1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
yo

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“F.T. de Ángulos Especiales”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Del gráfico:
* : es un ángulo en posición normal
*
* β : Es un ángulo en posición normal
*
Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
posición normal, tomaremos un punto perteneciente
a su lado final.
*
* α´: se denomina ángulo de referencia
Signos de las R.T. en los cuiadrantes
Lado Final
Lado Inicial
Vértice
 (+ )
x
y

0;IIC 
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)
x
y

0;IIIC 
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se define:
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



2
o
2
o
yxr 
Semana N° 04

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo


Propiedad:
Si  es un ángulo en posición normal positivo y
menor que una vuelta entonces se cumple:
Si   I  0 <  < 90º
Si   II  90º<  <180º
Si   III  180º <  < 270º
Si   IV  270º <  < 360º
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son
ángulos frontera.
Forma General
< Cuadrantal = 90º.k ; Zk 
También
<Cuadrantal =
2
k ; Zk 
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó .
2
rad
 según
corresponda; si el resultado de la división es un
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de Ángulos
Cuadrantales
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Se tiene que:
* α y  : son coterminales
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si α y  son coterminales se cumple que:
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2 rad. y si el resultado es un numero entero ,
entonces los angulos son coterminales.
R.T. de Ángulos Negativos:
Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos 
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
COS 1 0 -1 0 1
TAN 0 ND 0 ND 0
COT ND 0 ND 0 ND
SEC 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ;x x
o

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )x x
o o
x
y
I. II.
 - = 360ºn ; n Z
I. II.
 - = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )


3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
¡Muy importante!
PROBLEMA RESUELTOS
1. Se tiene dos ángulos negativos en posición
canónica α y β que son máximos posibles,
además se sabe que los lados terminales de
dichos ángulos forman un ángulo recto y
también cumplen con la siguiente relación:
senα>0, tgβ <0. Hallar el signo de:
K =


tgsencos
seccoscscsec
A) (+) B) (-) C) (+) y (–)
D) (+) o (-) E) No se puede determinar
2. Si los puntos (-2, n) y (m – 1, -1); pertenecen
al lado final de un ángulo θ en posición
normal y además el punto (n (m-1), 5)
pertenece a la recta que une a los puntos
anteriores calcular:
K = n cos2θ + m sen2θ
A) –4/29 B) -5/29 C) 4/29
D) 5/29 E) 6/29
3. Si α es un ángulo positivo menor que una
vuelta que no pertenece al IC y
θ  <-1800 , 00>; además :
tgα + 1cos2 
Evaluar: H =
1cossen2
senctg


A) –1 B) 1 C) –1/2 D) 1/2 E) 0
4. Si α y θ son ángulos coterminales, además
cosα=
3
22 ;-π < α < -π/2
csc θ=
5K
1K2

 ; obtener:
E = sec(2α -2θ) +K
A) –1 B) 4,5 C) 3,2 D) 3,8 E) 4,2
5. Siendo x, y; z ángulos cuadrantales mayores
o iguales que cero, pero menores o iguales
que 3600, además se cumple:
i) ysecycos2ysecycossenx1 
ii) 3ctgzxcos3 
Calcular el mayor valor de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 siendo
𝑥  𝑦  𝑧
A) 5400 B) 6300 C) 3600 D) 9000 E) 7200
6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. Si α y Φ son ángulos coterminales
entonces 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛷.
II. Si 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛷 entonces α y Φ son
ángulos coterminales.
III. Si tg α  tg Φ entonces α y Φ
pertenecen al mismo cuadrante.
IV. Si θ es un ángulo positivo y Φ es
negativo entonces dichos ángulos no
pueden ser coterminales.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo IV E) I y IV
7. Si 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑦  𝑥  𝐼𝐼𝐶. Hallar 𝑐𝑜𝑠𝑥 e
indicar a que cuadrante pertenece “y”
A) ycos1 2 ; IIC B) ycos1 2 ; IVC
C) - ycos1 2 ; IVC
D) - ycos1 2 ; IIC E) ysen1 2 ; IC
8. En la figura calcular:
R = 1 - tg2θ
A) 0
B) 1
C) –1
D) –2
E) +2
9. Calcular tgθ si el área de la superficie
sombreada es 12 u2
A)
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D)
2
5
E) 2
10. Se tiene dos ángulos coterminales de tal
manera que el menor es a la suma de los dos
como 1 es a 8. Hallar el mayor de los ángulos
si se sabe que la suma de dichos ángulos está
comprendida entre 5000 y 10000
A) 840° B) 804° C) 841°
D) 844° E) 814°
Y
X
Q(–b;a)
P(a;b)
R(–a; b)–
M(b;–a)

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
y
x
(-2;a)
(-3;2a+1)

y
x

B(3;0)
A(0;2)
y
x

B(a;3)
A(-2;0)
143°
y
x
y = x
3

+ 2
y = x - 8
2
11. Del gráfico, calcular: E = tg +tg .
A) 0
B) 3/5
C) 9/13
D) 8/15
E) 11/15
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
I) Si: sen > 0 cos < 0 II C
II) Si: sec < 0 ctg < 0 II C
III) Si: tg > 0 csc < 0 II C
A) VVV B)VVF C)VFV D) FVV E) VFF
13. Hallar el signo de:
𝐴 = 𝑠𝑒𝑛200°. 𝑐𝑜𝑠100°. 𝑡𝑔300°
𝐵 = 𝑐𝑡𝑔(−100°). 𝑠𝑒𝑐(−20°). 𝑐𝑠𝑐(−200°)
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛150°. 𝑐𝑜𝑠320°. 𝑡𝑔(−120°)
A) (+);(+);(-) B)(-);(+);(+)
C) (-);(-);(+)
D) (-);(+);(-) E)(+);(+);(+)
14. En el cuadrante de "𝛼" que cumple:
A) I B) II C)III D) IV E) faltan datos
15. ¿Qué ángulo " " cumple?.
A) 250° B) 190° C) 160° D) 300° E) 330°
16. De la ecuación:
Calcular: F = 12tg +13cos
A) -3 B) -5 C) -7 D) -9 E) -11
17. Si: "4x" es un ángulo agudo que cumple:
𝑠𝑒𝑐4𝑥 − 𝑐𝑠𝑐50° = 0, Calcular el valor de:
𝑀 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑐𝑜𝑠3𝑥. . . . . . . . 𝑐𝑜𝑠17𝑥
A) -1 B) -17 C) 0 D) 17 E) 1
18. Reducir:
A) 𝑎 − 𝑏 B) 𝑎 + 𝑏 C) 𝑎 D) 𝑏 E) 1
19. Hallar un ángulo coterminal con 36° que éste
comprendido en 1080° y 1170°.
A) 1096° B) 1116° C) 1026°
D) 1136° E) 1126°
20. Para dos ángulos coterminales se cumple
que dos veces el menor es a la suma de ellos
como 13 es a 23. Hallar la medida del menor
si se sabe que está comprendida entre 400° y
500°.
A) 405° B) 420° C) 468° D) 434° E)476°
21. Del gráfico, calcular "tg𝜃".
A) -1/2
B) -1
C) -4/5
D) -6/5
E) -3/2
22. Del gráfico, calcular "tg𝜃".
A)-1/3
B) -2/3
C) -3/4
D) -1
E) -3/2
23. Del gráfico, calcular "sec𝛼".
A) B)
C)
D) E)
24. Calcular "ctg𝜃 " del gráfico mostrado.
A) 1
B) 3/2
C) 2
D) 1/2
E) 2/3
 
     
     
     
sen sec .csc 0   

|sen | sen 0 |cos | cos 0      
2169sen 25 0 III  
 
2(a b) cos360 4absen270
M
asen90 bcos180
   

  
y
x

A(7;2)
53/7 53/2
53/7
53/2 53/3