Este documento describe las fórmulas fundamentales de la trigonometría esférica. Explica los elementos básicos de la esfera como su volumen, superficie y círculos máximos. Luego presenta las fórmulas de los senos, que establecen que en un triángulo esférico el ángulo central de cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto. También cubre las fórmulas de los cosenos y otras relaciones trigonométricas esféricas como el triángulo polar y la esfer
Plano y recta en el espacio geometria analiticaelvyss
Este documento trata sobre geometría en el espacio y define conceptos básicos como punto, recta, plano y sus propiedades. Explica que la geometría en el espacio estudia las medidas y propiedades de figuras tridimensionales. Además, describe las características de rectas y planos, y cómo se relacionan entre sí, como que dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano.
Este documento describe las fórmulas para calcular el área y el volumen de un cono circular recto. Explica que el área lateral de un cono es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz dividido por 2, y que el área total es la suma del área lateral y el área de la base. Además, indica que el volumen de un cono es igual al producto del área de la base por la altura dividido por 3.
you can learn everything from this power point. it is very useful and easy to learn. It is made for 8th grade students which makes studies way more easier to learn.
done by : Aadhavan 8B DMIS
Este documento describe los cuatro casos de congruencia de triángulos: 1) Lado-Ángulo-Lado (LAL), 2) Ángulo-Lado-Ángulo (ALA), 3) Lado-Lado-Lado (LLL), y 4) Lado-Lado-Ángulo Mayor (LLAMayor). Para que dos triángulos sean congruentes, tres elementos correspondientes (lados u ángulos) deben ser iguales según uno de estos cuatro casos. El documento también explica la congruencia para triángulos rectángulos.
[1] El documento presenta información sobre funciones inversas, funciones logarítmicas y funciones exponenciales. [2] Explica cómo encontrar la inversa de una función, verificar si dos funciones son inversas y construir la tabla de valores de una función inversa. [3] También cubre temas como la definición de logaritmo, logaritmo natural, leyes de logaritmos y cómo evaluar y graficar funciones logarítmicas.
Los Drones (técnicamente conocidos como Vehículos Aéreos No Tripulados o en inglés Unmanned Aerial Vehicles, UAV) deben su desarrollo a la industria de la Defensa. En los últimos años estamos siendo testigos de la adopción generalizada de esta tecnología para el uso civil. Los gobiernos tratan de adaptar las regulaciones del espacio aéreo para dar cabida a aviones no tripulados y empresas pioneras lanzan al Mercado productos de UAV comerciales.
Las expectativas sobre la emergencia de la industria de los UAV son pues muy altas. Realizamos un vuelo panorámico sobre el actual paisaje tecnológico relacionado con los Drones a partir del análisis de patentes.
Plano y recta en el espacio geometria analiticaelvyss
Este documento trata sobre geometría en el espacio y define conceptos básicos como punto, recta, plano y sus propiedades. Explica que la geometría en el espacio estudia las medidas y propiedades de figuras tridimensionales. Además, describe las características de rectas y planos, y cómo se relacionan entre sí, como que dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano.
Este documento describe las fórmulas para calcular el área y el volumen de un cono circular recto. Explica que el área lateral de un cono es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz dividido por 2, y que el área total es la suma del área lateral y el área de la base. Además, indica que el volumen de un cono es igual al producto del área de la base por la altura dividido por 3.
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Este documento describe los cuatro casos de congruencia de triángulos: 1) Lado-Ángulo-Lado (LAL), 2) Ángulo-Lado-Ángulo (ALA), 3) Lado-Lado-Lado (LLL), y 4) Lado-Lado-Ángulo Mayor (LLAMayor). Para que dos triángulos sean congruentes, tres elementos correspondientes (lados u ángulos) deben ser iguales según uno de estos cuatro casos. El documento también explica la congruencia para triángulos rectángulos.
[1] El documento presenta información sobre funciones inversas, funciones logarítmicas y funciones exponenciales. [2] Explica cómo encontrar la inversa de una función, verificar si dos funciones son inversas y construir la tabla de valores de una función inversa. [3] También cubre temas como la definición de logaritmo, logaritmo natural, leyes de logaritmos y cómo evaluar y graficar funciones logarítmicas.
Los Drones (técnicamente conocidos como Vehículos Aéreos No Tripulados o en inglés Unmanned Aerial Vehicles, UAV) deben su desarrollo a la industria de la Defensa. En los últimos años estamos siendo testigos de la adopción generalizada de esta tecnología para el uso civil. Los gobiernos tratan de adaptar las regulaciones del espacio aéreo para dar cabida a aviones no tripulados y empresas pioneras lanzan al Mercado productos de UAV comerciales.
Las expectativas sobre la emergencia de la industria de los UAV son pues muy altas. Realizamos un vuelo panorámico sobre el actual paisaje tecnológico relacionado con los Drones a partir del análisis de patentes.
Este documento presenta información sobre el cono truncado, incluyendo sus elementos, fórmulas para el área lateral y el volumen, y un ejemplo de cálculo del volumen de un vaso usando las fórmulas dadas. Explica que un cono truncado resulta de cortar un cono con un plano paralelo a su base, y proporciona fórmulas para calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cono truncado.
Las razones trigonométricas se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Existen seis funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas funciones representan la relación entre el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa para un ángulo dado en un triángulo rectángulo.
This document defines and describes different types of quadrilaterals. It begins by defining a quadrilateral as a polygon with four sides and four vertices. It then discusses the different taxonomic classifications of quadrilaterals, including parallelograms, trapezoids, kites, and more. Specific types of parallelograms like rectangles, rhombi, and squares are also defined. The document also proves various geometric properties of quadrilaterals, such as the angle sum property and the mid-point theorem.
Power point jessica calle cabrera funciones trigonometricasjhailtonperez
Este documento presenta definiciones básicas de ángulos y semirrectas. Luego describe los teoremas del seno, coseno y tangente y explica las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Finalmente define qué son una ecuación trigonométrica e identidad trigonométrica.
El documento presenta información sobre estadística. Define estadística como una ciencia que estudia datos provenientes de muestras representativas para explicar fenómenos. Explica que un estudio estadístico consta de recogida, organización, análisis y obtención de conclusiones de datos. También introduce conceptos como población, muestra, valor y dato.
1) El documento describe los principales cuerpos geométricos incluyendo sus nombres, dibujos, áreas y volúmenes. 2) Incluye tablas con fórmulas para calcular el área y volumen de figuras como cubos, pirámides, cilindros y esferas. 3) Explica conceptos como los poliedros regulares, sus características y los cinco poliedros regulares conocidos.
El documento habla sobre los poligonos y su perimetro. Explica que los poligonos son figuras planas cerradas formadas por segmentos de línea recta que no se intersectan, y que pueden ser regulares o irregulares. También define el perímetro como la longitud del contorno de una figura plana, el cual se calcula sumando la longitud de los lados, o en un poligono regular multiplicando la longitud de un lado por el número de lados. Finalmente, da ejemplos del cálculo del perímetro de diferentes figuras.
Este documento presenta varios teoremas fundamentales relacionados con círculos y circunferencias. Explica teoremas sobre ángulos como el ángulo del centro, ángulo inscrito y relaciones entre ángulos. También cubre teoremas sobre trazos como las secantes, tangentes y cuerdas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar estos teoremas para resolver ejercicios sobre círculos y circunferencias.
El documento presenta 10 ejercicios de geometría para construir figuras geométricas como triángulos, rectángulos y circunferencias. También incluye cálculos para dividir segmentos y hallar el centro de gravedad de un triángulo. Por último, explica conceptos básicos sobre elementos de una circunferencia como radio, diámetro, cuerda y área de sectores circulares.
El documento presenta 19 problemas de trigonometría que involucran conceptos como expresar ángulos en grados y radianes, calcular razones trigonométricas dados datos de ángulos, resolver triángulos y figuras geométricas usando razones trigonométricas, y hallar alturas y lados dados información angular. Los problemas cubren temas como cuadrantes trigonométricos, funciones trigonométricas, relaciones métricas y angulares en figuras planas, y aplicaciones a problemas de la vida real.
Este documento describe varias curvas planas importantes, incluyendo la bruja de Agnesi, el caracol de Pascal, la cardioide, las cónicas (elipse, parábola e hipérbola), la cisoide, la cicloide, la catenaria y la circunferencia. Proporciona las ecuaciones paramétricas y cartesianas de cada curva así como algunas de sus propiedades geométricas fundamentales.
Este documento presenta 19 problemas de trigonometría que involucran conceptos como expresar ángulos en grados y radianes, calcular razones trigonométricas, resolver triángulos, y hallar lados y ángulos de figuras geométricas como trapecios, polígonos regulares y triángulos equiláteros. Los problemas cubren temas como ángulos, funciones trigonométricas, triángulos rectángulos, figuras planas y sistemas de cables de torres.
El documento presenta 19 problemas de trigonometría que involucran conceptos como expresar ángulos en grados y radianes, calcular razones trigonométricas, resolver triángulos, y hallar lados y ángulos de figuras geométricas como rombos, trapecios, polígonos regulares y más. Los problemas cubren temas como funciones trigonométricas, identidad trigonométrica, triángulos rectángulos, figuras planas y cuerpos geométricos.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
El documento presenta objetivos relacionados con la circunferencia y la parábola. Explica conceptos como el centro, radio y ecuación de la circunferencia, así como el vértice, foco, directriz y lado recto de la parábola. Incluye ejercicios resueltos que muestran cómo encontrar la ecuación de diferentes circunferencias y parábolas dados ciertos puntos u otros elementos.
El documento presenta un estudio introductorio sobre las cónicas, figuras geométricas que pueden definirse como intersecciones de un cono con un plano. Explica que las cónicas más comunes son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola, y que su estudio se originó en el trabajo de Apolonio de Perga. Además, introduce el cálculo de la ecuación de la circunferencia y algunos conceptos fundamentales como su centro, radio y potencia de puntos.
El documento describe las principales curvas cónicas como la circunferencia, parábola y elipse. Explica que la circunferencia fue descubierta por los matemáticos griegos Menecmo y Apolonio de Perga al estudiar intersecciones entre un cono y un plano. La parábola fue descrita por Apolonio como el lugar geométrico de puntos cuya distancia a una recta fija y un punto fijo es la misma. El documento también menciona brevemente la elipse.
El documento trata sobre el círculo y cómo calcular el área de diferentes regiones circulares como círculos completos, coronas circulares, sectores circulares y segmentos circulares. Explica las fórmulas para calcular el área de cada región circular y resuelve ejercicios prácticos aplicando dichas fórmulas.
El documento trata sobre el desarrollo histórico de la astronomía y la trigonometría. Explica que la astronomía fue utilizada por las civilizaciones antiguas para predecir eventos climáticos y estacionales. También describe que Claudio Ptolomeo realizó una descripción matemática del sistema geocéntrico en su tratado Almagesto. Finalmente, señala que los matemáticos hindúes formularon propiedades trigonométricas utilizando la semicuerda y cuadriláteros cíclicos,
Este documento presenta los objetivos y conceptos básicos sobre círculos y circunferencias. Los objetivos incluyen diferenciar círculos y circunferencias, reconocer líneas y ángulos del círculo, y aplicar teoremas a problemas. Define conceptos como circunferencia, radio, cuerda, diámetro, interior y exterior del círculo. Explica definiciones de ángulo central, arco, semicircunferencia y notaciones. Finalmente, presenta seis teoremas importantes sobre líneas en la circunferencia
Este documento presenta conceptos básicos sobre triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros. Explica teoremas como el de Pitágoras y Euclides para triángulos rectángulos. También describe relaciones métricas como las proporciones de lados y ángulos para triángulos con ángulos de 30°, 60° y 90° o triángulos isósceles. Finalmente, define propiedades de triángulos equiláteros e isósceles como igualdad de lados, alturas y ángulos.
Este documento presenta información sobre la circunferencia, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas entre dos circunferencias, propiedades de las tangentes y ángulos relacionados con la circunferencia. También incluye ejemplos de problemas y la ecuación general de una circunferencia.
Este documento presenta información sobre el cono truncado, incluyendo sus elementos, fórmulas para el área lateral y el volumen, y un ejemplo de cálculo del volumen de un vaso usando las fórmulas dadas. Explica que un cono truncado resulta de cortar un cono con un plano paralelo a su base, y proporciona fórmulas para calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cono truncado.
Las razones trigonométricas se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Existen seis funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas funciones representan la relación entre el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa para un ángulo dado en un triángulo rectángulo.
This document defines and describes different types of quadrilaterals. It begins by defining a quadrilateral as a polygon with four sides and four vertices. It then discusses the different taxonomic classifications of quadrilaterals, including parallelograms, trapezoids, kites, and more. Specific types of parallelograms like rectangles, rhombi, and squares are also defined. The document also proves various geometric properties of quadrilaterals, such as the angle sum property and the mid-point theorem.
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Este documento presenta definiciones básicas de ángulos y semirrectas. Luego describe los teoremas del seno, coseno y tangente y explica las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Finalmente define qué son una ecuación trigonométrica e identidad trigonométrica.
El documento presenta información sobre estadística. Define estadística como una ciencia que estudia datos provenientes de muestras representativas para explicar fenómenos. Explica que un estudio estadístico consta de recogida, organización, análisis y obtención de conclusiones de datos. También introduce conceptos como población, muestra, valor y dato.
1) El documento describe los principales cuerpos geométricos incluyendo sus nombres, dibujos, áreas y volúmenes. 2) Incluye tablas con fórmulas para calcular el área y volumen de figuras como cubos, pirámides, cilindros y esferas. 3) Explica conceptos como los poliedros regulares, sus características y los cinco poliedros regulares conocidos.
El documento habla sobre los poligonos y su perimetro. Explica que los poligonos son figuras planas cerradas formadas por segmentos de línea recta que no se intersectan, y que pueden ser regulares o irregulares. También define el perímetro como la longitud del contorno de una figura plana, el cual se calcula sumando la longitud de los lados, o en un poligono regular multiplicando la longitud de un lado por el número de lados. Finalmente, da ejemplos del cálculo del perímetro de diferentes figuras.
Este documento presenta varios teoremas fundamentales relacionados con círculos y circunferencias. Explica teoremas sobre ángulos como el ángulo del centro, ángulo inscrito y relaciones entre ángulos. También cubre teoremas sobre trazos como las secantes, tangentes y cuerdas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar estos teoremas para resolver ejercicios sobre círculos y circunferencias.
El documento presenta 10 ejercicios de geometría para construir figuras geométricas como triángulos, rectángulos y circunferencias. También incluye cálculos para dividir segmentos y hallar el centro de gravedad de un triángulo. Por último, explica conceptos básicos sobre elementos de una circunferencia como radio, diámetro, cuerda y área de sectores circulares.
El documento presenta 19 problemas de trigonometría que involucran conceptos como expresar ángulos en grados y radianes, calcular razones trigonométricas dados datos de ángulos, resolver triángulos y figuras geométricas usando razones trigonométricas, y hallar alturas y lados dados información angular. Los problemas cubren temas como cuadrantes trigonométricos, funciones trigonométricas, relaciones métricas y angulares en figuras planas, y aplicaciones a problemas de la vida real.
Este documento describe varias curvas planas importantes, incluyendo la bruja de Agnesi, el caracol de Pascal, la cardioide, las cónicas (elipse, parábola e hipérbola), la cisoide, la cicloide, la catenaria y la circunferencia. Proporciona las ecuaciones paramétricas y cartesianas de cada curva así como algunas de sus propiedades geométricas fundamentales.
Este documento presenta 19 problemas de trigonometría que involucran conceptos como expresar ángulos en grados y radianes, calcular razones trigonométricas, resolver triángulos, y hallar lados y ángulos de figuras geométricas como trapecios, polígonos regulares y triángulos equiláteros. Los problemas cubren temas como ángulos, funciones trigonométricas, triángulos rectángulos, figuras planas y sistemas de cables de torres.
El documento presenta 19 problemas de trigonometría que involucran conceptos como expresar ángulos en grados y radianes, calcular razones trigonométricas, resolver triángulos, y hallar lados y ángulos de figuras geométricas como rombos, trapecios, polígonos regulares y más. Los problemas cubren temas como funciones trigonométricas, identidad trigonométrica, triángulos rectángulos, figuras planas y cuerpos geométricos.
Este documento presenta el sistema de coordenadas polares y cómo graficar ecuaciones en este sistema. Explica que las coordenadas polares (r, θ) describen un punto como la distancia r desde el origen y el ángulo θ. Luego detalla cómo graficar rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas mediante sus ecuaciones polares correspondientes. Finalmente, proporciona ejercicios para que el estudiante aplique estos conceptos.
El documento presenta objetivos relacionados con la circunferencia y la parábola. Explica conceptos como el centro, radio y ecuación de la circunferencia, así como el vértice, foco, directriz y lado recto de la parábola. Incluye ejercicios resueltos que muestran cómo encontrar la ecuación de diferentes circunferencias y parábolas dados ciertos puntos u otros elementos.
El documento presenta un estudio introductorio sobre las cónicas, figuras geométricas que pueden definirse como intersecciones de un cono con un plano. Explica que las cónicas más comunes son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola, y que su estudio se originó en el trabajo de Apolonio de Perga. Además, introduce el cálculo de la ecuación de la circunferencia y algunos conceptos fundamentales como su centro, radio y potencia de puntos.
El documento describe las principales curvas cónicas como la circunferencia, parábola y elipse. Explica que la circunferencia fue descubierta por los matemáticos griegos Menecmo y Apolonio de Perga al estudiar intersecciones entre un cono y un plano. La parábola fue descrita por Apolonio como el lugar geométrico de puntos cuya distancia a una recta fija y un punto fijo es la misma. El documento también menciona brevemente la elipse.
El documento trata sobre el círculo y cómo calcular el área de diferentes regiones circulares como círculos completos, coronas circulares, sectores circulares y segmentos circulares. Explica las fórmulas para calcular el área de cada región circular y resuelve ejercicios prácticos aplicando dichas fórmulas.
El documento trata sobre el desarrollo histórico de la astronomía y la trigonometría. Explica que la astronomía fue utilizada por las civilizaciones antiguas para predecir eventos climáticos y estacionales. También describe que Claudio Ptolomeo realizó una descripción matemática del sistema geocéntrico en su tratado Almagesto. Finalmente, señala que los matemáticos hindúes formularon propiedades trigonométricas utilizando la semicuerda y cuadriláteros cíclicos,
Este documento presenta los objetivos y conceptos básicos sobre círculos y circunferencias. Los objetivos incluyen diferenciar círculos y circunferencias, reconocer líneas y ángulos del círculo, y aplicar teoremas a problemas. Define conceptos como circunferencia, radio, cuerda, diámetro, interior y exterior del círculo. Explica definiciones de ángulo central, arco, semicircunferencia y notaciones. Finalmente, presenta seis teoremas importantes sobre líneas en la circunferencia
Este documento presenta conceptos básicos sobre triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros. Explica teoremas como el de Pitágoras y Euclides para triángulos rectángulos. También describe relaciones métricas como las proporciones de lados y ángulos para triángulos con ángulos de 30°, 60° y 90° o triángulos isósceles. Finalmente, define propiedades de triángulos equiláteros e isósceles como igualdad de lados, alturas y ángulos.
Este documento presenta información sobre la circunferencia, incluyendo sus elementos, propiedades básicas, posiciones relativas entre dos circunferencias, propiedades de las tangentes y ángulos relacionados con la circunferencia. También incluye ejemplos de problemas y la ecuación general de una circunferencia.
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas. Define las funciones seno, coseno y tangente geométricamente en términos de los lados de un triángulo rectángulo. Explica las propiedades básicas como la periodicidad y paridad de estas funciones. También incluye gráficos de las funciones seno, coseno y tangente, y presenta identidades trigonométricas importantes.
Este documento explica cómo encontrar la ecuación de una circunferencia. Define una circunferencia como el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto central llamado centro. Explica que la ecuación general de una circunferencia es (x - h)2 + (y - k)2 = a2, donde h y k son las coordenadas del centro y a es el radio. Proporciona ejemplos de cómo usar esta fórmula para encontrar la ecuación dado el centro y radio de diferentes circunferencias.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.
C:\Documents And Settings\Usuario\Mis Documentos\1 ConicasBraulio
El documento define las secciones cónicas y describe su historia y propiedades geométricas y analíticas. Introduce las cuatro secciones cónicas principales (elipse, parábola, hipérbola y circunferencia) y explica cómo surgieron de cortes en un cono circular. También cubre sus definiciones como lugares geométricos y expresiones analíticas.
El documento trata sobre las cónicas y la circunferencia. Explica que Apolonio de Perga fue el primer matemático en estudiar las cónicas en el siglo III a.C. Las cónicas tienen aplicaciones importantes como describir las órbitas elípticas de los planetas y el movimiento de proyectiles. La circunferencia es una sección cónica definida por puntos a igual distancia de un punto central llamado centro.
1. El documento presenta fórmulas para calcular el área de diferentes figuras circulares como círculos, sectores circulares, segmentos circulares, coronas circulares.
2. Incluye ejercicios prácticos de aplicación de estas fórmulas para hallar áreas de figuras geométricas que incluyen uno o más de estos elementos circulares.
3. Finalmente, proporciona una serie de problemas con opciones de respuesta para que el estudiante practique cálculos de áreas de regiones que incluyen figuras circulares.
1. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
LAS FÓRMULAS DE LA
TRIGONOMETRIA ESFERICA
1. LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA.
2. FORMULAS DE LOS SENOS.
3. FORMULAS DE LOS COSENOS.
4. FORMULAS DE BESSEL.
5. FORMULAS DE LAS COTANGENTES.
6. FORMULAS DE BORDA.
7. ANALOGIAS DE DELAMBRE.
8. ANALOGIAS DE NEPER.
---OO0OO---
MARCHENA DICIEMBRE 2002 0
2. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
1. LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA:
La esfera:
Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por
{
E = (x , y , z ) ∈ R 3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) ≤ k 2
2 2 2
}
Superficie de la esfera:
Se llama superficie de una esfera de centro en el punto (a,b,c) y radio k, al dominio de R3
definido por
{
E = (x , y , z ) ∈ R 3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) = k 2
2 2 2
}
Círculos máximos:
Se llaman círculos máximos de una esfera de radio k a las circunferencias de radio k. Los
círculos máximos están contenidos en la superficie de la esfera.
Se llama ángulo barrido sobre un círculo máximo comprendido entre dos punto A y B del
mismo al ángulo AOB, siendo O el centro matemático de la esfera.
MARCHENA DICIEMBRE 2002 1
3. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
Propiedades elementales:
a) 4 puntos del espacio euclídeo R3 definen una esfera, y solo una.
b) Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos círculos máximos. Por dos
puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un círculo máximo y solo uno.
c) Si la longitud de arco desde A a B es a y el radio de la esfera es k, el ángulo sobre el
círculo máximo es @ = a/k.
Volumen y superficie de la esfera:
El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que
gira alrededor del diámetro.
La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución.
Si consideramos a la esfera centrada en el origen, se tiene:
k k
Para el volumen: V = 2π ∫ y 2.dx , Para la superficie: S = 4π ∫ y. 1 + y ' 2 .dx
0 0
MARCHENA DICIEMBRE 2002 2
4. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
Cálculos:
k
0 0
k
( )4
V = 2π ∫ y 2 .dx =2π ∫ k 2 − x 2 .dx = π.k 3
3
2
k k − x k k
S = 4π ∫0 y. 1 + y ' .dx = 4π∫0
2
y .dx = 4π∫0 y. y .dx = 4π.k
y. 1 +
2
Dominio sobre la superficie esférica:
Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado
por curvas contenidas en dicha superficie.
Triángulo esférico:
Un triángulo esférico de vértices A, B y C, es el dominio de superficie esférica limitado por
tres círculos máximos que se cortan en A, B y C.
Los lados, a, b y c, son respectivamente, los arcos de círculo máximo opuestos a A, B y C.
En todo triángulo esférico de lados a, b y c, y de vértices A, B y C, sobre una superficie
esférica de radio k, se pueden distinguir 6 ángulos:
A, B y C: son los ángulos diedros que definen los círculos máximos que se cortan en dichos
MARCHENA DICIEMBRE 2002 3
5. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
puntos.
a/k, b/k, c/k son los ángulos centrales (con vértice en el centro de la esfera) barridos por
cada uno de los lados a, b y c.
Las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de
cada uno de estos ángulos son también el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante del ángulo plano de igual amplitud.
Esto quiere decir que son validas las fórmulas de la trigonometría plana para cada ángulo,
esto es:
Relaciones elementales:
sen2 a tg 2 a 1
cos2 a + sen2 a = 1, tg2 a = , sen2 a = , cos2 a =
cos2 a 1 + tg2 a 1 + tg 2 a
Ángulo suma/diferencia:
sen(a ± b) = sena. cos b ± cos a.senb
cos(a ± b) = cos a. cos b m sena.senb
tga ± tgb
tg( a ± b) =
1 m tga.tgb
Ángulo doble:
2.tg2 A
sen2 A = 2.senA. cos A, cos 2 A = cos A − sen A,
2 2
tg2 A =
1 − tg 2 A
Ángulo mitad:
A 1 + cos A A 1 − cos A A 1 − cos A
cos2 = , sen2 = , tg 2 =
2 2 2 2 2 1 + cos A
Factorización de suma/diferencia de senos y de suma/diferencia de cosenos:
p + q p − q
senp + senq = 2.sen . cos
2 2
p + q p − q
senp − senq = 2. cos .sen
2 2
p + q p − q
cos p − cos q = −2.sen .sen
2 2
p + q p − q
cos p + cos q = 2. cos . cos
2 2
MARCHENA DICIEMBRE 2002 4
6. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
Triángulo polar:
Se llama triángulo polar relativo al triángulo esférico de vértices A,B y C, y lados a, b y c, al
triángulo de vértices A', B' y C', y lados a', b' y c', definido por:
A' = 180 - a/k, B' = 180 - b/k, C' = 180 - c/k
a'/k = 180 - A, b'/k = 180 - B, c'/k = 180 - C
Esfera trigonométrica:
Llamaremos esfera trigonométrica a una esfera de radio unidad. Los ángulos centrales
coinciden en esta esfera con los lados del triángulo.
MARCHENA DICIEMBRE 2002 5
7. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
2. FORMULAS DE LOS SENOS:
Sea el triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio k y centro en el punto O(0,0,0).
Tracemos la normal AD al plano OBC. Por el punto D tracemos ahora la normal DF a la recta
OB y la normal DE a la recta OC.
La paralela por F a DE corta a OC en el punto G y la paralela a OC por D corta a OB en el
punto H.
Analicemos los triángulos planos que se forman al efectuar el trazado de las anteriores rectas
al objeto de obtener una relación entre los senos de los ángulos que aparecen en el triángulo
esférico.
Si consideramos el triángulo rectángulo plano AFD y también que el ángulo de vértice en F
coincide con el ángulo B del triángulo esférico se tiene:
AD = AF .sen B = AO. sen c / k. sen B
Análogamente, podemos considerar el triángulo plano AED y que el ángulo de vértice en E
coincide con el ángulo C del triángulo esférico:
AD = AE.sen C = AO. sen b / k . sen C
al identificar:
AO. sen c / k . sen B = AO.sen b / k . sen C
o sea:
sen b / k sen c / k
=
sen B sen C
Haciendo lo mismo con los otros vértices B y C (normales desde B y desde C), se tienen las
formulas de los senos:
MARCHENA DICIEMBRE 2002 6
8. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
a b c
sen sen sen
k = k = k
sen A sen B sen C
que, si se trata de la esfera trigonométrica (k = 1) se puede escribir:
sen a sen b sen c
= =
sen A sen B sen C
Fórmulas que guardan una cierta analogía con las fórmulas del mismo nombre de la
trigonometría plana.
En definitiva:
En un triángulo esférico se verifica siempre que el ángulo central que barre cada uno de los
lados es proporcional al seno del ángulo diedro opuesto.
MARCHENA DICIEMBRE 2002 7
9. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
3. FORMULAS DE LOS COSENOS:
Para deducir ciertas relaciones básicas entre los cosenos de los ángulos del triángulo
esférico, volvemos a utilizar la figura del apartado anterior.
Podemos partir de la relación:
OE = OG + GE
obtenemos la expresión de cada uno de estos tres términos:
Si consideramos el triángulo plano ADE, vemos que está situado en un plano perpendicular
al segmento OC, por lo que el lado AE es perpendicular a OC. Se verifica, entonces, que
OE = OA. cos b / k = k. cos b / k
Análogamente, se obtienen:
OG = OF. cos a / k = k. cos c / k. cos a / k
GE = FD.sen a / k = AF . cos B.sen a / k = k.sen c / k. cos B.sen a / k
Por tanto, se verifica que:
k. cos b / k = k. cos c / k. cos a / k + k.sen c / k. cos B.sen a / k
es decir:
cos b / k = cos c / k . cos a / k + sen c / k . cos B.sen a / k
Análogamente se obtienen, proyectando los otros dos vértices del triángulo esférico, fórmulas
análogas.
Se tiene, en definitiva, el sistema de fórmulas conocido como las formulas de los cosenos:
cos a / k = cos b / k. cos c / k + sen b / k. sen c / k . cos A
MARCHENA DICIEMBRE 2002 8
10. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
cos b / k = cos c / k. cos a / k + sen c / k. sen a / k . cos B
cos c / k = cos a / k. cos b / k + sen a / k . sen b / k. cos C
O sea:
En un triángulo esférico, el coseno del ángulo central barrido por un lado es igual al producto
de los cosenos de los ángulos barridos por los otros dos lados más el producto de los senos
por el coseno del ángulo diedro opuesto.
Si se trata de la esfera trigonométrica, se tiene:
cos a = cos b. cos c + sen b. sen c. cos A
cos b = cos c. cos a + sen c. sen a. cos B
cos c = cos a. cos b + sen a. sen b. cos C
MARCHENA DICIEMBRE 2002 9
11. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
4. FORMULAS DE BESSEL:
Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de
inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno"
o también denominadas Fórmulas de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran
matemático Friedrich Wilhelm Bessel (Wesfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846).
cos a / k = cos b / k. cos c / k + sen b / k. sen c / k . cos A
cos b / k = cos c / k. cos a / k + sen c / k. sen a / k . cos B
cos c / k = cos a / k. cos b / k + sen a / k . sen b / k. cos C
Si en las fórmulas del coseno, sustituimos alguno de los cosenos despejados, por el ejemplo
el que figura en la tercera relación, en su expresión en el primer sumando de alguna de las
otras dos relaciones, se obtiene una fórmula para el producto de un seno por un coseno:
Así, por ejemplo, sustituimos en la segunda formula el cos c / k , que figura despejado en
la tercera:
sen c / k. sen a / k. cos B = cos b / k − cos c / k . cos a / k =
= cos b / k − cos a / k. (cos a / k. cos b / k + sena / k. senb / k. cos C ) =
= cos b / k − cos2 a / k. cos b / k − cos a / k . sena / k. senb / k. cos C =
= cos b / k.sen2 a / k − cos a / k. sena / k . senb / k. cos C
sen a / k :
Dividiendo toda la expresión por
sen c / k. cos B = cos b / k . sen a / k − cos a / k . senb / k. cos C
permutando las letras se obtiene todo el conjunto de las fórmulas:
sen c / k. cos B = cos b / k . sen a / k − cos a / k . senb / k. cos C
sen c / k. cos A = cos a / k. sen b / k − cos b / k. sena / k . cos C
sen b / k. cos A = cos a / k . sen c / k − cos c / k. sena / k. cos B
sen b / k. cos C = cos c / k. sen a / k − cos a / k. senc / k. cos B
sen a / k. cos B = cos b / k. sen c / k − cos c / k . senb / k. cos A
sen a / k. cos C = cos c / k. sen b / k − cos b / k. senc / k. cos A
El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto
es, la esfera trigonométrica, de la forma:
sen c. cos B = cos b. sen a − cos a. senb. cos C
sen c. cos A = cos a. sen b − cos b. sena. cos C
sen b. cos A = cos a. sen c − cos c. sena. cos B
sen b. cos C = cos c. sen a − cos a. senc. cos B
sen a. cos B = cos b. sen c − cos c. senb. cos A
sen a. cos C = cos c. sen b − cos b. senc. cos A
MARCHENA DICIEMBRE 2002 10
12. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
5. FORMULAS DE LAS COTANGENTES:
Combinando las fórmulas de Bessel con la fórmula de los senos, se obtiene el grupo de
fórmulas llamado formulas de las cotangentes.
Tomando una cualquiera de las fórmulas de Bessel, la primera del grupo, por ejemplo:
sen c / k. cos B = cos b / k . sen a / k − cos a / k . sen b / k . cos C
dividimos a continuación por la expresión del teorema de los senos
senA. senb / k = sena / k. senB
resulta:
ctg b / k. sen c / k
ctgB = − cos c / k. ctgA
senA
multiplicando por sen A y despejando:
senA. ctgB = ctg b / k . sen c / k − cos c / k . cos A
o sea: sen c / k. ctgb / k = senA. ctgB + cos c / k. cos A
permutando letras, obtenemos el bloque de las fórmulas de las cotangentes:
senc / k . ctgb / k = senA. ctgB + cos c / k. cos A
senc / k . ctga / k = senB. ctgA + cos c / k . cos B
senb / k. ctga / k = senC. ctgA + cos b / k. cos C
senb / k. ctgc / k = senA. ctgC + cos b / k. cos A
sen a / k. ctgb / k = sen C . ctgB + cos a / k . cos C
sen a / k. ctg c / k = sen B. ctg C + cos a / k . cos B
que, para la esfera trigonométrica, se convierten en :
senc. ctgb = senA. ctgB + cos c. cos A
senc. ctga = senB. ctgA + cos c. cos B
senb. ctga = senC. ctgA + cos b. cos C
senb ctgc = senA. ctgC + cos b. cos A
sena. ctgb = senC. ctgB + cos a. cos C
sena. ctgc = senB. ctgC + cos a. cos B
MARCHENA DICIEMBRE 2002 11
13. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
6. FORMULAS DE BORDA:
A partir de las fórmulas del ángulo mitad de la trigonometría plana, y sustituyendo las
fórmulas del coseno, podemos obtener un grupo de fórmulas que explicitan la tangente del
ángulo diedro mitad, obtenidas por primera vez por Jean Borda (París, 1733-1799).
Si llamamos p al semiperímetro del triángulo definido por los arcos a, b y c, se tiene:
a+b+c b+c−a a+c −b b+c−a
p= , p−a= , p−b= , p−c =
2 2 2 2
de las fórmulas del coseno para la esfera trigonométrica, se tiene:
cos a − cos b. cos c
cos a = cos b. cos c + senb.senc. cos A → cos A =
senb.senc
y, a partir de la fórmula de la trigonometría plana que da la tangente del ángulo mitad, se
puede escribir:
cos a − cos b. cos c
1−
A 1 − cos A senb.senc senb.senc − cos a + cos b. cos c
tg2 = = = =
2 1 + cos A cos a − cos b. cos c senb.senc + cos a − cos b. cos c
1+
senb.senc
b + a− c b − c − a
− 2.sen .sen
cos(b − c ) − cos a 2 2 =
= =
− cos(b + c ) + cos a a− b − c a+ b+c
− 2.sen .sen
2 2
b + a −c a + c − b
sen .sen
2 2 = sen(p − c ).sen(p − b )
=
b + c − a a + b + c sen(p − a).senp
sen .sen
2 2
podemos, entonces, escribir que:
A sen( p − c ).sen p − b)
(
tg2 =
2 sen(p − a).senp
y, por analogía:
B sen p − c ).sen( p − a)
(
tg2 =
2 sen(p − b).senp
C sen( p − a).sen( p − b)
tg2 =
2 sen p − c ).senp
(
MARCHENA DICIEMBRE 2002 12
14. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
En definitiva, se obtiene, para una esfera de radio k:
p-c p-b
2 A sen( k ).sen( k )
tg =
2 p p-a
sen( )sen( )
k k
p-a p-c
2 B sen( k ).sen( k )
tg =
2 p p- b
sen( )sen( )
k k
p-a p- b
sen( ).sen( )
2 C k k
tg =
2 p p-c
sen( )sen( )
k k
O sea:
La tangente del ángulo diedro mitad es la raiz cuadrada del cociente de dividir el producto
de los senos del complemento semiperimetral de los angulos centrales adyacentes por el
producto del seno del semiperímetro por el seno del complemento semiperimetral del ángulo
central opuesto.
Para despejar desde estas fórmulas el seno y el coseno correspondientes, tengamos en
cuenta las fórmulas de trigonometría plana que nos dan:
A
tg2
A 2 A 1
sen2 = , cos2 =
2 A 2 A
1 + tg2 1 + tg2
2 2
Por lo cual, al sustituir:
sen(p − b).sen( p − c )
A senp.sen(p − a) sen( p − b).sen p − c )
(
sen2 = = =
2 sen( p − b).sen p − c ) senp.sen( p − a) + sen p − b).sen(p − c)
( (
1+
senp.sen( p − a)
sen( p − b).sen(p − c)
=
senb.senc
A 1 senp.sen p − a)
(
cos2 = = =
2 sen( p − b).sen(p − c ) senp.sen( p − a) + sen p − b).sen( p − c )
(
1+
senp.sen( p − a)
senp.sen p − a)
(
=
senb.senc
MARCHENA DICIEMBRE 2002 13
15. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
Donde se ha simplificado la expresión del denominador haciendo:
cos a − cos(2p − a)
senp.sen p − a) + sen p − b).sen( p − c ) =
( ( +
2
cos(c − b) − cos a cos(c − b) − cos(c + b) 2senb.senc
+ = = = senb.senc
2 2 2
Se obtienen, así, el seno y coseno del ángulo diedro mitad, referidos a una esfera
trigonométrica, esto es, de radio unidad:
A sen(p − b).sen(p − c ) A senp.sen(p − a)
sen = , cos =
2 senb.senc 2 senb.senc
B sen(p − a).sen(p − c ) B senp.sen(p − b)
sen = , cos =
2 sena.senc 2 sena.senc
C sen(p − b).sen( p − a) C senp.sen(p − c )
sen = , cos =
2 senb.sena 2 senb.sena
MARCHENA DICIEMBRE 2002 14
16. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
7. ANALOGIAS DE DELAMBRE:
Usando las fórmulas de Borda, y teniendo en cuenta que por la fórmula del ángulo suma de
la trigonometría plana es
B+C B C B C
sen = sen .cos + cos .sen
2 2 2 2 2
Podemos obtener mediante una sencilla sustitución las fórmulas llamadas analogías de
Delambre, obtenidas por Jean Baptiste Joseph Delambre (Amiens, 1749 - París, 1822).
Efectivamente, se tiene:
B+C sen( p − a).sen( p − c ) senp.sen(p − c)
sen = . +
2 sena.senc sena.senb
senp.sen(p − b) sen( p − a).sen( p − b) sen2 ( p − c).senp.sen( p − a)
+ . = +
sena.senc sena.senb sen2 a.senb.senc
sen2 (p − b).senp.sen(p − a) sen( p − c ) senp.sen( p − a)
+ = +
sen2 a.senb.senc sena senb.senc
sen(p − b) senp.sen(p − a) sen p − c ) + sen(p − b)
( A
+ = . cos =
sena senb.senc sena 2
2p − c − b b − c a b − c
2.sen . cos 2.sen . cos
2 2 . cos A = 2 2 . cos A =
=
sena 2 a a 2
2.sen . cos
2 2
b − c b − c
cos cos
2 . cos A ⇒ sen B + C = 2 . cos A
=
a 2 2 a 2
cos cos
2 2
Se obtiene, en definitiva:
B+C b-c
sen cos
2 = 2
A a
cos cos
2 2
Análogamente se obtienen:
B-C b-c
sen sen
2 = 2
A a
cos sen
2 2
MARCHENA DICIEMBRE 2002 15
17. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
B+C b+ c
cos cos
2 = 2
A a
sen cos
2 2
B-C b+c
cos sen
2 = 2
A a
sen sen
2 2
Permutando circularmente las letras, se obtienen otras ocho fórmulas que completan el
grupo.
C+A c-a
sen cos
2 = 2
B b
cos cos
2 2
C-A c-a
sen sen
2 = 2
B b
cos sen
2 2
C+A c+a
cos cos
2 = 2
B b
sen cos
2 2
C-A c+a
cos sen
2 = 2
B b
sen sen
2 2
A+B a-b
sen cos
2 = 2
C c
cos cos
2 2
A- B a-b
sen sen
2 = 2
C c
cos sen
2 2
A+B a+b
cos cos
2 = 2
C c
sen cos
2 2
A- B a+ b
cos sen
2 = 2
C c
sen sen
2 2
MARCHENA DICIEMBRE 2002 16
18. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
8. ANALOGIAS DE NEPER:
Si se dividen las analogias de Delambre, se obtienen las relaciones siguientes, conocidas
como analogias de Neper:
B-C
cos
b+ c 2 .tg a
tg =
2 B+C 2
cos
2
B-C
sen
b- c 2 .tg a
tg =
2 B+C 2
sen
2
b-c
cos
B+C 2 .cotg A
tg =
2 b+c 2
cos
2
b-c
sen
B-C 2 .cotg A
tg =
2 b+c 2
sen
2
Permutando circularmente las letras, se obtienen otras ocho fórmulas que completan este
grupo.
C-A
cos
c+a 2 .tg b
tg =
2 C+A 2
cos
2
C-A
sen
c-a 2 .tg b
tg =
2 C+A 2
sen
2
c-a
cos
C+A 2 .cotgB
tg =
2 c+a 2
cos
2
MARCHENA DICIEMBRE 2002 17
19. LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA CARLOS S. CHINEA
c-a
sen
C-A 2 .cotgB
tg =
2 c+a 2
sen
2
A- B
cos
a+ b 2 .tg c
tg =
2 A+ B 2
cos
2
A-B
sen
a-b 2 .tg c
tg =
2 A+B 2
sen
2
a- b
cos
A+ B 2 .cotgC
tg =
2 a+ b 2
cos
2
a-b
sen
A- B 2 .cotgC
tg =
2 a+ b 2
sen
2
MARCHENA DICIEMBRE 2002 18