Este documento describe los modelos matemáticos y funciones. Explica que un modelo matemático describe un fenómeno real mediante una expresión como una ecuación. Proporciona ejemplos de fenómenos que se pueden modelar matemáticamente como el consumo de un producto o la expectativa de vida. También define conceptos como dominio, recorrido y variables independientes y dependientes en relación con las funciones matemáticas.

1. Funciones y modelos matemáticos
Como sabemos, una descripción matemática de un fenómeno de la vida real,
dada en términos como por ejemplo, de una ecuación es lo que constituye un modelo
matemático. El consumo continuo de un producto en el mercado, el descenso
significativo del número de fumadores entre dos fechas en una población en
particular, la expectativa de vida de una persona al nacer, el costo de la reducción de
productos contaminantes en una determinada zona, la necesidad de realizar
pronósticos sobre la variación a futuro del PIB en un país determinado, son ejemplos
de fenómenos reales que se pueden modelar matemáticamente por una ecuación. La
finalidad del modelo es comprender el fenómeno y, quizá, hacer pronósticos acerca de
su comportamiento.
Los modelos van de los más simples hasta los más complejos, es decir, aquellos
donde solo ocupamos las cuatro operaciones básicas como otras donde el
modelamiento implica elementos avanzados de matemática y física.
Cada fórmula que ocupamos hoy en nuestras asignaturas de matemática, física,
química, y otras, y que ocupamos en nuestros propios trabajos son modelos
matemáticos.
Cada fórmula corresponde a una expresión algebraica que contiene una o más
variables, en la cual se observan variables independientes y dependientes.
Ejemplo : El siguiente modelo permite calcular el volumen de un tonel
El volumen V depende de h, D y d, por lo que podemos decir que V está en función de
h, D y d. Un concepto muy amigable para todos nosotros es reconocer la función matemática
como aquella expresión algebraica en la cual se evidencia la dependencia entre las variables.
 22
2
3
dDhV 


2. Formula Uso v. independ V, depend
Calculo del área de un
círculo r A
Calculo del volumen de
una esfera de radio r r V
Cálculo del ph de una
solución H Ph
Formula para pasar de
celcius a fahranheit C F
Estos tan solo son algunos ejemplos.
El modelamiento matemático como ya he señalado se muestra a través de una
expresión algebraica. Pero también, se puede expresar a través de otras formas como son los
gráficos de coordenadas.
Veamos un problema en la cual se evidencian las variables independientes y dependientes.
CONSUMO DE COMBUSTIBLE
El petróleo que hay en un depósito de un autobús viene representado por la siguiente
gráfica:
Variable independiente
Variable dependiente

3. A. ¿Cuántos litros tenía el depósito al salir?
B. ¿Cuántos litros tenía a su llagada?
C. ¿Cuándo puso el conductor por primera vez gasoil? ¿Cuántos litros tenía el depósito?
D. ¿Cuántos litros consumió durante el viaje?
E. ¿Qué ocurrió en el km. 250?
PASEO DE DOS AMIGOS
Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y
recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una
cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a
recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La
gráfica del paseo viene aquí representada.
RESPONDE:
1. ¿Qué variables se relacionan?
2. ¿Cuál es la variable dependiente y la variable independiente?
3. ¿Cuánto dista la casa de Alicia de la de Rafa?
4. ¿Cuánto tiempo esperó Rafa a que bajara Alicia?
5. ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la cafetería?
6. ¿A qué hora salieron de la cafetería?
7. ¿A qué casa regresaron?
8. ¿Cuánto tiempo pasearon los dos juntos?
9. Cuándo pasearon más deprisa: de la cafetería a casa de sus amigos o de ésta al final
del paseo? ¿Por qué?
10. ¿Qué pasa durante el mes de Junio de 1996?

4. MORTALIDAD
Dada la gráfica:
1. ¿Qué magnitudes se
relacionan?
2. ¿Cuál es la graduación
horizontal?
3. ¿Y la vertical?
4. ¿En qué año es más alta la
tasa de mortalidad?
5. ¿Qué sentido tiene unir los puntos?
6. ¿Qué tanto por mil de mortalidad hay en 1900?
7. ¿Qué ocurre desde 1943 a 1963 aproximadamente?
8. ¿En qué año es más baja la tasa de mortalidad?
9. Haz un comentario sobre la gráfica.
10. ¿Qué otros datos se pueden extraer de la gráfica?
Gráficas engañosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los últimos 4 años:
Año 1999 2000 2001 2002
Ventas (en millones de $) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos gráficas:

5. Representan exactamente la misma situación. Sin embargo, la segunda nos hace
parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente. Si variamos las
escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad.
Comente:
Ejercicio
1) Tiramos de la cadena del WC: ¿qué gráfica corresponde a esta situación?
2) Aquí hay 5 bocetos de gráficas y 5 descripciones de un estanque vaciándose.
¿Qué gráfica corresponde a cada descripción? Todas estas gráficas son
decrecientes, pero con distinto aspecto.

6. A: El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo.
B: El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez más y más
rápido mientras el estanque se vacía.
C: El nivel del agua desciende rápidamente al principio, y cada vez más y más
lentamente mientras el estanque se vacía.
D: El nivel del agua comenzó descendiendo rápidamente, y por un atasco del
desagüe, el nivel dejó de bajar. Cuando se desatascó volvió a descender con
rapidez.
E: El nivel del agua cayó lentamente al principio. Después cada vez más rápido
y después cada vez más despacio hasta que el estanque dejó de tener agua.
Dominio y recorrido de funciones
DOMINIO : Conjunto de números reales que contiene a todos aquellos términos que
reemplazados en la o las variables del modelo permite obtener un valor con sentido en
el contexto del problema.
Ejemplo: El volumen de un cubo de lado x cm es 3
xV  cm3
x
x
En este caso el dominio corresponde al conjunto de números reales positivos, ya que
no se puede considerar que x sea negativo o cero.
Recorrido: Conjunto de números reales que se obtiene a partir de cada elemento del
dominio, en la función

7. Ejemplo: Si A = {1,2,3,4,5} es el dominio, y la función
El recorrido es
Considerando que
0
0


aRa
bR
b
a
Guia de ejercicios de funciones reales
1) Si f(x) = 2x – 1 . Encuentre:
a) f(3) b) f(-2) c) f(0) d) f(a+1) e) f(x+1)
2)Sea f(x) = x2
+ 1.Encuentre:
a) f(2) b) f(-3) c) f(0) d) f(a - 1) e) f(x – 1)
3)Dado g(x) = 8 – x3
. Encuentre:
a) g(-2) b) g(5) c) g(x2
) d)   2
xg
4)Dado h(x) =
x
3
, encuentre:
a) h(1) b) h(-3) c) h(1/3) d) h(3/a) e) h(3/x) f)
 
 xh
h 3
5)Dado f(x) =
1
2
x
, encuentre:
a) f(7) b) f(-5) c) f(1/2) d) f( a/2 e) f(x/2) f)
 
 2f
xf

8. 6) Si f(x) = 32 x calcule:
a) f(-1) b) f( 4) c) f(1/2) d) f(11) e) f(2x+3)
7) dado f(x) = 32 2
x , encuentre:
a) f(-7) b) f(0) c) f(1) d) f(4/7) e) f( 2x2
+1)
8)Dado f(x) =
1
2
x
calcule:
a) f( -1) b) f(2x) c) f(x) + f(h)
9) Determine el dominio y el recorrido de las siguientes funciones reales:
a)  
3
2

x
xf b)  
12
5


x
xf c) t(x) = t2
+ 1
d) p(x) =
3x
x
e) q(x) = 10 f) s(x) = 6x
10) Si f:    0 y   1:g definidas por
x
x
xf


1
)(
1
1
1)(


x
xg calcular:
a)
)2(2
)2()1(
f
gf 
b) f(-1)+g(-1) c) 




 

4
3
2)1(3 gf d) )2/1()2/1(2 gf 
11) a) Representar, usando tablas de valores : xxfiixxfi  )();)()
32)();1)();1)();2)()  xxfvixxfvxxfivxxfiii
b) Para las funciones lineales : bmxxff  )(;: representadas en a)
b.1) Reconocer el efecto de los parámetros m y b
b.2) Determinar la imagen
b.3) Hallar los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad.
12) Graficar cada una de las siguientes funciones lineales, indicando intersecciones con los
ejes
a) y = x d) y = 3 (x-1)
b) y = 3x e) y = -3x
c) y = 3x-1 f) y = 3

9. 13) Representar las siguientes rectas, sin tabla de valores
a) 2 xy b) 32  xy
c) 4
2
1
 xy d) 5
3
1
 xy
e) 34  xy f) 2y
g) 2
2
3
 xy h) 0y
14) Graficar las siguientes funciones cuadráticas 0,)(;: 2
 acbxaxxff
i)
2
xy  ii)
2
xy  iii) 12
 xy
iv) 22
 xy v) 2
2
1 2
 xy vi) 2
2
1 2
 xy
a.- Reconocer el efecto del parámetro a y del c.
b.- Obtener las coordenadas del vértice.
c.- Obtener la ecuación del eje de simetría.
d.- Determinar el conjunto imagen y los ceros.
15) Representar las siguientes parábolas determinando previamente el eje de simetría, el
vértice y las intersecciones con los ejes x e y.
a) xxy 62
 b) xxy 82 2
 c) 342
 xxy
d) 1105 2
 xxy e) 122
 xxy f) 522
 xxy
f) 2
2
1 2
 xxy
16) Resolver gráfica y analíticamente los siguientes sistemas:
a)





1
122
xy
xxy
g)





2
1032
xy
xxy
b)





4
22
x
xxy
h)





3
12 2
x
xxy
c)





54
523 2
xy
xxy
i)





7
62
xy
xxy
d)





15
32 2
xy
xxy
j)





53
142 2
xy
xxy

10. e)





3
12 2
y
xxy
k)





632
3 2
yx
xxy
f)





23
182 2
xy
xxy
17) Dadas las funciones :f con:
1)
3
)( xxf  2)   3
xxf 
a) Representarlas gráficamente.
b) Representar las siguientes funciones polinómicas y comparar con el resultado que se
obtiene por traslación de   3
xxf  o   3
xxf 
i)   3
xxf     3
1 xxf
ii)    3
2 xxf   13
 xxf
iii)   13
 xxf     12
3
 xxf
18) I. Representar, utilizando tablas de valores
a)   xxf  b)   xxf  c)   xxf 
d)   2 xxf e)   1 xxf d)   31  xxf
II. Utilizar las conclusiones acerca de los efectos de las coordenadas  000 ;yxP  en la
expresión algebraica de la función   00 yxxxf  para graficar por traslación de
  xxf  , las siguientes funciones
a)   12  xxf b)   23  xxf c)   75  xxf
19.- A partir del gráfico de xxff 
)(;: 0 (que se muestra a continuación),
graficar cada una de las siguientes funciones (analizar los desplazamientos). Determinar
previamente su dominio D

11. a) xxfDf  )(;: xxfDf  2)(;:
b) xxfDf  2)(;: 1)(;:  xxfDf
c) 22)(;:  xxfDf
20) I. Representar utilizando tablas de valores las gráficas de las siguientes funciones
a)   x
xf 2 ; b)   1
2 
 x
xf ; c)   12  x
xf ; d)  
x
xf 






2
1
e)   2
2
1







x
xf
II. Utilizar las conclusiones acerca de los efectos de las coordenadas de  000 ; yxP  en
la expresión algebraica de la función   0
0
2 yxf xx
 
para graficar por traslación
a)   12 1
 x
xf b)   22 3
 x
xf
21) I. Representar usando tablas de valores, las gráficas de las funciones
a)  
x
xf
1
 b)  
x
xf
1
 c)  
x
xf
2
 d)   2
1

x
xf
e)   2
1

x
xf f)  
2
1


x
xf g)  
2
1


x
xf h)   2
1
1



x
xf
II. Reconocer para cada una de las funciones anteriores su dominio de definición.
III. Graficar por traslación de  
x
xf
1
 las funciones
a)   3
3
1



x
xf b)   5
2
1



x
xf c)   2
4
1



x
xf