La empresa constructora requiere determinar la cantidad de tres tipos de estructuras (Productos A, B y C) que ha construido con base en la cantidad de materiales utilizados. Se utiliza el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones lineales formado y así encontrar las cantidades de cada producto. Tras aplicar el método, se determina que la empresa construyó aproximadamente 74 productos A, 25 productos B y 852 productos C.

1. INTRODUCCIÓN
A travésde lostiemposlahumanidadha buscadola manerade subsistir desde lacreaciónde
herramientashastalaelaboraciónde grandesproyectos, que destacanlainfraestructurade una
ciudadempleando ciertashabilidadesde laingeniería,adhiriéndolaalasociedadmediante el
diseñoyla ejecuciónde obras.
En este procesode ejecuciónde obras,tambiénhace usode lasmatricesya que se emplean para
el diseño yelaboraciónde sistemasestructuralesenlasdiversasáreasde laingenieríacivil.
El Algebralineal esunaramade las matemáticasestudialosespaciosvectorialesylas
transformacioneslineales.estosconceptoshancontribuidonotablemente enel desarrollodel
conocimientodentrode lasmatemáticasytambiénenotrascienciasespecialmente enlasciencias
básicasla economíala informáticalaingenieríaylascienciassociales.
Segúnloanterior,se consideraque lasmatricestienenunaestrecharelaciónconel áreade
IngenieríaCivil yaque sirvenpararesolversistemasde ecuación lineal,teniendomúltiples
aplicacionesenlaingeniería,abriendoel pasoala optimizaciónlosrecursoshumanos yde
materialescontroladosdesde unsistemade diseñospara lainnovaciónyel progresorápidode la
sociedadengeneral.
OBJETIVOS:
OBJETIVO GENERAL
Determinarel númerode estructurasque se hanconstruidoenunaempresa,segúnlacantidad
que se requiere paracada estructura,empleandoel Métodode Eliminación de Gaussyde esta
manerademostrarla relaciónque existeenel área de algebralineal ysuaplicabilidadenel campo
de la Ingenieríacivil.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Comprenderlaimportanciadel AlgebraLineal enel campo de laIngenieríaCivil.
 Conocerque esuna matrizy sus métodosde aplicación.
 Solucionarunproblemade aplicaciónde matrices conmaterialesde construcción de
estructuras.
 Utilizarel métodode Gusspara la soluciónde problemasestructuralesde una
construcción.
Marco teórico
Las matricesy operacionesconmatricessonmétodos efectivospararesolverdiversosproblemas
de aplicación.Conel incrementoenel usode lascomputadoras,lasmatriceshanacrecentadosu
importanciacomoinstrumentosútilesparaorganizarymanipulargrandesconjuntosde datos.

2. ConceptosBásicos
- Matriz: Arreglorectangularde números.
- Matriz aumentada:Es lamatrizde coeficientesque representaunsistemade ecuacioneslineales.
- Teorema:Una matrizde un sistemade ecuacioneslineales,resultaunamatrizde unsistema
equivalente si:
1) Se intercambiandosrenglones.
2) Se multiplicaodivide unrenglónporunaconstante diferente de cero.
3) Un múltiploconstantede unrenglónse sumaa otro renglón.
- Formaescalonadareducidade unamatriz:
1) El primernúmerodiferente de cerode cadarenglón,de izquierdaaderecha,es1.
2) La columnaque contengael primernúmerodiferentede ceroencualquierrenglónestáala
izquierdade lacolumnaconel primernúmerodistintode cerodel renglónde abajo.
- Eliminaciónde Gauss-Jordan:
1) Se escoge lacolumnanonulaque este mása la izquierdayse usanlas operacionesporrenglón
adecuadasque produzcanun 1 hasta arriba.
2) se usanmúltiplosdel primerrenglónparaobtenercerosentodosloslugaresabajodel 1 enel
paso anterior.
3) Localizarla próximacolumnaque contengaelementosdiferentesde ceroyaplicaroperaciones
por renglónconobjetode obtenerel número1enel segundorenglónde esacolumna.
4) Se usanmúltiplosdel segundorenglónparaobtenercerosentodosloslugaresabajodel 1
obtenidoenel pasoanterior.
5) Localizarla siguiente columnaque contengaelementosdiferentesde ceroyrepetirel
procedimiento.
6) Se continúael procesohastaobtenerlaformaescalonadareducida.
MATERIAL:
• Calculadoracientífica
• Lápizy papel
PROCEDIMIENTO:
1. Localizar el sistemade ecuacioneslineales.
2. Aplicarel métodode Gauss,utilizandolasoperacionesde renglón.
3. Obtenerlamatriz aumentadaparaencontrarla soluciónal sistemade ecuacioneslineales.

3. CRITERIOSDE DESEMPEÑOQUE SE EVALUARAN:
1. Correcto usode lasoperacionesentre renglones.
2. Adecuadautilizacióndel métodode Gauss.Solucióncorrectadel sistema
Justificación
Las matemáticas pueden ser definidas como una estructura logia creadas por el ser
humano para darle una enfoque más real del mundo y poder convivir en el, por tal motivo
se hace imprescindible en el campo de la Ingeniería.
El álgebra lineal es una rama de más matemáticas que se encarga de los estudios de los
espacios vectoriales y transformaciones lineales. En el área de la ingeniería el uso de las
matrices nos permite resolver sistemas de ecuación lineal que se hacen imprescindible
en el campo de la Ingeniería.
Por esta razón se decidió estudiar la aplicabilidad de las matrices y la relación que tiene
con la ingeniería civil y la facilidad de resolver problemas de diseños estructurales.
Cabe resaltar que la ingeniería civil es de gran importancia en el desarrollo de una
sociedad, que se encargada de llevar a cabo la Construcción y mantenimiento de
diversas obras civiles transformando el entorno conforme a las necesidades del ser
humano.

4. Marco Experimental
Una empresa constructora de estructura ti la siguiente distribución de productos y
materiales: en el producto A se gastan 400kg de cemento, 1700kg de hormigón y 600kg
de acero. En el producto B se consumen 600kg de cemento, 550 kg de hormigón y 450 kg
de acero. En el producto C se consumen 300kg de cemento ,400kg de hormigón y 375kg
de acero. Si el consumo dentro de la empresa ha sido de 300 toneladas de cemento, 480
toneladas de hormigón y 375 toneladas de acero, determina cuantos productos de cada
tipo se han construido en la empresa, de acuerdo a los productos mencionados.
Aquí tenemos los materiales en forma de tabla
Lo convertimos en función lineal de 3x3 (3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas)
400X+600Y+300Z=300 000
1700X+550Y+400Z=480 000
600X+450Y+375Z=3750 000
La presentamos ahora de ecuación lineal a matriz ampliada en donde vamos a resolverla
por el método de gauss en el cual consiste que por debajo de la diagonal principal deben
haber única y exclusivamente ceros para que asi después de una sustitución regresiva ir
encontrando las variables de X Y Z
400 600 300 300 000
1700 550 400 480 000
600 450 375 375 000
Producto A Producto B Producto C Consumo
Cemento 400kg 600kg 300kg 300 000
toneladas
Hormigón 1700kg 550kg 400kg 480 000
toneladas
Acero 600kg 450kg 375kg 375 000
toneladas

5. Comenzamos convirtiendo el 400 en un valor más simple, en este caso vamos a dividir
entre 4 a toda la fila 1
400 600 300 300 000
1700 550 400 480 000
600 450 375 375 000
Este es el resultado que obtuvimos que son valores más simple el siguiente paso a seguir
es convertir el 1700 y el 600 en cero
100 150 75 75 000
1700 550 400 480 000
600 450 375 375 000
Ya obtuvimos cero por debajo del primer valor de la diagonal principal, siguiendo con el
algoritmo usando el método de gauss vamos a usar el – 2000 para convertir en cero el ----
-450 , un ejercicio que podemos hacer para llevar acabo la simplificación es -450/-
2000=45/200=9/40 el resultado lo vamos a multiplicar por la F2 y sumar por F3
100 150 75 75 000
0 -2000 -875 -795 000
0 - 450 75 75 000
¼*F1
-17*F1+F2
-6*F1+F3
-9/40*F2+F3

6. Aquí hemos llegado a una matriz equivalente que se le llama matriz en escalera en donde
podemos observar que por debajo de la diagonal principal tenemos únicamente ceros
100 150 75 75 000
0 -2000 -875 -795 000
0 0 121.875 103.875
A partir de aquí vamos hacer un procedimiento llamado como sustitución regresiva
Vamos a ir obteniendo los valores de Z Y X en forma escalonada
100X 150Y 75Z = 75 000
0 -2000Y -875Z = -795 000
0 0 121.875 Z = 103.875
Tenemos ahora 3 ecuaciones y vamos a comenzar despejando a Z
121.875Z=103.875
Z = 103.875/121.875
Z=852.308
Vamos a despejar Y
-2000Y-875Z=-795 000
Y=-795 000+-875Z/-2000
Y=-795 000+-875(852.308)/-2000
Y=24.61
Despejamos X
100X 150Y 75Z=75 000
X=75 000-150Y-75Z
X=75 000-150(24.64)-75(852.308)
X=73.85

7. Es así que atreves del método de eliminación de gauss de matrices hemos encontrado el
número de estructura tipo
A=73.85
B=24.61
C=852.308
Que construye la empresa