Este documento describe diferentes tipos de funciones y transformaciones matemáticas. Explica que una función establece una relación entre un dominio y un co-dominio, y que una transformación es una función especial que relaciona dos espacios. Luego detalla tres tipos principales de transformaciones afines: traslación, escalamiento y rotación. Finalmente, indica que transformaciones más complejas se pueden lograr combinando estas tres transformaciones básicas.

1. Funciones y Transformaciones: Maneras de Manipular el Espacio Vanessa Santiago Olivares Glenn Méndez MATE 5100 Matemáticas Discretas 14 de enero de 2010

2. Introducción Función – modelo (matemático) que expresa la relación entre la(s) variable(s) independiente(s) y la variable dependiente Valores de la(s) variable(s) independiente(s) = dominio de la función Valores de la variable dependiente = co-dominio de la función

3. Introducción Características de la función Posee un dominio y un co-dominio Cada valor del dominio tiene un valor único en el co-dominio Los valores del dominio y co-dominio se relacionan mediante unas reglas fijas, es decir, las reglas no cambian

4. Ejemplos y = x 2 Dominio = los números reales Co-dominio = los números positivos Menú de 99 ¢ Dominio = Hamburgers, papas fritas, nuggets, helado, refresco, ensalada Co-dominio = 99 ¢ + IVU!!

5. Introducción Transformación – función especial que establece la relación entre dos espacios

6. Gráficos de Funciones En términos matemáticos, la relación entre el dominio y el co-dominio de una función, o un conjunto de funciones, se puede representar gráficamente

7. Gráficos de Funciones No todas las representaciones gráficas son apropiadas o dan la información necesaria Ejemplo: Por tanto, es importante poder hacer transformaciones de un espacio a otro que provean la información de interés

8. Transformaciones Hay tres tipos principales de transformaciones afines (mantienen las líneas paralelas) Traslación o desplazamiento “ Scaling” o dimensionalidad Rotación Cualquier otro tipo de transformación se puede obtener con una combinación de las anteriores

9. Traslación o Desplazamiento Ahí voy! Adios…

10. Traslación o Desplazamiento No cambia tamaño, forma, orientación, ni propiedad alguna Sólo mueve el objeto de un lugar a otro t x t z t y ( x’,y’,z’ ) x y z

11. “ Scaling” o dimensionalidad Uju… Soy Hulk! Que vergüenza… Me voy.

12. “ Scaling” o dimensionalidad Cambia la forma de los objetos al multiplicar las dimensiones por un factor k x’ = k x x y’ = k y y x’ = k x x y’ = k y y F(x,y)

13. Rotación Yo soy la Inter… … pa’que tú lo sepas !

14. Rotación Cambio en el ángulo de inclinación usando el origen como referencia Es más fácil explicarlo usando coordenadas polares en vez de cartesianas x y z y’ x’ z’ α x’ = z sin( α ) + x cos ( α ) y’ = y z’ = z cos ( α ) – x sin ( α )

15. Combinando Transformaciones Imagen de espejo Establecer plano cartesiano y referencia Establecer función Realizar transformación(es) Simplificar ecuaciones

16. Combinando Transformaciones f(x,y,z) Traslación al origen Rotación Traslación al punto final

17. Inverso de la Función Se estableció que para que sea función cada valor del dominio debe tener un solo valor en el co-dominio Para que la función tenga inverso, es además necesario que cada valor del co-dominio tenga un valor único del dominio y = 4x + 3 x = (y – 3) ÷ 4

18. Preguntas? … estoy cansao.