Funciones trascendentes

1. FUNCIONES
TRASCENDENTES
JOSE DAVID FUENTES RODRIGUEZ
MATEMÁTICAS IV
401

2. TABLA DE CONTENIDO
• FUNCIONES TRASCENDENTES
• FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• FUNCIONES INVERSAS
• FUNCIONES EXPONENCIALES
• FUNCIÓN LOGARÍTMICA

3. FUNCIONES TRASCENDENTES
UNA FUNCIÓN TRASCENDENTE ES UNA FUNCIÓN QUE NO SATISFACE UNA
ECUACIÓN POLINÓMICA CUYOS COEFICIENTES SEAN A SU VEZ POLINOMIOS; ESTO
CONTRASTA CON LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS, LAS CUALES SATISFACEN DICHA
ECUACIÓN.
POR EJEMPLO:
Y=e^x+sen x
Y=3^2

4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA F ES AQUELLA QUE ESTÁ ASOCIADA A
UNA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA. ÉSTAS EXTIENDEN SU DOMINIO A LOS NÚMEROS
REALES. LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO Α SON LAS
OBTENIDAS ENTRE LOS TRES LADOS DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO. ES DECIR,
LAS COMPARACIONES POR SU COCIENTE DE SUS TRES COSTADOS A, B Y C.
• EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS QUE SON :
• SENO, COSENO, TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE, COSECANTE

5. SENO
El seno de un angulo se
define como la razón
entre el cateto opuesto
“a” y la hipotenusa “c”.
Su abreviatura es “sen” o
“sin”
Dominio: Todos los reales
Codominio: [-1, 1]
Dirivada [sen x]^1= cos x
Integral:
La función
del seno es periódica de período
360º (2π radianes), por lo que
esta sección de la gráfica se
repetirá en los diferentes
períodos.

6. COSENO
El coseno del angulo se define
como la razón entre el cateto
adyacente “b” y la hiputenusa
“c”.
Su abreviatura es cos
Dominio: todos los números
reales
Codominio: [-1,1]
Derivada:[cos x]^1=sen x
Integral:
La función
del coseno es periódica de
período 360º (2π radianes)

7. TANGENTE
La tangente de un ángulo α es
la razón entre el cateto
opuesto (a) y el cateto
contiguo o cateto adyacente
(b).
La función tangente es
periódica de periodo 180°(π
radianes )
- Dominio: R
- Codominio: R
- Derivada de la función
tangente
[tan x]^1 = sec^2x=
1+tan^2
- Integral de la función

8. COSECANTE
La cosecante es la razón
trigonométrica
inversa del seno, es decir
csc α · sen α=1.
La cosecante del ángulo α de
un triángulo rectángulo se
define como la razón entre
la hipotenusa (c) y el cateto
opuesto (a)
La función de
la cosecante es periódica de
período 360º (2π radianes).
- Dominio: R
- Codominio: [-inf,-1]u[1+inf]
- Derivada de la función
[csc x]^1 = -csc x cot x
- Integral de la función

9. SECANTE
La secante es la razón
trigonométrica inversa del coseno,
es decir sec α · cos α=1.
La secante de un ángulo α de
un triángulo rectángulo se define
como la razón entre
la hipotenusa (c) y el cateto
contiguo o cateto adyacente (b).
La función de la secante es periódica de período
360º (2π radianes).
- Dominio : R
- Codominio: -inf,-1]u[1+inf]
- Derivada de la función:
[sec x]^1 = sec x tan x
- Integral de la función

10. COTANGENTE
La cotangente es la razón
trigonométrica inversa de la tangente,
por lo tanto tan α · cot α=1.
La cotangente de un ángulo α de
un triángulo rectángulo se define
como la razón entre el cateto
contiguo o cateto adyacente (b) y
el cateto opuesto (a).
La función de la cotangente es periódica de período
180º (π radianes).
- Dominio: R
- Codominio: R
- Derivada de la función: [cot]^1=-csc^2 x = -1-
cot^2 x
- Integral de la función

11. FUNCIONES INVERSAS
• Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio
es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.
es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a,
entonces g(a)=b.

12. PROPIEDADES
• La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función
compuesta. si realizamos la función inversa de una composición de funciones
obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:
• Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial
• La composición de una función y su inversa nos da la función identidad
• La función inversa no siempre existe.
• Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable
también lo será la función inicial
• Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

13. GRAFICA DE UNA FUNCION INVERSA
• La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la
bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos
ver en la siguiente imagen:

14. PASOS PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA
• Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos:
1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. recordad
que y=f(x).
2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la
variable y en función de x.
3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.

15. FUNCIÓN EXPONENCIAL
• Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable
independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:

16. CARACTERÍSTICAS GENERALES
• El dominio de una función exponencial es r.
• Au recorrido es (0, +∞) .
• Son funciones continuas.
• Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1)
la función corta el eje y en el punto (0, 1) y no corta el eje x.
• Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
• Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente
• Son siempre cóncavas.
• El eje x es una asíntota horizontal si a > 1 :
al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a
cero, por tanto :
cuando x → - ∞ , entonces a x → 0
• Si 0 < a < 1 :
ocurre lo contrario que en el caso anterior
cuando x → + ∞ , encortes a x → 0

17. TABLA DE VALORES

18. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
• Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) ==
logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. la
función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que: loga x
= b û ab = x.

19. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su
inversa, la función exponencial. así, se tiene que:
• La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. por
tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
• Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a
cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta
función es r.
• En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
• La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
• Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente
para a < 1.

20. ECUACIONES LOGARÍTMICAS
la resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados
en la resolución de las ecuaciones habituales. aunque no existen métodos fijos,
habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no
aparezca ningún logaritmo. para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a
la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que
se resuelve por los métodos habituales.
también puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente
del tipo:
loga f (x) = m
m

21. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se
denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. en el caso de un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:
• Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
• Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
• Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.
En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones,
teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras
equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni
en el exponente de la función exponencial.

22. GRAFICA DE ECUACIÓN LOGARÍTMICA

23. •FOR YOUR ATTENTION
THANKS