la tercera. ¿Cuál es la me
dida de la parte intermedia?
A) 10 cm B) 18 cm C) 12 cm
D) 15 cm E) 16 cm
Resolución
Tenemos
»=-—;---..tt:— ■
, ............. -...........- ■
---- >
i------ A -------t------B -------1
----C ---- 1
i----------------- 40 c m -----------------1
A) 120
D) 130
B) 80 C) 100
E) 140

Datos:
• A=2B
• B=3C -> A =2(3Q =6C
Luego
4k+ 40= m -S0
90=6k -> k=15
Del gráfico
/4+ß +C =40cm
6C+3C+C=40 cm
10C=40cm -> C= 4 cm
Nos piden 3k-2.
/. 3(15)—
2 =43
; Clave
ß=3(4 cm)=12 cm
: C/C7Ve i
Problema N.° 7
La edad que tuvo Jenny hace 4 años y la edad
que tendrá Nataly dentro de 6 años están en
la relación de 1a 2, además la edad que tendrá
Jenny dentro de 6 años y la que tuvo Nataly
hace 4 años están en la relación de 5 a 4. Halle
la suma de sus edades actuales.
A) 43
D) 20
B) 60 C) 48
E) 45
Resolución
Del primer dato tenemos
' -4 +6
Hace Edades Dentro de
4 AÑOS actuales
: ,........:__....-..A
6 años ;
f Jenny k k+4 ^+10
: Nataly 2/r-10
•
2k-6 2k
Suma: 3k-2
Además
k +10
2/C-10 .4
Problema N.“8
Un recipiente contiene 64 L de vino y 16 L
de agua. Si se extraen 20 L de la mezcla y se
reemplazan por agua, de la mezcla resultante,
¿cuál es la razón aritmética de la cantidad de
vino y agua?
A) 20 L
D) 24 L
B) 26 L C) 16 L
E) 30 L
Resolución
Sean V el vino y A el agua.
80 L 20 L 50
1/4 final
Nos piden
V
A
48 L—
32 L =16 L
i Clave

Problema N.* 9
Las velocidades de dos motociclistas están en
la proporción de 7 a 9 y se dirigen uno al en
cuentro del otro. Luego de 1 h se encuentran
separados 240 km. ¿Cuánto tiempo transcurre
en total hasta que se encuentran si inicialmen
te estaban separados 400 km?
A) 2,5 h
B) 3h
C) 2h
D) 2 h 10 min
E) 3,5 h
Resolución
Sean A y B los motociclistas.
7x10 — h
— 240 km —i— 9x 10— h
(-7x15+9x15-1
i----------------- 400 km —
Para el motociclista 4
70 km ---- ► 1 h
105 km ---- xh
105x1 , r
En consecuencia
(tiempo)=(1+1,5)=2,5 h
Por lo tanto, en total transcurren 2,5 h hasta
que se encuentren los motociclistas.
; Clave1
.
Problema N.° 10___________________
A una fiesta asisten 200 personas entre varo
nes y mujeres, donde hay 3 varones por cada
2 mujeres. Luego de 4 h se observa que por
cada mujer hay 2 varones. ¿Cuántas parejas
formadas por un varón y una mujer se retira
ron?
A) 64 B) 60 C) 50
D) 48 E) 40
Resolución
Por ejemplo
A l in ic io Se v a n
^DE LA FIESTA 10 PAREJAS
Ahora
QUEDAN
:
70 y !
10 60
r ' r¿r ./fy
kM tailÈs 50 * 10
o
Diferencia: ' 20
t
20
t
^ j , La diferenc:ía no se alte
retirarse ur igual mámero de
varones y de mujer-Î S .
En el problema
i
I
j
A l INICIO DE
LA FIESTA
S e v a n
X PAREJAS
A h o r a
q u e d a n
V a r o n e s 3x40 X 2x40
! M u j e r e s i 2x40 X 1x40
Diferencia: ■1x40
i 1x40
à
Deben ser ¡guales
Total =200 =5x40
De la tabla
3x40-x=2x40
x =40
; Clave [
.....................'i

Problema N.° 11
Si
a b e
- =- =- y 2a +3c= 310,
calcule el valor de 2b.
A) 80
D) 60
B) 50 C)' 70
E) 40
Resolución
Del dato inicial
2xa _ b _ 3xc
2x8 ~ 2 ~ 3x5
=k
í
310
- , 2ó=É =3£=jt=g£+á£i=í0
16 2 15 31
0 =2x10 =20
20 =40
'
Clave
Problema N.’ 12
.. f í _ C =_D
S i A ~ B ~ C ~ D ~ 32'
halle el valor deA +5+C+D.
A) 20
D) 16
Resolución
Por dato
B) 30 C) 10
E) 64
A B C = D_=k
1
A B C D 32
(*)
Por propiedad
1xAx5xCxP
A xfíxC xD x32
=ks - , <
r5= 1
32
Luego
‘ ' ■ y - H
iX
Reemplazamos k en la expresión (*).
J _ _ A _ 5 _ C _ _ D
A~~B~C~ D~ 32 _ 2
Entonces
1 _ 1
A _ 2
2 _ |
B~2
4 _ J
C~ 2
8 _ _ |
D~ 2
A +B+C+D-30
- =- -> A =2
- =- -> 5 =4
- =- C= 8
- =- _> D =16
C/ove
Problema N.° 13
Halle el menor de tres números proporciona
les a 5; 10 y 15, con la condición de que el pro
ducto de los dos primeros números sea 800.
A) 20
D) 80
B) 40 C) 60
E) 100
Resolución
Nos piden C. Sean A; 5 y C dichos números.
Por dato A; 5 y C son proporcionales a 5; 10 y
15, es decir
A___5___C_ A _ 5 _ C
i ~ ) ó ~ y í
1 2 3
-> A =k] B =2k] C =3k

Capitulo 1 Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Además
AxB=800 -» kx2k=800
2b2 =800
=400 -> k =20
/. C= 3(20) =60
; Clave
Problema N.‘ 14 ______________________
A una fiesta asisten 240 personas, en donde la
relación de varones y mujeres es de 5 a 7. Si en
cierto momento de la fiesta se observa que las
mujeres que no bailan y los varones que bailan
están en la relación de 5 a 9, calcule cuántos
varones no bailan.
A) 35 B) 40 Q 15,
D) 20 • X * 10
Resolución
Ordenamos los datos.
,
■ L B a il a n
. • Nú %
BAILAN
. 3|
^OTAL
[ V a r o n e s ; 9k 100-9/r 5x20
[ M U JER ES 9k 5k 7x20
12x20
24(3
íp
<
X
K
X
>
<
*
X
>
<
X
>
C
*
>
<
>
0
<
>
<
^
^ -
Observación
En estos casos se cumple que
í n° de varones
que bailan )
A ^
n 0de mujeres
que bailan
Clave
Problema N.° 15___________________________ _____
Se tiene que los ángulos internos de un cuadri
látero son proporcionales a los números 18; 12; 9
y 15. ¿Cuál es la medida del mayor de dichos
ángulos?
A) 100°
D) 120°
Resolución'
B) .180° C) 160°
E) 60°
Sean A,: B; C y D dichos ángulos. Como son
proporcionales a 18; 12; 9 y 15
.mayor..
r í-%
;
• > A =- 4 =C =-h ; A+B +C +D =360°
18 .12 ¿ 15 ----- -------'
6 4 3 5
4 =£ =£ =£ =* =M =20
6 4 3 5 18
Nos piden A.
6x20 =120°
; Clave
De la tabla
9/r+5/r=7x 20=140
14/r=140
A
r = 10
Problema N.° 16*
8
Dada la serie - = - =— =k,
8 b 20
donde a; b y c son números enteros positivos,
calcule el valor de c si a+b+c= 26.
B) 6
Nos piden 100-9/c
100-9(10) =10
A) 5
D) 20
C) 10
E) 18

Resolución
Como a+b+c =26 -> a+c=26-b
_ /r_ 26-ó 6 _ 26-¿>
8 b 20 28 b~ 28
6x28 =bx(26-b) =14x12
Como 6 =2^ o 12, entonces
• Si ¿
>=14 —
» ^ =— (c? no es entero)
8 14
c- u n 6 C
• Si ¿
>=12 -> — =—
12 20
/. C =10 /
i C/m/e
Problema 17
En un corral se observa que por cada 2 gallinas
hay 3 patos y por cada 5 pavos hay 4 patos. Si
se aumentaran 40 gallinas, el número de estos
sería igual al número de patos. ¿Cuántos pavos
hay en el corral?
A) 150
D) 100
B) 160 C) 130
E) 140
Resolución
Gallinas Pa t o s
...... ’1
P a v o s ;
2 x 4k
3x4k
4 x 3k
1
2k
. ¡
5x 32
1
5k
Por dato
8^+40 =12/r -> k =10
(n.° de pavos) =15(10) =150
Clave •
•
Problema N.* I B ____ _____________________
Juan le da a Pedro 100 m de ventaja para
una competencia de 1000 m, y Pedro le da a
Carlos una ventaja de 200 m para una compe
tencia de 1800 m. ¿Cuántos metros de ventaja
debe de dar Juan a Carlos para una carrera de
2000 m?
A) 400
D) 300
Resolución
B) 500 C) 600
E) 700
f-
——----- j ---------- i
10x100 m
i----200 m ---- f — 8x yoQ n i------ 1
- 1800 m --------------- 1
9x200 m
Entonces
ventaja de
i— :— 400 m —
h
---- 8x200 m -----1
9x?.00 m --------- 1
10x200 m
- 2000 m -
* Clave

Problema N.° 19
equivalentes continuas, la suma de los extre
mos es 410. Si los términos y la constante son
números enteros positivos, halle el término ex
tremo mayor.
A) 360
D) 390
B) 400 C) 405
E) 380
Resolución
Representamos la serie continua así:
/-mayor extremo
ak ' akz
akó akc
°k2 _ ° k _i<
°k :o : ♦
Ssífenteros
menor W
extremo i . *
Dato:
ak4+a =410 -> a{k4+^ =410 =5x82
a(k4+l) =5x(34+l) -+ 0=5 y k=3
ak4=5x34=405
Problema 20*
4
9
Clave
Sea — =— =— =-^—. Calcule el valor de a+b
49 16 25 100
si 4a +4b + fc+77 —
52.
A) 248
D) 260
B) 560 C) 290
E) 520
Resolución
Extraemos la raíz cuadrada a todos los térmi
nos de la serie y se obtiene
4a _4 b __ = = ='
T~~ 4 " 5 ” 10 26
26
Igualamos la nueva
ser¡e a una constante /
>
Elevamos al cuadrado.
o _ b c _ d
49 _ 16 _ 25 ~ 100 ~
Por la propiedad de serie tenemos
a+b _
49+16 ~
- ' *£-65 '
a + b -65x4 =260
: Clave
Problema N.° 21
4az +9 _ 4b2+16 Ve2+25
' 7l8 732 750
además a2+c2=544, halle b.
A) 20 *J . B) 15 C) 24
D) 16* E) 12
Resolución
En el dato
V
.
7o2+9 _ 4b2+16 _ 7c2+25
7Í8 732 750
Elevamos al cuadrado todos sus términos.
o2+9 ¿7+16 c2+25
>8
9
¿2
16
J5tf
25
Luego al descomponer cada razón tenemos
9 +/9 “ Í 6 +/¡6 ~25 +l5
Nos queda
í
a
9 16 25 34
o2 b2 c2 544
=16

Luego
b2
— =16 -> b2=16x16=162
16
¿>=16
; Clave [
Problema N.° 22
c¡ o +15 Ò+20 c+40
b =r ~in = ademas c-a=75,
o-15 b - 20 c-40
calcule el valor de a+b.
A) 80
D) 120
B) 150 C) 105
E) 65
Resolución • ; ':-
„ , . . o+15 b +20 c+40 í
De la serie------ =------ =-------, observamos
o-15 b - 20 c-40 ¿ r -
que por su forma podemos usar la siguiente
propiedad: . C .
m p r
q s
■rn + n p + o _*.+. + si
m -n p - q - r#s
Entonces
o+15 _ ¿>+20 _ c+40 ^ _o___6___c_
o-15 ~
~¿>-20 _ c-40 15 _ 20 ~ 40
Simplificando los consecuentes tenemos
o _ ¿
> c _ c-o _75
3 _ 4 _ 8 _ 8 - 3 _ 5 "
-+ o=3(15)=45 a ¿?=4(15)=60
Problema N/ 23
Carlos y Mariano parten a la vez uno al en
cuentro del otro de dos ciudades (A y B), res
pectivamente, con velocidades entre sí como 4
es a 7, respectivamente, y la distancia de sepa
ración es 550 m. Si, inmediatamente después
del cruce, Carlos disminuye su velocidad a la
mitad y Mariano duplica la velocidad que te
nía, calcule cuánto le falta a Mariano para lle
gar a A en el momento en que a Carlos le falta
330 m para llegar a B.
A) 75 m B) 80 m C) 70 m
D) 56 m E) 60 m
Resolución
Del problema
Del gráfico
*+140=200
o+ó=105
; Clave í
.................*
1
*=60 m
: Clave

Problema N.° 24
En una fiesta se observa que los varones que
bailan y las mujeres que no bailan están en la
relación de 5 a 3, mientras que las mujeres que
bailan y los varones que no bailan están en la
relación de 7 a 2. Si las personas que bailan
exceden en 78 a las que no bailan, ¿cuántos
varones no bailan?
A) 30
D) 15
Resolución
Nos piden 10k.'
Del problema
B) 24 C) 18
E) 20
| V a r o n e s
P M u je r e s
Ba ila n I SfO Íi MÍAH
"7OK
5(7k) s, 2(5ir):
7(5k) 3(7k)
Cuando las personas bailan en pareja (varón
con mujer), se cumple que
n ° de varones
que bailan
5m
Luego, por dato
'n.° de personas^
que bailan
^n.° de mujeres
que bailan
7(5k)
que no bailan
70
39^=78 —
> k=2
31k
10(2)=20
! Clave
Problema M. 25 ____ __________________ ____
Las edades de Kelly y Verónica hace 6 años es
taban en la relación de 2 a 1, pero dentro de
4 años será de 1
1 a 8. ¿Dentro de cuántos años
la relación de edades será de 5 a 4?
A) 12
D) 9
Resolución
Nos piden x.
B) 8 C) 15
E) 18
Hace
6 AÑOS
• Ho y
.De n t r o
Dt 4 AÑOi
K elly 2(3/r)=12 18 11W
V er ó n ic a ; 1(3Ar)=6 12 m
Diferencia: 1(3« 3 (k)
' . ^ 2 ' Deben ser iguales.
De la tabla
2{3k)+6+4=m
6/c4-10=11At
10=5;
k k=2
Luego, las edades dentro de x años serán
(18+x) y (12+x).
-78 Por condición
18+x 5
=78 12+x ~
~4
-> 72+4x=60 +5x
x=12
Clave

Problema N.c26
El peso de Andrés excede al de Joel en 10 kg,
y el peso de Joel es excedido por el de Rosario
en 8 kg. Halle cuánto pesa Andrés si se sabe
que Rosario pesa 56 kg.
A) 40 kg
D) 32 kg
Resolución
B) 48 kg C) 42 kg
E) 58 kg
xxxxx><><x><>c>c><x><x>ooc<><c><^
No OLVIDE
Cuando se dice que A excede a B en r,
quiere decir que
A-B=r /
'^0<><>C<>C<><><>O <><X^ >o<x>ooo<x><x>c><x>c><><x^^
Sean
- A: peso de Andrés
- 7: peso de Joel
- R: peso de Rosario
Por dato
A - J=10 (I)
R-J= 8 (¡I)
R=56 (III)
Operamos (II) y (III).
56-7=8
-+ 7=48 (IV)
De (I) y (IV)
4-48=10
-> 4=58
Por lo tanto, el peso de Andrés es 58 kg.
i Clave
Problema N.° 27
Los sueldos de Santiago y Roxana están en
la relación de 3 a 5; pero si Santiago ganase
S/.640 más, la relación se invertiría. ¿Cuál es el
sueldo de Roxana?
A) S/.500
D) S/.800
Resolución
B) S/.720 C) S/.600
E) S/.560
xso<x*x>o<xvxxvxv;
No OLVIDE
l Cuando se dice que Ay B están en la
relación de m a n, significa que
A m
B~ n
-> A-mK a B-nK
£ V}
Sean
- S: sueldo que gana Santiago
R: sueldo que gana Roxana
Por dato
S _3 k
_
R~ 5k
Pero si Santiago ganase S/.640 más
5+640 5
R ~ 3
Reemplazamos
3/C+640 5
5k ~ 3
-> 9/c+1920—
25/c
1920=16k -+ k=120
Por lo tanto, el sueldo de Roxana es 5/c=S/.600
Clave

Problema N.‘ 28 _ _ _ _ _ _ _ _ _
En la biblioteca Amauta, la cantidad de libros
de matemática es el doble que la de cien
cias, y la de humanidades es tres veces más
que la de matemática. Si la cantidad de libros
de humanidades excede a la de ciencias en
350, ¿cuántos libros de matemática hay en la
biblioteca?
A) 80 B) 100 C) 120
D) 90 E) 130
Resolución
Sean
- M: cantidad de libros de matemática
C: cantidad de libros de ciencias
- H: cantidad de libros de humanidades
Por dato
M=2C (I)
H=4M (II)
Reemplazamos (I) en (II).
, H=4(2C)=8C
Además
H -C = 350 8C - 0 3 5 0
7C =350
C=50 O
H
)
Reemplazamos (III) en (I).
M=2(50) -> M=100
Por lo tanto, hay 100 libros de matemática.
: Clave
• . . . . . . . . i . . . . . . ♦
*i
Problema N.° 29____________ __ ____ _________
Las edades de Jhonny y Luis están en la rela
ción de 8 a 5, pero dentro de 10 años sus eda
des estarán en la relación de 7 a 5. ¿Cuál fue la
suma de sus edades hace 2 años?
A) 56 B) 42 C) 40
D) 36 E) 48
Resolución
De los datos, tenemos
10 años
Presentí: Futuro
Jhonny 8x(2k) 7x [3k]
Luís 5x(2k) 5x[3k]
f diferencia
vde edades¿
3x(2 k)
"“ L .. _
2x(3 k)
La diferencia debo
De la tabla se observa que
m+W=2M< -> 10=5/:
k=2
Nos piden la suma de sus edades hace 2 años.
Pasado Presente
Jhonny 30 32
Luis 18 20
Por lo tanto, la suma de las edades hace 2 años
fue 48.
: Clave

Problema N.° 30
En una fiesta, se observa que el número de
varones y el de mujeres están en la relación
de 7 a 6. Además, los varones que bailan y las
mujeres que no bailan son entre sí como 3 es
a 5. Si 76 varones no bailan, ¿cuántas personas
están bailando?
A) 72 B) 48 C) 60
D) 80 E) 90
Resolución
í Bailan
6k .
NO BAJEAN
(5k/76)
‘JOTAL '
y ;
I Varones *3k 76 3k+76
lüi* 2
' i
! Mujeres// 3k 5k
co
Deben ser
iguales.
Por dato
n.° de varones _ 7
n.° de mujeres ' 6
Problema N.’ 31_____________________ ___________
De una mezcla de 100 L de agua y 80 L de al
cohol, se extraen 90 L que se reemplazan con
agua. De la mezcla resultante, calcule la razón
aritmética de la cantidad de agua y alcohol.
i
A) 80
B) 120
C) 100
D) 90
E) 95
Resolución
Graficamos
_____
^ " 7 7 -...;7 "7 ■
...
... la mitad
a
...- -
lam
itrici /
Los 90 L de mezcla que salieron los reemplaza
mos por 90 L de agua.
3k +76 _ 7
8k 6
m +4S6=S6k
456=38k
k
456
38
k=12
Por lo tanto, la cantidad de personas que están
bailando es 6(12)=72.
] Clave •
Entonces ahora se tendrá en el recipiente
agua
alcohol
Por lo tanto, la razón aritmética de la cantidad
de agua y alcohol es 140-40=100.
; Clave

Capítulo i Razones y serie de razones geométricas equivalentes
Problema N.° 32
A una reunión asistieron 500 personas, y se
observa que la relación de varones y mujeres
es de 2 a 3. ¿Cuántas parejas deben retirarse
para que la nueva relación de varones y muje
res sea de 3 a 5?
A) 50 B) 60 C) 40
D) 25 E) 100
Resolución
O b s e rv a c ió n
i|- IMHÓ.V . V
Inicio
. , ,. . . .
Se van Quedan
N .° DE VARONES 70 12 58
• N .° DE MUJERES 50 12 38
Diferencia: 20 ^ .ifÍfo v A’ 20 Ó ?,;:;
T 7 _ _ J
No le altera.
Por lo tanto, cuando se retira la misma canti
dad de hombres y mujeres, la diferencia entre
las cantidades de hombres y mujeres no se
altera.
_ _____J L —U
En el problema, cuando se van x
van x hombres y x mujeres.
parejas, se
Inicio Se van Quedan
: N .° DE VARONES ¡
f .ClX'- v « > - . .
200 X 3x50
j N.° DE MUJERES 300 X 5x50
Total 500 S
-I
Diferencia: 100 2x50
~T~
Deben ser ¡guilles.
200-x=3x50=150
Problema NV 33_______________________________
Dos amigas (Vilma y Kelly) analizaron sus aho
rros mensuales. Vilma gana S/.1400, y lo que
gasta y ahorra están en la relación de 7 a 3.
Mientras que Kelly gana S/.1200, y lo que gana
y gasta están en la relación de 5 a 3. ¿Quién
de las dos ahorra más y por cuánto excede su
ahorro al de su amiga?
A) Kelly; S/.120
B) Kelly; S/.60
C) Vilma; S/.180
D) Vilma; S/.30
E) Vilma; S/.120
Ganan Gastan A h o r r a n
■
'
■
■
■
,v
VlLMA 10x140 7x140 3x140
Kelly 5x240 3x240 2x240
Entonces
• (ahorro de Vilma)=3x140=420
• (ahorro de Kelly)=2x240=480
-» 480-420=S/.60
Por lo tanto, Kelly ahorra más que Vilma y su
ahorro excede en S/.60.
; Clave -,
Resolución
3

Problema N.° 34 i Despejamos los antecedentes.
c. a b +3 15 3 , ,, c=dk; ke Z (ID
hallea+b+c.
20 b +7 c 5 ; b=ck=dkxk=dkz (III)
j a=bk=dk2xk=dkS
l (IV)
A) 35
D) 38
Resolución
B) 30 C) 25
E) 40
Observe que la constante de proporcionalidad
de la serie es entonces cada razón geomé-
3
trica la igualamos a - .
a 3 20x3
20 5 5 /
¿
>+3 _ 3
b+7 ~ 5
5ó+15=3¿»+21 -> b=3
15 3 15x5
— =- -» c =----- =25
c 5 3
a+b+c=40
Clave
Problema N.° 35
Si - =- =- = k (ke Z); tf+c=260 y ó-c=40,
b c d
halle c2+r/2
A) 250
D) 104
Resolución
Del dato
a b e
B) 169 C) 200
E) '300
b c d
=k 0)
Reemplazamos (II), (III) y (IV) en (I).
dk3 _ d k 2 _d k _ ^
dkz dk d
Por dato
a + c=260
-> dk3+dk=dk(k2+1)=260 (V)
Además
b - c-40
-> dkz-dk=dk(k-1)=40 (VI)
Dividimos (V) + (VI).
jdf( {k2+l) _ ¿60 _ 13 k2+1_ 13
^ ( * - 1 ) " # 6 ~ 2 ^ ¥ T = 7
Aplicamos aspa simple.
2^+2=13^13
2/c2—
13/r+15=0
2k
k
3 —
>2/r-3=0 —
> k =— x
2
-5 -» A
r—
5=0 -> Ar=5 ✓
En (VI)
dx5x4=40 -> d =Z y c =2x5=10
c2+d2=102+22=104
i Clave

Problema 56 __ ________
Calcule la constante de una serie de tres razo
nes iguales si la suma de los cuadrados de los
antecedentes es 452 y la suma de los cuadra
dos de los consecuentes es 1017.
«i
»i
»! «i
°!
Resolución
Por dato del problema, tenemos
o _ c _ e _ ^ ’ y * 0
*"*""**
b d f
Elevamos al cuadrado todos los términos.
V
Por la propiedad
suma de antecedentes
suma de consecuentes
=constante
—
^
a2+c2+e2
b2+d2+f 2
=k‘
Por dato
0 2
=kc
-> k2 =^ =
9 U
-f
! Clave •
Problema N.° 37
Si se cumple que
c +20 15 o+1_30
“ 7 “ ' a " b 3b'
calcule a+b+c.
A) 30 B) 55
D) 49
Resolución
Del problema
.0+1 _ 30
/ ” 3 /
3o+3=30
3a =27 -> o =9
Luego
c+20 _ >5 _ 5
c $ 3
3c+60=5c
60=2c —
> c=30
Ahora
15 _ 9+1_ 10
9 ~ b ~~b
1 90
-> b =— =6
15
C) 40
E) 45
a+b+c=9+6+30=45
i Clave
5

Problema N/ 38________
iguales con constante de proporcionalidad
positiva, los antecedentes son 2; 3; 7 y 11. Si el
producto de consecuentes es 37422, halle la
constante de proporcionalidad de la serie.
« 5 e
>
i o;
D | 5 E
lf
Problema N.° 33 ______________ __
Una fiesta inició con una determinada canti
dad de varones y mujeres. Transcurridas 2 h,
60 varones se retiran, de modo que queda
un varón por cada dos mujeres. Si luego de
una hora se retiran 80 mujeres, de modo que
quedan 14 mujeres por cada 9 varones, ¿con
cuántas personas empezó la fiesta?
A) 600 B) 800 C) 450
D) 620 E) 720
Resolución
Del problema, tenemos la siguiente serie de
razones:
2 _ 3 _ 7 _ 1 1 _ ^ ' .
a b c d
Por la propiedad de serie de razones tenemos
2x3x7x11 í4
— -------------------------- = k
a x b x c x d
Dato:
,.4
270 2
kA
1
-- —
y
81
kA
i Clave
Resolución
1 - ■
! i
In i c i a
: • : .
•
•
'a.. ¿..i¿r..... .
Se
lVAN
Quedan
: Se.
V A N
Quedan
ftífc óe ■
dmbNM,
9k+60 60 1x9k
[________
9xk
V 'j':~
,£
;
MOJIES
m : 2x9k 80 14x k
Total: 27/r+60
Del gráfico, observamos que
2x9k-80 =U k
4k=80 -> k=20
Nos piden
27k+60 -27(20) +60 -600
i Clave
............i

Problema N.° 40
Las velocidades de Nahomy y Nidia están en la
relación de 13 a 9. Cuando la más veloz llega
al punto de partida de la más lenta, a esta le
faltaba 352 m para llegar al punto donde partió
la más veloz. Halle la diferencia de las distancias
recorridas por ambas personas hasta el mo
mento en que se produjo el encuentro.
Luego
4
Nahomy es más veloz.
A) 240 m
B) 248 m
C) 200 m
D) 196 m
E) 208 m
Resolución
Como las velocidades de Nahomy y Nidia
están en la relación de 13 a 9, sus distancias
recorridas están también en la relación de 13 a
9; además Nahomy es la más veloz.
Por lo tanto, la diferencia de las distancias re
corridas hasta el encuentro es
13x [52]-9x [52]=4x [52]=208 m
^ ... / j • i Clave ..

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
%
■
1. La edad de dos personas es de 36 y
24 años; por lo tanto, están en la relación
de 3 a 2. ¿Después de cuántos años dicha
relación será de 5 a 4?
A) 48 B) 24 C) 36
D) 28 E) 22
2. La suma de tres números es 1425, la razón
1
1
del primero y el segundo es —y la diferen
cia de los mismos es 600. Halle el valor del
tercer número.
A) 500 B) 550 - C) 608
D) 325 / E) 375
3. Una bolsa contiene dos docenas de huevos.
Si dicha bolsa se cae, ¿cuál de las siguien
tes alternativas no puede ser la relación
entre la cantidad de huevos rotos y enteros?
A) de 1 a 3 B) de 7 a 5 C) de 1 a 5
D) de 1a 4 E) de 1a 2 ;
4. A una fiesta asistieron 3 mujeres por cada
4 varones: Luego se retiran 25 parejas.
¿Cuál es la razón entre el número de mu
jeres y varones que se quedan en la fiesta
si inicialmente habían 175 personas?
5. Tres de cada mil motociclistas se accidentan
en 1 km. ¿Cuántos motociclistas de cada
millón sufren un accidente en 1 km?
A) 6000 B) 300 C) 3000
D) 600 E) 900
6. Lo que cobra y lo que gasta diariamente
una persona suman S/.60; lo que gasta y
lo que cobra están en la relación de 2 a 3.
Si dicha persona gastara diariamente S/.12
menos, ¿en qué relación estará ahora lo
que gasta y lo que cobra?
A) de 1 a 4 B) de 2a 5 C) de 1 a 5
D) de 2 a 4 E) de 3 a 9
7. Para elaborar pólvora se necesita salitre,
carbón y azufre en la proporción de 23;
5 y 4. ¿Cuántos kilogramos de azufre y sa
litre, respectivamente, se necesitarán para
elaborar 6,4 kg de pólvora?
A) 0,8 y 4,6 B) 0,6 y 4 C) 1y 3,5
D) 0,7 y 4,1 E) 0,9 y 3,7
8. Si 4 y B están en la relación de 3 a 4, pero
C y A se encuentran en la relación de 2 a 5,
¿en qué relación están B y C?
A) de 9 a 5 B) de 4 a 1 C) de 10 a 3
D) de 15 a 4 E) de 20 a 6
9. Se divide 630 en tres partes (4; B y Q
tales que A es 3 veces B, y B es 4 veces
más que C. ¿Cuál es la razón aritmética
entre la mayor y menor parte?
A) 360 B) 390 C) 450
D) 420 E) 280
10. Las edades de Jhonny, Wilmer y Jimmy
son proporcionales a los números 4; 5 y 7,
respectivamente. Si dentro de 8 años las
edades de Wilmer y Jimmy estarán en la
relación de 7 a 9, halle la edad de Jhonny.
A) 8 años B) 10 años C) 18 años
D) 16 años E) 12 años
E) -
3

Razones y serie de razones geométricas equivalentes
11. En un recipiente se mezclan 12 L de agua y
18 L de vino. ¿Cuántos litros de agua se de
ben agregar a dicha mezcla para que la re
lación inicial de sus ingredientes se invierta?
A) 15
D) 18
B)' 12 C) 16
E) 20
12. En una competencia atlética, Luis le ganó a
Daniel por 40 m y Daniel le ganó a Jimmy
por 72 m. ¿Por cuántos metros le ganó Luis
a Jimmy si la pista atlética tenía una longi
tud de 180 m?
A) 96
D) 84
B) 90 C) 108
E) 72
13. Si
o +8 3b c+8
= 2,
a b+4 15
halle el valor de a+b+c.
A) 38
D) 32
B) 36 C) 28
E) 30
14. Si —=—= además A+B+C= 38,
1 1 ^
2 5 4
halle el valor de B.
A) 12
D) 16
B) 8 C) 10
E) 20
„.8 1 o c v
15. Si — =- =- =—/
o c v 16
calcule el valor de o+c+v.
A) 142
D) 126
B) 116 C) 114
E) 124
16. La sumía de los antecedentes de una
serie de tres razones geométricas ¡guales
2
es los - de la suma de los consecuentes.
3
¿Cuál es el producto de los anteceden
tes si el producto de los consecuentes es
24 300?
A) 10 800
D) 4800
B) 7200 C) 6000
E) 3600
17. Tres números son proporcionales a 7;
1
1 y 13, tales que el segundo más el cuá-
druplo del primero suman 117. Calcule el
valor del tercero.
A) 26
D) 24
B) 13 C) 39
E) 36
18. Se tienen 60 números que son proporcio
nales a los 60 primeros números pares,
donde la suma de los 20 primeros es 1050.
Halle la suma de los 30 últimos números.
A) 8625
D) 8265
B) 6285 C) 6825
E) 5828
19. En un recipiente con una capacidad de
60 L se han echado 10 L de agua y 400 g
de azúcar. ¿Cuántos litros de agua se de
berán agregar a dicha mezcla para que la
relación entre la cantidad de litros de agua
y la cantidad de gramos de azúcar sea de
1 a 10?
A) 24
D) 10
B) 30 C) 20
E) 40
20. En un mapa a escala 1/500 000, la distan
cia entre dos ciudades es de 10 cm. Halle
la distancia real entre dichas ciudades,
en kilómetros. Considere que la escala
1/500 000 significa que 1cm del mapa
representa a 500 000 cm de longitud real.
A) 50
D) 10
B) 5 C) 5,5
E) 500

21. Dos amigos (A y B) tienen juntos un capi
tal de S/.24 000. La proporción de la parte
que tiene A respecto a la de B es de 1 a 5.
¿Dentro de cuántos meses estarán sus
partes en la proporción de 1a 3 si cada uno
incrementa su capital en S/.400 mensual?
A) 20 B) 5 C) 15
D) 10 E) 4
2 2 . En un salón de clases, antes del recreo, el
número de varones es al número de muje
res como 9 es a 5. Si, después del recreo, el
que bailan y la cantidad de varones que no
bailan están en la relación de 2 a 5. Si en
ese momento hay 140 personas, ¿cuántas
parejas están bailando?
A) 24 B) 12 C) 36
D) 18 E) 20
26. Juan y María parten del punto A rumbo al
punto B con velocidades que son entre sí
como 7 a 5. Si a los 40 min Juan llega a su
destino, ¿cuánto tiempo emplea María en
llegar al punto B1
número de varones y de mujeres disminu
ye en 8 y 4, respectivamente, la razón del
número de varones a mujeres es y ¿Cuán
tas mujeres regresaron al salón?
A) 16
D) 28
B) 29 C) 36
E) 32
A) 56 min B) 60 min C) 42 min
D) 58 min E) 72 min
27. En una serie de tres razones geométricas
equivalentes, la suma de dos razones cua-
»| 7 4 %
lesquiera es —y el producto de anteceden
tes es 240. Calcule el producto de conse-
23. Se tienen canicas verdes, rojas y negras.
Por cada 3 verdes hay 5 rojas y por cada 3
rojas hay 5 negras. Si la cantidad de canicas
negras excede a las verdes en 32, ¿cuántas
canicas rojas hay? % , 5* .
A) 20 B) 30 C) 24
D) 18 E) 12
a2 b2 c2 d2
24. Se cumple que
y a-b+ c =42. Halle d.
A) 60 B) 32 C) 70
D) 45 E) 36
25. En cierto momento de una fiesta, la canti
dad de varones que bailan y la cantidad de
mujeres que no bailan están en la relación
de 3 a 4. Además, la cantidad de mujeres
cuentes.
A) 840 B) 360 C) 270
D) 810 E) 720
28. Dada la siguiente serie de razones geomé
tricas equivalentes:
o+70 ¿
>+120 c +300
35 60 150
calcule el valor de c si axb =756.
A) 60 B) 90 C) 120
D) 45 E) 75
29. Si ^ =
3
°2 _ °3
5 7
=. °n
— y
19 y
a6+o.i—
48,
calcule n+on.
A) 65 B) 56 C) 48
D) 57 E) 66
5i

' ■
■
•’ -
3', -v
! ' -
■
té
ri:-'“Vfjg { V t "
30. Se tiene una mezcla de 70 L de agua y
vino. Al extraer 14 L de dicha mezcla, de los
cuales 4 L son de agua, ¿cuántos litros de
agua deberán agregarse para que la rela
ción de los ingredientes se invierta?
A) 72
D) 84
B) 68 C) 56
E) 60
31. Las edades de Juan y César están en la re
lación de 1 a 2. Si hace 8 años la relación
fue de 3 a 8, ¿dentro de cuántos años sus
edades sumarán 72?
A) 10
D) 12
B) 9 C) 8
E) 6
32. En una asamblea, el número de varones
con el total de personas están en la rela
ción de 3 a 10, y la diferencia entre mujeres
y varones es 52. ¿Cuál es la relación entre
varones y mujeres si se retiran 26 varones?
» 1
6) í
7 c
)!
33. En una reunión se observa que por cada
1
1 mujeres hay 9 varones. Si se retiran 30
parejas y ahora la relación de mujeres y
varones es de 5 a 3, calcule el número de
asistentes al inicio.
A) 60 B) 100
D) 120
34. Se sabe que
C
7
-1 C72 ^ 4
7 “:T _ 7 ~ T
Calcule a3+a5+o7+...+a
C) 80
E) 40
'17
si o +0^o +Og =4320.
A) 440
D) 460
B) 560 C) 480
E) 490
35. Calcule a+b+c+d si
_o_ _ 80 _ _ 45 c_ o_20
~30~~b ~ 34~ d V C
A) 200
D) 370
B) 350 C) 400
E) 345
Claves
1 5 9 13 ; 17 ; 21 : 25 29 33
2 6 10 14 18 22 26 30 34
3 7 1
1 15 19 23 27 31 35
4 8 12 16 20 : 24 28 32

r»:
MAGNITUDES PROPORCIONALES
El colibrí {Archilochus colubris) es el ave más pequeña del
mundo, es nativa de México y habita en América. Tiene un
tamaño que oscila entre 1
1 y 15 cm, y un peso de 6 a 8,5 g.
Las alas del colibrí se pueden mover hasta 80 veces por se
gundo. Cuando un macho está tratando de impresionar a
una hembra, el batido de sus alas puede aumentar hasta 200
veces por segundo.
Es la única especie de ave que tiene la capacidad de volar en
todas las direcciones. Durante un periodo normal de tiempo,
su corazón latirá más de 1200 veces por minuto.
Como otros pájaros, el colibrí migra en los tiempos más fríos
del año, llegando a volar hasta 2000 millas de distancia.
Más de la mitad de todos los colibríes muere durante el primer
año de vida, pues la esperanza de vida de los que sobreviven
es de hasta 4 años; sin embargo, existen informes, no verifi
cados, de algunos que vivieron hasta 12 años.
Conocer las magnitudes y relacionarlas en su vida cotidiana.
Identificar las magnitudes y saber su relación de compara
ción de dos o más magnitudes.
Utilizar métodos prácticos, propiedades o algoritmos para
la resolución de problemas.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
En muchas ocasiones utilizamos frases como el agua está fría,
hace mucho calor, ese caballo va rapidísimo, ese celular es
.carísimo. Todas estas frases nos indican alguna medida y nos
dejan con una idea muy subjetiva o vaga sin saber realmente
con exactitud qué es lo que están diciendo. ¿Se imagina qué
pasaría si toda la gente midiera las cosas según su criterio?
Simplemente el mundo en que vivimos sería un caos.
Dentro del estudio de las magnitudes, las mediciones son
importantes; estas deben ser exactas y precisas.

Dato curioso
Hay magnitudes que no se
pueden medir y se manifiestan
a través de los sentidos de cada
persona; por ejemplo, el amor,
el miedo, la tristeza...
Importante
Sean A y B valores de 2 mag
nitudes.
a. Reconocimiento del compor
tamiento de las magnitudes
• A -> B] o Ai -» B
Se concluye que A DP B.
• A —
> B ! o A; -> B
Se concluye que A IP B.
b. Se cumple que
• A DP B <
-> ^=K
• A IP B <
-> AxB=K‘
donde K y K' son constantes.
CONCEPTOS PREVIOS
Es todo aquello que tiene la Es el resultado de medir o
propiedad de cambiar; puede contar el cambio de una
ser medido o cuantificado. magnitud.
Ejemplos
• Longitud
• Temperatura
• Rapidez
• Obreros
Ejemplos
• 40 m
• 35 °C
• 120 m/s
• 40
2, RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
Se pueden relacionar de manera directa o inversa.
jg^
im d& mecate
Dos magnitudes son DP si al aumentar o disminuir el valor de
una de ellas, los valores correspondientes de la otra también
aumentan o disminuyen en una misma proporción.
Ejemplo■
h f 50 100 200
B S B d : 10 20 40
Gráficamente
-> distancia DP tiempo
5 0 _1 0 0 _2 0 0 _5
10 " 20 “ 40 “ I— Ci

Capítulo 2 Magnitudes proporcionales
22. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Dos magnitudes son IP si al aumentar o disminuir el valor de
una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminu
yen o aumentan en la misma proporción.
Ejemplo
N ú m e r o d e o b r er o s 4 8 12
6 3 2
Gráficamente
—
> n.° de obreros IP n ° d
4x6=8x3=12x2=24
» C— slantg
3. PROPIEDADES^#
Sean A, B y C magnitudes.
1
-a. ADP B <
-> AP —
D
1
APB <
-> ADP —
D
b. ADP B ^ An DP Bn
A IP B <
-> An IP Bn
c. .Si ADP B (C no varía)
A DP C (B no varía)
A
¿Qué es medir?
La medición es un proceso bási
co de la ciencia que consiste en
comparar un patrón selecciona
do con el objeto o fenómeno,
cuya magnitud física se desea
medir para ver cuántas veces el
patrón está contenido en esta
magnitud.
Equivalencias de medidas
1metro =3 pies
1pie =0,3048 metros
1milla =1,6 kilómetros
1yarda =0,9144 metros
1libra =0,45 kilogramos
1galón =3,78 litros
=constante

COLECCION ESENCIAL
üÜi
Lumbreras Editores
Relación DP o ÍP según sea el caso en cada pareja de
magnitudes
Oatocurioso
La paradoja del cuadrado
Recorte y arme la siguiente
figura:
Área: 13x5=65 •
Por qué cambia el área?
Área: 8x8=64

4. APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES
4.1. Reparto proporcional
Consiste en distribuir cantidades de dinero, objetos, bienes,
etc. Tenemos dos tipos de reparto.
4.1.1. Reparto simple (puede ser directo o inverso)
• Repartimos S/.100 DP a los números 3; 2 y 5.
- =- = - =k ^ B =2k; C=5/r
3 2 5 . . .
Además A +6+C =100
3k+2k+5k =m -> Ar=10
Las partes repartidas son A=30; 6=20; C=50.
• Repartimos S/.310 IP a 2; 3 y 5.
4 x 2 _ 6x3 _ Cx5
Observamos 30=MCM(2; 3; 5)
—
> — =— =—=m —
> 4=15m; 6=10/7?; C=6m
15 10 6
Además 4 +5+C =310
15/7?+10/7?+6/7? =310 -> m =10
Las partes repartidas son 4 =60; 6 =32; C =12.
4.1.2. Reparto compuesto (dos o más restricciones)
Repartimos S/.104 DP a 5; 4 y 2, y a la vez IP a 2; 3 y 4.
f 4 ^ o f B 1 ( c )
=3- - =4- —
,5 , U J 2 J
Luego
12-5 12-4 12-2 30 16 6
_> 4=30/r; 6=166 C=6k
Además 4 +6+C =104
30/C+16/r+6A
r=104 -> k =2
Las partes repartidas son 4 =60; 6 =32; C =12.
Reto al saber
¿Cómo desarrollar un proble
ma textual de magnitudes?
• Identifique las magnitudes
que están variando.
• Tome una de ellas como re
ferencia y compárela con las
demás, estableciendo una
relación DP o IP según sea
el caso.
• Construya la expresión a tra
bajar y empezará a compa
rar ya sea dos o más expre
siones.
• Lea e identifique el valor de la
magnitud que va a calcular.

— ^
Dato curioso
j La regla de compañía permite
; hallar los beneficios o pérdidas
j de una sociedad (negocio). Su
evolución nos informa de los
cambios que ha habido en la
I economía.
: Por ejemplo, en el enunciado
; 40 del Papiro de Rindt (aprox.
j 1650 a. n.e.), se pide hallar la
forma de repartir 100 hogazas
entre cinco personas de manera
que los dos últimos solo reciban
i un séptimo de lo que obtienen
f los tres primeros y que las can
tidades que resulten vayan en
i progresión aritmética.
4.2. Regla de compañía
Consiste en repartir entre varios socios los beneficios (ganan
cias) que han obtenido o las pérdidas que han sufrido en los
negocios.
Sean ganancia, pérdida, capital y tiempo las magnitudes:
r D
gananci a DP capital
ganancia3 DP tiempo I
V
__
Entonces
ganancia
------ --------- =constante
capitalxtiempo
-----------------------------
pérdida DP capital
pérdida DP tiempo
Entonces *
pérdida
----:—--------- =constante
capitalxtiempo
Ejemplo
Se tienen los siguientes datos:
Si la ganancia total fue de S/.8200, ¿cuánto ganó cada uno de
ellos?
ganancia de Alicia_ganancia de Luis ganancia de Susana
2000-8 5000-6 3000-12
Luego
Ga
8 15 18
—
> Ga - 8k; Gl —
15A
r; Gs=18/r
Además
GA+GL+Gs =ganancia total
8/r+15/t+18/t =8200 -a k =200
Ga =S/.1600; Gl =S/.3000; G^=S/.3600

43. Sistema de engranajes
43.1. Ruedas engranadas
Si la rueda A gira en sentido horario, la rueda B girará en senti
do opuesto, es decir antihorario; además se cumple
donde
VA;V B: número de vueltas
- Da] Db: número de dientes
Ejemplo ,
Si la rueda A da 80 vueltas, ¿cuántas dará B?•
• ■ % 3offb
Sabemos
va -da = vb -d b
r í í t
80-30 =x-20
x=120
43.2. Ruedas unidas mediante un eje
P
Se cumple
( n.° de vueltas N
[ de M j
^n.° de vueltas^
de N
"n.° de vueltas
de P

y
Algunos ejemplos donde se rea
liza un determinado trabajo.
• Las maquinarias pesadas sir
ven para transportar material.
• El caballo realizando la siem
bra de un cultivo.
• La vaquita con solo comer
está haciendo un trabajo.
• La abeja produce miel y ela
bora su propio panal.

Dato curioso
• : ■
,' , "
, ,, .
: Los engranajes están formados
i por dos ruedas dentadas que sir-
j ven para transmitir movimiento
; mediante el contacto.
4.4. Magnitudes de una obra
Las magnitudes que intervienen son
ip
(n.° de obreros) (n.° de días)
(horas diarias)
(eficiencia de los obreros)
(dificultad de una obra)
(obra a realizar)
Luego tenemos la siguiente relación:
(n.° de obreros)x(n.° de días)x(n.° de h/d.)x(eficiencia)
-------------•
$ - " 1 ------------------------- — — ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------—
(dificuitád)x(obra)
Los obreros también pueden ser personas en general, máqui
nas y animales.
Ejemplo
Si 6 monos comen 6 plátanos en 6 min, ¿cuántos plátanos
comerán 80 monos en 24 min?
Obreros
Monos
6
80
DP Obra
Plátanos
6
y
Luego
(obreros)x (tiempo)
(obra)
6x6 80x24
=constante
6 x
-» x =320
x =320
Tiempo
Minutos
6
24
Por lo tanto, 80 monos comerán 320 plátanos en 24 minutos.

Aplicación 7
Si A es DP a B cuando ,4 =8 y 6 =12, calcule A
cuando B =36.
Resolución
Como /A DP B
valor de A
—
> — ¡
--- -— =constante
valor de B
Del enunciado tenemos
/3
—
> *= 8 x3 =24
Por lo tanto, /Atoma el valor de 24.
Aplicación 2
En un determinado día, un grupo de obreros
hacen 100 mesas. Si se contratan 18 obreros
más, harán 400 mesas. ¿Cuántos obreros ha
bían inicialmente?
Resolución
— :,.... .
■ - -----------------“ : ~
Observación
En este ejercicio tenemos que analizar las
magnitudes y establecer la relación que tienen
como
n° de obreros! DP obra
1 . . . • ■ J
El número de obreros con la obra tienen una
relación DP. Luego
número de obreros , ,
—--------- ;-----=constante
Operamos
x4
x _x+18
Too _ 400
x4
-> 4x =x +18
3x =18
-> x=6
Por lo tanto, inicialmente habían 6 obreros.
A plic a c ió n 3
El precio de venta de un libro de Aritmética
es directamente proporcional a la raíz cua
drada del número de páginas. José compra a
S/.20 un libro de 900 páginas. ¿Cuántas pági
nas tendrá un libro cuyo costo es de S/.8?
Reso lu ció n
Como precio de venta es DP ^número páginas
precio de venta
-» —
¡= ■ =constante
yn.° de páginas
20 _ 8 20 _ 8
' V900 vT 30~VT
Se cumple
20-fx =30-8
—
> Vx =12
x =144
Por lo tanto, el libro de S/.8 tiene 144 páginas.
obra (mesas)

Aplicación 4
Según el gráfico, calcule mxn.
Se cumple A DP B.
m 18
que tuvo un tiraje de 250 unidades cuesta
S/.8. ¿En cuánto varía su precio si se imprimen
150 más?
A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3
D) S/.4 E) S/.5
R e s o l u c i ó n
Según el enunciado del texto, evaluamos la
relación de las magnitudes.
precio IP n.° de estampillas
10 n
Luego
m xn =10x18
m xn =180
Aplicación 5
Luego
preciox(n ° de estampillas)=constante
Por condición del problema tenemos
8-250=(8-x)-(250 +150)
8-250=(8-xj-400 -> 5=(8-x)
El precio de una estampilla varía en razón I _> x=3
inversa al número de estampillas del mismo f
tipo que hay en circulación. Una estampilla Por lo tanto, el precio varía en S/.3.
Si 8 niños comen 8 helados en 8 min, ¿en cuántos minutos comerán 6 helados 6 niños?

RESOLVEMOS JUNTOS
Problema NT 1
Si A es DP a B2 cuando A es 16 y B es 2, calcule
A cuando B es 8.
A) 64
D) 32
B) 256 C) 8
E) 512
Resolución
Como A DP B2, se cumple
A
— =cte.
B2
Luego
16
22 82
4 =—
64
-> x=256
A - 256
Problema N.° 2
-» — =
16
4 ” 64
Clave
Si A es IP a Vfí cuando A es 25 y B es 16, calcule
A cuando B es 400.
A) 64
D) 10
B) 5 C) 8
E) 4
Resolución
Tenemos que A IP Vfí, además se cumple
A x Vfí =cte.
Luego comparamos
25-VÍ6 =x-V4ÓÓ
25-4 =x-20
100 =x-20
5
: Clave [
Problema N/ 3 ______ __
Según el gráfico, calcule m xp.
A) 320
D) 1280
B) 360 C) 4800
E) 960
Resolución
Del gráfico se observa que los valores de las
magnitudes A y B tienen una relación IP, es
decir
(valor de A) x (valor de B) =constante
Luego
(m+18)x16 =mx20 =(/n-16)xp
V (i) ' '
En (I) y (II), calculamos m.
(/tj+8)-16 =/t?x 20
(m+8)-4 =mx5
4/??+32 =5/77
-> 32-m
En (II) y (III), calculamos p
.
/77X20=(/77-16)xn
í . í
2D '.i9
32x20 =16xp
640 =16xp
-> 40 =p
/. m xp =1280
i Clave [

Problema N.° 4
Calcule a+b en el siguiente gráfico:
A) 5 -
D) 6
Resolución
B) 4 C) 8
E) 10
Del gráfico se obsen/a que los valores que
toman A y B son DP.
Se cumple
(I!)
A 1 o b
—=cte. - =- =-
B a b 8
En (I)
1-b =a-a
b =a
En (II)
a-8 =b-b
a-8 =b2
a- 8 =(a2)2
8 =a3
2 =a -+ b =4
a+b =6
i Clave
Problema N.° S ______________________________
El precio de un ladrillo es proporcional a su
peso IP a su volumen. Un ladrillo que pesa
150 g y que tiene un volumen de 100 cm3
cuesta S/.3. ¿Cuánto costará otro ladrillo de
400 cm3 que pesa 160 g?
A) S/.0,6
D) S/.5,6
B) S/.0,8 C) 7,5
E) 0,9
Resoiudór9
.
Del dato tenemos
(precio) DP (peso)
(precio) IP (volumen)
Luego
precioxvolumen
—
>
(peso)
3 100 x-400
=cte.
150 160
Efectuamos
x=S/.0,8
Por lo tanto, el costo es de S/.0,8.
Clave
Problema N.° 6
Un auto que avanza a 60 km/h cubre una dis
tancia de Lima a Tumbes en 16 h. ¿A qué velo
cidad debe conducir para cubrir dicha distan
cia en la mitad de tiempo?
A) 30 km/h B) 38 km/h C) 60 km/h
D) 120 km/h E) 25 km/h

Resolución
Lima Tumbes
velocidad x tiempo =constante
I
ip
Tenemos
60-16 =x-8 -> x =120km/h
Por lo tanto, la velocidad debe ser 120 km/h
! Clave [
Problema N.c7 ___________ ' ' %
Matías es tres veces eficiente que Pedro, y si
juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días,
¿cuánto tiempo utilizará Matías en hacerlo solo?
A) 12 días B) 16 días C) 18 días
D) 14 días E) 15 días . '
Resolución
La eficiencia y el tiempo tienen una relación
IP, es decir
eficiencia xtiempo=constante
• Eficiencia de Matías: 3
• Eficiencia de Pedro: 1
Problema N.‘ B_________________________________
El precio de un molde de pan es DP al cubo
de su peso. Un molde de este tipo cuesta
S/.10, luego se parte en 2 pedazos y se vende,
donde uno es los —del otro. ¿Qué precio de
valor sufrió dicho molde de pan?
A) S/.8 B) S/.7,5 C) S/.7,1
D) S/.7,2 E) 7
Resolución
' Inicio Final
SAIO SLa S/.b
Del dato
(precio) DP (peso)3
Luego
/precio
i------ =constante
peso3
-» a =0,64 a ¿
>=2,16
a+b =2,80
Por lo tanto, se pierde 7,20.
: Clove ■
Luego juntos se tendrá
^--solo Matías
(3+1)*12 =3 -x -> x =16
Por lo tanto, a Matías le tomará 16 días hacer
el trabajo solo.
; Clave [
Problema N.° 9
Un cuartel tiene víveres para 120 soldados du
rante 36 días. ¿Cuántos soldados deben retirar
se para que los alimentos duren 18 días más?
A) 40 B) 20 C) 80
D) 25 E) 50

Resolución
Se analizan las magnitudes.
número de
soldados
x
número de'
días
=cte.
V
ip
Luego
120 •36 =(120—
x) •(36+18)
120 -36 =(120—
x) •54
120-18-2 =(120—
x) *
*18*3
80 = (120-x) -> x =40
Por lo tanto, deben retirarse 40 soldados.
Clave )
Problema N.* 10___________ | pJ tv > I
Siara puede leer un libro de 640 páginas en ;
20 días. ¿Cuántos días se demorará en leer 8
libros de 400 páginas cada uno?
A) 100 B) 50 C) 130
D) 120 E) 125
Resolución
Se tienen las magnitudes.
(n.° de páginas) (n.°dedías)
----------:
DP
Se cumple
(n.° de páginas)
(n.° de días)
640 8-400
~20~~ x
x =100
Por lo tanto, Siara se demorará 100 días.
; Clave
*• • ........... . . . . . . . . r
Problema N.° TJ__________________ _ ___________
Julio pensó hacer un trabajo en 20 días, pero
tardó 20 días más por trabajar 3 h menos por
cada día. ¿Cuántas horas diarias trabajó?
A) 2 B) 3 C) 5
D) 6 E) 4
Resolución
Las magnitudes son horas diarias y número de
días, y estas tienen una relación IP.
Se cumple
(horas diarias)x(número de días)=cte.
pensó hizo
i I
x-20 =(x-3) •(20 +20)
-X x= 6
Nos piden
% - 3 - 3
Por lo tanto, trabajó 3 h por día.
• Clave
* .................................
Problema N.* 12
Se sabe que el precio de una tarjeta navide
ña varía en razón inversa al número de tarje
tas del mismo tipo que hay en circulación. Si
una tarjeta que tuvo un tiraje de 250 unidades
cuesta S/.8, ¿en cuánto varía su precio si se
elaborarán 150 más?
A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3
D) S/.4 E) S/.5

Resolución
Del dato
precio (IP) número de tarjetas
Luego
(precio) x|
número de
=cte.
y tarjetas j
-> 8x250 =(8 -x)•(250+150)
2000 =(8—
x) ■
400
5 = 8 -x -> x —3
Por lo tanto, el precio varía en S/.3,:
i Clave
Problema N.° IB
Un estudiante en 8 h/d. ha empleado 4 días
para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias
debe caminar para recorrer 300 km en 10 días?
A) 9
D) 8
B) 6 Q 5
E) 3
Resolución
Relacionamos las tres magnitudes -teniendo
como referencia a una de ellas.
distancia
horas por día
días
DP
Luego
distancia
(h/d.) x (días)
=cte.
160 300
8x4 x-10
-> x=6
Por lo tanto, debe caminar seis horas diarias.
í Clave
Prolsleiiia N.° 1 4 _______________________
Trabajando 10 h/d., durante 15 días, 5 hornos
consumen 50 t de carbón. ¿Cuántas toneladas
serán necesarias para mantener trabajando 8
hornos en 9 h/d., durante 85 días?
A) 320
D) 408
Resolución
B) 365 C) 388
E) 496
Relacionamos las cuatro magnitudes, teniendo
como referencia a una de ellas.
días
r toneladas de carbón
Luego
(hornos)(h/d.)(días)
carbón
+3
|
5-10-15 8-9-85
=cte.
50
. x =408
x
• Clave

Problema N.’ IB
Para plantar gras en un terreno de 500 m23
, 10
personas demoraron 15 días de 7 h de trabajo.
¿Cuántos días de 8 h de trabajo se demorarán
en plantar 800 m2 15 personas que son el do
ble de rápidas?
A) 4
D) 5
B) 6 C) 8
E) 7
Resolución
Similar al problema anterior, analizaremos las
magnitudes.
:)i -
— - obras
n.° de personas días ' .
horas por día
10-15-7 30-X-8
800
500
-> x =7
Por lo tanto, tardarán 7 días.
i Clave
Problema N.a16___________________________
Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar
una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de tra
bajo sejunta cierto número de obreros de otro
grupo, de modo que en 15 días terminan lo
que falta de la obra. ¿Cuántos obreros eran del
segundo grupo?
A) 12
D) 15
B) 13 C) 14
E) 16
Resolución
Se sabe que 35 obreros pueden terminar una
obra en 27 días.
7Ájy. Obra..;
Primera parte Segunda parte
- 6 días
¡,- 35 obreros
- 15 días
- (35+x) obreros
Se observa
(n.° de obreros) •(n.° de días) =cte.
Además
^total de la obra' 'tramo ^tramo"
¿ a trabajar j l ¿ J ; b J
35x27= 35x6 +(35+x) -15
->'V=14
Por lo tanto, del segundo grupo eran 14.
i Clave
Problema N.°17
2
En 12 días, 8 obreros han realizado los - de
3
una obra; en ese momento se retiran 6 obre
ros. ¿Cuántos días tardarán los obreros restan
tes en terminar la obra?
A) 20
D) 24
B) 21 C) 22
E) 25

Resolución
Tenemos
Resolución
parte 2
todo 3
■ . . .
s. v, TsW.v v , „ .. s n ;
•
| Primera parte Segunda parte |
- 12 días - xdías
I - 8 obreros - 2 obreros
Luego se retiran
|
Nt
6 obreros.
i '
!
obreros
Se hizo
8-12
• 2
taita
2-x
1
—
> (n.° de vueltas) ■
(n.° de dientes)=cte.
ip
Luego
Rúetla A Rueda 8
100-40 = x- 50
x =80
Por lo tanto, la segunda dará 80 vueltas.
-> x= 24
i Clave
Por lo tanto, tardarán 24 días.
; Clave i
•...................... . . . . . ’i...* *
Problema N.aIB________________________________
Dos ruedas de 40 y 50 dientes están engra
nadas. Si la primera da 100 vueltas, ¿cuántas
vueltas dará la segunda?
Problema N.‘ 19
Una rueda 4 de 80 dientes engrana con
otra rueda B de 50 di entes. Fija al eje de B
hay otra rueda C de 15 dientes que engrana
con una rueda D de 40 dientes. Si 4 da 120
vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la
rueda D?
A) 18 B) 32 C) 27
D) 25 E) 80
A) 18 B) 72 C) 27
D) 45 E) 180

Resolución
Graficamos el sistema de engranajes.
Luego, sumando las partes tenemos
15x =45000
x =3000
-> (5 o hijo) =5(3000) =15000
Por lo tanto, el menor recibirá S/.15 000.
i Clave ,
Calculamos x en las ruedas A y B.
120-80 = x-50 -> x =19’2
Calculamosy en las ruedas C y D.
x-15 =y-40
1 j
192-15 =y-40 -» y =72
Por lo tanto, D dará 72 vueltas.
: Clave ,
Problema M7 21____________________________ ___
El ahorro mensual de un trabajador es DP al
salario que percibe. Un empleado que gana
S/.900 ahorra mensualmente S/.90. Si al año
siguiente su gasto mensual es de S/.1080, ¿en
cuánto se incrementó su sueldo?
A) S/.1200 B) S/.640 C) S/.960
D) S/.480: E) S/.300
Problema N.° 2D__________________ "
Un padre -reparte proporcionalmente S/.45000
entre sus cinco hijos según el orden que na
cieron. ¿Cuánto recibirá el hijo menor?
Resolución
Sabemos que
ahorro
salario
=cte.
Dato:
A) S/.15 000 B) S/.3000 C) S/.6000
D) S/.12 000 E) S/.9000
90 k
900 _ m
Resolución
1er hijo=x
2 o hijo =2x
3 er hijo =3x
4 o hijo =4x
rr c-r.or 5° hijo =5x
Luego
9/r=1080 -> k=120
Por lo tanto, el nuevo salario es S/.1200 y se
incrementó en S/.300.
: Clave

Problema N/ 22
Se tienen tres ruedas dentadas dispuestas
{A, B y Q de modo que A engrana con B y esta
a su vez engrana con C. Se sabe que A y B
tienen 30 y 50 dientes, respectivamente, y que
A y C dan 80 y 120 RPM, respectivamente. Ha
lle cuántas vueltas por minuto da B y el núme
ro de dientes de C.
A) 72; 30
B) 48; 20
C) 36; 40
D) 21; 30
E) 24; 40
M ,í ^
Resolución • I '
va -da = vb -d b
16
&6-3fí =VB- ¿ !Í -» 48=l/e
v8-d b = vc -d c
jk - s fí = yífi-D c -* 20
: Clave
Problema M
.° 23
El siguiente cuadro muestra los valores de las
magnitudes A y B que guardan cierta relación
de proporcionalidad:
1
1""—
! 9 12 15
f * . 8 18 32 X
Calcule x-y.
A) 28
D) 41
B) 33 C) 36
E) 44
Resolución
Se observa que An DP Bm.
9n j 1 2 n
18m 32™
>
2n 22 nx 3 n
■
^
2
m 2^m
- í 32”i25m=22nx3"-32m-2m
^2n.2^n=2^n+m■
2^m+n
De (I) tenemos
2n=2m+n
De (II) tenemos
Sm=2n+m
-> 2m=n
í í
Luego
A DP 8

Operamos
y 2 _ 92 y 2 _ 9
T “¥ y =7
-> y =6 4 '
122 _152
32 ~ x-
144x=32-225
—
^ x=50
x - y =44
; Clave [ }
Problema N.c24_________ • ¡;y
> ^
2
Un grupo de 20 obreros ha hecho - de una
obra en 24 días. Si se retiran 4 obreros, ¿cuán
tos días emplearán los restantes para hacer lo
que falta de la obra?
B) 40 C) 45
E) 50
Resolución
Tenemos
parte _ 2
todo 5
A) 30
D) 48
Obra
Primera parte Segunda parte
- 20 obreros
- 24 días
■
- 16 obreros
- xdías
Luego
(n.° de obreros)-(n.° de días) _
(obra)
cte.
10
/LÚ-M _ 16-x
* / = 3
1
-> x=45 días
Por lo tanto, se emplearán 45 días.
: Clave [
........ .*
»
Problema 2 5
Dadas las magnitudes A y B, se sabe que
A es IP a B2. Además, cuando B aumenta en
100%, A varía en 30 unidades. ¿En cuánto varía
4 si B disminuye en un tercio?
A) 30 B) 40
D) 56
Resolución
Del dato A IP B . Sea x la variación de 4.
C) 50
E) 45
Se cumple
A x Bz = (A -30){2B)2 ={A +x )x
'28 Ÿ
. 3 y
A - ^ ={A-30)-a /
4=44-120
120=34 -> 40=4
Luego
/ p2 Í0
(40 +x)-— =x
40 -/
9
40+x=90
x=50
; Clave

COLECCION ESENCIAL
■ ■ ■ i
Problema N.° 26 _________,______________
El ahorro mensual de un trabajador es DP al
salario que percibe. Un empleado que gana
S/.900 ahorra mensualmente S/.90. Si al año
siguiente su gasto mensual es de S/.1080, ¿en
cuánto se incrementó su sueldo?
A) S/.120
D) S/.300
B) S/.64 C) S/.960
E) S/.700
Resolución
Nos dan la relación entre dos magnitudes,
ahorro (DP) salario
Luego
ahorro
=constante
salario
año siguiente
1
90 M
<
900 1Ok
Sabemos que
gasto=salario-ahorro
-> m o ^ o k -k
1080=9/r -> 120=k
En consecuencia, su sueldo es
10fr=10(120)=S/.1200.
Por lo tanto, incrementó su sueldo en S/.300.
; Clave
Problema N." 27
Una familia de 6 miembros tiene víveres para
24 días; pero como recibieron la visita de un
tío y su esposa, los víveres se terminaron 5 días
antes. Calcule cuántos días duró la visita de
los esposos.
A) 15
D) 23
B) 4 C) 19
E) 22
Resolución
Del enunciado del texto tenemos que 6 perso
nas tienen víveres para 24 días.
Como los víveres se terminaron 5 días antes,
ahora durará 19 días.
•
■
■
■
i f ' - r v ■ ...... • ............... • •
• ••
................ ■
^ # Viveras
Primera parte (A) Segunda parte (fí)
- 5 personas
- x días
:
!
- (5+2) personas
- (19-x) días
tiem po que duro
la visita
Luego, de la tabla se cumple
Ctotal deA 0
=A+B
Vvíveres)
-> 6x24=6-x+8-(19-xj
144=6x+152-8x
• 2x=8 -> x=4
Por lo tanto, la visita de los esposos duró
15 días.
Clave

Problema N/ 20
La parte que le toca a una persona al repartir
una suma N en forma IP a 63; 105 y 252 es
S/.1118 menos que si se hubiese repartido en
forma DP. Determine N.
Problema N. 29________________________
El precio de un diamante varía directamente
proporcional al cuadrado de su peso. Un dia
mante que costó S/.800 se partió en dos par
tes iguales. ¿Cuánto se perdió?
A) 2405
D) 2504
B) 5203 C) 5230
E)- 5024
A) S/.200
D) S/.100
B) S/.400 C) S/.600
E) S/.O
Resolución .
Dividimos todos los índices de reparto entre
21. Entonces los nuevos índices serán 3; 5 y 12.
Ahora, de acuerdo a lo anterior, comparemos
dos formas de reparto.
Reparto DP
N
20(37/0
3(37/0
5(37/0
12(37/0
Reparto IP
1
N
37[20K
-•60[20K]
|-60[20K]
— 60Í20K]
Deben ser iguales.
Resolución
Según el dato tenemos
diamante
Luego nos quedará
Reparto DP Reparto IP
Dato:
344/0= 1118 -> K= 3,25
Además sabemos que
precio DP peso2
precio
----- - =constante
peso2
B 800
22
= 200
A =12x 200=S/.200 a ß=12x 200=S/.200
Reemplazamos K.
A/=740/0 -> N =740x (3,25)
N =2405
; Clave
............... •'(
-> costó S/.800
Por lo tanto, se perdió S/.400.
; Clave

Problema N.° 30
Se reparte la cantidad S en tres partes (A; B y
Q que son DP a 15; 13 y 17, e IP a 5; 39 y 85,
respectivamente; además, la mayor parte es
S/.180. Calcule S.
A) 200
D) 160
B) 180 C) 100
E) 212
Resolución
Según el enunciado, se trata de un reparto
compuesto.
Nos piden S.
DP IP ' /
Luego
4 x5 _ fíx39 _ Cx85
15 “ 13 17
A _ B x 3 _ Cx5
T - 1 1
A B x 3 Cx5
—
^
3x15 1x15 1x15
45 " 5 _ 3
A =45(/O =180 -> K =4
B =5(/Q =20 a C =3(/C) =12
S=A+B+C =212
i C/oi/e •
Problema N.’ 31
Una cantidad es repartida en forma DP a tres
números y se obtiene 96; 32 y 24. ¿Cuál será
la mayor de las partes si el reparto se hubiera
hecho en forma IP a los mismos números?
A) 78
D) 87
B) 24 C) 42
E) 76
Resolución
Según el enunciado, se trata de un reparto
simple. .
DP
4 =96 =8x12
B =32 =8x4
C=24=8x3
A +B+C =152
IP
A =— x U =M
<
12
fí =—x12 =3/C
4
C =-x12 =4/C
3
A+B+C=8K
J
Además
152 =8^ -> K=19
Nos piden la mayor de las partes: 4K.
4(19) =76
; C/ove
Problema N.° 32
Lizeth y Silvana deben de pagar S/.528
de alquiler de un campo de forraje. Lizeth*
mandó 960 ovejas que estuvieron 20 días y
pagó S/.300 de alquiler. Si las ovejas de Silvana
estuvieron 10 días, determine cuántas ovejas
tiene Silvana.
A) 1459
D) 1461
B) 1482 C) 1453
E) 1418

Resolución
Del enunciado tenemos
• pago ' DP n.° de ovejas
• pago DP n° de días
Luego se concluye
___________pago______________
(n.° de ovejas) x(n.° de días)
=constante
Reemplazamos los datos. Sea x la cantidad de
soldados que se darán de baja.
120-36 (120-x )-(36 +18)
víveres víveres
Luego
40; 2Q-2^ = ( i 20-x )-M ^ 1
-> 80 =120- *
Sea y la cantidad de ovejas de Silvana.
Por condición del problema tenemos que Lizeth
y Silvana pagan S/.528.
S/.300 _ S/.228
960-20" x-10 / ' Á
x =1459 ¡ - .
Problema N.° 33 ^
Una guarnición tiene víveres para 120 solda
dos durante 36 días. ¿A cuántos soldados se
les debe dar de baja para que los alimentos
duren 18 días más?
A) 40 B) 20 C) 80
D) 25 E) 50
.;. =40
’ Clave
Problema N.“34 ______ __________________
Las magnitudes A y B guardan cierta propor
cionalidad, cuyos valores se muestran en la
siguiente tabla:
: »
• Á
* Ì
j, A f i
v
i-
.-
..
2 3 X 6 10
a 12 27 48 y 300
Halle (x+y).
A) 112 B) 116 C) 86
D) 49 E) 74
Resolución
Resolución
Analizamos las magnitudes que intervienen en
el texto.
. víveres DP n.° de soldados
• n.° de días IP n.° de soldados
Luego
(n.° de soldados) (n.° de días) =cons[ante
víveres
Analizamos la relación que guardan las magni
tudes 4 y B en la tabla de valores.

Luego
Reemplazamos los datos.
2 _ 3 _ x x _ 10
V l2 V27 ^¡4Q <Jy V300
(') (ii)
De (I) despejamos x.
x=4
De (II) despejamos y.
y=108
x+ y=112 y. %
l Clave
Problema N.° 35
Si la magnitud A es IP a B2, A es 48 cuando B
es 6. ¿Qué valor toma B (positivo) cuando A
es 72?
A) V26 B) V24 C) 4S4
D) V39 E) V l8
Resolución
Según el enunciado tenemos
i. El
48
............ I
72
! B 6
I
X . j
____ _I
Luego
48 ■
62 =72-x2
48'36 =72-x2
-x 24 =V
y¡24 = x
j C/ove y
. Problema M
.°36____________________
El precio de un diamante es DP al cuadrado
de su peso. ¿Cuánto se perderá si un diamante
se rompe en dos pedazos? Considere que el
peso de uno es el triple del otro; además, el
diamante entero costaba $32 000.
A) 15 000 B) 20 000 C) 10 000
D) 18 000 E) 12 000
Resolución
Del enunciado, estableceremos la relación entre
las magnitudes:
Q nnn
d ia m a n te
Luego se rompe en dos pedazos.
Dato adicional:
precio DP peso2
Nos piden x.
Dato:
A IP B2
—
> A xB 2=cte.
precio
-> ----- —=constante
peso
B_
32
32 000
42
=2000

/4=12-2000 =S/.2000 a
fi =32-2000 =S/.18 000
Entonces se compró: S/.32 000 y se vendió:
S/.20 000.
Por lo tanto, se perderá S/.12 000.
i Clave [ )
................
Problema N.° 38_______________________________
El administrador de una tienda ha compro
bado que el tiempo de atención a los clientes
varía proporcionalmente al número de clientes
que son atendidos. Se sabe que 4 clientes son
' atendidos en 12 min menos, que si se hubiese
atendido a 7 clientes. ¿Cuánto tiempo se de
moraría en atender a 9 clientes?
Problema N.° 37
La eficiencia de un empleado es IP al número
de días trabajados. Si el empleado realiza un
trabajo en 24 horas, ¿cuánto demoraría en ha
cer dicha obra sabiendo que aumenta su ren-
1.
dimiento en -?
3
A) 18 días B) 12 días C) 42 días
D) 24 días , . E) 27 días-"
Resolución
Del texto, analizamos las magnitudes mostra
das y las relacionamos.
(eficiencia) IP (n.° de días trabajados)
Entonces se cumple
(eficiencia) •(n.° de días trabajados) =cte.
(
£•24 = £ +-£
3
•x
Nos piden x.
2 4 / =| / - x
.-. 18=x
Clave
A) 30 min B) 24 min
D) 64 min
Resolución
C) 36 min
E) 18 min
Del texto, relacionamos las magnitudes.
tiempo deA
atención
DP
n.° de clientes
atendidos J
Entonces se cumple
tiempo
n.° de clientes
=constante
x -12 _ x t
4 ~ 7~ 9
v
----v---- '
operamos en aspa
-> 7-(x-12) =4x
7x-84 =4x -> 3x=84
-> x =28
Nos piden t.
Luego
— =í
7 ~ 9
f=36min
Clave

Problema N/ 39 Problema N7 AO
Una magnitud M es DP a la magnitud N e IP Una persona inicia un negocio. Luego de dos
a Q . Se sabe que cuando M =4 y /V=16, en- meses tiempo acepta a un socio, quien aporta
tonces Q =3. Halle Q cuando M y N son 2 y 4, un capital que es dos veces más. Si el negó-
respectivamente. ció duró un año y la ganancia total fue S/.420,
calcule la ganancia mayor.
A) 3 B) 2 C) 27
D) 1 E) 4 A) S/.300 B) S/.200 C) S/.400
Resolución
D) S/.500 E) S/.600
Según los datos que presenta el problema, es- Resolución
tablecemos una relación entre las magnitudes. Según los datos indicados, esto nos da a en-
• M DP VÑ tender que vamos a repartir ganancias, tenien-
• M IP Q3
do en cuenta el tiempo y capital.
Luego la relación final será
■
'7)7 7
-
. ■
; f / N eg o c io
Primera parte (4) Segunda parte (B)
M-Q3
—t
=
=
—- cte. ; - S/.x - S/.3x
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I M i 4 I 2 ■
1año o 12 meses
|;A/ 16 4 Sabemos que
i » | j I • ganancia
p Q |l 3 | x . . . -constante
valores
capitalx tiempo
_ G8 r
x-12 3x-10
Reemplazamos los datos. 2 5
4-33 2-x3
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^ -2K a Gfi —
5K
V l6 V4
A b
, Como
4-27 2-x
4 2 Gt0,al =^ =420
-> x= 3 -> K= 60
Q =3 Gs=5(60)=S/.300
i Clave ; Clave • )

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Del siguiente gráfico, calcule a+b.
A) 10 B) 43 C) 64
D) 46 E) 34
2. Según el gráfico, calcule b-a.
A) 48 B) 12 G) 16
D) 94 E) 803
3. El sueldo de un empleado es proporcional
al cuadrado de la edad que tiene. Si actual
mente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos
años cuadruplicará su sueldo?
4. Si una vaquita atada a un poste con una
cuerda de 3 m de largo tarda 5 días en
comer toda la hierba a su alcance, ¿cuán
tos días tardará en comer toda la hierba a
su alcance si la cuerda tuviera una longitud
dos veces mayor?
A) 10 B) 45 C) 15
D) 25 E) 18
5. Se sabe que 15 empleados de limpieza
tienen alimentos para 10 días. Si se quiere
que estos alimentos duren 45 días, ¿cuán
tos empleados deben dejar de trabajar?
A) 10 B) 21 C) 12
D) 8 ' . - E) 5
6. Un tornillo da 40 vueltas y cala 8 mm en
una madera. ¿Cuántas vueltas más deberá
1
dar el tornillo para que atraviese — de un
20
metro?
A) 200 B) 250 C) 125
D) 210 E) 85
7. Una tripulación de 45 hombres tiene víve
res para un viaje de 60 días. Si se desea au
mentar la tripulación con 5 hombres, ¿en
cuántos días se debe acortar la duración
del viaje?
A) 14 B) 12 C) 18
D) 24 E) 27
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) más de 7

COLECCIÓN ESENCIAL
8. Si 5 niños comen 5 bombones en 5 min,
¿en cuánto tiempo 6 niños comen 6 bom
bones?
A) 1 min B) 5 min C) 6 min
D) 30 min E) 60 min
9. Si para pintar las caras de un cubo de
60 cm de arista se ha empleado 12 tarros
de pintura, ¿cuántos tarros de pintura se
necesitarán para pintar las caras de un
cubo de 90 cm de arista?
A) 18 B) 32 C) 27.
D) 25 • / E) 30
10. Pedro es el doble de eficiente que Marcos
y a su vez este es el triple de eficiente
que César. Si entre los tres pueden termi
nar una obra en 12 días, ¿en cuántos días
Marcos y César harían la misma obra?
A) 21 B) 27 C) 30
D) 24 É)k 28 r
servicio en la empresa y 56 años de edad,
gana S/.2000. Alvaro, que ingresó a la
empresa 3 años después que Juan, gana
S/.500 y es empleado de tercera categoría.
¿Qué edad tiene Alvaro?
A) 1
1 años
B) 9 años
C) 28 años
D) 45 años
E) 60 años
13. Se sabe que el precio de un lingote de oro
varía de forma DP con el cuadrado de su
peso. Si el lingote se divide en 4 partes
iguales, ¿a qué porcentaje de su valor inicial
queda reducido el valor de dicho lingote?
A) 10% /Q B) 25% C) 75%
v f. D) 20% E) 80%
-A
*
'"’
■
; j 14. Si 5 obreros trabajando 8 h/d ejecutan una
obra en 15 días, ¿en cuántos días 10 obre
ros trabajando 6 horas diarias realizarán
otra obra de iguales características?
11. Dos ruedas de 270 y 120 dientes están en
contacto. Si la rueda grande da 28 vuel
tas en 2 min, ¿cuántas vueltas dará la otra
rueda en el mismo tiempo?
A) 63 B) 135 C) 18
D) 36 E) 281
2
*
*
*
12. En una empresa, el sueldo es DP a la edad
y a los años de servicio del empleado e IP
al cuadrado de la categoría. Juan, emplea
do de segunda categoría con 10 años de
A) 9 B) 6 C) 5
D) 8 E) 10
15. Se pensó terminar una obra en 45 días
con 30 obreros laborando 8 h/d. Luego
de 24 días de trabajo, se pidió terminar la
obra 12 días antes del plazo fijado y así se
hizo. ¿Cuántos obreros más se necesitaron
si se aumentó en 2 h lajornada de trabajo?
A) 26 B) 24 C) 22
D) 20 E) 18
si

16. Para abrir una zanja de 200 m de largo se
contrató cierto número de obreros; pero si
la zanja fuese 150 m más larga, se necesi
tarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se
contrataron?
A) 10 B) 15 C) 1
1
D) 13 E) 12
I
17. Una brigada de 30 obreros se comprome
ten en hacer 30 m de una zanja en 30 días; a
los 5 días de empezado el trabajo se suman
5 obreros y 10 días después se aumentan 5
obreros más. ¿Cuál es el tiempo empleado
en hacer la obra? ' ..
A) 10 días B) 15 días C) 20 días |
D) 25 días E)/ 30 días
18. Un grupo de obreros pueden pintar un
círculo de 5 m de radio. Si se agregan 48
obreros, pintarán un círculo de 7 m de radio.
¿Cuántos obreros fueron inicialmente?
A) 45 B) 48 C)%50
D) 60 E) 65
19. Cuatro amigos pueden terminar una obra
en 18 días. Si después de tres días llega un
amigo más, ¿cuántos días antes terminarán
la obra?
A) 3 B) 5 C) 4
D) 2 E) 1
20. Al repartir N inversamente proporcional a
los números 320*
; 322 y 323, se obtuvo que
la mayor parte excedía a la menor en 1170,
Halle N.
A) 1285 B) 1425 C) 1395
D) 1925 E) 1645
21. Patricia y Rebeca deciden repartirse S/.240
que recibieron como premio por sus es
tudios, es así que lo harán inversamente
proporcional a sus días de falta, que son
5 y 7 días, respectivamente. ¿Cuánto le co
rresponde a Patricia?
A) S/.140 B) S/.100 C) S/.120
D) S/.60 E) S/.80
22. Al dividir 36 partes que sean inversamen
te proporcionales a los números 6; 3 y 4
(en ese orden), se obtienen tres números:
a; b y c. Calcule axb xc.
A) 1356 B) 1536 C) 1563
D) 1635 E) 1475
23. Se sabe que x+6 máquinas pueden hacer
un trabajo en 20 días, y que con 3 máqui
nas adicionales se puede hacer el mismo
trabajo en 5 días menos. ¿En cuántos días
se podrá hacer el trabajo con x máquinas?
A) 40 B) 50 C) 45
D) 60 E) 75
24. Si 20 peones demoran 21 días de 5 h/d. de
trabajo en sembrar un terreno cuadrado
de 20 m de lado, ¿cuántos días de 8 h/d.
de trabajo se demorarán 30 peones doble
mente hábiles en sembrar un terreno de
40 m de lado y de una dureza tres veces
más que el terreno anterior?
A) 70
D) 76
B) 72 C) 74
E) 78

25. Un señor repartirá S/.3600 a sus sobrinos
Frank, Fredy y Fernando, en forma directa
mente proporcional a las cantidades V20;
V405 y %/245, y en ese orden, respectiva
mente. ¿Cuánto dinero recibirá Fernando?
A) S/.700 B) S/.840 C) S/.900
D) S/.950 E) S/.1400
26. Se reparte una cantidad de dinero en
cuatro partes DP a 2; 10; 3 y 5, e IP a 7; 14;
5 y 5. ¿Cuál es la cantidad repartida si la
diferencia de la parte mayor y menor es
S/.400?
A) S/.1400 B) S/.1441 C) S/.1432
D) S/.1410 / E) S/.1456
I ¡í> >y ^ |* * I
27. Se reparte 600 en partes IP a 2; 6; 12;...; 110.
¿Cuál es la parte que ocupa el lugar 2?
A) 110 B) 112 C) 120
D) 105 E) 180
28. Un padre reparte entre sus cinco hijos su
bonificación en partes proporcionales al
orden en que nacieron, pero luego el re
parto lo decide hacer en partes proporcio
nales a los números 3; 6; 8; 1
1 y 12, por lo
que uno de ellos devuelve S/.44. ¿Cuánto
recibe el hijo menor?
A) S/.99 B) S/.396 C) S/.412
D) S/.418 E) S/.4202
9
*
*
*
*
29. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están con
catenadas. En el transcurso de 4 min, una
da 70 vueltas más que la otra. Halle la ve
locidad menor en RPM (revoluciones por
minuto).
A) 99 B) 39 C) 41
D) 20 E) 42
30. El precio de una casa es directamente
proporcional al área e inversamente pro
porcional a la distancia de Lima. Una casa
ubicada a 75 km cuesta S/.45 000. ¿Cuánto
costará una casa del mismo material si su
área es el doble y se encuentra a 150 km
de distancia?
A) S/.50 000
B) S/.39 000
C) S/.41000
D) S/.45 000
E) S/.42 000
31. Si se cumple que 2)=18, calcule
sabiendo que es una función de pro
porcionalidad directa.
f/A)-7 B) 8 C) 71
. D)2 E) 9
32. Se reparten 2760 en tres partes tal que la
primera sea a la segunda como 2 es a 3,
y que esta sea a la tercera como 5 es a 7.
¿Cuál es la menor cantidad?
A) 360 B) 480 C) 600
D) 720 E) 750
33. Midori inicia un negocio con S/.200 y a los
3 meses acepta a un socio, quien aporta
S/.800. El negocio duró 8 meses y la utili
dad fue de S/.200. ¿Cuánto ganó el socio?
A) 250 B) 240 C) 238
D) 400 E) 230

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