1) El documento describe diferentes tipos de funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 2) Las funciones polinómicas se definen por polinomios y su grado determina su forma gráfica. Las funciones exponenciales tienen como base el número e y siempre cortan el eje y en (0,1). 3) Las funciones logarítmicas son la inversa de las funciones exponenciales y las funciones trigonométricas se definen por relaciones en triángulos rectángulos.

1. FUNCIONES
Calculo II
Luisa Fernada Chavez
11,01 JM
2,017

2. FUNCION POLINOMICA
 Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio:
donde a0, a1 ... an-1, an son números reales que se llaman coeficientes del polinomio y
n es el grado del polinomio.
Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes:
 1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
 2) Son siempre continuas.
 3) No tienen asíntotas.
 4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
 5) Cortan el eje Y en el punto (0, a0).
 6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio
menos uno.
 7) El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos
dos.

3. GRADO NOMBRE EXPRESION REPRESENTACI
ON
0 F. Constante y = a Rectas
horizontales o
paralelas al eje x
1 F. Lineal y = ax + b es un
binomio del primer
grado
Rectas oblicuas
2 F. Cuadrática y = ax² + bx + c es
un trinomio del
segundo grado
Parábolas
3 F. Cubica y = ax³ + bx² + cx
+ d es un
cuatrinomio de
tercer grado
Curvas cúbicas

4. Grado 0
Rectas horizontales:
Primer Grado
Rectas Oblicuas
Grado 2 Parábolas
Grado 3 Cubicas

5. EJERCICIOS
 1) f(x)=3
x y
0 3
1 3
2 3
-2 3 Tabla de valores

6.  2) f(x) = 2x − 1
es una función lineal con pendiente m = 2 e
intercepto en y en (0, −1) . Su gráfica es una recta
ascendente.
F(x) = 2x-1

7.  3) Grafique la función polinomial x 3 – 2 x 2 – 3 x
x y
-3 -36
-2 -10
-1 0
0 0
1 -4
2 -6
3 0
4 20

8.  3)Graficar la funcion y(x) = -x^2+1
x y
-3 -9
-2 -3
-1 0
0 1
1 0
2 -3
3 -9

9.  4) Graficar la función
x Y
-3 -39
-2 -15
-1 1
0 -3
1 -1
2 9
3 33

10.  5) Graficar la función F(x)=-x3-8

11. FUNCIÓN EXPONENCIAL
 La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex,
donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función
tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la
particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota
equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los
logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
E(x)=K . a^x f(x)=a^x
Las características generales de las funciones exponenciales son:
 1) El dominio de una función exponencial es R.
 2) Su recorrido es (0, +∞) .
 3) Son funciones continuas.
 4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
 5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
 6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

12.  7) Son siempre concavas.
 8) El eje X es una asíntota horizontal.
Si a > 1 : Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez
más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto :
Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0
Si 0 < a < 1 : Ocurre lo contrario que en el caso anterior :
Cuando x → + ∞ , encontes a x → 0

13. PROPIEDADES :
 1)La función exponencial es la inversa de la logarítmica:
y = ex ⇔ x = Ln y
 2)La función y = ex tiene por dominio R y por
recorrido y > 0
 3) La función y = ex es continua, creciente e inyectiva
en todo su dominio.
 4)La función y = ex es cóncava hacia arriba en todo
su dominio.
 5)
lim
𝑥→−∞
𝑒 𝑥 = 0 𝑦 lim
𝑥→∞
𝑒 𝑥 = ∞

14. 1)
EJERCICIOS:

15. 2)

16. 3) Graficar la Función F(x)=3x-2

17. 4)

18. 5)y = 2 + 3x

19. FUNCIONES LOGARÍTMICAS
 Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le
asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo
b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es
la función inversa de b a la potencia n. Esta función se
escribe como: n = 𝑙𝑜𝑔 𝑏x, lo que permite obtener n.
𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥 = 𝑛 𝑥 = 𝑏 𝑛
(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y
sólo si b elevado a la n da por resultado a x.)
Para que la definición sea válida, no todas las bases y
números son posibles. La base b tiene que ser positiva y
distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número
positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).2
Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base
10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

20. Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax, Las características generales de las
funciones logarítmicas son:
 1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:
Dom(f) = (0. + ∞) .
 2) Su recorrido es R: Im(f) = R .
 3) Son funciones continuas.
 4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
 5) Como loga = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .
 6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
 7) Son convexas si a > 1 .
Son concavas si 0 < a < 1 .
 8) El eje Y es una asíntota vertical.
Si a > 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞
Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞

21.  Propiedades Algebraicas:
1)El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
logb(xy)= 𝑙𝑜𝑔 𝑏 (𝑥)+𝑙𝑜𝑔 𝑏(y)
2)El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
numerador menos el logaritmo del denominador.
𝑙𝑜𝑔 𝑏
𝑥
𝑦
=
𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑏(𝑦)
3)El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el
exponente y el logaritmo de la base de la potencia.
𝑙𝑜𝑔 𝑏(𝑥 𝑥
)-y𝑙𝑜𝑔 𝑏(𝑥)
4)El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa
del índice y el logaritmo del radicando.
𝑙𝑜𝑔 𝑏(
𝑦
𝑥=
𝑙𝑜𝑔 𝑏(𝑥)
𝑦
)

22. X LOG
1/8 -3
1/4 -2
½ -1
1 0
2 1
4 2
8 3
1)
EJERCICIOS:
𝑓 𝑥 = log 2 𝑥

23. 2)
X Log
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
𝑓 𝑥 = log
1
2
𝑥

24. x log
¼ -2
½ -1
1 0
2 1
4 2
3) Graficar la función 𝑓 𝑥 𝑙𝑜𝑔2 𝑥

25. 4) Graficar la Función 𝑔 𝑥 = log
1
2
𝑥

26. 5) Graficar la función y=𝑙𝑜𝑔1/2x (1/2) y=x
x Y
4 -2
2 -1
1 0
½ 1
1/8 2
¼ 3
1/16 4

27. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Las funciones trigonométricas se
definen comúnmente como el cociente
entre dos lados de un triángulo
rectángulo asociado a sus ángulos. Las
funciones trigonométricas son funciones
cuyos valores son extensiones del
concepto de razón trigonométrica en un
triángulo rectángulo trazado en una
circunferencia unitaria (de radio unidad).
Definiciones más modernas las
describen como series infinitas o como
la solución de ciertas ecuaciones
diferenciales, permitiendo su extensión
a valores positivos y negativos, e
incluso a números complejos.Existen
seis funciones trigonométricas básicas.

28.  1. Función Seno ( Sen): La Función Seno
nos describe la relación existente entre
Lado Opuesto sobre la Hipotenusa.
Su simbología es la siguiente:
 2. Función Coseno ( Cos): La Función
Coseno describe la relación entre Lado
Adyacente sobre Hipotenusa.
Su simbología es la siguiente:
 3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función
nos representa la relación entre Lado
adyacente sobre Hipotenusa.
Su simbología es la siguiente:

29.  También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:
 4. Función Cotangente ( Cot):Que describe
la relación entre Lado Adyacente con Lado
Opuesto:
 5. Función Secante ( Sec): Relación entre
Hipotenusa sobre Lado Adyacente:
 6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra
la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

31. EJERCICIOS
Calcule los valores de (x) y (y)
 1)
sen 30° = 4/x
sen 30° = 1/2
4/x = 1/2
x = 8
cos 30° = y / x
cos 30° = .86
y / x = y / 8 = .86
y = 6.9
2)
sen 45 ° = 7/x
sen 45° = .70
7/x = .7
x = 9.9
cos 45° = y/x
cos 45° = .7
y/x = y/9.9 = .7
y= 7

32.  3) sen θ = 3/5
Sen θ = 4/5
Cos θ = 3/5
Tan θ = 4/3
Cot θ = 3/4
Sec θ = 5/3
Csc θ = 5/4
4)tan θ = 5/2
Sen θ = 2/5
Cos θ = √21/5
Tan θ = 2/√21
Cot θ = √21/2
Sec θ = 5/√21
Csc θ = 5/2
a2 + 22 = 52
a =√ 21

33.  5)
Sen θ = b/c
Cos θ = √𝑐2+
𝑏2
/c
Tan θ = b/ 𝑐2 + 𝑏2
Cot θ = 𝑐2 + 𝑏2
/b
Sec θ = c/ c2 + b2
Csc θ = c/b
𝑎 = 𝑐2 − 𝑏2
𝑎2
+𝑏2
= 𝑐2

34. FUNCIONES INVERSAS
 Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que
hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si 𝑓convierte 𝑎 en 𝑏,
entonces la inversa debe convertir 𝑏 en 𝑎.
𝑓 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑓−1
𝑏 = 𝑎
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una
función tenemos que hallar el dominio de
su función inversa.
Si dos funciones son inversas su
composición es la función identidad.
(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x

35.  Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la
bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de
una función, inversa.
Cálculo de la función inversa:
1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2.Se despeja la variable x en función de la variable y.
3.Se intercambian las variables.

36. EJERCICIOS
1f(x) = 2x - 5
Veamos primero si la función es inyectiva, es decir, si dos
elementos son distintos tienen imágenes distintas.
f(x1) = f(x2) ⇒ 2x1 - 5 = 2x2 - 5 ⇒ 2x1 = 2x2 ⇒ x1
= x2
Se realiza la comprobación al revés. Si dos imágenes son
iguales, sus originales deben ser iguales.
En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación:
y = f(x)
y = 2x - 5
y + 5 = 2x
x = (y + 5)/2

37.  Por último intercambiamos las variables
𝑥 =
𝑦 + 5
2
→ 𝑦 =
𝑥 + 5
2
→ 𝑓−1 𝑥 =
𝑥 + 5
2

38.  Calcular la función inversa de:
 2) f (x) =(3x + 2) / (2x – 5) 3) f(x)=2x+1
y=2x+1 x=
1
2
𝑦 −
1
2
𝑓−1
𝑥 =
1
2
x-
1
2

39.  4) f(x)=3x+5 5) f(x)=1/(3x-2)