Este documento trata sobre derivadas de funciones. Explica cómo calcular la derivada de funciones como funciones polinómicas, funciones a trozos, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas inversas. También cubre conceptos como derivadas laterales y puntos donde una función no es derivable.

1. Escuela preparatoria santa maría tequepexpan
Derivada de funciones
Nombre del maestro:maría Guadalupe
Nombre del alumno:LeslieNayeIimejía
Grado y grupo: 6°A
Turno: vespertino

2. Derivada de funciones
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si
existe. Se expresa por f'(x).
Ejemplos
Determinar la función derivada de f(x) = x2
− x + 1.
Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de
separación de los distintostrozos.
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

3. Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto
en esos puntos no existe la derivada.
No es derivable en x = 0.
Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
La función es continua en toda .
f'(−2)−
= −1f'(−2)+
= 1

4. No será derivable en: x= -2.
En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.
Hallar los puntos en que y = |x 2
− 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su
gráfica.
La función es continua en toda .
f'(2)-
= −1f'(2)+
= 1
f'(3)-
= −1f'(3)+
= 1
Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.

5. Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será
derivable en ellos.
Derivada de función exponencial
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2
y g(x) = 2x
. Las funciones f y g no
son iguales. La función f(x) = x2
es una función que tiene una variable elevada a un exponente
constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x
es una
función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función
llamadafunción exponencial.
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx
,
donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los
números reales positivos.
1) f(x) = 2x

6. Propiedades de f(x) = bx
, b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
4) Si b > 1 (b, base), entonces bx
aumenta conforme aumenta x.
5) Si 0 < b < 1, entonces bx
disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de
uno y x, y reales:
1) Leyes de los exponentes:
2) ax
= ay
si y sólo si x = y
3) Para x diferente de cero, entonces ax
= bx
si y sólo si a = b
Ejemplos

7. Derivada de la función logarítmica
Se llama así a la función inversa a la exponencial, que existe en base a lo demostrado anteriormente:
x = ð (y) = loga y, definida para 0<y<+ð, si a>0 y að1.
Escribamos ahora la función de otra forma:
y = ð (x) = loga x,
donde llamamos de nuevo x a la variable independiente e y a la función, y obtenemos de la gráfica de la
función exponencial, la gráfica de la función logarítmica por simetría de primer y tercer cuadrantes.
Por las propiedades de los logaritmos vistas previamente enunciamos las siguientes:
1 La función logax sólo está definida para x>0.
2 logaa =1 y loga1=0. [Todas las gráficas pasan por el punto (1, 0)]
3 Para a>1 (es decir, b>0) es monótona creciente desde -ð hasta +ð; para a<1 (es decir, b<0) es
monótona decreciente desde +ð hasta -ð, tanto más lentamente cuanto mayor sea
ð loga xð .
limlogax = + ð (a>1) limlogax = ðð (0<a<1)
Ejemplo:
2. log x + log 2 = 1
log 2x = log 10
2x = 10;
x = 5
3. log (2x - 3 ) + log ( 5 - x ) = log 5
Log((2x - 3 ) . (5 - x ) ) = log 5
(2x - 3). (5 - x ) = 5;

8. 10x - 2x2- 15 + 3x = 5;
2x2 - 13x + 20 = 0;
x = 4; x = 5/2
Derivada de función trigometrica inversa
Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas. Así las gráficas de ninguna de ellas pasa
la prueba de lalínea horizontal y tampoco son 1-a-1. Esto significa que ninguna de ellas tiene una
inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una 1-a-1.
Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar todos los
valores del rango.
Si restringimos el dominio de f(x) = sin x a hemos hecho la función 1-a-1. El rango es [–
1, 1].
(Aunque hay muchas formas de restringir el dominio para obtener una función 1-a-1 esto es de
acuerdo con el intervalo usado.)
Denotamos la función inversa como y = sin–1
x. Se lee y es la inversa del seno de x y significa
que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x. Pero tenga cuidado con la notación
usada. El superíndice “–1
” NO es un exponente. Para evitar esta notación, algunos libros
usan y = arcsin x como notación.

9. Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una reflexión sobre
la recta y = x de la función seno.
Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que el dominio
está restringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de 1er
cuadrante y todos los
valores negativos nos arrojará un ángulo de 4to
cuadrante.
Similarmente, podemos restringir los dominios de las funciones coseno y tangente para
hacerlas 1-a-1

10. El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π]. Esto significa que un valor
positivo nos arrojará un ángulo de 1er
cuadrante y un valor negativo nos arrojará un ángulo de
2do
cuadrante.
El dominio de la función tangente inversa es (–∞, ∞) y el rango es . La inversa de la
función tangente arrojará valores en los cuadrantes 1er
y 4to
.
El mismo proceso es usado para encontrar las funciones inversas de las funciones
trigonométricas restantes-cotangente, secante y cosecante.
Bibliografía
Introducción al análisis matemático; Luis Osín.
Calculus, Volumen I; Tom M. Apostol.
Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes; I. Bronshtein, K. Semendiaev.

11. Aritmética 3; C. Repetto, M. Linskens, H. Fesquet.
Análisis matemático; Tom M. Apostol.
Análisis matemático, Volumen I; J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo.
Matemáticas 3; C. Amigo, P. Peña, A. Pérez, A. Rodríguez, F. Sivit.