Este documento define conceptos básicos de vectores como módulo, dirección, sentido, coordenadas, componentes, suma y resta de vectores. Explica cómo calcular el módulo de un vector, hallar vectores equipolentes, normalizar un vector, sumar y restar vectores, y determinar si tres puntos están alineados. Finalmente, presenta ejercicios resueltos de aplicación de estos conceptos.

2. Definición de vector
Un vector fijo es un segmento orientado que va del
punto A (origen) al punto B (extremo).

3. Módulo del vector ,-Es la longitud del segmento
AB(módulo de ) , se representa por .
Dirección del vector ,.Es la dirección de la recta que contiene al vector o de
cualquier recta paralela a ella.
Sentido del vector .- El que va del origen A al extremo B.
Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y , con sentido distinto, que
se llaman vectores opuestos.-Un vector fijo es nulo cuando el origen y su
extremo coinciden.
Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
El vector que une el origen de coordenadas O
con un puntoP se llama vector de posición del punto P.

4. Coordenadas o componentes de un vector en el plano
Si las coordenadas de A y B son:
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del
extremo menos las coordenadas del origen.
Ejemplos: Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:
3: primera componente
5: segunda componente
Un vector tiene de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se
conoce el extremo B(12, −3).

5. Vectores equipolentes
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual
módulo, dirección y sentido.
Si y son vectores equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un
paralelogramo.
Ejemplo: Calcula las coordenadas de C para que el cuadrilátero de vértices:
A(-3, -4), B(2, -3), D(3, 0) y C; sea un paralelogramo.

7. Vector libre
El conjunto de todos los vectores
equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un
representante del vector libre.
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo
define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el
vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

8. Ejemplo
D i s t a n c i a e n t r e d os p u n t o s
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de
extremos dichos puntos.
Ejemplo
Vector unitario
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

9. Normalizar un vector
Normalizar un vectorconsiste en obtener otro vector unitario, de la
misma dirección y sentido que el vector dado.
Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.
Ejemplo
Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su
misma dirección y sentido.

10. Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres y se escogen como
representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del
otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común , se trazan
rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal
coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas
componentes.

11. P r o p i ed a d e s d e la s u m a d e v ec t o r e s
Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutativa
+ = +
Elemento neutro
+ =
Elemento opuesto
+ (− ) =
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el
opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes
de los vectores.

12. Ejemplo
C o o r d e n a d a s d e l p u n t o m e d i o d e u n s eg m e n t o
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la
semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.
Ejemplo
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

13. T r e s p u n t o s e s t én a l in ea d o s
Condición para qué tres puntos estén alineados
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre
que los vectores tengan la misma dirección . Esto ocurre cuando sus
coordenadas son proporcionales .
Ejemplo
Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados .

14. S i m é t r i c o d e u n p u n t o r e sp e c t o d e o t r o
Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto
medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:
Hallar el simétrico del puntoA(7, 4) respecto de M(3, −11).
Ejemplo

15. Ejercicios de vectores.1
1Un vector tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de
A si se conoce el extremo B(12, −3).
2Dado el vector = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a ,
, sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).
3Calcular la distancia entre los puntos:
4Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su
misma dirección y sentido.
5Hallar un vector unitar io de la misma dirección que el vector =(8, -6).
6Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A( -1,
-2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
7Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB, de extremos
A(3, 9) y B(-1, 5).
8Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, - 2) es el punto
medio de AC, A(- 3, 1).
9Averiguar si están alineados los puntos: A ( - 2, - 3), B(1, 0) y C(6, 5).
10Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

16. E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
1
Un vector tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A
si se conoce el extremo B(12, −3).
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
2
Dado el vector = (2, - 1), determinar dos vectores equipolentes a
, , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

17. E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
3
Calcular la distancia entre los puntos:
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
4
Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su
misma dirección y sentido.
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s

18. 5
Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector =(8, -6).
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
6
Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A( -1, -
2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
7

19. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB, de extremos A(3,
9) y B(-1, 5).
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
8
Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, - 2) es el punto
medio de AC, A(- 3, 1).
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
9

20. Averiguar si están alineados los puntos: A ( - 2, - 3), B(1, 0) y C(6, 5).
E j e r c i c i o s r e su e lt o s d e v ec t o r e s
10
Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

21. Vectores. Ejercicios . 2
1Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector
=(8, -6).
2Calcula el extremo del vector sabiendo que sus componentes son (3,
-1) y su origen A(-2, 4).
3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B,
de manera que se obtenga
4Hallar el simétrico del punto A(3, -2) respecto de M(-2, 5).
5Clasificar el triángulo det erminado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y
C(6, 3).
7Determinar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten
una unidad.
8Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un
triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
9Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una
circunferencia de centro (1, 2).
10Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8.
-8).

22. Vectores. Ejercicios resueltos
1
Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector =(8, -6).
Vectores. Ejercicios resueltos
2
Calcula el extremo del vector sabiendo que sus componentes son (3, -
1) y su origen A(-2, 4).
3 = xB − (−2 )xB = 1
-1 = yB − 4yB = 3
B(1, 3)
Vectores. Ejercicios resueltos
3
Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B,
de manera que se obtenga

23. Vectores. Ejercicios resueltos
4
Hallar el simétrico del punto A(3, -2) respecto de M(-2, 5).
Vectores. Ejercicios resueltos
5
Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6,
3).

24. Si:
Vectores. Ejercicios resueltos
7
Determinar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten
una unidad.

25. Vectores. Ejercicios resueltos
8
Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un
triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
x1 = 7 x5 = 7 x3 = −1
y1 = 4 y5 = 0 y3 = 3
A(7, 4)B(5, 0) C(−1, 2)

26. Vectores. Ejercicios resueltos
9
Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una
circunferencia de centro (1, 2).
Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D
deben ser iguales
Vectores. Ejercicios resueltos
10
Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).